浙江省余姚市2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級數(shù)學(xué)期末考試卷(原卷版+解析版)_第1頁
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余姚市2024-2025學(xué)年第一學(xué)期初中期末考試九年級數(shù)學(xué)溫馨提示:1.本試卷分試題卷和答題卷兩部分,滿分120分,考試時間120分鐘.2.所有答案都必須做在答題卷規(guī)定的位置上,務(wù)必注意試題序號和答題序號相對應(yīng).3.考試期間不能使用計算器.試題卷Ⅰ一、選擇題(每小題3分,共30分,在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求)1.拋物線與軸交點坐標是()A. B. C. D.2.下列事件中,屬于必然事件的是()A.拋擲一枚硬幣,正面向上B.有一匹馬奔跑的速度是70米/秒C.射擊運動員射擊一次,命中10環(huán)D.在標準大氣壓下,氣溫為時,冰能熔化為水3.一個正多邊形的每個內(nèi)角為120°,則這個正多邊形的邊數(shù)是().A.5 B.6 C.7 D.84.如圖,內(nèi)接于,連結(jié),,若,則的度數(shù)為()A. B. C. D.5.將拋物線向下平移個單位后,得到的圖象經(jīng)過原點,則的值為()A.5 B.6 C.7 D.86.凸透鏡成像的原理如圖所示,.若物體到焦點的距離與焦點到凸透鏡中心線的距離之比為,則物體被縮小到原來的()A. B. C. D.7.在中,斜邊,其重心與外心之間的距離為()A.2 B.3 C.4 D.68.如圖,在中,,,.以點為旋轉(zhuǎn)中心,將按逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到,點恰好落在邊上,與交于點,則長為()A. B. C. D.9.二次函數(shù)的圖象與軸的交點為和,且,下列說法中正確的是()A B. C. D.10.綜合與實踐課上,“矩形折紙”為主題開展了數(shù)學(xué)活動.小寧同學(xué)準備了一張長方形紙片,,,他在邊上取中點,又在邊上任取一點,再將沿折疊得到,連結(jié),小寧同學(xué)通過多次實踐得到以下結(jié)論:①當點在邊上運動時,點在以為圓心的圓弧上運動;②最大值為24;③的最小值為16;④達到最小值時,.上述結(jié)論中正確的個數(shù)是()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個試題卷Ⅱ二、填空題(每小題3分,共18分)11.寫出一個函數(shù)圖象開口向上的二次函數(shù)的解析式______.12.已知,則值是_______.13.一名職業(yè)籃球運動員經(jīng)過大量投籃訓(xùn)練,其投籃命中的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.8附近,由此可估計該運動員投籃200次,命中的次數(shù)約為________次.14.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作,其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”,其主要思路是局部以直代曲,給出一個比較實用的近似公式.如圖,弧是以O(shè)為圓心,為半徑的圓弧,點C是弦的中點,,D在弧上.“會圓術(shù)”給出弧的弧長的近似值s的計算公式:.當,時,__________.15.定義:由兩條與x軸有相同的交點,并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”.已知拋物線與拋物線y2=ax2+bx+c16.如圖,在菱形中,,點在邊上,,連結(jié)交對角線于,點在線段上,連結(jié),,若,,則________,________.三、解答題(第17~21題各8分,第22、23題各10分,第24題12分,共72分)17.已知二次函數(shù),在下面的三組條件中選一組,的值,使這個二次函數(shù)圖象與軸有兩個不同的交點.①,;②,;③,.(1)請選出符合條件的一組,的值,求出函數(shù)圖象與軸交點的坐標.(2)求所選二次函數(shù)圖象的頂點坐標.18.不透明的袋子中裝有2個白球、1個黑球,這些球除顏色外無其他差別.(1)從袋子中隨機摸出1個球,摸到白球的概率為_________(2)從袋子中隨機摸出1個球,放回并搖勻,再隨機摸出1個球.用列表或畫樹狀圖的方法,求兩次摸出的球都是白球的概率.19.在的方格紙中,請按下列要求作出格點三角形(頂點均在格點上).(1)在圖1中作出將以點為旋轉(zhuǎn)中心,按順時針旋轉(zhuǎn)所得的圖形.(2)在圖2中畫出一個與相似的三角形(相似比不為1).20.如圖,四邊形為平行四邊形,點在延長線上,連接,且.(1)求證:.(2)若,,求的長.21.近期,動漫形象“奶龍”在網(wǎng)絡(luò)上爆火.某網(wǎng)店銷售一款“奶龍”公仔,每個的進價為20元,在銷售過程中調(diào)查發(fā)現(xiàn),當銷售單價為30元時,每周平均可賣出120個.如果調(diào)整銷售單價,每漲價1元,每周平均少賣出4個.若現(xiàn)提價銷售,設(shè)銷售單價提高元,每周的銷售利潤為元.(1)求關(guān)于的函數(shù)表達式,并直接寫出自變量的取值范圍.(2)當銷售單價定為多少時,該網(wǎng)店每周的利潤最大?并求出最大利潤.22.如圖,以的邊為直徑的交邊于點D,交的延長線于點E,且.(1)求證:.(2)若,,求陰影部分的面積.23.已知二次函數(shù)(常數(shù)且).(1)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,求二次函數(shù)的表達式.(2)若,當時,此二次函數(shù)隨著的增大而減小,求的取值范圍.(3)若二次函數(shù)在時有最小值,求的值.24.如圖,內(nèi)接于,的角平分線交于點,交于點,點在邊上,且.(1)求證:.(2)求證:.(3)若,點是黃金分割點,求的度數(shù).

余姚市2024-2025學(xué)年第一學(xué)期初中期末考試九年級數(shù)學(xué)溫馨提示:1.本試卷分試題卷和答題卷兩部分,滿分120分,考試時間120分鐘.2.所有答案都必須做在答題卷規(guī)定的位置上,務(wù)必注意試題序號和答題序號相對應(yīng).3.考試期間不能使用計算器.試題卷Ⅰ一、選擇題(每小題3分,共30分,在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求)1.拋物線與軸的交點坐標是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將代入拋物線的方程中求出y的值即可.本題考查二次函數(shù)圖象點的坐標特征,解題的關(guān)鍵將代入拋物線中,本題屬于基礎(chǔ)題型.【詳解】解:將代入,∴,∴拋物線與y軸的交點為,故選:A.2.下列事件中,屬于必然事件是()A.拋擲一枚硬幣,正面向上B.有一匹馬奔跑的速度是70米/秒C.射擊運動員射擊一次,命中10環(huán)D.在標準大氣壓下,氣溫為時,冰能熔化為水【答案】D【解析】【分析】本題考查了隨機事件,熟練掌握隨機事件、必然事件、不可能事件的特點是解題的關(guān)鍵.根據(jù)隨機事件,必然事件,不可能事件的特點,逐一判斷即可解答.【詳解】解:A、拋擲一枚硬幣,正面向上,屬于隨機事件,故此選項不符合題意;B、有一匹馬奔跑的速度是70米/秒,屬于隨機事件,故此選項不符合題意;C、射擊運動員射擊一次,命中10環(huán),屬于隨機事件,故此選項不符合題意;D、在標準大氣壓下,氣溫為2℃時,冰能熔化為水,屬于必然事件,故此選項符合題意.

故選:D

.3.一個正多邊形的每個內(nèi)角為120°,則這個正多邊形的邊數(shù)是().A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)內(nèi)角度數(shù)計算出外角度數(shù),再利用多邊形的外角和定理求解即可.【詳解】解:∵正多邊形的每個內(nèi)角都等于120°,

∴正多邊形的每個外角都等于180°-120°=60°,

又∵多邊形的外角和為360°,∴這個正多邊形的邊數(shù)是360°÷60°=6.

故選:B.【點睛】本題考查多邊形的內(nèi)角與外角,關(guān)鍵是掌握內(nèi)角與外角互為鄰補角.4.如圖,內(nèi)接于,連結(jié),,若,則的度數(shù)為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了圓周角定理,掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)圓周角定理解答即可.【詳解】解:由圓周角定理得:,∵,∴,故選:D.5.將拋物線向下平移個單位后,得到的圖象經(jīng)過原點,則的值為()A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移,掌握“上加下減”是解題的關(guān)鍵.先得到平移后的解析式為,再將原點坐標代入即可求解.詳解】解:∵將拋物線向下平移個單位∴平移后的解析式為:,∵得到的圖象經(jīng)過原點,∴,解得:,故選:C.6.凸透鏡成像的原理如圖所示,.若物體到焦點的距離與焦點到凸透鏡中心線的距離之比為,則物體被縮小到原來的()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先證出四邊形為矩形,得到,再根據(jù),求出,從而得到物體被縮小到原來的幾分之幾.【詳解】解:∵,,,∴四邊形為矩形,∴,∵,,∴,∴,∴,即∴物體被縮小到原來的.故選:A.【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用,從實際問題中找到相似三角形并利用相似三角形的性質(zhì)進行解答是解題的關(guān)鍵.7.在中,斜邊,其重心與外心之間的距離為()A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì),三角形的重心和三角形的外心.掌握直角三角形的外心是斜邊的中點是解題的關(guān)鍵.根據(jù)直角三角形的外心是斜邊的中點和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可求出,再根據(jù)重心的性質(zhì)求解即可.【詳解】解:如圖,點D為外心,點O為重心,∵直角三角形的外心是斜邊的中點,,∵點O為的重心,,重心與外心之間的距離為3.故選B.8.如圖,在中,,,.以點為旋轉(zhuǎn)中心,將按逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到,點恰好落在邊上,與交于點,則長為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】證明是等邊三角形,如圖,過作于,可得,,求解,可得,證明,再進一步求解即可.【詳解】解:由旋轉(zhuǎn)得,,,,∴是等邊三角形,∴,∴,如圖,過作于,∴,,∴,∴,∴,∵,,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∴;故選:C.【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定及性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,相似三角形的判定與性質(zhì),證明是解本題的關(guān)鍵.9.二次函數(shù)的圖象與軸的交點為和,且,下列說法中正確的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與軸的交點為和,且,可得對稱軸直線,從而得出;根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點,從而得出,可得出1>4ac;根據(jù),,得出時,,從而得出;當時和時兩種情況可以判斷D.本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,拋物線與x軸的交點,能夠從函數(shù)圖象獲取信息,結(jié)合函數(shù)解析式、判別式、對稱軸的性質(zhì)解題是關(guān)鍵.【詳解】解:∵二次函數(shù)的圖象與軸的交點為和,且,∴,,∴,故A錯誤;∵拋物線與x軸有兩個交點,∴,即1>4ac,故B錯誤;∵,,∴當時,,即,∴,故C正確;當時,4a-2+c>0,即;當時,,即;故D錯誤.故選:C.10.綜合與實踐課上,“矩形折紙”為主題開展了數(shù)學(xué)活動.小寧同學(xué)準備了一張長方形紙片,,,他在邊上取中點,又在邊上任取一點,再將沿折疊得到,連結(jié),小寧同學(xué)通過多次實踐得到以下結(jié)論:①當點在邊上運動時,點在以為圓心的圓弧上運動;②的最大值為24;③的最小值為16;④達到最小值時,.上述結(jié)論中正確的個數(shù)是()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì),翻折變換(折疊問題),勾股定理.根據(jù)折疊的性質(zhì)得到,根據(jù)圓的定義得到點在以N為圓心,為半徑的圓上,故①正確;連接,根據(jù)勾股定理得到,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到,,結(jié)合點M在上,判斷②③正確;根據(jù)勾股定理即可判斷④正確.【詳解】解:如圖1,連接,∵將沿折疊得到,∴,∵點N為的中點,,.∴當點M在邊上運動時,點在以N為圓心的圓弧上運動,故①正確;在中,,∵,∴,∴的最小值為16,故③正確;∵,且M在上,∴,∴的最大值為24,故②正確;如圖2,當共線時,的值最小,最小為;∴,設(shè),則,,在直角三角形中,由勾股定理得:,∴,解得:,即,故④正確,綜上,結(jié)論中正確的個數(shù)4個,故選:D.試題卷Ⅱ二、填空題(每小題3分,共18分)11.寫出一個函數(shù)圖象開口向上的二次函數(shù)的解析式______.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象,根據(jù),拋物線開口向上即可求解,掌握二次函數(shù)圖象的特征是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:∵時,拋物線開口向上,∴函數(shù)圖象開口向上的二次函數(shù)的解析式可以為,故答案為:.12.已知,則值是_______.【答案】【解析】【分析】此題考查了比例的性質(zhì).根據(jù)比例的性質(zhì),由,設(shè),代入代數(shù)式,即可求得出答案.【詳解】解:∵,設(shè),∴,故答案為:.13.一名職業(yè)籃球運動員經(jīng)過大量投籃訓(xùn)練,其投籃命中的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.8附近,由此可估計該運動員投籃200次,命中的次數(shù)約為________次.【答案】160【解析】【分析】本題主要考查了利用頻率估計概率的知識.根據(jù)投籃命中的頻率乘以總次數(shù)即可得出答案.【詳解】解:由投籃命中頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.8附近,∴投中的次數(shù)約為:(次),故答案為:160.14.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作,其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”,其主要思路是局部以直代曲,給出一個比較實用的近似公式.如圖,弧是以O(shè)為圓心,為半徑的圓弧,點C是弦的中點,,D在弧上.“會圓術(shù)”給出弧的弧長的近似值s的計算公式:.當,時,__________.【答案】【解析】【分析】本題考查垂徑定理,勾股定理等.根據(jù)題意連接,繼而得,設(shè)圓的半徑為r,則,再利用勾股定理即可得到本題答案.【詳解】解:連接,如圖:,是的弦中點,,,,D,O共線,,,設(shè)圓的半徑為r,則,在中,根據(jù)勾股定理,得,即,解得,,.故答案為:.15.定義:由兩條與x軸有相同的交點,并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”.已知拋物線與拋物線組成一個如圖所示的“月牙線”,則________.【答案】【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)與軸交點問題,涉及新定義,二次函數(shù)的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是讀懂題意,理解“月牙線”的概念.求出拋物線與軸交點為和,代入求得,據(jù)此求解即可.【詳解】在中,令得解得或,拋物線與軸交點為和,把和代入得:,解得,∴.故答案為:.16.如圖,在菱形中,,點在邊上,,連結(jié)交對角線于,點在線段上,連結(jié),,若,,則________,________.【答案】①.3②.【解析】【分析】證明,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出;過P作交于G,證明,可得到,則,以及,設(shè),則,,,證明,可求出,過D作于M,則,根據(jù)正弦和余弦定義求出,,則,在中,根據(jù)勾股定理可得出,解方程求出或(此時,故舍去),然后整體代入求解即可.【詳解】解:在菱形中,,∴,,∴,∴,∵,,∴是等邊三角形,∴,,過P作交于點G,∴,∴,又,∴,又,∴,∴,∴,,設(shè),則,∵,∴,∴,∵,,∴,∴,∴,即,∴,過D作于M,則,∴,,∴,在中,,∴,整理得,解得或(此時,故舍去)∴,故答案為:3;.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、因式分解法解一元二次方程等知識,明確題意,添加合適輔助線,構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.三、解答題(第17~21題各8分,第22、23題各10分,第24題12分,共72分)17.已知二次函數(shù),在下面的三組條件中選一組,的值,使這個二次函數(shù)圖象與軸有兩個不同的交點.①,;②,;③,.(1)請選出符合條件的一組,的值,求出函數(shù)圖象與軸交點的坐標.(2)求所選二次函數(shù)圖象的頂點坐標.【答案】(1)符合條件的為②,函數(shù)圖象與軸的兩個交點坐標為,(2)函數(shù)圖象的頂點坐標為【解析】【分析】本題考查了拋物線與軸的交點,二次函數(shù)的性質(zhì).(1)利用根的判別式的意義得到,再分別對三組數(shù)據(jù)進行判斷,從而確定,;再求函數(shù)圖象與軸交點的坐標即可,(2)把一般式配成頂點式得到此時拋物線頂點坐標.【小問1詳解】解:二次函數(shù)圖象與軸有兩個不同的交點,∴,當,時,,不合題意;當,時,,符合題意;當,時,,不合題意;則符合條件的為②,此時函數(shù)表達式為.令,解得.函數(shù)圖象與軸的兩個交點坐標為,.【小問2詳解】,函數(shù)圖象的頂點坐標為.18.不透明的袋子中裝有2個白球、1個黑球,這些球除顏色外無其他差別.(1)從袋子中隨機摸出1個球,摸到白球的概率為_________(2)從袋子中隨機摸出1個球,放回并搖勻,再隨機摸出1個球.用列表或畫樹狀圖的方法,求兩次摸出的球都是白球的概率.【答案】(1)(2)兩次摸出的球都是白球的概率為【解析】【分析】(1)根據(jù)概率公式可直接進行求解;(2)根據(jù)列表法可進行求解概率.【小問1詳解】解:由題意可得摸到白球的概率為;故答案為;【小問2詳解】解:由題意可列表如下:白1白2黑白1√√

白2√√

∴兩次摸出球的情況總共有9種,其中兩次摸出的球都是白球有4種情況,∴兩次摸出的球都是白球的概率為.【點睛】本題主要考查概率,熟練掌握利用列表法進行求解概率是解題的關(guān)鍵.19.在的方格紙中,請按下列要求作出格點三角形(頂點均在格點上).(1)在圖1中作出將以點為旋轉(zhuǎn)中心,按順時針旋轉(zhuǎn)所得的圖形.(2)在圖2中畫出一個與相似的三角形(相似比不為1).【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】本題考查作圖相似變換,旋轉(zhuǎn)變換等知識,解題的關(guān)鍵是掌握相似變換、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì).(1)根據(jù)要求作出圖形;(2)為底邊為2,高為2的等腰三角形,因此可以利用格點構(gòu)造一個底邊為4,高為4的等腰三角形,此時相似比為2.【小問1詳解】解:如圖,為所求作的三角形.【小問2詳解】解:如圖,為所求作的三角形.20.如圖,四邊形為平行四邊形,點在延長線上,連接,且.(1)求證:.(2)若,,求的長.【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識,推導(dǎo)出,進而證明是解題的關(guān)鍵.(1)由平行四邊形的性質(zhì)得,因為,所以,而,即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明;(2)由相似三角形的性質(zhì)得,根據(jù)相似的性質(zhì)即可解答.【小問1詳解】證明:四邊形為平行四邊形,,,,,;【小問2詳解】解:,,,,,的長是.21.近期,動漫形象“奶龍”在網(wǎng)絡(luò)上爆火.某網(wǎng)店銷售一款“奶龍”公仔,每個的進價為20元,在銷售過程中調(diào)查發(fā)現(xiàn),當銷售單價為30元時,每周平均可賣出120個.如果調(diào)整銷售單價,每漲價1元,每周平均少賣出4個.若現(xiàn)提價銷售,設(shè)銷售單價提高元,每周的銷售利潤為元.(1)求關(guān)于的函數(shù)表達式,并直接寫出自變量的取值范圍.(2)當銷售單價定為多少時,該網(wǎng)店每周的利潤最大?并求出最大利潤.【答案】(1)(2)當銷售單價定為40元時,每周利潤最大為1600元【解析】【分析】(1)設(shè)銷售單價提高x元,則每組銷售量為個,單個公仔利潤為元,根據(jù)題意列出式子即可;(2)函數(shù)開口向下,存在最大值,根據(jù)頂點表示的含義進行計算即可求解.該題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用,正確進行計算是解題關(guān)鍵.【小問1詳解】解:設(shè)銷售單價提高x元,則每組銷售量為個,單個公仔利潤為元.∴每組銷售利潤.∵售量不能為負,∴.答:;【小問2詳解】函數(shù),開口方向向下,對稱軸為故時,利潤最大,最大利潤,此時銷售單價為元.當銷售單價定為40元時,每周利潤最大為1600元.22.如圖,以的邊為直徑的交邊于點D,交的延長線于點E,且.(1)求證:.(2)若,,求陰影部分的面積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】本題考查圓周角定理,扇形的面積公式,等邊三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握圓周角定理及推論和扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵,(1)連接,利用圓周角定理可得,,從而可推出,證得為等腰三角形,根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得;(2)連接、,由圓周角定理的推論可得,從得到,,再根據(jù)(1)中等腰三角形的性質(zhì)可得,利用三角形外角的性質(zhì)得,進而可證得是等邊三角形,故可得,再利用代入即可算出陰影部分的面積.【小問1詳解】證明:連接,是的直徑,,

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