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文檔簡介

對坐標的曲線積分

1.

引例:

變力沿曲線所作的功.設一質點受如下變力作用在

xoy平面內從點A沿光滑曲線弧L移動到點B,

求移“分割”

“取近似”“求和”

“取極限”常力沿直線所作的功本例解決辦法:動過程中變力所作的功W.1)“分割”:2)“取近似”把

L分成

n個小弧段3)“求和”4)“取極限”(其中

為

n

個小弧段的最大長度)

2.定義.設L為xoy

平面內從

A到B

的一條有向光滑弧,向任意插入一點列

把

L

函數

在L

上有界.在L上沿L

的方弧段

上任意取定的點，如果當各小弧段長度的

設

，點

為有向分成n個有向小弧段最大值時，極限總存在，則稱此極限為函數

在有向曲線弧L上對坐標

x

的曲線積分（或第二類曲線積分），記作

即類似地，如果

總存在，則稱此極限稱為函數

在有向曲線弧L上對坐標

y的曲線積分，記作

，即注1：注2：質點受到力

作用，沿平面曲

線L移動所作的功為3.主要性質設

L－

表示

L

的反向弧,則注：對坐標的曲線積分必須注意積分曲線的方向。4.對坐標的曲線積分的計算法定理:在有向曲線弧

L上有定義且L的參數方程為，當參數

t單調地由連續,α變到β時，點M從L的起點沿L運動到終點,,在以α及β為端點的閉區間上具有一階連續導數，且

,則

若L

：,且起點對應

x＝a,終點對應

x＝b（1）則

若L

：,且起點對應

y＝c，終點對應

y＝d（2）則注：例1.計算其中L為沿拋物線解法1取x為參數,則解法2取y為參數,則從點的一段.

例2.計算其中L為(1)半徑為a圓心在原點的上半圓周,方向為逆時針方向;(2)從點A(a,0)沿x軸到點B(–a,0).解:(1)取L的參數方程為(2)取L的方程為則則

例3.計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式

作業P1141(1),(2),(3),(4)2原點O的距離成正比,思考與練習

設一個質點在處受恒指向原點,沿橢圓此質點由點沿逆時針移動到提示:F

的大小與M到原F

的方向力F的作用

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