湖南省衡陽市耒陽市2024-2025學年高二上學期12月聯考數學質量檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．橢圓的長軸長為（）A． B．3 C． D．62．在空間直角坐標系中，點關于y軸的對稱點為（）A． B． C． D．3．在四棱臺中，一定能作為空間向量的一個基底的是（）A． B． C． D．4．樹人中學參加云學聯盟數學考試，小明準備將考試分數制作成頻率分布直方圖，因時間緊未制作完全，如圖，已知考試分數均在區間內，記分數的平均數為X，中位數為Y，則（）A． B． C． D．X，Y的大小關系不能確定5．動直線被定圓C截得的弦長等于，則圓C的方程為（）A． B．C． D．6．在平面直角坐標系中，若點到直線l的距離為1，點到直線l的距離為3，則這樣的直線l有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條7．直線/經過拋物線C：（）的焦點F，與拋物線C相交于A，B兩點，與y軸相交于點M.若，，則（）A． B． C． D．8．點P是正方體的表面及其圍成的空間內一點，已知正方體的棱長為2，若，與平面所成的角為30°，則點P的軌跡的形狀是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線二、多選題（本大題共3小題）9．隨機事件滿足，，，則有（）A． B．C．不是互斥事件 D．相互獨立10．平行六面體所有棱長都等于1，，如圖，則有（）A．B．C．平面平面D．平行六面體的體積為11．在平面直角坐標系內，動點P到兩定點，的距離之積等于6，點P的軌跡記為曲線C.曲線C與x軸正半軸，軸正半軸分別交于A，B兩點，其部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A．曲線C關于x軸對稱，也關于y軸對稱B．C．當點P位于B點處時，最大D．點P到x軸的最大距離為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，，直線將分割成面積相等的兩部分（O為坐標原點），則.13．在直棱柱中，，，，D為中點，則直線，所成角的余弦值為.14．雙曲線的左，右焦點分別為、，是雙曲線的右支上的一點，的內切圓圓心為，記、的面積分別為、，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知以坐標軸為對稱軸的雙曲線經過點，離心率.求雙曲線的方程，及其焦點坐標和漸近線方程.16．甲乙兩人進行答題活動，每人各答兩道題.已知甲答對第1道題的概率為，答對第2道題的概率為，乙答對每道題的概率都為.甲乙答對與否互不影響，各題答對與否也互不影響.(1)求甲答對一道題的概率；(2)求甲乙兩人答對題目的個數相等的概率.17．如圖，在四棱錐中，平面平面，平面平面，，，，，經過點C的平面與側棱、、分別相交于點Q、E、F，且平面.(1)求證：平面；(2)若平面與平面的夾角為，且，求線段的長度.18．如圖，已知圓M：，過坐標原點O作圓M的兩條互相垂直的弦，.(1)求證：為定值；(2)當時，求直線的方程和直線的方程.19．已知直線l：與圓O：相切.(1)求的值；(2)已知橢圓E：在點Px0,y0處的切線方程為，若直線l與橢圓E相交于A，B兩點，分別過A，B作橢圓E的切線，兩條切線相交于點Q(3)是否存在這樣的二次曲線F：，當直線l與曲線F有兩個交點M，N時，總有？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

答案1．【正確答案】D【詳解】在橢圓中，，所以長軸長為6，故選：D.2．【正確答案】A【詳解】根據關于y軸對稱的對稱點的坐標的特點，可得點關于y軸的對稱點為.故選：A.3．【正確答案】C【詳解】對A，因為,所以中三個向量共面，不能作為空間向量的基底，A錯誤；對B，因為在正四棱臺中，，所以中三個向量共面，不能作為空間向量的基底，B錯誤；對C，，且不共面，所以中三個向量不共面，能作為一組基底，C正確；對D，因為三個向量均在平面內，所以不能作為作為空間向量的基底，D錯誤；故選:C.4．【正確答案】A【詳解】由圖可知，的頻率分別為：，所以的頻率為，因為，所以中位數在內，所以,又因為，所以，故選:A.5．【正確答案】D【詳解】動直線，即，令，解得，所以動直線恒過點，又動直線被定圓C截得的弦長等于，所以圓C的圓心為，半徑，所以圓C的方程為.故選：D6．【正確答案】C【詳解】與原點距離為的點的集合是以為圓心，為半徑的圓，即；與點距離為的點的集合是以為圓心，為半徑的圓，即；因為圓心距，所以圓與圓外切，這兩圓共有條公切線，所以適合條件的直線共有條，故選：C.7．【正確答案】A【詳解】不妨設點在點上方，設.由題意得直線斜率存在，且，設方程為：，由得，，∴.設，由得，，∴，解得，由得，∴，即，由得，，解得，則，，∴，∴，∴.故選：A.8．【正確答案】C【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則A0,0,0，，所以，，故，即，所以點在面（四點均為所在邊的中點），過點作于點，易知面，即，所以，即，化簡得：，即點P的軌跡的形狀是雙曲線，故選：C.9．【正確答案】AC【詳解】因為，，，所以，所以，故A正確，B錯誤；因為，所以不是互斥事件，故C正確；因為，所以不相互獨立，故D錯誤.故選：AC.10．【正確答案】BCD【詳解】對于選項A：由題意可知：，若，則，這與三角形性質不符，所以，故A錯誤；對于選項B：取的中點，連接，由題意可知：均為正三角形，則，且，平面，可得平面，又因為平面，所以，故B正確；對于選項C：設，連接，因為為菱形，則，且為的中點，又因為均為正三角形，則，可得，且，平面，可得平面，且平面，所以平面平面，對于選項D：由題意可知：三棱錐為正三棱錐，可知頂點在底面的投影為正的中心，則，所以平行六面體的體積為，故D正確；故選：BCD.11．【正確答案】ACD【詳解】設，則，由得，即.A.以替換得，，方程不變，曲線C關于y軸對稱，以替換得，，方程不變，曲線C關于x軸對稱，選項A正確.B.令得，，即，或（舍），解得，即，故，選項B錯誤.C.由題意得，，.，當且僅當時，.在方程中令得，故.當點P位于B點處時滿足，有最小值，由在0,π上為減函數可得此時最大，選項C正確.D.設點P到x軸的最大距離為，則，即，由選項C得當時，，取得最大值，最大值為，所以，選項D正確.故選：ACD.12．【正確答案】【詳解】

由題意得，直線過定點，.如圖1，當直線與線段交于點時，，，不合題意.如圖2，當直線與線段交于點時，由，得直線方程為，即.中，設邊上的高為，則，即，解得，故.∵點在直線上，∴，即，∴.故答案為.13．【正確答案】【詳解】因為，D為中點，所以，如圖以點為原點建立空間直角坐標系，則，故，則，所以直線，所成角的余弦值為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】如圖所示：設圓與三邊、、切點分別為、、，則，由雙曲線定義有，從而.又，，所以，設Is,t，，（為雙曲線的半焦距），所以，解得，即點在定直線上，又的內切圓圓心為，所以，內切圓半徑，又，，所以.故答案為.15．【正確答案】答案見解析【詳解】若雙曲線的焦點在軸，設雙曲線方程為，依題意可得，解得，所以雙曲線方程為，所以雙曲線的焦點坐標為，漸近線為；若雙曲線的焦點在軸，設雙曲線方程為，依題意可得，解得，所以雙曲線方程為，所以雙曲線的焦點坐標為，漸近線為；綜上可得：若雙曲線的焦點在軸，則雙曲線方程為，焦點坐標為，漸近線為；若雙曲線的焦點在軸，雙曲線方程為，焦點坐標為，漸近線為.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意所求概率為；（2）乙答對一題的概率為，甲乙都沒有答對一題的概率為，甲乙都答對一題的概率為，甲乙都答對兩題的概率為，所以甲乙兩人答對題目的個數相等的概率為.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面；（2）連接，因為平面，平面平面，平面，所以，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設，則，故，設平面的法向量為，則，因為，所以，則有，令，則，所以，設平面的法向量為，則有，可取m=1,?1,0由題意可得，解得，所以的長度為.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)，【詳解】（1）如圖，當直線斜率不存在時，直線的斜率為0.在方程中，令得，令得，∴，∴.當直線斜率為0時，直線的斜率不存在，，.當直線斜率存在且不為0時，設，則，由得，，設Ax1,∴，∴，∴，∴，綜上得，為定值，定值為.（2）由圓周角定理得，.由得，，∵，∴，為等腰直角三角形，∴，∴.∵，∴.由（1）得，當直線斜率不存在或斜率為0時不合題意.取中點，連接，則，故三點共線，∵，∴.易知斜率大于0，由得，由得或，∴.方程為，即，方程為，即.綜上得，，19．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由直線與圓相切，可得圓心到直線的距離，即；（2）解法1：設，由條件所給的公式，可知橢圓在點處的切線