余姚市2024-2025學年第一學期初中期末考試九年級數學溫馨提示：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分，滿分120分，考試時間120分鐘．2．所有答案都必須做在答題卷規定的位置上，務必注意試題序號和答題序號相對應．3．考試期間不能使用計算器．試題卷Ⅰ一、選擇題（每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.拋物線與軸交點坐標是（）A. B. C. D.2.下列事件中，屬于必然事件的是（）A.拋擲一枚硬幣，正面向上B.有一匹馬奔跑的速度是70米/秒C.射擊運動員射擊一次，命中10環D.在標準大氣壓下，氣溫為時，冰能熔化為水3.一個正多邊形的每個內角為120°，則這個正多邊形的邊數是（）．A.5 B.6 C.7 D.84.如圖，內接于，連結，，若，則的度數為（）A. B. C. D.5.將拋物線向下平移個單位后，得到的圖象經過原點，則的值為（）A.5 B.6 C.7 D.86.凸透鏡成像的原理如圖所示，．若物體到焦點的距離與焦點到凸透鏡中心線的距離之比為，則物體被縮小到原來的（）A. B. C. D.7.在中，斜邊，其重心與外心之間的距離為（）A.2 B.3 C.4 D.68.如圖，在中，，，．以點為旋轉中心，將按逆時針方向旋轉，得到，點恰好落在邊上，與交于點，則長為（）A. B. C. D.9.二次函數的圖象與軸的交點為和，且，下列說法中正確的是（）A B. C. D.10.綜合與實踐課上，“矩形折紙”為主題開展了數學活動．小寧同學準備了一張長方形紙片，，，他在邊上取中點，又在邊上任取一點，再將沿折疊得到，連結，小寧同學通過多次實踐得到以下結論：①當點在邊上運動時，點在以為圓心的圓弧上運動；②最大值為24；③的最小值為16；④達到最小值時，．上述結論中正確的個數是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個試題卷Ⅱ二、填空題（每小題3分，共18分）11.寫出一個函數圖象開口向上的二次函數的解析式______．12.已知，則值是_______．13.一名職業籃球運動員經過大量投籃訓練，其投籃命中的頻率穩定在常數0.8附近，由此可估計該運動員投籃200次，命中的次數約為________次．14.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，其主要思路是局部以直代曲，給出一個比較實用的近似公式．如圖，弧是以O為圓心，為半徑的圓弧，點C是弦的中點，，D在弧上．“會圓術”給出弧的弧長的近似值s的計算公式：．當，時，__________．15.定義：由兩條與x軸有相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．已知拋物線與拋物線y2=ax2+bx+c16.如圖，在菱形中，，點在邊上，，連結交對角線于，點在線段上，連結，，若，，則________，________．三、解答題（第17~21題各8分，第22、23題各10分，第24題12分，共72分）17.已知二次函數，在下面的三組條件中選一組，的值，使這個二次函數圖象與軸有兩個不同的交點．①，；②，；③，．（1）請選出符合條件的一組，的值，求出函數圖象與軸交點的坐標．（2）求所選二次函數圖象的頂點坐標．18.不透明的袋子中裝有2個白球、1個黑球，這些球除顏色外無其他差別．（1）從袋子中隨機摸出1個球，摸到白球的概率為_________（2）從袋子中隨機摸出1個球，放回并搖勻，再隨機摸出1個球．用列表或畫樹狀圖的方法，求兩次摸出的球都是白球的概率．19.在的方格紙中，請按下列要求作出格點三角形（頂點均在格點上）．（1）在圖1中作出將以點為旋轉中心，按順時針旋轉所得的圖形．（2）在圖2中畫出一個與相似的三角形（相似比不為1）．20.如圖，四邊形為平行四邊形，點在延長線上，連接，且．（1）求證：．（2）若，，求的長．21.近期，動漫形象“奶龍”在網絡上爆火．某網店銷售一款“奶龍”公仔，每個的進價為20元，在銷售過程中調查發現，當銷售單價為30元時，每周平均可賣出120個．如果調整銷售單價，每漲價1元，每周平均少賣出4個．若現提價銷售，設銷售單價提高元，每周的銷售利潤為元．（1）求關于的函數表達式，并直接寫出自變量的取值范圍．（2）當銷售單價定為多少時，該網店每周的利潤最大？并求出最大利潤．22.如圖，以的邊為直徑的交邊于點D，交的延長線于點E，且．（1）求證：．（2）若，，求陰影部分的面積．23.已知二次函數（常數且）．（1）若二次函數的圖象經過點，求二次函數的表達式．（2）若，當時，此二次函數隨著的增大而減小，求的取值范圍．（3）若二次函數在時有最小值，求的值．24.如圖，內接于，的角平分線交于點，交于點，點在邊上，且．（1）求證：．（2）求證：．（3）若，點是黃金分割點，求的度數．

余姚市2024-2025學年第一學期初中期末考試九年級數學溫馨提示：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分，滿分120分，考試時間120分鐘．2．所有答案都必須做在答題卷規定的位置上，務必注意試題序號和答題序號相對應．3．考試期間不能使用計算器．試題卷Ⅰ一、選擇題（每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.拋物線與軸的交點坐標是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將代入拋物線的方程中求出y的值即可．本題考查二次函數圖象點的坐標特征，解題的關鍵將代入拋物線中，本題屬于基礎題型．【詳解】解：將代入，∴，∴拋物線與y軸的交點為，故選：A．2.下列事件中，屬于必然事件是（）A.拋擲一枚硬幣，正面向上B.有一匹馬奔跑的速度是70米/秒C.射擊運動員射擊一次，命中10環D.在標準大氣壓下，氣溫為時，冰能熔化為水【答案】D【解析】【分析】本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件、必然事件、不可能事件的特點是解題的關鍵．根據隨機事件，必然事件，不可能事件的特點，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、拋擲一枚硬幣，正面向上，屬于隨機事件，故此選項不符合題意；B、有一匹馬奔跑的速度是70米/秒，屬于隨機事件，故此選項不符合題意；C、射擊運動員射擊一次，命中10環，屬于隨機事件，故此選項不符合題意；D、在標準大氣壓下，氣溫為2℃時，冰能熔化為水，屬于必然事件，故此選項符合題意．

故選：D

．3.一個正多邊形的每個內角為120°，則這個正多邊形的邊數是（）．A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】根據內角度數計算出外角度數，再利用多邊形的外角和定理求解即可．【詳解】解：∵正多邊形的每個內角都等于120°，

∴正多邊形的每個外角都等于180°-120°=60°，

又∵多邊形的外角和為360°，∴這個正多邊形的邊數是360°÷60°=6．

故選：B．【點睛】本題考查多邊形的內角與外角，關鍵是掌握內角與外角互為鄰補角．4.如圖，內接于，連結，，若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關鍵．根據圓周角定理解答即可．【詳解】解：由圓周角定理得：，∵，∴，故選：D．5.將拋物線向下平移個單位后，得到的圖象經過原點，則的值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數圖象的平移，掌握“上加下減”是解題的關鍵．先得到平移后的解析式為，再將原點坐標代入即可求解．詳解】解：∵將拋物線向下平移個單位∴平移后的解析式為：，∵得到的圖象經過原點，∴，解得：，故選：C．6.凸透鏡成像的原理如圖所示，．若物體到焦點的距離與焦點到凸透鏡中心線的距離之比為，則物體被縮小到原來的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先證出四邊形為矩形，得到，再根據，求出，從而得到物體被縮小到原來的幾分之幾．【詳解】解：∵，，，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，即∴物體被縮小到原來的．故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的應用，從實際問題中找到相似三角形并利用相似三角形的性質進行解答是解題的關鍵．7.在中，斜邊，其重心與外心之間的距離為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了直角三角形的性質，三角形的重心和三角形的外心．掌握直角三角形的外心是斜邊的中點是解題的關鍵．根據直角三角形的外心是斜邊的中點和直角三角形斜邊中線的性質可求出，再根據重心的性質求解即可．【詳解】解：如圖，點D為外心，點O為重心，∵直角三角形的外心是斜邊的中點，，∵點O為的重心，，重心與外心之間的距離為3．故選B．8.如圖，在中，，，．以點為旋轉中心，將按逆時針方向旋轉，得到，點恰好落在邊上，與交于點，則長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】證明是等邊三角形，如圖，過作于，可得，，求解，可得，證明，再進一步求解即可．【詳解】解：由旋轉得，，，，∴是等邊三角形，∴，∴，如圖，過作于，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；故選：C．【點睛】此題考查旋轉的性質，等邊三角形的判定及性質，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質，證明是解本題的關鍵．9.二次函數的圖象與軸的交點為和，且，下列說法中正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據二次函數的圖象與軸的交點為和，且，可得對稱軸直線，從而得出；根據拋物線與x軸有兩個交點，從而得出，可得出1>4ac；根據，，得出時，，從而得出；當時和時兩種情況可以判斷D．本題考查二次函數的圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，拋物線與x軸的交點，能夠從函數圖象獲取信息，結合函數解析式、判別式、對稱軸的性質解題是關鍵．【詳解】解：∵二次函數的圖象與軸的交點為和，且，∴，，∴，故A錯誤；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴，即1>4ac，故B錯誤；∵，，∴當時，，即，∴，故C正確；當時，4a-2+c>0，即；當時，，即；故D錯誤．故選：C．10.綜合與實踐課上，“矩形折紙”為主題開展了數學活動．小寧同學準備了一張長方形紙片，，，他在邊上取中點，又在邊上任取一點，再將沿折疊得到，連結，小寧同學通過多次實踐得到以下結論：①當點在邊上運動時，點在以為圓心的圓弧上運動；②的最大值為24；③的最小值為16；④達到最小值時，．上述結論中正確的個數是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】本題考查了矩形的性質，翻折變換（折疊問題），勾股定理．根據折疊的性質得到，根據圓的定義得到點在以N為圓心，為半徑的圓上，故①正確；連接，根據勾股定理得到，根據三角形的三邊關系得到，，結合點M在上，判斷②③正確；根據勾股定理即可判斷④正確．【詳解】解：如圖1，連接，∵將沿折疊得到，∴，∵點N為的中點，，．∴當點M在邊上運動時，點在以N為圓心的圓弧上運動，故①正確；在中，，∵，∴，∴的最小值為16，故③正確；∵，且M在上，∴，∴的最大值為24，故②正確；如圖2，當共線時，的值最小，最小為；∴，設，則，，在直角三角形中，由勾股定理得：，∴，解得：，即，故④正確，綜上，結論中正確的個數4個，故選：D．試題卷Ⅱ二、填空題（每小題3分，共18分）11.寫出一個函數圖象開口向上的二次函數的解析式______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了二次函數的圖象，根據，拋物線開口向上即可求解，掌握二次函數圖象的特征是解題的關鍵．【詳解】解：∵時，拋物線開口向上，∴函數圖象開口向上的二次函數的解析式可以為，故答案為：．12.已知，則值是_______．【答案】【解析】【分析】此題考查了比例的性質．根據比例的性質，由，設，代入代數式，即可求得出答案．【詳解】解：∵，設，∴，故答案為：．13.一名職業籃球運動員經過大量投籃訓練，其投籃命中的頻率穩定在常數0.8附近，由此可估計該運動員投籃200次，命中的次數約為________次．【答案】160【解析】【分析】本題主要考查了利用頻率估計概率的知識．根據投籃命中的頻率乘以總次數即可得出答案．【詳解】解：由投籃命中頻率穩定在常數0.8附近，∴投中的次數約為：（次），故答案為：160．14.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，其主要思路是局部以直代曲，給出一個比較實用的近似公式．如圖，弧是以O為圓心，為半徑的圓弧，點C是弦的中點，，D在弧上．“會圓術”給出弧的弧長的近似值s的計算公式：．當，時，__________．【答案】【解析】【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等．根據題意連接，繼而得，設圓的半徑為r，則，再利用勾股定理即可得到本題答案．【詳解】解：連接，如圖：，是的弦中點，，，，D，O共線，，，設圓的半徑為r，則，在中，根據勾股定理，得，即，解得，，．故答案為：．15.定義：由兩條與x軸有相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．已知拋物線與拋物線組成一個如圖所示的“月牙線”，則________．【答案】【解析】【分析】本題考查二次函數與軸交點問題，涉及新定義，二次函數的性質等知識，解題的關鍵是讀懂題意，理解“月牙線”的概念．求出拋物線與軸交點為和，代入求得，據此求解即可．【詳解】在中，令得解得或，拋物線與軸交點為和，把和代入得：，解得，∴．故答案為：．16.如圖，在菱形中，，點在邊上，，連結交對角線于，點在線段上，連結，，若，，則________，________．【答案】①.3②.【解析】【分析】證明，根據相似三角形的性質即可求出；過P作交于G，證明，可得到，則，以及，設，則，，，證明，可求出，過D作于M，則，根據正弦和余弦定義求出，，則，在中，根據勾股定理可得出，解方程求出或（此時，故舍去），然后整體代入求解即可．【詳解】解：在菱形中，，∴，，∴，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，，過P作交于點G，∴，∴，又，∴，又，∴，∴，∴，，設，則，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，過D作于M，則，∴，，∴，在中，，∴，整理得，解得或（此時，故舍去）∴，故答案為：3；．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質、菱形的性質、解直角三角形、勾股定理、因式分解法解一元二次方程等知識，明確題意，添加合適輔助線，構造相似三角形是解題的關鍵．三、解答題（第17~21題各8分，第22、23題各10分，第24題12分，共72分）17.已知二次函數，在下面的三組條件中選一組，的值，使這個二次函數圖象與軸有兩個不同的交點．①，；②，；③，．（1）請選出符合條件的一組，的值，求出函數圖象與軸交點的坐標．（2）求所選二次函數圖象的頂點坐標．【答案】（1）符合條件的為②，函數圖象與軸的兩個交點坐標為，（2）函數圖象的頂點坐標為【解析】【分析】本題考查了拋物線與軸的交點，二次函數的性質．（1）利用根的判別式的意義得到，再分別對三組數據進行判斷，從而確定，；再求函數圖象與軸交點的坐標即可，（2）把一般式配成頂點式得到此時拋物線頂點坐標．【小問1詳解】解：二次函數圖象與軸有兩個不同的交點，∴，當，時，，不合題意；當，時，，符合題意；當，時，，不合題意；則符合條件的為②，此時函數表達式為．令，解得．函數圖象與軸的兩個交點坐標為，．【小問2詳解】，函數圖象的頂點坐標為．18.不透明的袋子中裝有2個白球、1個黑球，這些球除顏色外無其他差別．（1）從袋子中隨機摸出1個球，摸到白球的概率為_________（2）從袋子中隨機摸出1個球，放回并搖勻，再隨機摸出1個球．用列表或畫樹狀圖的方法，求兩次摸出的球都是白球的概率．【答案】（1）（2）兩次摸出的球都是白球的概率為【解析】【分析】（1）根據概率公式可直接進行求解；（2）根據列表法可進行求解概率．【小問1詳解】解：由題意可得摸到白球的概率為；故答案為；【小問2詳解】解：由題意可列表如下：白1白2黑白1√√

白2√√

黑

∴兩次摸出球的情況總共有9種，其中兩次摸出的球都是白球有4種情況，∴兩次摸出的球都是白球的概率為．【點睛】本題主要考查概率，熟練掌握利用列表法進行求解概率是解題的關鍵．19.在的方格紙中，請按下列要求作出格點三角形（頂點均在格點上）．（1）在圖1中作出將以點為旋轉中心，按順時針旋轉所得的圖形．（2）在圖2中畫出一個與相似的三角形（相似比不為1）．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查作圖相似變換，旋轉變換等知識，解題的關鍵是掌握相似變換、旋轉變換的性質．（1）根據要求作出圖形；（2）為底邊為2，高為2的等腰三角形，因此可以利用格點構造一個底邊為4，高為4的等腰三角形，此時相似比為2．【小問1詳解】解：如圖，為所求作的三角形．【小問2詳解】解：如圖，為所求作的三角形．20.如圖，四邊形為平行四邊形，點在延長線上，連接，且．（1）求證：．（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】此題重點考查平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質等知識，推導出，進而證明是解題的關鍵．（1）由平行四邊形的性質得，因為，所以，而，即可根據“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明；（2）由相似三角形的性質得，根據相似的性質即可解答．【小問1詳解】證明：四邊形為平行四邊形，，，，，；【小問2詳解】解：，，，，，的長是.21.近期，動漫形象“奶龍”在網絡上爆火．某網店銷售一款“奶龍”公仔，每個的進價為20元，在銷售過程中調查發現，當銷售單價為30元時，每周平均可賣出120個．如果調整銷售單價，每漲價1元，每周平均少賣出4個．若現提價銷售，設銷售單價提高元，每周的銷售利潤為元．（1）求關于的函數表達式，并直接寫出自變量的取值范圍．（2）當銷售單價定為多少時，該網店每周的利潤最大？并求出最大利潤．【答案】（1）（2）當銷售單價定為40元時，每周利潤最大為1600元【解析】【分析】（1）設銷售單價提高x元，則每組銷售量為個，單個公仔利潤為元，根據題意列出式子即可；（2）函數開口向下，存在最大值，根據頂點表示的含義進行計算即可求解．該題主要考查二次函數的應用，正確進行計算是解題關鍵．【小問1詳解】解：設銷售單價提高x元，則每組銷售量為個，單個公仔利潤為元．∴每組銷售利潤．∵售量不能為負，∴．答：；【小問2詳解】函數，開口方向向下，對稱軸為故時，利潤最大，最大利潤，此時銷售單價為元．當銷售單價定為40元時，每周利潤最大為1600元．22.如圖，以的邊為直徑的交邊于點D，交的延長線于點E，且．（1）求證：．（2）若，，求陰影部分的面積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題考查圓周角定理，扇形的面積公式，等邊三角形的判定與性質，熟練掌握圓周角定理及推論和扇形的面積公式是解題的關鍵，（1）連接，利用圓周角定理可得，，從而可推出，證得為等腰三角形，根據等腰三角形“三線合一”的性質可得；（2）連接、，由圓周角定理的推論可得，從得到，，再根據（1）中等腰三角形的性質可得，利用三角形外角的性質得，進而可證得是等邊三角形，故可得，再利用代入即可算出陰影部分的面積．【小問1詳解】證明：連接，是的直徑，，