余姚市2024-2025學(xué)年第一學(xué)期初中期末考試九年級數(shù)學(xué)溫馨提示：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分，滿分120分，考試時間120分鐘．2．所有答案都必須做在答題卷規(guī)定的位置上，務(wù)必注意試題序號和答題序號相對應(yīng)．3．考試期間不能使用計算器．試題卷Ⅰ一、選擇題（每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.拋物線與軸交點坐標是（）A. B. C. D.2.下列事件中，屬于必然事件的是（）A.拋擲一枚硬幣，正面向上B.有一匹馬奔跑的速度是70米/秒C.射擊運動員射擊一次，命中10環(huán)D.在標準大氣壓下，氣溫為時，冰能熔化為水3.一個正多邊形的每個內(nèi)角為120°，則這個正多邊形的邊數(shù)是（）．A.5 B.6 C.7 D.84.如圖，內(nèi)接于，連結(jié)，，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.5.將拋物線向下平移個單位后，得到的圖象經(jīng)過原點，則的值為（）A.5 B.6 C.7 D.86.凸透鏡成像的原理如圖所示，．若物體到焦點的距離與焦點到凸透鏡中心線的距離之比為，則物體被縮小到原來的（）A. B. C. D.7.在中，斜邊，其重心與外心之間的距離為（）A.2 B.3 C.4 D.68.如圖，在中，，，．以點為旋轉(zhuǎn)中心，將按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，點恰好落在邊上，與交于點，則長為（）A. B. C. D.9.二次函數(shù)的圖象與軸的交點為和，且，下列說法中正確的是（）A B. C. D.10.綜合與實踐課上，“矩形折紙”為主題開展了數(shù)學(xué)活動．小寧同學(xué)準備了一張長方形紙片，，，他在邊上取中點，又在邊上任取一點，再將沿折疊得到，連結(jié)，小寧同學(xué)通過多次實踐得到以下結(jié)論：①當點在邊上運動時，點在以為圓心的圓弧上運動；②最大值為24；③的最小值為16；④達到最小值時，．上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個試題卷Ⅱ二、填空題（每小題3分，共18分）11.寫出一個函數(shù)圖象開口向上的二次函數(shù)的解析式______．12.已知，則值是_______．13.一名職業(yè)籃球運動員經(jīng)過大量投籃訓(xùn)練，其投籃命中的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.8附近，由此可估計該運動員投籃200次，命中的次數(shù)約為________次．14.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，其主要思路是局部以直代曲，給出一個比較實用的近似公式．如圖，弧是以O(shè)為圓心，為半徑的圓弧，點C是弦的中點，，D在弧上．“會圓術(shù)”給出弧的弧長的近似值s的計算公式：．當，時，__________．15.定義：由兩條與x軸有相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．已知拋物線與拋物線y2=ax2+bx+c16.如圖，在菱形中，，點在邊上，，連結(jié)交對角線于，點在線段上，連結(jié)，，若，，則________，________．三、解答題（第17~21題各8分，第22、23題各10分，第24題12分，共72分）17.已知二次函數(shù)，在下面的三組條件中選一組，的值，使這個二次函數(shù)圖象與軸有兩個不同的交點．①，；②，；③，．（1）請選出符合條件的一組，的值，求出函數(shù)圖象與軸交點的坐標．（2）求所選二次函數(shù)圖象的頂點坐標．18.不透明的袋子中裝有2個白球、1個黑球，這些球除顏色外無其他差別．（1）從袋子中隨機摸出1個球，摸到白球的概率為_________（2）從袋子中隨機摸出1個球，放回并搖勻，再隨機摸出1個球．用列表或畫樹狀圖的方法，求兩次摸出的球都是白球的概率．19.在的方格紙中，請按下列要求作出格點三角形（頂點均在格點上）．（1）在圖1中作出將以點為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針旋轉(zhuǎn)所得的圖形．（2）在圖2中畫出一個與相似的三角形（相似比不為1）．20.如圖，四邊形為平行四邊形，點在延長線上，連接，且．（1）求證：．（2）若，，求的長．21.近期，動漫形象“奶龍”在網(wǎng)絡(luò)上爆火．某網(wǎng)店銷售一款“奶龍”公仔，每個的進價為20元，在銷售過程中調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當銷售單價為30元時，每周平均可賣出120個．如果調(diào)整銷售單價，每漲價1元，每周平均少賣出4個．若現(xiàn)提價銷售，設(shè)銷售單價提高元，每周的銷售利潤為元．（1）求關(guān)于的函數(shù)表達式，并直接寫出自變量的取值范圍．（2）當銷售單價定為多少時，該網(wǎng)店每周的利潤最大？并求出最大利潤．22.如圖，以的邊為直徑的交邊于點D，交的延長線于點E，且．（1）求證：．（2）若，，求陰影部分的面積．23.已知二次函數(shù)（常數(shù)且）．（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求二次函數(shù)的表達式．（2）若，當時，此二次函數(shù)隨著的增大而減小，求的取值范圍．（3）若二次函數(shù)在時有最小值，求的值．24.如圖，內(nèi)接于，的角平分線交于點，交于點，點在邊上，且．（1）求證：．（2）求證：．（3）若，點是黃金分割點，求的度數(shù)．

余姚市2024-2025學(xué)年第一學(xué)期初中期末考試九年級數(shù)學(xué)溫馨提示：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分，滿分120分，考試時間120分鐘．2．所有答案都必須做在答題卷規(guī)定的位置上，務(wù)必注意試題序號和答題序號相對應(yīng)．3．考試期間不能使用計算器．試題卷Ⅰ一、選擇題（每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.拋物線與軸的交點坐標是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將代入拋物線的方程中求出y的值即可．本題考查二次函數(shù)圖象點的坐標特征，解題的關(guān)鍵將代入拋物線中，本題屬于基礎(chǔ)題型．【詳解】解：將代入，∴，∴拋物線與y軸的交點為，故選：A．2.下列事件中，屬于必然事件是（）A.拋擲一枚硬幣，正面向上B.有一匹馬奔跑的速度是70米/秒C.射擊運動員射擊一次，命中10環(huán)D.在標準大氣壓下，氣溫為時，冰能熔化為水【答案】D【解析】【分析】本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件、必然事件、不可能事件的特點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的特點，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、拋擲一枚硬幣，正面向上，屬于隨機事件，故此選項不符合題意；B、有一匹馬奔跑的速度是70米/秒，屬于隨機事件，故此選項不符合題意；C、射擊運動員射擊一次，命中10環(huán)，屬于隨機事件，故此選項不符合題意；D、在標準大氣壓下，氣溫為2℃時，冰能熔化為水，屬于必然事件，故此選項符合題意．

故選：D

．3.一個正多邊形的每個內(nèi)角為120°，則這個正多邊形的邊數(shù)是（）．A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)內(nèi)角度數(shù)計算出外角度數(shù)，再利用多邊形的外角和定理求解即可．【詳解】解：∵正多邊形的每個內(nèi)角都等于120°，

∴正多邊形的每個外角都等于180°-120°=60°，

又∵多邊形的外角和為360°，∴這個正多邊形的邊數(shù)是360°÷60°=6．

故選：B．【點睛】本題考查多邊形的內(nèi)角與外角，關(guān)鍵是掌握內(nèi)角與外角互為鄰補角．4.如圖，內(nèi)接于，連結(jié)，，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理解答即可．【詳解】解：由圓周角定理得：，∵，∴，故選：D．5.將拋物線向下平移個單位后，得到的圖象經(jīng)過原點，則的值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，掌握“上加下減”是解題的關(guān)鍵．先得到平移后的解析式為，再將原點坐標代入即可求解．詳解】解：∵將拋物線向下平移個單位∴平移后的解析式為：，∵得到的圖象經(jīng)過原點，∴，解得：，故選：C．6.凸透鏡成像的原理如圖所示，．若物體到焦點的距離與焦點到凸透鏡中心線的距離之比為，則物體被縮小到原來的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先證出四邊形為矩形，得到，再根據(jù)，求出，從而得到物體被縮小到原來的幾分之幾．【詳解】解：∵，，，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，即∴物體被縮小到原來的．故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，從實際問題中找到相似三角形并利用相似三角形的性質(zhì)進行解答是解題的關(guān)鍵．7.在中，斜邊，其重心與外心之間的距離為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形的重心和三角形的外心．掌握直角三角形的外心是斜邊的中點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形的外心是斜邊的中點和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可求出，再根據(jù)重心的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，點D為外心，點O為重心，∵直角三角形的外心是斜邊的中點，，∵點O為的重心，，重心與外心之間的距離為3．故選B．8.如圖，在中，，，．以點為旋轉(zhuǎn)中心，將按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，點恰好落在邊上，與交于點，則長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】證明是等邊三角形，如圖，過作于，可得，，求解，可得，證明，再進一步求解即可．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得，，，，∴是等邊三角形，∴，∴，如圖，過作于，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；故選：C．【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵．9.二次函數(shù)的圖象與軸的交點為和，且，下列說法中正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與軸的交點為和，且，可得對稱軸直線，從而得出；根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點，從而得出，可得出1>4ac；根據(jù)，，得出時，，從而得出；當時和時兩種情況可以判斷D．本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，拋物線與x軸的交點，能夠從函數(shù)圖象獲取信息，結(jié)合函數(shù)解析式、判別式、對稱軸的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與軸的交點為和，且，∴，，∴，故A錯誤；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴，即1>4ac，故B錯誤；∵，，∴當時，，即，∴，故C正確；當時，4a-2+c>0，即；當時，，即；故D錯誤．故選：C．10.綜合與實踐課上，“矩形折紙”為主題開展了數(shù)學(xué)活動．小寧同學(xué)準備了一張長方形紙片，，，他在邊上取中點，又在邊上任取一點，再將沿折疊得到，連結(jié)，小寧同學(xué)通過多次實踐得到以下結(jié)論：①當點在邊上運動時，點在以為圓心的圓弧上運動；②的最大值為24；③的最小值為16；④達到最小值時，．上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），勾股定理．根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)圓的定義得到點在以N為圓心，為半徑的圓上，故①正確；連接，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到，，結(jié)合點M在上，判斷②③正確；根據(jù)勾股定理即可判斷④正確．【詳解】解：如圖1，連接，∵將沿折疊得到，∴，∵點N為的中點，，．∴當點M在邊上運動時，點在以N為圓心的圓弧上運動，故①正確；在中，，∵，∴，∴的最小值為16，故③正確；∵，且M在上，∴，∴的最大值為24，故②正確；如圖2，當共線時，的值最小，最小為；∴，設(shè)，則，，在直角三角形中，由勾股定理得：，∴，解得：，即，故④正確，綜上，結(jié)論中正確的個數(shù)4個，故選：D．試題卷Ⅱ二、填空題（每小題3分，共18分）11.寫出一個函數(shù)圖象開口向上的二次函數(shù)的解析式______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象，根據(jù)，拋物線開口向上即可求解，掌握二次函數(shù)圖象的特征是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵時，拋物線開口向上，∴函數(shù)圖象開口向上的二次函數(shù)的解析式可以為，故答案為：．12.已知，則值是_______．【答案】【解析】【分析】此題考查了比例的性質(zhì)．根據(jù)比例的性質(zhì)，由，設(shè)，代入代數(shù)式，即可求得出答案．【詳解】解：∵，設(shè)，∴，故答案為：．13.一名職業(yè)籃球運動員經(jīng)過大量投籃訓(xùn)練，其投籃命中的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.8附近，由此可估計該運動員投籃200次，命中的次數(shù)約為________次．【答案】160【解析】【分析】本題主要考查了利用頻率估計概率的知識．根據(jù)投籃命中的頻率乘以總次數(shù)即可得出答案．【詳解】解：由投籃命中頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.8附近，∴投中的次數(shù)約為：（次），故答案為：160．14.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，其主要思路是局部以直代曲，給出一個比較實用的近似公式．如圖，弧是以O(shè)為圓心，為半徑的圓弧，點C是弦的中點，，D在弧上．“會圓術(shù)”給出弧的弧長的近似值s的計算公式：．當，時，__________．【答案】【解析】【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等．根據(jù)題意連接，繼而得，設(shè)圓的半徑為r，則，再利用勾股定理即可得到本題答案．【詳解】解：連接，如圖：，是的弦中點，，，，D，O共線，，，設(shè)圓的半徑為r，則，在中，根據(jù)勾股定理，得，即，解得，，．故答案為：．15.定義：由兩條與x軸有相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．已知拋物線與拋物線組成一個如圖所示的“月牙線”，則________．【答案】【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)與軸交點問題，涉及新定義，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解“月牙線”的概念．求出拋物線與軸交點為和，代入求得，據(jù)此求解即可．【詳解】在中，令得解得或，拋物線與軸交點為和，把和代入得：，解得，∴．故答案為：．16.如圖，在菱形中，，點在邊上，，連結(jié)交對角線于，點在線段上，連結(jié)，，若，，則________，________．【答案】①.3②.【解析】【分析】證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出；過P作交于G，證明，可得到，則，以及，設(shè)，則，，，證明，可求出，過D作于M，則，根據(jù)正弦和余弦定義求出，，則，在中，根據(jù)勾股定理可得出，解方程求出或（此時，故舍去），然后整體代入求解即可．【詳解】解：在菱形中，，∴，，∴，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，，過P作交于點G，∴，∴，又，∴，又，∴，∴，∴，，設(shè)，則，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，過D作于M，則，∴，，∴，在中，，∴，整理得，解得或（此時，故舍去）∴，故答案為：3；．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、因式分解法解一元二次方程等知識，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（第17~21題各8分，第22、23題各10分，第24題12分，共72分）17.已知二次函數(shù)，在下面的三組條件中選一組，的值，使這個二次函數(shù)圖象與軸有兩個不同的交點．①，；②，；③，．（1）請選出符合條件的一組，的值，求出函數(shù)圖象與軸交點的坐標．（2）求所選二次函數(shù)圖象的頂點坐標．【答案】（1）符合條件的為②，函數(shù)圖象與軸的兩個交點坐標為，（2）函數(shù)圖象的頂點坐標為【解析】【分析】本題考查了拋物線與軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)．（1）利用根的判別式的意義得到，再分別對三組數(shù)據(jù)進行判斷，從而確定，；再求函數(shù)圖象與軸交點的坐標即可，（2）把一般式配成頂點式得到此時拋物線頂點坐標．【小問1詳解】解：二次函數(shù)圖象與軸有兩個不同的交點，∴，當，時，，不合題意；當，時，，符合題意；當，時，，不合題意；則符合條件的為②，此時函數(shù)表達式為．令，解得．函數(shù)圖象與軸的兩個交點坐標為，．【小問2詳解】，函數(shù)圖象的頂點坐標為．18.不透明的袋子中裝有2個白球、1個黑球，這些球除顏色外無其他差別．（1）從袋子中隨機摸出1個球，摸到白球的概率為_________（2）從袋子中隨機摸出1個球，放回并搖勻，再隨機摸出1個球．用列表或畫樹狀圖的方法，求兩次摸出的球都是白球的概率．【答案】（1）（2）兩次摸出的球都是白球的概率為【解析】【分析】（1）根據(jù)概率公式可直接進行求解；（2）根據(jù)列表法可進行求解概率．【小問1詳解】解：由題意可得摸到白球的概率為；故答案為；【小問2詳解】解：由題意可列表如下：白1白2黑白1√√

白2√√

黑

∴兩次摸出球的情況總共有9種，其中兩次摸出的球都是白球有4種情況，∴兩次摸出的球都是白球的概率為．【點睛】本題主要考查概率，熟練掌握利用列表法進行求解概率是解題的關(guān)鍵．19.在的方格紙中，請按下列要求作出格點三角形（頂點均在格點上）．（1）在圖1中作出將以點為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針旋轉(zhuǎn)所得的圖形．（2）在圖2中畫出一個與相似的三角形（相似比不為1）．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查作圖相似變換，旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是掌握相似變換、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)．（1）根據(jù)要求作出圖形；（2）為底邊為2，高為2的等腰三角形，因此可以利用格點構(gòu)造一個底邊為4，高為4的等腰三角形，此時相似比為2．【小問1詳解】解：如圖，為所求作的三角形．【小問2詳解】解：如圖，為所求作的三角形．20.如圖，四邊形為平行四邊形，點在延長線上，連接，且．（1）求證：．（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，推導(dǎo)出，進而證明是解題的關(guān)鍵．（1）由平行四邊形的性質(zhì)得，因為，所以，而，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明；（2）由相似三角形的性質(zhì)得，根據(jù)相似的性質(zhì)即可解答．【小問1詳解】證明：四邊形為平行四邊形，，，，，；【小問2詳解】解：，，，，，的長是.21.近期，動漫形象“奶龍”在網(wǎng)絡(luò)上爆火．某網(wǎng)店銷售一款“奶龍”公仔，每個的進價為20元，在銷售過程中調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當銷售單價為30元時，每周平均可賣出120個．如果調(diào)整銷售單價，每漲價1元，每周平均少賣出4個．若現(xiàn)提價銷售，設(shè)銷售單價提高元，每周的銷售利潤為元．（1）求關(guān)于的函數(shù)表達式，并直接寫出自變量的取值范圍．（2）當銷售單價定為多少時，該網(wǎng)店每周的利潤最大？并求出最大利潤．【答案】（1）（2）當銷售單價定為40元時，每周利潤最大為1600元【解析】【分析】（1）設(shè)銷售單價提高x元，則每組銷售量為個，單個公仔利潤為元，根據(jù)題意列出式子即可；（2）函數(shù)開口向下，存在最大值，根據(jù)頂點表示的含義進行計算即可求解．該題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，正確進行計算是解題關(guān)鍵．【小問1詳解】解：設(shè)銷售單價提高x元，則每組銷售量為個，單個公仔利潤為元．∴每組銷售利潤．∵售量不能為負，∴．答：；【小問2詳解】函數(shù)，開口方向向下，對稱軸為故時，利潤最大，最大利潤，此時銷售單價為元．當銷售單價定為40元時，每周利潤最大為1600元．22.如圖，以的邊為直徑的交邊于點D，交的延長線于點E，且．（1）求證：．（2）若，，求陰影部分的面積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題考查圓周角定理，扇形的面積公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理及推論和扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵，（1）連接，利用圓周角定理可得，，從而可推出，證得為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得；（2）連接、，由圓周角定理的推論可得，從得到，，再根據(jù)（1）中等腰三角形的性質(zhì)可得，利用三角形外角的性質(zhì)得，進而可證得是等邊三角形，故可得，再利用代入即可算出陰影部分的面積．【小問1詳解】證明：連接，是的直徑，，