四川省成都市蓉城聯盟2024-2025學年高二上學期12月期末

考試數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.在空間直角坐標系中，點/（_2,1,5）關于x軸的對稱點的坐標為（）

BD

A.（2,1,5）-（2,-1,-5）C.（-2,-1,-5）-（-2,-1,5）

2.若直線，的方向向量為卜1，6），且過點（°，2）,則直線，的方程為（）

A.V3%+y-2=0B.丫+島-26=0

CV3x-y+2=0D.工-回+26=0

3.成都市某高中為鼓勵全校師生增強身體素質，推行了陽光校園跑的措施，隨機調查了

10名同學在某天校園跑的時長（單位：分鐘），得到統計數據如下：

20,25,32,38,40,43,56,62,67,74,則這組數據的第70百分位數是（）

A.56B.59C.62D.64.5

4-設耳（-5,0）,工（5,0）為定點，動點P（xj）滿足忸尸金=6，則動點尸的軌跡方程為

（）

22222222

A.土+匕=1B.上一匕=1C.匕+t=iD.2L_±=i

916916916916-

5.不透明的口袋里有4個白球，2個紅球，這6個球除了顏色外完全相同，從中不放回地

抽取2個球，則抽出的2個球均為白球的概率為（）

6.已知圓°：尤2+y=16,直線/：y=Gx+6,若圓C上至少有3個點到直線/的距離為

試卷第11頁，共33頁

1,則6的取值范圍為（）

A--6<b<6B--2W芟2C-6<-6或6>6D-6<-2或6>2

s

7.如圖，在平行六面體48-4片。。1中，AB=AD=1,AAt=2,ZAtAD=AA.AB=,

則異面直線NG與理所成角的余弦值為（）

D9

10

8.設4'為雙曲線__廣=1上的兩點，線段"'的中點為"⑵2）,則I叫=（）

2

A-4sB-2V5c-VioD-2Vio

二、多選題

9-在空間直角坐標系。孫Z中,0（0,0,0）,^（1,0,0）,5（2,1,-2）,C（4,3,2）＞則（）

A.AB-BC=4B.點八到直線BC的距離為迪

3

C.p|=V6D.直線04與平面03c所成角的正弦值為

試卷第21頁，共33頁

10.已知事件A,事件3發生的概率分別為p(/)=|,尸(3)=g,則下列說法正確的是

()

A.若事件人與事件*互斥，則尸(NU8)=《

B.若事件人與事件8相互獨立，則尸(/UB)=U

RA7

C.若事件發生時事件一定發生，則A

9AR

D.若網/可=-，則事件與事件相互獨立

5

2222

11.已知橢圓G：—+斗=1(%>々>0)與雙曲線02：［一==1(g>0,6,>0)的左、右焦

a；b；a；Z?2

點相同，分別為片'工，橢圓q與雙曲線a在第一象限內交于點,，且/4時=三，橢圓

儲與雙曲線G的離心率分別為,,4，則下列說法正確的是()

B.當02=6時，2

A?b=

213

c.e?的最小值為理D,工+工的最大值為蟲1

2e\e23

三、填空題

12.設一組數據三,…，叁的平均數為11，則8網+2,8/+2,…,8網+2的平均數為——?

試卷第31頁，共33頁

13.過/（0,0）,8（6,8）,C（3,-1）三點的圓的標準方程為——?

14.已知橢圓c：￡+E=l（a>b>0）的上頂點為民4月分別為橢圓的左、右焦點，過點

2

Q2b

片作線段廖的垂線,,垂線/與橢圓C交于兩點，若橢圓。的離心率為且

\MN\=\25則的周長為----

四、解答題

15.“世界圖書與版權日”又稱“世界讀書日”，2024年4月23日是第29個“世界讀書

日”.自“世界讀書日”確定以來，某高校每年都會舉辦讀書知識競賽活動來鼓勵該校學生

閱讀，現從參加競賽的學生中抽取100人，將他們的競賽成績分成六組：第1組

840,50。,第2組［50,60），第3組［60,70），第4組［70,80），第5組［80,90），第6組

［90,100］>得到如圖所示的頻率分布直方圖?

（1）求這100名學生成績的眾數和平均數（取各組區間中間值計算）；

（2）己知成績落在［60,70）的學生平均成績為62,方差為9,落在［70,80）的學生平均成績為

77,方差為4,求這兩組成績的總體平均數百和總體方差52.

16.已知圓c：Q_4）2+（y+3）2=4,P是直線/：x-y+l=0上的一動點，過點尸作圓C的切

試卷第41頁，共33頁

線，切點分別為43.

(1)當點尸的橫坐標為2時，求切線的方程；

(2)當點P在直線/上運動時，求四邊形面積的最小值.

17.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃一次，規則如下：若命中，則此人繼續投籃一

次，若未命中，則換對方投籃一次.已知甲每次投籃的命中率均為乙每次投籃的命中率

5

均為二，甲、乙每次投籃的結果相互獨立，第一次投籃者為甲.

10

(1)求第3次投籃者為乙的概率；

(2)求前4次投籃中甲投籃次數不少于3次的概率.

18.在平行四邊形Age。中(如圖1)，4B=23C=2,M為48的中點，將等邊△4DA/沿

⑴求證：CM_L平面

(2)求直線AD與平面ABM所成角的正弦值；

(3)點尸在線段"上，若點尸到平面村的距離為亞，求平面尸""與平面所

15

成角的余弦值.

試卷第51頁，共33頁

C140

19.一動圓與圓G：(X+1)2+/=］外切，與圓G：(x-l)2+y2=j內切.

(1)設動圓圓心c的軌跡為「，求曲線「的方程；

⑵①若點/(_2,0),8(2,0),P是直線x=4上的動點，直線尸4PB與曲線r分別交于兩

點，證明：直線aw過定點；

②設和兒W的面積分別為W和S,，求S1-邑的最大值.

試卷第61頁，共33頁

參考答案:

題號12345678910

答案CABBCADBBCABD

題號11

答案ACD

1.C

【分析】利用空間直角坐標系中點的對稱性可得結果.

【詳解】點N（_2,1,5）關于工軸的對稱點的坐標為（-2,-1,-5），

故選：C.

2.A

【分析】根據條件求出直線的斜率，由點斜式方程求解即得直線方程.

【詳解】因直線/的方向向量為3=（7,6）,貝I直線/的斜率后=一6，

于是直線/的方程為/：y-2=-43X,即6x+y-2=0?

故選:A.

3.B

【分析】根據百分位數的計算公式求解即可.

【詳解】數據個數共有10個，且為從小到大排列，

:10x70%=7,:.這組數據的第70百分位數為第7個數據56和第8個數據62的平均數59,

故選B

4.B

【分析】由已知條件知，點戶的運動軌跡是以耳（_5,0）,月（5,0）為焦點的雙曲線，從而可求

得軌跡的方程.

【詳解】...歸片日產引=6<10=閨用，

動點尸的軌跡是以廣（一5,0）,乙（5,0）為焦點的雙曲線，且2a=6,2c=10,

；方=。2-。2=16,??雙曲線的方程為二一片=].

916

答案第11頁，共22頁

故選：B.

5.C

【分析】利用古典概型概率公式即可求出概率.

【詳解】記4個白球為a/,c,d，2個紅球為43,

從4個白球，2個紅球中不放回抽取2個球有：

(a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),

(c,B),(d,A),(d,B),(A,B),共15種不同的取法，

其中抽出2球均為白球有Q/>),(a,c),(a,d),(仇c),(dd),(c,d)共6種不同的取法,

所以抽出的2個球均為白球的概率尸=[=￡.

故選：C.

6.A

【分析】求得圓心到直線的距離，根據題意可得回43,求解即可.

2—

【詳解】由圓。：/+歹2=]6，可得圓心C(0,0),半徑為r=4，

I:y=>/3x+bgxO-0+對㈤

所以圓心到直線的距離為--=丫,

j1(⑹,+(-??2

由圓C上至少有3個點到直線/的距離為1,

所以"=例43,.?.-646W6-

2

故選：A.

7.D

【分析】設方=￡,]萬=4五《=小利用空間向量的夾角公式可求異面直線/q與所成

角的余弦值.

答案第21頁，共22頁

【詳解】^-AB=a,AD=b,AAl=c,:.ACl=a+b+c,BBl=c'

lQ-S^=(5+ft+c)-c=a-cl+Sc+c2l=2xx6x^-+2=

222

v畫=J(@+I+J)2=y/a+b+c+2a-B.+2a-c+be

卜廂

,12+12+22+2X0+2X1X2X-+2X1X2X-=VW-.1M

\22

為的_6_3而

/.COS0

函|］網_2*廂_10

"異面直線"G與BB、所成角的余弦值觀.

10

故選：D.

8.B

【分析】設點次再,%),及%,%),利用中點弦問題求出直線N8斜率，并求出該直線方程,

再與雙曲線方程聯立求出弦長.

【詳解】設雙曲線尤2_亡=1上的點/區，必)，及乙，%),線段,8的中點為州(2,2),則

2

X]W/，

221石+%2=4

國-

212=1

n!,且1%+%=4,

^n<

221

々-21

兩式相減，得5+%)(&-2)-；(乂+%)(乂-%)=0,即M-%二2(%-%)

答案第31頁，共22頁

則直線"'斜率左="及=2,直線"的方程為：＞=2》-2

2

>x-Ax+3=0Xj=l,x2=3

,消去，得，解得

\AB卜J1+42|x,-x21=2A/5"

故選：B

9.BC

【分析】根據數量積的坐標運算即可求解A,根據點到直線的距離公式即可求解B,根據

模長公式即可求解C,求解平面法向量，即可根據向量的夾角求解D.

【詳解】A選項：...方=億1,_2）友=（2,2,4）,，加灰=2+2-8=-4，故A錯誤；

B選項:取1=N8=（1,1,-2）,:30=（2,2,4）,;.閘=2向"=彘=￡:，手,

ABC

V6V625/6Y473

點到直線的距離-伍①2

~6~+~63~=—,故B正確;

3

C選項：：赤=（1，1，-2）,；.網=",故C正確；

D選項：麗=（2,1,-2）,反=（4,3,2），力=（1,0,0）,設平面03c的法向量為蔡=（x,y,z），

OC-m=4x+3y+2z=0

OB-m=2x+y-2z=0

4753

伍,

sin。=cos0453,故D錯誤;

4+9+-

答案第41頁，共22頁

故選:BC.

10.ABD

【分析】利用互斥事件的概率加法公式，獨立事件的定義，獨立事件的概率乘法公式進行

分析判斷即得.

【詳解】對于A,,事件人與事件*互斥，，尸（/UB）=尸（4）+尸（8）=!|,故A正確；

對于B,,事件人與事件3相互獨立，...p（/8）=尸（⑷?尸（8）=：,

.1P（/UB）=尸（N）+P（8）—尸（N8）=：+（—；=故B正確；

對于C,「若事件B發生時事件人一定發生，???8=4貝|」「（/2）=9（2）=!，故c錯誤；

對于D,因P（/）=],P⑻=|,尸（疝）=|=P（/〉P⑻,則事件人與事件石相互獨立，

故事件AAD與事件R相互獨立，故D正確.

故選:ABD.

11.ACD

【分析】根據焦點三角形的面積公式即可求解A,根據橢圓和雙曲線定義，結合余弦定理即

可求解B,根據基本不等式即可求解C,利用三角換元，結合三角函數的性質即可求解D.

△耳Pg2兀3片J

S

【詳解】A選項：為焦點三角形，-?^2=\tan-=\=~\,故A

tan-°

6

正確；

B選項：根據橢圓和雙曲線的定義，可得附|+|%=2%,附忸尸2|=2%,，|。尸ili+生，

f

\PF2\=a{-a2

答案第51頁，共22頁

在△耳空中，由余弦定理，可得：\FXF^=\PF^+\PF^-l\PF^PF^co^,

a+a

4c2=(%+&)"+(q_2(q+%)(4-a,)xg,整理得4c-i^i,

.?.4=4+4-當02=6時，e=叵故B錯誤;

e；e；93

C選項…=9白2亡=浮3爭當且僅當即

衛e="時等號成立，故C正確;

2'22

D選項：?.?4=3+3,故取工=2cos0,&=2sin0,0e(0,—)，

+落爪苧峰當且僅當s4嗚卜，即。噎此

時e=2e=G時取到等號，故D正確;

13'2

故選：ACD.

12.90

【分析】利用平均數的性質由原數據的平均數計算新數據的平均數即得.

答案第61頁，共22頁

【詳解】因天,知…％的平均數1=11,

則胱+2,8芍+2,…,8%+2的平均數為:^=8x11+2=90-

故答案為：90.

13.（%-3）2+（^-4）2=25

【分析】設出圓的一般方程，代入三點坐標，即可求解聯立方程求解?

【詳解】設圓的方程為》2+/+m+3+/=0（￡＞2+爐_4尸＞0），

4（0,0）,8（6,8）,C（3,-l）[F=0,

代入三點，有（100+6。+8￡+尸=0,

10+3Z）-￡+F=0

解得。=-6,E=-8,b=0,

故圓的方程為/+/_6》_8夕=0，

故圓的標準方程為"-3）2+（＞-4）2=25,

故答案為：（＞3）2+（尸4）2=25

14.26

【分析】由離心率可得〃=可得△他匕為等邊三角形，從而可得/的傾斜角為30。，

求得直線"N的方程，與橢圓聯立方程組，利用韋達定理與弦長公式可得普=12,求解

即可.

【詳解】.離心率e=』,，a=2c,.,./=4/,；方+￡；2=4'2,；.6=&，

2

二./%管=60。，又因為圈|=忸局因名為等邊三角形，

答案第71頁，共22頁

設可（國,必）,白（工2，%），

,??過點大作線段8g的垂線/,，/的傾斜角為30。,

直線小的方程為x=Gy-c,代入，+/=i中,

得13y②_6V§cy-9c②=0,.?.%+%=^^，必丹=一^~

???\MN\=Vl+3XJ（必13

~4

:,周長C=|8M+BN|+|MV|=|A7^+|M|+|〃?V|=4a=8c=26.

故答案為：26?

15.⑴眾數為75,-=705

Q）石=71，sJ60

【分析】（1）根頻率分布直方圖中眾數和平均數的計算公式即可求解，

（2）根據總體平均數以及方差的計算公式即可求解?

【詳解】（1）眾數：75,

第1至第6組的頻率分別為0.1,0.15,0.2,0.3,0.15,0.1，

.?.平均數：^=45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5：

（2）根據題意可知，成績落在［60,70）的學生人數為2。人，成績落在［70,80）的學生人數

為30人，

/.—7030

總體平均數：?=—x62+—x77=71,

5050

答案第81頁，共22頁

總體方差：5*2=34|^[9+(62-71)2]+|j[4+(77-71)2]=|x90+|x40=60.

16-⑴x=2或4x+3y-17=0

⑵4a

【分析】(1)由圓o的方程可求得圓心與半徑，利用點尸在直線上求得點尸的坐標，分過

點P的切線斜率是否存在兩種情況討論可求得切線方程；

(2)由題意可得邑/虛=2Sc=2p/|,又|尸/|="|一4,故求得1尸01的最小值即可.

【詳解】⑴由圓C:(x_4y+(y+3)2=4，可得圓心C(4,-3)，半徑r=2，

,?,點尸在直線/：尤-y+l=O上，且點尸的橫坐標為2,.,.點P的坐標為(2,3)，

①當切線的斜率不存在時，直線方程為》=2,與圓C相切，滿足題意，；

②當切線的斜率存在時，設斜率為上,此時切線方程為了_3=左(》-2)，

即：依一了+3-2左=0,設圓心到切線的距離為d，根據題意可得：

田+3+3-2左|叩6|

g->7T

°「，4

k+6k+9=后+1,k——，

3

4

此時，切線方程為k3=-?尤-2),

化簡，得4x+3y-17=(T

答案第91頁，共22頁

?0?切線方程為x=2或4%+3歹-17=0;

⑵；P4=PB,PC為公共邊，△如CMPBC'

SPACB=2s△詠=2x；x戶/|x|/C|=2|PN|,

又E=7l^C12-4,.-.當因I最小時，E最小，

由題意可知，當尸c_u時，pq最小，

|i_|4-1X（-3）+1|_

此時，忸par=a+（_以=4

：.\p^\=J|PC『-4>2V7,.-.SPACB=2|尸/|>4s,

'''四邊形P4C8面積的最小值為46.

13

17.⑴三

25

63

（2）---

125

【分析】（1）（2）根據概率的乘法公式，結合并事件的概率加法公式即可求解，

【詳解】（1）設事件4=”甲第z?次投籃投進”，事件片="乙第z.次投籃投進”，事件。=

”第三次投籃者為乙”，

根據題意可知，C=（4%）u2），4%與互斥，

.?.尸（c）=p（（4%）U（還2））=夕（4%）+尸（4坊）=1*］+］、［=《；

JJJU4J

答案第101頁，共22頁

（2）設事件。目"前4次投籃中甲投籃次數不少于3次"，根據題意可知:

D=（444）U（44%）U（44瓦）U（麗4）,

事件N/NAAJA~A~B7~BA互斥，且每次投籃的結果相互獨立，

ZliZ12Zl-i,ZliZ12Z1-1,Zl|■/!?1J-},Zl|ZI3

尸⑵=尸（（444川（444”（44瓦”（4瓦4））

=尸（444）+尸（44%）+尸瓦）+尸（4瓦4）

=P（4）P（4）尸（4）+尸（4）尸（4）尸伍）+尸（4）尸伍）P（瓦）+P（4）尸（瓦）P（4）

333332323233

=—X—X—+—X—X1--X—X1——X——X—

55555555105105

63

"125-

18.（1）證明見解析

⑵姮

5

⑶亞

17

【分析】（1）根據余弦定理以及勾股定理可得DM,CM，CMYAM'即可根據線面垂

直的判斷求證，

（2）建立空間直角坐標系，求解平面法向量，根據向量的夾角公式求解，

（3）根據點到平面的向量法求解尸是線段/c上靠近點c的三等分點，即可求解法向量，

利用法向量的夾角求解.

【詳解】（1）連接CM，

答案第111頁，共22頁

在AC'M中，?.?3C=W=1,/C2M=&,

3

.-.CA/=^l2+l2-2xlxlx^-1^=V3>

在△CA?中，?.-DM2+CM1=CD2,:.DMVCM'

CM1AM（CM1DM,

同理可得：，

AMcDM=M,

:.CM1平面ADM

（2）設巨為DM的中點

■：CM1平面ADM,CMu平面BCDM,

?'?平面ADM1平面BCDM，

又：平面ADMCl平面BCDM=DM,N"u平面ADM，

NX_L平面BCDM,.?.以點M為坐標原點，MD為x軸，MC為了軸，過點〃■且平行于

的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

/1-\X、（廠、

.-.M（0,0,0）,Z）（l,0,0）,C（0,V3,0）,5|,8；,0,0,/；,0,理，

fl0間,

:.AD=

22

\7

設平面ABM的法向堇為玩=（再,％,Z］），

答案第121頁，共22頁

AB=1,c,_AM=

m-AB=-xx+必-句=0,

-Viz16

m?AM=—x------4=0n

2121

取再=V3,.\m(V3,l,-1),

設直線AD與平面ABM所成角為e,

(3)設萬=4就,

?.?就=卜;,百,一?卜.不=卜盤田,-孚F

設點尸到平面ABM的距離為d，

同同司2715

\m\指一15

P是線段/C上靠近點C的三等分點，易求平面3coM的法向量為］=(o,。』),

答案第131頁，共22頁

設平面的法向量為a=（%,%,%）,

—?—?——?—?2—?（52g⑨

-：DP=DA+AP=DA+-AC=,A?=（1,0,0）?

3[6'36

7

-'~TYD52^3>/3_n

^^=~~x2+~^yi+~rzi=°，

OJO

n2,MD=x2=0

取％=1,.-.?2=（0,1,-4）,

設平面PDM與平面BCDM所成的角為a，

44V17

cosa=cos%%=

?i|j?2|Vn17

19.（i）r+r=i

43

⑵①證明見解析；②3

【分析】（1）設動圓的半徑為，根據動圓。和圓G,圓&的關系得出|CCj=r+；和

|CC2|=1-r,再結合橢圓的定義即得軌跡方程；

（2）①設點尸（4，M，A/（X]/J,N（X2，y）分別求出直線M4和AV的方程，與橢圓方程聯

立求得點M,N的坐標，計算化簡直線的斜率，求得直線MV方程，即得定點坐標；

②由①的結論，可推得耳=3$2，即得S「S,=2S,=卜_力卜設直線"N：x=〃j+1，與橢

答案第141頁，共22頁

圓方程聯立，寫出韋達定理，化簡S-S=戚三1，再利用換元法，結合對勾函數的單

123n2+4

調性，即可求得其最大值.

rc11

【詳解】⑴設動圓的半徑為，動圓與圓G：(X+1)2+「=；外切，，|CG|=r+5，

又,動圓。與圓。2：(工一1)2+/=?內切，且圓G在圓,。內部，.?[Cg|=：-r,

.-.|CC1|+|CC2|=4>又即[cq圖CC2|>|C￡|，

故動圓圓心C的軌跡是一個橢圓，且2a