專題01全等三角形性質(zhì)與判定

聚焦考點(diǎn)

考點(diǎn)一全等圖形識(shí)別考點(diǎn)二利用全等圖形求正方形網(wǎng)格中角度之和

考點(diǎn)三全等三角形的概念考點(diǎn)四全等三角形的性質(zhì)

考點(diǎn)五用SSS證明三角形全等考點(diǎn)六用SAS證明三角形全等

考點(diǎn)七用ASA證明三角形全等考點(diǎn)八用A4S證明三角形全等

考點(diǎn)九用證明三角形全等

:典型例題:

考點(diǎn)一全等圖形識(shí)別

例題：（2022?湖北省直轄縣級(jí)單位?八年級(jí)期末）下列說法正確的是（）

A.兩個(gè)面積相等的圖形一定是全等圖形B.兩個(gè)全等圖形形狀一定相同

C.兩個(gè)周長(zhǎng)相等的圖形一定是全等圖形D.兩個(gè)正三角形一定是全等圖形

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)全等圖形的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：A：兩個(gè)面積相等的圖形不一定是全等圖形，故A錯(cuò)誤，不符合題意；

B-.兩個(gè)全等圖形形狀一定相同，故8正確，符合題意；

C：兩個(gè)周長(zhǎng)相等的圖形不一定是全等圖形，故C錯(cuò)誤，不符合題意；

D：兩個(gè)正三角形不一定是全等圖形，故。錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等圖形，熟練運(yùn)用“能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形''是本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?山東?東營市東營區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）下列圖形是全等圖形的是（）

PC

【答案】D

【解析】

【詳解】

解：A、不是全等圖形，故本選項(xiàng)不符合題意;

8、不是全等圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、不是全等圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D,全等圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等圖形的定義，熟練掌握大小形狀完全相同的兩個(gè)圖形是全等圖形是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?河北滄州?八年級(jí)期末）以下四組圖形中，與如下圖形全等的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

認(rèn)真觀察圖形，可以看出選項(xiàng)中只有B中的圖形可以由題干中已給的圖形旋轉(zhuǎn)得到，其它三個(gè)形狀與題干

中已給的圖形不一致.

【詳解】

解：由全等形的概念結(jié)合圖形可知：A、C、O中圖形形狀與題干中已給的圖形不一致，故不符合題意；B

中的圖形可以由題干中已給的圖形順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是全等形的識(shí)別，做題時(shí)要注意運(yùn)用定義，注意觀察題中圖形，屬于較容易的基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)二利用全等圖形求正方形網(wǎng)格中角度之和

例題：(2021?全國?八年級(jí)專題練習(xí))如圖為6個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形的組合圖形，則Nl+/3-/2=()

A.30°B.45°C.60°D.135°

【答案】B

【解析】

【分析】

首先利用SAS定理判定AABC絲/XOBE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得N3=NACB,再由NACB+N1=/1+/

3=90°,可得N1+N3-N2.

【詳解】

?在"BC和AOBE中

AB=BD

<ZA=ZD,

AC=ED

:.△ABC9/\DBE(SAS),

Z3=ZACB,

'：ZACB+Z1=90°,

.\Zl+Z3=90°,

Z2=45°

/.Zl+Z3-Z2=90°-45°=45°,

故選B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形對(duì)應(yīng)角相等.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022.山東.濟(jì)南市槐蔭區(qū)教育教學(xué)研究中心二模）如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，求度.

【答案】45

【解析】

【分析】

連接A3,根據(jù)正方形網(wǎng)格的特征即可求解.

【詳解】

解：如圖所示，連接A8

CE

;圖中是4x4的正方形網(wǎng)格

:.AD=CE,ZADB^ZAEC,DB=AE

：.LADBdCEA(SAS)

：.ZEAC^ZABD^a,AB^AC

'：ZABD+ZBAD^90°

：.ZEAC+/BAD=90°,即ZCAB=90°

ZACB=ZABC=45°

?/BD//CE

/BCE=/DBC=。

ZABC=ZABD+ZDBC=a+/3

a+J3=45°

故答案為：45.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形網(wǎng)格中求角的度數(shù)，利用了平行線的性質(zhì)、同角的余角相等、等腰直角三角形的性質(zhì)等

知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是能夠掌握正方形網(wǎng)格的特征.

2.（2020?江蘇省灌云高級(jí)中學(xué)城西分校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，由4個(gè)相同的小正方形組成的格點(diǎn)圖中，

Zl+Z2+Z3=度.

【答案】135

【解析】

【分析】

首先利用全等三角形的判定和性質(zhì)求出Z1+Z3的值，即可得出答案;

【詳解】

如圖所示,

在AACB和AOCE中

AB=DE

4A=ND,

AC=DC

44cB=4DCE（幺S）,

ZJ\BE—N3,

ZL+N2+N3=（Z1+Z3）+45°=90°+45°=135°；

故答案是：135。.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等圖形的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)三全等三角形的概念

例題：（2021?福建?福州三牧中學(xué)八年級(jí)期中）有下面的說法：①全等三角形的形狀相同；②全等三角形的

對(duì)應(yīng)邊相等；③全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；④全等三角形的周長(zhǎng)、面積分別相等.其中正確的說法有（）

A.1個(gè)2.2個(gè)C.3個(gè)D4個(gè)

【答案】D

【解析】

【分析】

先分別驗(yàn)證①②③④的正確性，并數(shù)出正確的個(gè)數(shù)，即可得到答案.

【詳解】

①全等三角形的形狀相同，根據(jù)圖形全等的定義，正確；

②全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，正確；

③全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，正確；

④全等三角形的周長(zhǎng)、面積分別相等，正確；

故四個(gè)命題都正確，

故D為答案.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等的定義、全等三角形圖形的性質(zhì)，即全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、面積周長(zhǎng)

均相等.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?上海?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在AABC和A4BC中，已知2B=4B',ZA=ZA\AC=A'C,那

么AABC注AAEC'.

說理過程如下:

把"BC放到AA0C上，使點(diǎn)A與點(diǎn)4重合，由于=,所以可以使點(diǎn)B與點(diǎn)夕重合.又因

為=,所以射線能落在射線上，這時(shí)因?yàn)?，所以點(diǎn)_

與重合.這樣A4BC和AAEC重合，即AABC之△AEC.

【解析】

【分析】

直接利用已知結(jié)合全等的定義得出答案.

【詳解】

解：把AABC放到上，使點(diǎn)A與點(diǎn)4重合，由于所以可以使點(diǎn)8與點(diǎn)夕重合.又因?yàn)?

A=/4,所以射線AC能落在射線AC上，這時(shí)因?yàn)锳C=AC,所以點(diǎn)C與C重合.這樣AABC和A49C

重合，即AABC多△4B'C'.

故答案為：AB,A'B',ZA,ZA',AC,AC,AC=A'C,C,C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，理解填空.

考點(diǎn)四全等三角形的性質(zhì)

例題：（2021?重慶大足?八年級(jí)期末）如圖，AABC和ADEF全等，且NA=ND,AC對(duì)應(yīng)OE.若AC=6,

BC=5,AB=4,則。尸的長(zhǎng)為（）

A.4B.5C.6D.無法確定

【答案】A

【解析】

【分析】

全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)題中信息得出對(duì)應(yīng)關(guān)系即可.

【詳解】

：AABC和ADEF全等，NA=ND,AC對(duì)應(yīng)DE

/.AABCNADFE

：.AB=DF=4

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等二角形的概念及性質(zhì)，應(yīng)注意①對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角是對(duì)兩個(gè)二角形而言的，指兩條邊、兩個(gè)

角的關(guān)系，而對(duì)邊、對(duì)角是指同一個(gè)三角形的邊和角的位置關(guān)系②可以進(jìn)一步推廣到全等三角形對(duì)應(yīng)邊上

的高相等，對(duì)應(yīng)角的平分線相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)及面積相等③全等三角形有傳遞性.

【變式訓(xùn)練】

A.80°B.70°C.65°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】

由△ABC必DEF根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NC=/F=30°,再利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行求解即可.

【詳解】

△ABC=ADEF,

：.ZC=ZF,

■.■ZF=30°,

,-.ZC=30°,

ZA=80°,ZA+ZB+ZC=180°,

.?.ZB=180°-ZA-ZC=70°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?上海?七年級(jí)專題練習(xí))如圖所示，D,A,E在同一條直線上，BDLDE于D,CE_LDE于E,且反48。

(l)DE的長(zhǎng)；

(2)NB4C的度數(shù).

【答案】⑴DE=6cm；

(2)ZBAC=90°

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)垂直的定義得到/。=90。，求得/。84+/54。=90。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

等量代換即可得到結(jié)論.

(1)

解：*.*△CAE,AD=2cmfBD=4cm,

AE=BD=4cm,

/.DE=AD+AE—6cm.

(2)

9

：BDA.DE,

：.ND=90。，

???N084+N5W=9O。，

AABD^ACAE,

ZDBA=ZCAE

，ZBAD+ZCAE=90°,

：.ZBAC=90°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)五用SSS證明三角形全等

例題：(2022?河北?平泉市教育局教研室二模)如圖，BD=BC,點(diǎn)E在3c上，且3E=AC,DE=AB.

(1)求證：AABC%EDB；

(2)判斷AC和即的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)AC||BD,理由見解析

【解析】

【分析】

(1)運(yùn)用SSS證明即可；

(2)由(1)得=根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得結(jié)論.

(1)

在AABC和AED8中，

BD=BC

<BE=AC,

DE=AB

：.AABC=AEZ汨(SSS)；

⑵

AC和BD的位置關(guān)系是AC||BD,理由如下:

,/AABC=AEDB

NDBE=NBCA,

：.AC\\BD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2021?河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中)如圖，在線段上有兩點(diǎn)5F,在線段的異側(cè)有兩點(diǎn)A,D,

且滿足AB=CD,AE=DF,CE=BF,連接AF；

(1)分8與NC相等嗎？請(qǐng)說明理由.

(2)若NB=40。，NDFC=20°,AF平分44E時(shí)，求/A4F的度數(shù).

【答案】(1)/B=/C,理由見解析

(2)60°

【解析】

【分析】

(1)由“S5S'可證zxAEB也△。尸C,可得結(jié)論；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得/AEB=/E>PC=20。，可求/￡AB=120。，由角平分線的性質(zhì)可求解.

(1)

解：NB=NC,

理由如下：

?；CE=BF

BE=CF

在A4EB和△DPC中

AB=CD

<AE=DF

BE=CF

AAEB^Ar)FC(SSS)

NB=NC

(2)

解：VAEB^VDFC

ZAEB=NDFC=20。

：.NEAB=180°-ZB-ZAEB=120°

,/AF平分

ZBAF=-ZBAE=6Q°

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵.

2.(2022?山東濟(jì)寧?八年級(jí)期末)如圖，在四邊形A2CZ)中，CB_LAB于點(diǎn)CD,于點(diǎn)。，點(diǎn)E,F

分另IJ在AB,上，AE=AF,CE=CF.

⑴若AE=8,CD=6,求四邊形AECF的面積；

⑵猜想ND4B,ZECF,NDFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】(1)48

(2)ZDAB+ZECF=2ZDFC,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)連接AC,證明AACE也/XACF,則SzACE=SzACE根據(jù)三角形面積公式求得SMCF與S/ACE,根

據(jù)S屋彩AEC尸uSMCF+SMCE求解即可；

(2)由AACE四△ACT可得/FC4=/ECA,ZFAC=ZEAC,ZAFC=ZAEC,根據(jù)垂直關(guān)系，以及三角

形的外角性質(zhì)可得ZDFC+ZBEC=ZFCA+ZFAC+ZECA+ZEAC=ZDAB+ZECF.可得ZDAB+Z

ECF=2ZDFC

(1)

解：連接AC如圖,

AE=AF

iiAACE和△ACT中｛CE="

AC=AC

：.AACE^AACF(5SS).

Z.SAACE=SAACF,ZFAC=ZEAC.

?：CB_LAB,CDA.AD,

：.CD=CB=6,

：.SAACF=SAACE=^AECB=Ix8x6=24.

???S^AECF=S^ACF+SAACE=24+24=48.

(2)

ZDAB+NECF=2NDFC

證明：??'△ACE^AACF,

：.ZFCA=ZECA,ZFAC=ZEAC,ZAFC=ZAEC.

???/。尸。與24尸。互補(bǔ)，N3EC與NAEC互補(bǔ)，

:.ZDFC=ZBEC.

?.,ZDFC=ZFCA+ZFACfZBEC=ZECA+NEAC,

：.ZDFC+NBEC=ZFCA+ZFAC+ZECA+ZEAC

=ZDAB+ZECF.

：.ZDAB+ZECF=2ZDFC

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)六用&4S證明三角形全等

例題：（2022?福建省福州第十九中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)。是線段AB的中點(diǎn)，且8=5C.求證:

△AOD'OBC.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到AO=30,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ZA3>=/0BC,根據(jù)全等三角形的判定定理

即可得到結(jié)論.

【詳解】

證明：???點(diǎn)。是線段的中點(diǎn)，

AO=BO,

'：OD//BC,

：.ZAOD=ZOBC,

在△AOO與AOBC中，

AO=BO

<ZAOD=ZOBC,

OD=BC

：.^AOD^^OBC（SAS）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022.云南普洱?二模）如圖，AABC和AEED分別在線段AE的兩側(cè)，點(diǎn)C,O在線段AE上，AC=DE,

AB//EF,AB=EF.求證：BC=FD.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

利用M//￡F,得到N4=NE,再用AC=￡>E,AB=EF,得到AABC之△EED(SAS\然后用三角形全等

的性質(zhì)得到結(jié)論即可.

【詳解】

證明：-.-AB//EF,

:.ZA=ZE,

在△ABC和△EFD中

AC=DE

，NA=NE,

AB=EF

:.AABC2AEFD(SAS),

:.BC=FD.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形全等的判定，平行線的性質(zhì)，找到三角形全等的條件是解答本題的關(guān)鍵.

2.(2022?四川省南充市白塔中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))如圖，點(diǎn)2、C、E、尸共線，AB=DC,ZB=ZC,BF=CE.

求證：AABE咨ADCF.

___________B

【答案】證明見解析;

【解析】

【分析】

根據(jù)兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SASD；即可證明；

【詳解】

證明：：點(diǎn)8、C、E、/共線，BF=CE,

：.BF+EF=CE+EF,

：.BE=CF,

△ABE和ADCF中：BA=CD,NABE=NDCF,BE=CF,

：.4ABEm/\DCF（SAS）；

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定；掌握（SAS）的判定條件是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)七用ASA證明三角形全等

例題：（2022?上海.七年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，ABLBD,EDLBD,C是BD上的一點(diǎn)，ACLCE,AB

CD,求證：BC=DE.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等.

【詳解】

證明：CABLED,ED±BD,AC±CE（已知）

AZACE=ZZ）=90o（垂直的意義）

VZBCA+ZDCE+ZACE=ISO°（平角的意義）

ZAC￡=90°（已證）

/.ZBCA+ZDCE=90°（等式性質(zhì)）

VZBCA+ZA+ZB=180°（三角形內(nèi)角和等于180°）

ZB=90°（已證）

.?.48。4+/4=90。(等式性質(zhì))

：.ZDCE=ZA(同角的余角相等)

在AABC和△?)￡1中,

ZA=ZDCE

AB=CD

NB=ND

：.AABC^/\CDECASA)

：.BC=DE(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?廣西百色?二模)如圖，在AABC和△DC3中，ZA=ZD,AC和DB相交于點(diǎn)O,OA=OD.

AD

------------------

(1)AB=DC；

(2)AABC^ADCB.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)證明AAB。0AOCO(ASA),即可得到結(jié)論；

(2)由ZkAB。妾△￡>(%),得至l]OB=OC,又。4=0。，得到&)=AC,又由NA=N。，即可證得結(jié)論.

(1)

證明：在AABO與AOCO中，

ZA=ZD

<0A=0D,

ZAOB=ZDOC

.'.^ABO^ADCO(ASA)

：.AB=DC；

⑵

證明：,：xABO/&DCO,

：.OB=OC,

'：OA=OD,

：.OB+OD=OC+OA,

J.BD^AC,

在ZkABC與△DCB中，

AC=BD

<NA=ND,

AB=DC

：.AABC^ADCB(SAS).

【點(diǎn)睛】

此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握并靈活選擇全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?貴州遵義?八年級(jí)期末)如圖，已知ZACB=ZD,AC=DE.

⑴求證：AABC三AEAD.

⑵若N3CE=60。，求ZR4D的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)60°

【解析】

【分析】

(1)利用平行線的性質(zhì)得/C4B=/E,利用“角邊角”即可證明AABC三?D；

(2)由鄰補(bǔ)角的定義求出NACB=180O-N3CE=120。，進(jìn)而得到〃=120。，再利用兩直線平行同旁內(nèi)角

互補(bǔ)求出NB4D.

由兩直線平行得

(1)

證明：???A8||r?E,

/CAB=NE,

在AABC和中，

ZCAB=ZE

■AC=DE,

ZACB=ZD

:.AABC=^AD.

(2)

解：?.,ZBCE=60°,ZACB+ZBCE=180°,

ZACB=180°-ZBCE=120°,

ZD=ZACB=120°,

■.■AB\\DE,

:.ZD+ZBAD=1SO°,

ABAD=180°-ZD=l80°-120°=60°.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行線的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義、全等三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.平

行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

考點(diǎn)八用AAS證明三角形全等

例題：(2022?上海?七年級(jí)專題練習(xí))如圖，已知BE與C。相交于點(diǎn)。，且20=C0,ZADC=ZAEB,那

么ABDO與ACEO全等嗎?為什么？

D.E

【答案】△BDO"ACEO(44S)；原因見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)44s證明ABDO與ACEO全等即可.

【詳解】

解：&BDO與&CEO全等;

?.?NBDO=1800-ZADC,ZCEO=1800-NAEB,

又：ZADC=ZAEB,

：.ZBDO=ZCEO,

ZBDO=ZCEO

,：在ABDO與△CEO中，,NBOD=ZCOE,

BO=CO

:.ABDO空LCEO(AAS).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS,ASA,A4S、HL.注意:

A4A、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí),

角必須是兩邊的夾角.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?福建省福州第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè))如圖，已知A,F,E,C在同一直線上，AB//CD,ZABE=Z

CDF,AF=CE.求證：AB=CD.

AD

//

E

BC

【答案】見詳解

【解析】

【分析】

根據(jù)全等三角形證明XABEdCDF,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】

證明：-JAB//CD,

：.ZACD=ZCAB,

,/AF=C￡,

：.AF+EF=CE+EF,

即AE=FC,

在ZkABE和△CD尸中，

ZACD=ZCAB

</ABE=NCDF

AE=CF

：.AABE^^CDF(44S).

：.AB=CD.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，一般證明線段相等先大致判斷兩個(gè)線段所在三角形是否全等，

然后再看證明全等的條件有哪些.

2.(2022?全國?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，。是AABC的邊上一點(diǎn)，CFMB,D尸交AC于E點(diǎn),DE=EF.

(1)求證：AADE咨ACFE；

(2)若AB=5,CF=4,求3。的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見解析

(2)BD=1

【解析】

【分析】

(1)利用角角邊定理判定即可；

(2)利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD的長(zhǎng)，用A3-AD即可得出結(jié)論.

(1)

證明：,：CF//AB,

:./ADF=/F,ZA=ZECF.

在ZkAOE和ACFE中，

NA=NECF

<ZADE=ZF,

DE=FE

：.AADE^ACFE(AAS).

⑵

,/LADE/ACFE,

：.AD=CF=4.

.?.BO=AB-AD=5-4=L

【點(diǎn)睛】

此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)九用HL證明三角形全等

例題：(2022?四川省南充市白塔中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))如圖,于E,。凡LBC于/，且斯=CE.

⑴求證AE=DF；

(2)判定AB和CD的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)AB//CD,理由見解析

【解析】

【分析】

(1)只需要利用乩證明放及48七四/?小。。/即可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)MAA3E名放ADCF即可得到N3=NC,即可證明A/〃CD.

(1)

解：,;BF=CE,

:?BF-EF=CE-EF,SRBE=CF,

9：AE_LBC,DF_LBC,

：.ZAEB=ZDFC=90°,

又,.?A3=DC,

：.Rt^ABE^Rt^DCF(HL),

：.AE=DF；

(2)

解：AB//CD,理由如下：

*/RtLABE^RtLDCF,

：.NB=NC,

：.AB//CD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)

鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?安徽安慶?八年級(jí)期末)如圖，AD,BC相交于點(diǎn)。,AD=BC,ZC=ZD=90°.

(1)求證：及4。2義△3ZM；

⑵若NC4B=54。，求NC4O的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)18°

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)乩證明RMABC出RMAD；

(2)先求出NABC的度數(shù)，即可利用全等三角形的性質(zhì)求出NBAO的度數(shù)，由此即可得到答案.

(1)

證明：VZD=ZC=90°,

：.△ABC和ABA。都是直角三角形，

在Rt^ABC和Rt^BAD中，

jBC=AD

[AB=BA'

:.RmABgRt^BAD(HL)；

⑵

解：在R/AABC中，NC4B=54°,ZACB=90°,

：.ZABC=36°,

Rt^ABC^Rt^BAD,

：.ZABC=ZBAD=36°,

ZCAO=ZCAB-ZBAD=54°-36°=18°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形兩銳角互余，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條

件是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?江西?永豐縣恩江中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))如圖，在"BC中，BC=AB,ZABC=90°,產(chǎn)為AB延長(zhǎng)線

上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE=CH

⑴求證：RdABE義Rt^CBF；

(2)若/C4B=30。，求/ACF的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析

(2)60°

【解析】

【分析】

(1)由“HL”可證放及鉆七名寵公。^尸；

(2)由AB=C8,ZABC=90°,即可求得NOW與NACB的度數(shù),即可得NBAE的度數(shù)，又由Rt^ABE/RsCBF,

即可求得N3C尸的度數(shù)，則由ZACF=ZBCF^ZACB即可求得答案.

(1)

,?ZABC=90°,

???ZCBF=ZABE=90°,

在Rt^ABE和Rt^CBF中,

jAE=CF

[AB=BC

：.Rt^ABE^Rt^CBF(HL)；

(2)

*：AB=BC,ZABC=90°,

：.ZCAB=ZACB=45°f

：.ZBAE=ZCAB-ZCAE=45°-30°=15°o

RtAABE/RtACBF,

：.ZBCF=ZBAE=15°,

：.ZACF=ZBCF+ZACB=15o+45o=60°

【點(diǎn)睛】

此題考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

i課后訓(xùn)練

一、選擇題

1.（2022河北石家莊?八年級(jí)期末）觀察下面的6組圖形，其中是全等圖形的有（）

③

⑥

A.3組2.4組C.5組D.6組

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)全等圖形的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：觀察圖①④⑤⑥四組圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)折后能夠完全重合，是全等圖形，共4組,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等圖形的定義，能夠完全重合的圖形是全等形，難度不大.

2.（2022?遼寧大連?八年級(jí)期末）如圖，AAOC/ADOB,AO=3,則下列線段長(zhǎng)度正確的是（）

A.AB=3B.80=3C.DB=3D.DO=3

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可求解.

【詳解】

解：VAAOC^ADOB,AO=3,

：.DO=AO=3.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，NA=/D=90。，AB=DE,添加下

列選項(xiàng)中的條件，能用乩判定aABC四△DEP的是（）

A.AC=DFB.ZB=ZEC.ZACB=ZDFED.BC=EF

【答案】。

【解析】

【分析】

根據(jù)乩判定定理即可得.

【詳解】

解：A、添力口AC=Ob,需用SAS定理判定△MCmZ）所，則此項(xiàng)不符題意；

B、添加=需用AS4定理判定則此項(xiàng)不符題意；

C,添加NACB=NOFE,需用A4S定理判定AABCMSEF,則此項(xiàng)不符題意；

。、添加BC=￡F,能用HL定理判定AABCMADEF,則此項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形全等的判定定理，熟練掌握HL判定定理是解題關(guān)鍵.

4.（2022?重慶長(zhǎng)壽?八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCQ中，AD//BC,點(diǎn)M是AQ的中點(diǎn)，且MB=MC,

若AO=4,AB=6,BC=8,則四邊形ABC。的周長(zhǎng)為（）

A.24B.26C.27D.28

【答案】A

【解析】

【分析】

先判斷AAMB0△OMC,從而得出AB=OC,然后代入數(shù)據(jù)即可求出梯形488的周長(zhǎng).

【詳解】

???點(diǎn)M是AO的中點(diǎn)，

：.MA=MD,

\'AD//BC,

ZAMB=NMBC,ZDMC=NMCB,

又；MC=MB,

：.NMBC=NMCB,

：.ZAMB=ZDMC,

在AAMB和△功0c中，

AM=DM

??,\NAMB=ZDMC

MB=MC

：.AAMB^ADMC(SAS'),

：.AB=DC,

四邊形ABCD的周長(zhǎng)=AB+BC+C￡>+A￡>=6+6+8+4=24.

故答案為：A.

【點(diǎn)睛】

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是判斷AAMB0△DMC,得出AB=DC.

5.(2022?湖北隨州?八年級(jí)期末)如圖，"3C中，P為AB上一點(diǎn)，。為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA=CQ,

過點(diǎn)尸作孫/，4。于點(diǎn)用，過點(diǎn)。作QN,AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,且PM=QN,連接PQ交AC邊于

點(diǎn)、D,則以下結(jié)論：?PD=DQ.②AB=BC；③AABC為等邊三角形；@DM=^AC.其中正確的結(jié)論

是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【解析】

【分析】

由AAS可證也△QLW,可得PD=Z＞。，進(jìn)而判斷①正確；由可證RdAPM絲MzkCQN,求出/A

=ZACB,得到AB=BC,進(jìn)而判斷②正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出MO=QN=CO+CN=CQ+AM,

可判斷④正確；根據(jù)題中條件無法得出AASC為等邊三角形，故③錯(cuò)誤.

【詳解】

解：'：PM±AC,QNLAC,

：.ZPMD=ZQND=90°,

又，：NPDM=/QDN,PM=QN,

：./\PDM^/\QDN(AAS),

：.PD=DQ,故①正確；

?：PA=CQ,PM=QN,且尸M_L4C,QN_LAC,

：.ZAMP=NCNQ=90。，

J.Rt^APM^Rt^CQN(HL)

：.ZA=ZQCN,

---ZACB=ZQCN,

：.ZA=ZACB,

：.AB=BC,即②正確;

,/^PDM^AQDN,Rt^APM^Rt^CQN,

：.MD=DN,AM=CN,

：.MD^CD+CN=CD+AM,

：.DM=^AC,故④正確；

根據(jù)題中條件無法得出44BC為等邊三角形，故③錯(cuò)誤；

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.（2022?黑龍江佳木斯?八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)。在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB^AC,添加一個(gè)條件

使△相￡^△420（填一個(gè)即可）.

【答案】AE=AD（或CE=BD或/AEB=/ADC）.

【解析】

【分析】

由于AB=AC,加上/A為公共角，然后利用全等三角形的判定方法可添加條件使AABE名△ACD

【詳解】

解："：AB=AC,ZBAE=ZCAD,

.?.當(dāng)添力口AE=AZ）（或CE=BD）時(shí)，可根據(jù)"SAS'判斷AABE四△ACD；

當(dāng)添加NB=NC時(shí)，可根據(jù)“AS4”判斷AACD；

當(dāng)添加/AE2=NADC時(shí)，可根據(jù)“A4夕判斷“BE之△ACZX

故答案為：AE=AD（CE=BDZAEB=ZADC）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵.選用哪一種判定

方法，取決于題目中的已知條件.

7.（2022.福建泉州八年級(jí)期末）已知AABC//A0（7,AB+AC=12,若440。的周長(zhǎng)為22,則8。的長(zhǎng)為

【答案】10

【解析】

【分析】

根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等詳解即可.

【詳解】

解：?；AABCW/A'B'C',夕C的周長(zhǎng)為22,

.?.△ABC的周長(zhǎng)為22,

VAB+AC=12,

：.BC=22-12=10,

：.B'C=BC=10,

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?江蘇鎮(zhèn)江?八年級(jí)期中）如圖，若AABC2ADEB,點(diǎn)。在線段AB上，若DE=7,AC=5,貝!JAO

【答案】2

【解析】

【分析】

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB=DE=7,AC=DB=5,結(jié)合圖形利用線段間的數(shù)量關(guān)系即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：:△ABC出ADEB,

：.AB=DE=1,AC=DB=5,

：.AD=AB-DB=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

題目主要考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題關(guān)鍵.

9.（2022?福建福州?八年級(jí)期末）如圖，已知NCDE=90。,ZCAD=90°,BE±AD^B,且DC=DE,若

BE=7,AB=4,則8。的長(zhǎng)為.

【答案】3

【解析】

【分析】

證明△AC￡）四△BDE得到AD=BE,即可求出BD.

【詳解】

解：VZCD￡=90°,ZCAD=90°,

ZC+ZADC=ZEDB+ZADC,

：.ZC=ZEDB,

"：BE±AD,

：.ZEBD=ZA=90°,

又,：DC=DE,

：.AACD^ABDE,

：.AD=BE=1,

VAB=4,

：.BD=AD-AB=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?江西萍鄉(xiāng)?七年級(jí)期末）如圖，在長(zhǎng)方形ABC。中，AB=4,AD=6,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E,使CE=2,

連接DE,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)2出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC—CD-D4向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為/（秒），當(dāng)A4BP和ADCE全等時(shí)，f的值為.

【答案】1或7

【解析】

【分析】

分兩種情況討論：當(dāng)AABP三AOCE全等時(shí)，BP=CE=2,此時(shí)點(diǎn)P在BC邊上；當(dāng)ABAPmDCE全等時(shí)，

AP=CE=2,此時(shí)點(diǎn)尸在邊上，即可求解.

【詳解】

解：根據(jù)題意得：AD=BC=6,CD=AB=4,

當(dāng)AABPMAOCE全等時(shí)，BP=CE=2,此時(shí)點(diǎn)P在BC邊上，則BP=2r,

2t=2,解得：f=1；

當(dāng)ABAPmOCE全等時(shí)，AP=CE=2,此時(shí)點(diǎn)P在邊上，則

4+6+6—2f=2,解得：t=7；

綜上所述，當(dāng)△ABP和AOCE全等時(shí)，f的值為1或7.

故答案為：1或7

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

11.（2022?江蘇?八年級(jí)）如圖，已知aABC會(huì)ZA=85°,ZB=60°,AB=8,EH=2

（D求角廠的度數(shù)與四的長(zhǎng);

⑵求證：AB//DE.

【答案】(1)35。；6

(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/AC2,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NF=NACB,即可得出答案;

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NB=/DEF,再根據(jù)平行線的判定即可證得結(jié)論.

(1)

解：VZA=85°,ZB=60°,

ZACB=180°-ZA-ZB=180°-85o-60o=35°,

?:△AB84DEF,AB=8,

：.ZF=ZACB=35°,DE=AB=8,

"：EH=2,

：.DH=DE-EH=8-2=6；

⑵

證明：:AABC咨ADEF,

：.ZB=ZDEF,

/.AB//DE.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)得出NB=/DEF,ZACB=ZF,注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.

12.(202)湖北省直轄縣級(jí)單位?八年級(jí)期末)如圖，已知：AB=AC,BD=CD,E為上一點(diǎn).

(1)求證：會(huì)△ACD；

(2)若/B￡D=50。，求/CED的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析

(2)ZC￡D=50°

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)SSS即可證明AABD絲AACD；

(2)只要證明(SAS),即可推出/2即=/CEO,進(jìn)而得到答案.

(1)

證明：在△A2D和母4。￡(中，

AB=AC

<BD=CD,

AD=AD

/.^ABD^/XACD(SSS)；

⑵

解：VAABD^AACD,

NADB=NADC,

在AEDB和AEDC中，

DB=DC

<ZBDE=ZCDE,

DE=DE

:.△EDB"AEDC(SAS),

ZBED=ZCED,

"：ZBED=50°,

：.ZCED=ZBED=5Q°.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形題意，熟練掌握兩個(gè)三角形全等判定與性質(zhì).

13.(2022?山東東營?七年級(jí)期末)如圖，已知/A=90。，ZADE=12Q°,8。平分NADE,AD=DE.

BE

(1)ABA。與ABED全等嗎？請(qǐng)說明理由;

⑵若。￡=2,試求AC的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

⑵6

【解析】

【分析】

(1)由“SAS'可證AAOB絲△EQB；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得/A=/DEB=90。，AD=DE=2,由含30度角的直角三角形的性質(zhì)可求解.

(1)

解：ABAD與ABED全等,

理由如下：：臺(tái)。平分/ADE,ZADE=120°,

：./ADB=/BDE=60°,

在ZkAQB和AEDB中，

AD=DE

<ZADE=ZEDB,

BD=BD

:.AADB<AEDB(SAS)；

⑵

AADB^AEDB,DE=2,ZA=90°,

ZA=ZDEB=90°,AD=DE=2,

ZADE=120°,

ZCDE=ZADC-ZADE=180°-l20°=60°,

.\ZC=30°,

CD=2DE=4,

：.AC=AD+CD=6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解題

的關(guān)鍵.

14.(2022?遼寧遼陽?七年級(jí)期末)如圖，在AABC和ADEF中，A,F,C,。在同一直線上，且AF=CD,

ZA=ZD.

(D請(qǐng)你添加一個(gè)條件：，使△MC絲△￡>斯；(只添一個(gè)即可)

(2)根據(jù)(1)中你所添加的條件，試說明△相€r絲△￡)￡■廠的理由.

【答案】Q)ZACB=NDFE

(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)全等三角形的判定定理即可求解.

(2)結(jié)合(1)的條件，利用ASA即可求證.

(1)

解：添加ZACB=ZDFE使△ABC%4DEF,

故答案為：ZACB=ZDFE.

⑵

,/AF=CD,

：.AF+FC=CD+FC,即AC=r>b,

在AABC和ADEF中，

Z=ND

<AC^DF,

ZACB=ZDFE

：.VABC^DEF(ASA).

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

15.(2022?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)期末)如圖，已知點(diǎn)E、C在線段BE上，BE=CF,AB//DE,ZACB=ZDFC,

⑴求證：AABC咨ADEF；

⑵設(shè)AC與OE交于點(diǎn)G,當(dāng)N3=50。，/5=70。時(shí)，求NAGO的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)60°

【解析】

【分析】

(1)由平行線的性質(zhì)得出根據(jù)ASA可證明△ABCgADEE

(2)由全等三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出答案.

(1)

解：證明：??,3E=CF

：.BE+CE=CF+CE,

：.BC=EF,

\9AB//DE,

:.ZB=ZDEF,

在△ABC和△￡>￡1尸中，

NB=/DEF

<BC=EF,

/ACB=NDFC

：.AABC^ADEF(ASA)；

(2)

如圖，VAABC^ADEF,