考點53直線與圓錐曲線的位置關系

（3種核心題型+基礎保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）

m【考試提醒】

1.了解直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法.

2.掌握直線被圓錐曲線所截的弦長公式.

3.能利用方程及數形結合思想解決焦點弦、中點弦問題

皿【知識點】

1.直線與圓錐曲線的位置判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯立，消去y（或x）,得到關于尤（或y）的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交

生生0；直線與圓錐曲線相切0/三0；直線與圓錐曲線相離0/00.

特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個交點.

②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個交點.

2.弦長公式

已知A（xi,yi）,B（X2,m），直線AB的斜率為網左W0）,

則\AB\=M（xi—vG+Ui—”）2

=、1+42出一刈

=71+網（xi+X2）2—4X1X2

或|AB|={1+（〃-y2|

因【核心題型】

題型一直線與圓錐曲線的位置關系

（1）直線與雙曲線只有一個交點，包含直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.

（2）直線與拋物線只有一個交點包含直線與拋物線相切、直線與拋物線的對稱軸平行（或重合）.

2

【例題11（2023?重慶?二模）已知點尸（1,2）和雙曲線C:V-5=L過點尸且與雙曲線C只有一個公共點的

直線有（）

A.2條B.3條C.4條D.無數條

【變式1］（2022?北京房山?一模）已知直線/被圓C：f+丁=2所截的弦長不小于2,則下列曲線中與直

線/一定有公共點的是()

A.y=x2-lB.(x-1)2+y2=1

22

C.一+y2=iD.x-y=1

27'

【變式2】(2024?上海浦東新?三模)已知點A、B位于拋物線y2=2px(p＞0)上"AB|=20,點M為線段A5

的中點，記點M到y軸的距離為d.若d的最小值為7,則當d取該最小值時，直線的斜率左(左＞0)為.

【變式3](2022?陜西榆林?模擬預測)已知橢圓C的焦點坐標為(±1,0),且過點尸卜,

(1)求橢圓C的標準方程；

3

⑵已知直線/：尤=〃2y-l與橢圓C交于A、8兩點，若弦A3中點在直線＞=g上，求直線/的方程.

O

題型二弦長問題

(1)弦長公式不僅適用于圓錐曲線，任何兩點的弦長都可以用弦長公式求.

(2)拋物線的焦點弦的弦長應選用更簡捷的弦長公式|AB|=xi+x2+p.

⑶設直線方程時應注意討論是否存在斜率.

【例題2】(2022?河南鄭州?三模)斜率為1的直線/與橢圓工+丁=1相交于A,8兩點，則IA例的最大值

2

為()

A)n2A/3r2瓜c4布

333

22

【變式1](2024?陜西西安?模擬預測)已知雙曲線C:=1(。＞0,b＞0)的左焦點為%圓O:f+V=〃.

ab

若過K的直線分別交C的左、右兩支于A,B兩點，且圓。與48相切，C的離心率為3,4到c的漸近線的

距離為20,則1鉆1=()

【變式2](2023?四川綿陽?三模)已知尸為拋物線C：V=2x的焦點，過尸作兩條互相垂直的直線4，3直

線4與C交于A,B兩點，直線4與C交于RE兩點，則|陰+|小|的最小值為

【變式3](2024?陜西安康?模擬預測)已知動點A(x,y)到點的距離與到直線/：y=-：的距離相等,

記動點A的軌跡為。.

⑴過點(3,0)且斜率為-2的直線/'與。交于尸,Q兩點,求「0的值；

⑵已知是。上不同的三點，直線A?,ME與以坐標原點為圓心的單位圓相切，切點分別為G,H,若

直線OE的傾斜角為120。，求點M的坐標.

題型三中點弦問題

(1)解決圓錐曲線“中點弦”問題的思路

①根與系數的關系法：聯立直線和圓錐曲線的方程得到方程組，消元得到一元二次方程后，由根與系數的

關系及中點坐標公式求解.

②點差法：設直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為A(xi,ji),8(X2,y2),將這兩點坐標分別代入圓錐曲

線的方程，并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點和直線斜率有關的式子，可以大大減少計算量.

(2)點差法常用結論

已知AQ1,州)，8(X2,")為圓錐曲線E上的兩點，A8的中點為c(xo,聲)，直線A8的斜率為上

22

若E的方程為

則—黑

若石的方程為宏一為=1(〃>0,/?>0),

則仁鬻

若￡的方程為產2px(p>0),則k=^.

TT丫？

【例題3](2024?甘肅張掖?三模圮知傾斜角為二的直線/與橢圓C:上+/=1交于42兩點，P為A8中點,

44-

0為坐標原點，則直線。尸的斜率為（

22

【變式1］（2023,陜西寶雞?模擬預測）已知雙曲線-2=l（a>0,b>0）的右焦點為網5,0）,過點廠的

ab

直線交雙曲線E于A、B兩點.若48的中點坐標為（6,-2）,則E的方程為（）

【變式2］（2023?貴州遵義?三模）已知拋物線V=2y上兩點A,3關于點“（2"）對稱，則直線的斜率

為.

22

【變式3］（2024?陜西西安?模擬預測）已知橢圓C：A+2=l（a>b>0）的一個焦點與拋物線V=4x的焦點

ab

重合，離心率為3.

⑴求橢圓C的方程；

⑵過點尸，作斜率為|的直線交橢圓C于P,Q兩點，求弦尸。中點坐標.

【基礎保分練】

一、單選題

22

1.（2024?湖南長沙三模）已知雙曲線C：3-2=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為耳（-c,0）,月（c,0）,尸為C

ab

的漸近線上一點.若/耳F?的面積為6c2,尸耳.尸耳=302,則C的離心率為（）

A.aB.2C.6D.75

22

2.（2024?全國?模擬預測）已知直線x-gy-2=0與橢圓C：—+——=1(〃>4)交于N兩點，橢圓C

cia—4

的左、右焦點分別為耳工，若/4邛1/+/與鳥M=N邛明，則。的值為（）

A.4+百B.4+2港C.5+3D,5-3

22

222

3.（2024?山西臨汾?三模）已知橢圓G：〉齊=1（。>6>0）與橢圓。2：；+丁=1有相同的焦點，且C1與直

線/?-y+3=0相切，則橢圓G的離心率為（）

A百R石c及J_

,----D?----C..---nU.

5322

4.（2024?云南大理?模擬預測）已知拋物線C：/=4丫上存在兩點4（和%），3（%，%）關于直線/：丫=一工+。

對稱，若再々=-2,貝!J"=（）

97

A.5B.-C.4D.-

22

二、多選題

2

5.（2024?四川巴中?模擬預測）已知A,8為雙曲線C:f-工=1的左，右頂點，居，工分別為雙曲線C的左，

2

右焦點.下列命題中正確的是（）

A.若R為雙曲線C上一點，且|明卜4,則|R段=6

B.居到雙曲線C的漸近線的距離為四

C.若尸為雙曲線C上非頂點的任意一點，則直線上4、尸3的斜率之積為2

D.雙曲線C上存在不同兩點M,N關于點Q（l,l）對稱

6.（2024?河南新鄉?一模）已知拋物線C:;/=8x的焦點為歹，過點f的直線/的斜率為左,且/與C交于A,B

兩個不同的點（點A在x軸的上方），下列說法正確的是（）

A.若k=2,則|AB|=10B.若同=2忸2，貝也=20

C.點A,2的縱坐標之積與上有關D.若|。4|=2]。理（。為坐標原點），貝1AF|<2忸同

三、填空題

22

7.（2024?浙江紹興?模擬預測）雙曲線C:'-3=l,過點尸（CU）作直線/,與雙曲線只有一個交點M,貝I]/

的斜率為—.

8.（2024?內蒙古呼和浩特?一模）已知橢圓C，+}1與直線2y-4=0交于48兩點，且線段的

中點為〃（2,1）,則橢圓C的方程為.

9.（2024?湖南長沙?三模）已知橢圓C:=+1=l（a>b>0）的離心率為過C的左焦點且斜率為1的直線

ab2

與C交于A8兩點.若|ABk12,則C的焦距為.

四、解答題

10.(2024?貴州六盤水?模擬預測)已知雙曲線。:，-%=1(“>0*>0)的虛軸長為2,離心率為手，AA

分別為C的左、右頂點，直線丁=履-1交C的左、右兩支分別于D,E兩點.

⑴求C的方程;

⑵記AO&E斜率分別為若勺+2%=0,求上的值.

11.(2024?浙江?模擬預測)已知雙曲線C:無2一y=8,圓A：(x-2)2+(y-2)2=/,其中廠>0.圓A與雙曲

線C有且僅有兩個交點2E,線段。E的中點為G.

⑴記直線AG的斜率為《，直線OG的斜率為心，求口.

(2)當直線DE的斜率為3時，求G點坐標.

【綜合提升練】

一、單選題

22

1.(2024?廣東廣州?模擬預測)已知點A,8是橢圓工+上=1上不關于長軸對稱的兩點，且A,8兩點到

1612

點M(m,0)的距離相等，則實數機的取值范圍為()

1133

A.B.(-U)C.D.(-2,2)

?2

2.(2024?全國?模擬預測)已知橢圓的右焦點是尸，直線/:xcos6+ysinO=l(OwR)交橢圓C

于A、B兩點，則A4B尸周長的最大值為()

A.6B.8C.6^/^D.80

3.（2024?湖南益陽?一模）已知拋物線G：y2=4x,G：V=8x的焦點分別為片、F2,若尸、。分別為

G上的點，且線段A3平行于x軸，則下列結論錯誤的是（）

14

A.當|尸。1=］時，.當尸。是直角三角形B.當|尸。|=耳時，△耳PQ是等腰三角形

C.存在四邊形耳與PQ是菱形D.存在四邊形耳鳥尸。是矩形

2

4.（2024?陜西安康?模擬預測）已知雙曲線C:/-上=1,。為坐標原點，若直線y=x+2與雙曲線C的兩條

3

漸近線分別交于點A8,則△OAB內切圓的半徑等于（）

A.72-1B.2-73C.2-72D.73-1

5.（2024?四川內江?模擬預測）已知雙曲線C的方程為5/一V=i,過點PQ-1）作直線/與雙曲線左右兩支

分別交于點M,N.若MP=2PN，則直線/的方程為（）

11-1,

A.y=-x-lB.y=-x-l^（iy=-—x-l

C.y=x-l^y=-x-lD.y=x-l

2

6.（2024?廣東廣州?模擬預測）若雙曲線/一］=1（。＞0）的右支上存在兩點A,8使直線A3垂直于雙曲線

在點A處的切線，則。的取值范圍是（）

A.（l,+oo）B.（0,72）C.（0,1］D.（0,1）

22

7.（2022?浙江?模擬預測）已知橢圓=+1=1（穌6＞0）右頂點為42,0）,上頂點為3,該橢圓上一點P與

ab

A的連線的斜率《=-；,"的中點為E,記OE的斜率為的E，且滿足BE+4K=0,若C、。分別是x軸

、了軸負半軸上的動點，且四邊形ABCD的面積為2,則三角形COD面積的最大值是（）

A.3—2A/2B.3+2\/2C.2—A/2D.—^―-

22

8.（2024?四川綿陽?模擬預測）過雙曲線C:與-2=1（。＞0,。＞0）的左焦點4的直線/（斜率為正）交雙曲

ab

線于A,3兩點，滿足片B=3耳A,設M為AB的中點，則直線ON（0為坐標原點）斜率的最小值是（）

A.2遍B.73C.4石D.百

二、多選題

9.（2024?廣西柳州?一模）過拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點尸作傾斜角為。的直線交E于A,B兩點,

經過點A和原點。的直線交拋物線的準線于點。，則下列說法正確的是（）.

A.BD//OFB.OA±OB

2

C.以AF為直徑的圓與y軸相切D.AFBF

\'\\"\1^-si^n2-0

2

10.（2024?寧夏吳忠?一模）過雙曲線C:x?-乙=1的右焦點廠作直線/,交雙曲線C于A,8兩點，則（）

2

A.雙曲線C的實軸長為2

B.當/_Lx軸時，|AB|=4

C.當|AB|=3時，這樣的直線/有3條

D.當時，這樣的直線/有4條

22

11.（2023?浙江嘉興?模擬預測）已知橢圓C:土+匕=1,A，4分別為橢圓C的左右頂點，B為橢圓的上

43

頂點.設M是橢圓C上一點，且不與頂點重合，若直線AB與直線4M交于點P,直線A"與直線交于

點Q,則（）

3

A.若直線&W與4M的斜率分別為左，右，則勺乂=-1

B.直線P。與x軸垂直

c.\BP\=\BQ\

D.\MP\^\MQ\

三、填空題

丫2

12.（2024?全國?模擬預測）過雙曲線C:工-丁=1的右焦點廠的直線與C的右支交于48兩點，。為原點，

3

線段0M的中點與線段AB的中點重合，則四邊形OAWB面積的取值范圍是.

22

13.（2024?河北衡水三模）已知橢圓C:++斗=l（a>6>0）的左、右焦點分別為耳，且，焦距為6,點"（LD,

直線g與C交于A,2兩點，且加為AB中點，則的周長為.

14.（2024?湖南郴州?模擬預測）已知拋物線y=4x,從拋物線內一點A（2,0）發出平行于龍軸的光線經過

掩物線上點3反射后交拋物線于點C,則VA3C的面積為.

四、解答題

1T

15.（2024?河南鄭州?模擬預測）已知傾斜角為a（0<dz<-）的直線/與拋物線C：y2=2px（p>0）只

有1個公共點A,C的焦點為區直線AF的傾斜角為夕.

⑴求證：B=2a；

（2）若。=1,直線/與直線x=交于點尸，直線AF與C的另一個交點為8,求證：PAVPB.

22

16.（2024?安徽?一模）已知雙曲線C：?-4=：1（4>0,6>0）的離心率為2.且經過點（2,3）.

cib

⑴求C的方程；

⑵若直線/與C交于A,B兩點,且0408=0（點。為坐標原點），求的取值范圍.

17.（2024?廣東韶關?一模）已知拋物線x?=8y的焦點為產，其準線與>軸相交于點知.動點尸滿足直線

PRPM的斜率之積為-（，記點P的軌跡為「

（1）求r的方程；

⑵過點4（0,1）且斜率為左的直線/與X軸相交于點B,與r相交于C,。兩點，若能=茂.求上的值.

18.（2024?浙江金華?模擬預測）在直角坐標系xOy中，圓「的圓心尸在y軸上（尸不與。重合），且與雙曲

22

線。:?-當=1的右支交于A,B兩點.B^]|R4|2+|PB|2=|OA|2+|OB|2.

ab

⑴求Q的離心率；

⑵若。的右焦點為尸（2,0）,且圓「過點片求IE4I+IFBI的取值范圍.

19.（2022?山東臨沂?二模）已知拋物線H:V=2px（p>0）的焦點為F,拋物線H上的一點M的橫坐標為5,

2

0為坐標原點，cosZOFM

⑴求拋物線H的方程；

⑵若一直線經過拋物線〃的焦點R與拋物線〃交于A,B兩點，點C為直線％=上的動點.

①求證：ZACB<1.

②是否存在這樣的點C,使得S4BC為正三角形?若存在，求點C的坐標；若不存在，說明理由,

【拓展沖刺練】

一、單選題

22

1.（2024?河南濮陽?模擬預測）點M是橢圓亍+%=1,>。>0）上的點，以M為圓心的圓與x軸相切于橢

圓的焦點尸，圓M與y軸相交于尸，。兩點，若二尸。河是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（）

A.（2-73,1）

y/6—5/2（^6—A/2-y/5—1

C.-----------,1D.-----------,--------

272

2.（2024?四川宜賓?模擬預測）已知拋物線C：V=6x,過動點尸作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C相

切于點A,2,則皿面積的最小值是（）

A.6B.9C.12D.18

3.（2023?廣東廣州?一模）雙曲線C:。一「=4的左,右焦點分別為耳F2,過尸2作垂直于x軸的直線交雙

曲線于A,8兩點，4K月,,8月工”耳48的內切圓圓心分別為。1,。2。3，貝八。。2。3的面積是（）

A.6A/2-8B.6A/2-4C.8-40D.6-40

二、多選題

22

4.（2023?湖南?模擬預測）已知O為坐標原點，6,尸2分別是雙曲線E：點一我=1（。>0/>0）的左、右焦

點，P是雙曲線E的右支上一點，若儼胤一戶局=8,雙曲線E的離心率為手，則下列結論正確的是（）

22

A.雙曲線E的標準方程為土一二=1

164

B.雙曲線￡的漸近線方程為2x土y=0

C.點P到兩條漸近線的距離之積為為

D.若直線尸耳與雙曲線E的另一支交于點點N為的中點，則瓦N

5.（2024,河北唐山?二模）設拋物線C：y2=?的焦點為產，準線為/,過點（4,0）的直線與C交于A&,%）,

兩點，則下列說法正確的是（）

A.%％=16B.以為直徑的圓與/相切

C.以A8為直徑的圓過坐標原點