r任意四邊形、梯形與相似模型

F1做]題潟窗

板塊一任意四邊形模型

任意四邊形中的比例關系（“蝴蝶定理”）:

①1：S?=S4：$3或者WX星=8xS&②AO：OC=(H+S?)：($4+$3)

蝴蝶定理為我們提供了解決不規則四邊形的面積問題的一個途徑.通過構造模型，一方面可以使不規則四邊

形的面積關系與四邊形內的三角形相聯系；另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關系.

【例1】圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對角線把它分成了4個小三角形，其中2個小三角形

的面積分別是6公頃和7公頃.那么最大的一個三角形的面積是多少公頃？

【例2】如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD,被對角線AC、3。分成四個部分，AAOB面積為1平方

千米，△BOC面積為2平方千米，△<%>￡>的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6.92平方千

米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？

【例3]一個矩形分成4個不同的三角形（如右圖），綠色三角形面積占矩形面積的15%,黃色三角形的面

積是21平方厘米.問：矩形的面積是多少平方厘米？

【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已知，求：⑴三角形3GC的面

積；⑵AG:GC=?

［例4］四邊形ABCD的對角線AC與比）交于點0（如圖所示）.如果三角形ABD的面積等于三角形以券的

面積的1,且AO=2,DO=3,那么CO的長度是DO的長度的倍.

3

【例5】如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于。點，△CEF、AOEF、AODF、ZXBOE的面積依次是

2、4、4和6.求：⑴求△OCF的面積；⑵求△GCE的面積.

【例6】如圖相鄰兩個格點間的距離是1,則圖中陰影三角形的面積為

【鞏固】如圖，每個小方格的邊長都是1,求三角形ABC的面積.

E

【例7】如圖，邊長為1的正方形ABCD中，BE=2EC,CF=FD,求三角形AEG的面積.

ADAD

BECBEC

【例8】如圖，長方形ABCD中，BE:EC=2:3,DF:FC=1:2,三角形DEG的面積為2平方厘米，求長

方形ABCD的面積.

【例9】如圖，已知正方形ABCD的邊長為10厘米，E為中點，F為CE中點,G為BF中點,求三

角形肛?的面積.

日_____DAr______￡________D

1CBC

【例10］如圖，在AABC中，已知M、N分別在邊AC、BC±,&W與AV相交于O,若AAOM、AABO和

ABON的面積分別是3、2、1,則AWC的面積是_____.

B—N

【例11】正六邊形aAAAAA的面積是2009平方厘米，用生員自用線分別是正六邊形各邊的中點；那么

圖中陰影六邊形的面積是平方厘米.

【例12］如圖，A8C。是一個四邊形，M、N分別是45、CD的中點.如果△ASM、A/rB與AOSN的面

積分別是6、7和8,且圖中所有三角形的面積均為整數，則四邊形ABC。的面積為.

【例13】已知ABCD是平行四邊形，BC.CE=3:2,三角形ODE的面積為6平方厘米。則陰影部分的面積

是平方厘米。

【例14】正方形ABCD邊長為6厘米，AE=-AC,CF=-BCo三角形DEF的面積為平方厘米。

33-----

【例15］如圖4,在三角形ABC中，已知三角形AOE、三角形OCE、三角形3co的面積分別是89、28、

26,那么三角形O8E的面積是0

C

r任意四邊形、梯形與相似模型

mwm初題潟窗

板塊一任意四邊形模型

任意四邊形中的比例關系（“蝴蝶定理”卜

①H：S?=$4：S?或者S]X邑=邑XS4②A。：0C=(4+邑)：($4+$3)

蝴蝶定理為我們提供了解決不規則四邊形的面積問題的一個途徑.通過構造模型，一方面可以使不規則四邊

形的面積關系與四邊形內的三角形相聯系；另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關系.

【例16】圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對角線把它分成了4個小三角形，其中2個小三角形

的面積分別是6公頃和7公頃.那么最大的一個三角形的面積是多少公頃？

【考點】任意四邊形模型【難度】2星【題型】解答

【解析】在.ABE,_CDE中有NAEB=NCED,所以ABE,^CDE的面積比為（AE*￡B）XCExZJE）.同

理有ADE,BCE的面彳只比為（AExDE）:（BExEC）.所以有S—詆x=S=ADExS_BCE，也就是

說在所有凸四邊形中，連接頂點得到2條對角線，有圖形分成上、下、左、右4個部分，有：上、

下部分的面積之積等于左右部分的面積之積.即5-_^*6=5_皿^7,所以有ABE與ADE的面積

比為7:6,S.ABF=-2—/39=21公頃，S..ADE=-￡-X39=18公頃.

6+76+7

顯然，最大的三角形的面積為21公頃.

【答案】21

【例17］如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABC。，被對角線AG2。分成四個部分，AAOB面積為1平方

千米，△BOC面積為2平方千米，△CO。的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6.92平方千

米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？

【考點】任意四邊形模型【難度】2星【題型】解答

【關鍵詞】小數報

【解析】根據蝴蝶定理求得5摻8=3乂1+2=1.5平方千米，公園四邊形ABCO的面積是1+2+3+15=7.5平

方千米，所以人工湖的面積是7.5-6.92=0.58平方千米

【答案】0.58

【例18】一個矩形分成4個不同的三角形（如右圖），綠色三角形面積占矩形面積的15%,黃色三角形的面

積是21平方厘米.問：矩形的面積是多少平方厘米？

【考點】任意四邊形模型【難度】3星【題型】解答

【關鍵詞】華杯賽，初賽，第7題

【解析】黃色三角形與綠色三角形面積之和是矩形面積的50%,而綠色三角形面積占矩形面積的15%,所以

黃色三角形面積占矩形面積的50%—15%=35%已知黃色三角形面積是21平方厘米，所以矩形面

積等于21—35%=60（平方厘米）

【答案】60

【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已知，求：⑴三角形BGC的面

積；（2）AG:GC=?

【考點】任意四邊形模型【難度】2星【題型】解答

x

【解析】⑴根據蝴蝶定理,S.BGC1=2x3,那么S,BGC=6；

⑵根據蝴蝶定理,AG:GC=(l+2):(3+6)=l:3.

【答案】1:3

［例19］四邊形ABCD的對角線AC與交于點0（如圖所示）.如果三角形瓶。的面積等于三角形38的

面積的1,且49=2,DO=3,那么CO的長度是DO的長度的倍.

3

【考點】任意四邊形模型【難度】3星【題型】填空

【解析】在本題中，四邊形ABCD為任意四邊形，對于這種“不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：⑴利用已

知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；⑵通過畫輔助線來改造不良四邊形.看到題目中給出條

件5秒0：5BCD=1：3,這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法?又觀察題目中給出的已

知條件是面積的關系，轉化為邊的關系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改

造這個“不良四邊形”，于是可以作垂直于H,CG垂直8D于G,面積比轉化為高之比.再

應用結論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結果.請老師注意比較兩種解法，使學

生體會到蝴蝶定理的優勢，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題.

解法一：AO:OC=S..:S.=1:3,7OC=2x3=6,7OC:8=6:3=2:1.

ISADBUn/SDBUnCr

解法二：作于H,CG_L3D于G.

.=3M廿--AH=^CG,???SAA8=gsAD℃，AO^CO,：.OC=2x3=6,

：.00:8=6:3=2:1.

【答案】2倍

【例20］如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于。點，△CEF、△OEF、△ODF、△反旭的面積依次是

2、4、4和6.求：⑴求△OCF的面積；⑵求△GCE的面積.

【考點】任意四邊形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】⑴根據題意可知，ABCD的面積為2+4+4+6=16,那么他。。和ACDO的面積都是16+2=8,

所以△&下的面積為8-4=4;

⑵由于均。的面積為8,ABOE的面積為6,所以△OCE的面積為8—6=2,

根據蝴蝶定理，EG:FG=SAC°E：SACOF=2：4=1:2,所以40c石：之叩=叼：/G=1:2,

I12

丹口么SAGCE=Y^S^CEF=§X2=§.

【答案】-

3

【例21】如圖相鄰兩個格點間的距離是1,則圖中陰影三角形的面積為

【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】清華附中，入學測試題

【解析】連接AD、CD、BC.則可根據格點面積公式，可以得到AABC的面積為：1+壯-1=2,AACD的

2

34

面積為：3+/—1=3.5,AABD的面積為：2+萬一1=3.所以：&AS=2：3.5=4:7,

,,4412

所以S^BO=--------x58力=—x3=—.

惻°4+7AA1111

【答案】—

11

【鞏固】如圖，每個小方格的邊長都是1,求三角形ABC的面積.

【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】解答

【解析】因為BD:CE=2:5,且BD〃CE,所以ZM:AC=2:5,S..nr=-^—S,nRr=-x2=—.

【答案】—

7

【例22］如圖，邊長為1的正方形ABCD中，BE=2EC,CF=FD,求三角形AEG的面積.

【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】解答

【關鍵詞】人大附中考題

【解析】連接EF.

因為BE=2EC,CF=FD,所以5AoM=gxgxg)S鉆⑦=gs

因為與^=35^8,根據蝴蝶定理，AG:GF=1：1=6:1,

所以66j_

尸"人SAAGD=6、AGDF=~^MDF=5X^3ABCD二五3ABCD,

1322

所以SMGE=S^AED-S^GD=5SABCD~瓦S舫。。=ABCD

7

7

即三角形AEG的面積是*.

7

【答案】-

7

【例23］如圖，長方形ABCD中，BE:EC=2:3,DF.FC=1:2,三角形“G的面積為2平方厘米，求長

方形ABCD的面積.

【考點】任意四邊形模型

【解析】連接鉆，FE.

3111

因為BE:EC=2:3,DF:FC=1:2,^^S=(-X-X-)5

DEFMCD=-5mcD.

因為S.=：S長方詡sc。，AG-.GF=^=5-.l,所以S4⑺=5S詡=10平方厘米，所以S”0=12平

方厘米.因為S"?=工5長為如所以長方形ABCD的面積是72平方厘米.

U6TXzJ形Ad”

【答案】72

【例24］如圖，已知正方形ABCD的邊長為10厘米,E為AD中點,F為CE中點，G為BF中點,求三

角形BDG的面積.

【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】解答

【解析】設加與CE的交點為O,連接BE、DF.

由蝴蝶定理可知EO：OC=S皿：SBS，而SBED=1sAecD，SBCD=；SABCD，所以

EO:OC=SDBlhELJD：SDHvC^LDJ=1:2,itEO=-EC.

由于尸為CE中點，所以政=^EC,故EO:EF=2:3,FO:EO=1:2.

2

由蝴蝶定理可知SBF。：S“=PO:EO=1:2，所以SBFD=〈s回=!S'

Zo

那么SBeMLsMoMLsABmu'xlOxlOuGZS(平方厘米).

I5KJL)2DrL)]$AoCiJ]$

【答案】6.25

【例25］如圖，在AA5c中，已知Af、N分別在邊AC、BC±,3M與AV相交于O,若AAOAZ、AABO和

ABON的面積分別是3、2、1,則AMZVC的面積是.

【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】填空

【解析】這道題給出的條件較少，需要運用共邊定理和蝴蝶定理來求解.

X

SAAOMXS^BON_31_3

根據蝴蝶定理得S^ON

22

設S2tON=x，根據共邊定理我們可以得

3

3+弓3+2

—2=丁，解得％=22.5.

x,3

^^MNC°AA/BC1H----FX

2

【答案】22.5

【例26】正六邊形AAAAAA的面積是2009平方厘米,旦鳥鳥坊網線分別是正六邊形各邊的中點；那么

圖中陰影六邊形的面積是?平方厘米.

【考點】任意四邊形模型

【關鍵詞】迎春杯，6年級。初賽

【解析】如圖，設線&與耳人的交點為。，則圖中空白部分由6個與刈。4一樣大小的三角形組成，只要求

出了A4OA,的面積，就可以求出空白部分面積，進而求出陰影部分面積.

連接A6A3、B6BI、B6A.

設的烏線的面積為”i“，則反出線面積為"1"，八44線面積為“2“，那么A&A氏面積為MAI的

2倍，為“4"，梯形A4AA的面積為2x2+4x2=12,刈線人的面積為“6"，然&&的面積為2.

12

根據蝴蝶定理，BQ=A3O=Sm):SW6=1:6,故s..=含Z

T

1?1

所以也網：s梯形型2M=亍：12：1：7，即MOA,的面積為梯形A44A面積的］，故為六邊形

113

A4AAAA面積的點，那么空白部分的面積為正六邊形面積的點x6=2,所以陰影部分面積為

2009x(1-1

1148（平方厘米）.

【答案】1148

【例27］如圖，ABC。是一個四邊形，M、N分別是A3、CD的中點.如果△ASM、與ZkOSN的面

積分別是6、7和8,且圖中所有三角形的面積均為整數，則四邊形A3C。的面積為.

c

【考點】任意四邊形模型【難度】5星【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯，高年級組，決賽，12題

【解析】連接MN、AC.BD.

由于Af是AB的中點，所以AAA4N與ABMN的面積相等，而AMTB比AA5M的面積大1,所以AMSN

比AM77V的面積大1;又由于N是CD的中點，所以AOMV的面積與ACMN的面積相等，那么AC刀V

的面積比ADSN的面積大1,所以ACTTV的面積為9.

假設AM7N的面積為“，則AMSN的面積為a+1.根據幾何五大模型中的蝴蝶定理，可知AASD的

面積為MTC的面積為袋.

。+1a

要使這兩個三角形的面積為整數，a可以為1,3或7.

由于AAZW的面積為AABD面積的一半，ABCN的面積為ABCD面積的一半，所以AADM與XBCN

的面積之和為四邊形ABCD面積的一半，所以MDM與ABC7V的面積之和等于四邊形BMDN的面

積，即：

48“63__1。尸4863.

-------F6H------l-n9=7+a+q+l+8,仔-----1----=2a+1?

a+\aa+1a

將。=1、3、7分別代入檢驗，只有。=7時等式成立，所以AM7N的面積為7,AMSN、AASZ）、NBTC

的面積分別為8、6、9.

四邊形ABCD的面積為（6+7+8+9）x2=60.

小結：本題中“且圖中所有三角形的面積均為整數”這個條件是多余的.

【答案】60

【例28］已知ABCD是平行四邊形，BC.CE=3:2,三角形ODE的面積為6平方厘米。則陰影部分的面積

是平方厘米。

【考點】任意四邊形模型【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】學而思杯，6年級，第五題

【解析】連接AC。由于ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2,所以CE:AD=2:3,根據梯形蝴蝶定理，

SCOE：SAOC:SDOE-SAOD=22：2X3:2X3:32=4:6:6:9,所以Saoc=6（平方厘米），SAOD=9（平

方厘米），又5ABe=SAS=6+9=15（平方厘米），陰影部分面積為6+15=21（平方厘米）。

【答案】21

【例29】正方形ABCD邊長為6厘米，AE=-AC,CF=-BCo三角形DEF的面積為平方厘米。

33

【考點】任意四邊形模型【難度