專題23四邊形綜合

1.（2021?黑龍江中考）如圖，在正方形/BCD中，對角線/C與3。相交于點。，點E在8C的延長線上，連接

DE,點尸是的中點，連接。9交C。于點G,連接C/，若CE=4,OF=6.則下列結論：①G尸=2；②

OD=&OG；③tan/COE=工；（4）Z<9DF=Z（9CF=90o；⑤點。到CF的距離為必位.其中正確的結論是

解：：正方形N3C。中，對角線/C與8。相交于點O,

二。是30中點，

?.?點尸是DE的中點，

尸是的中位線，

：.OF//BE,OF=1-BE,

2

-：CE=4,OF=6,

：.GF=1JCE=2,故①正確；

2

BE=2OF=\2,

1?正方形/BCD中，

:ADBC是等腰直角三角形，

而OF//BE,

△DOG是等腰直角三角形，

：.OD=y/2QG,故②正確；

,:BC=BE-CE=8,正方形/BCD,

.,.Z）C=8,NDCE=90°,

RtZXDCE中，

tanZCZ>E,=-^,=A=A,故③正確，

DC82

,:F是RtADCE斜邊的中點,

：.CF=DF=1.DE,

2

:./CDF=NFDC￥45°,

VZACD=ZBDC=45°,

CD+ZDCF=ZBDC+ZFDC^90°,故④不正確；

Rtz\DCE中，DE=J^2~^2=475>

:.CF=%E=2亞,

2

,：/XCDE的面積為JLC￡?DC=L><4X8=16,F是RtADCE斜邊DE的中點，

22

/.△DCF面積為8,

設點D到CF的距離為x,則工r?CF=8,

2

.?.JL?XX2旄=8,解得工=色底，

25

二點D到CF的距離為_§舍，故⑤正確；

正確的有①②③⑤，

答案：C.

2.（2021?哈爾濱模擬）如圖，邊長為2的正方形4BCD中，AE平分/DAC,AE交CD于點、F,CEL4E,垂足為

點￡,EGLCD,垂足為點G,點〃在邊BC上，BH=DF,連接N"、FH,FH與4c交于點、M,以下結論：

①FH=2BH；②ACLFH；③S—CF=1；④CE=LF；⑤EO=FG?DG,

A.2B.3C.4D.5

解：①②如圖1,「四邊形/BCD是正方形，

：.AB=AD,ZB=ZD=90°,ZBAD=90°,

'：AE平分/ZX4C,

:./FAD=NCAF=22.5°,

,:BH=DF,

：./\ABH^/\ADF,

：.AH=AF,/BAH=NFAD=22.5°,

：.ZHAC=ZFAC,

：.HM=FM,ACLFH,

平分4D/C,

：.DF=FM,

：.FH=2DF=2BH,

故選項①②正確;

③在RtZ\FMC中，ZFCM^45°,

:ZMC是等腰直角三角形，

:正方形的邊長為2,

：.AC=2-j2>MC=DF=2g-2,

：.FC=2-DF=1-(2圾-2)=4-2圾，

SMFC=LF，4DW1,

2

所以選項③不正確；

AF=22=

?VAD+DF722+(272-2)2=244-2瓜

,:△ADFs^CEF,

???A一D二A-F,

CEFC______

.22y4-2衣

4-2V2

.?2=、4-2a，

:.CE=^LAF,

2

故選項④正確；

⑤延長CE和/。交于N,如圖2,

\'AELCE,NE平分NC4D,

CE=EN,

"JEG//DN,

：.CG=DG,

在Rt△尸EC中，EG上FC,

：.EG1=FG'CG,

：.EG2=FG'DG,

故選項⑤正確；

圖2

本題正確的結論有4個，

答案：C.

3.（2021?雅安中考）如圖，在矩形/BCD中，AC,8。相交于點。，過點8作于點M,交CD于點尸，

過點。作尸交NC于點N.交.AB于點、E,連接兩，EM.有下列結論①四邊形7VEMF為平行四邊形②

DN1=MC-NC-,③△ZWF為等邊三角形④當時，四邊形尸是菱形.其中，正確結論的序號①⑵

I41_.

：.AD=BC,AD//BC,CD//AB

：.ZDAN=ZBCM,

'：BF±AC,DE//BF,

：.DE±AC,

:.NDNA=NBMC=90°,

在和△C8A/中,

，ZDNA=ZBMC

，ZDAN=ZBCM>

,AD=CB

:.AADN咨ACBM(AAS),

：.DN=BM,

,CDF//BE,DE//BF,

四邊形DFBE是平行四邊形，

：.DE=BF,

：.EN=FM,

'JNE//FM,

...四邊形NEMF是平行四邊形，故①正確，

AADNm4CBM,

：.AN=CM,

：.CN=AM,

:/AMB=NBMC=/ABC=90°,

：.ZABM+ZCBM=90°,ZCBM+ZBCM=90°,

：.ZABM=ZBCM,

:.△AMBsLBMC,

?AM=BM

"BMCM"

,:DN=BM,AM=CN,

:.DUCM-CN,故②正確，

若△。液是等邊三角形，則/CDN=60°,//CD=30°,

這個與題目條件不符合，故③錯誤，

?.?四邊形N8CD是矩形，

J.OA^OD,

；4O=AD,

?\AO=AD—OD,

???△40。是等邊三角形，

；.NADO=NDAN=60°,

AZABD=90°-ZADO=30°,

U：DELAC,

：.NADN=NODN=30°,

ZODN=/ABD,

：.DE=BE,

?/四邊形DEBF是平行四邊形，

四邊形DEAF7是菱形；故④正確.

答案：①②④.

4.（2021?鞍山中考）如圖，在正方形488中，對角線/C,AD相交于點O,尸是線段。。上的動點（點尸不與

點O,。重合），連接CF,過點尸作廠GLCF分別交NC,AB于點、H,G,連接CG交8。于點作OEIICD

交CG于點E,EF交AC于點N.有下列結論：①當時，NG=、歷2G；②型=亞；③當GM=HF

0M0C

時，CFq=CN,BC；④。解=8游+。產.其中正確的是①⑶⑷（填序號即可）.

解：如圖1中，過點G作GTL4c于廠

,:BG=BM,

：.ZBGM=ZBMG,

'：NBGM=ZGAC+ZACG,/BMG=ZMBC+ZBCM,

?.?四邊形/BCD是正方形，

：.ZGAC=ZMBC=45Q,AC=?BC,

：.ZACG=ZBCG,

,:GBLCB,GTLAC,

：.GB=GT,

e會?BOGB

?.?bABCGBG=2_____=BC^1

SAACGAG/吶0GT尤加

：.AG=42PG,故①正確，

假設型1=_QL成立，

ONOC

/FOH=/COM,

：.△FOHsdcOM,

：.ZOFH=ZOCM,顯然這個條件不成立，故②錯誤,

如圖2中，過點河作于尸，M0_L45于0,連接ZK

?：/OFH+/FHO=90°,/FHO+/FCO=90°,

/OFH=/FCO,

?：AB=CB,/ABF=/CBF,BF=BF,

:?△ABF"ACBF(&4S),

：.AF=CF,/BAF=/BCF,

■:/CFG=/CBG=90°,

AZBCF+ZBGF=ISO°,

VZBGF+ZAGF=1SO°,

ZAGF=ZBCF=/GAF,

；?AF=FG,

：.FG=FC,

：.ZFCG=ZBCA=45°,

???ZACF=/BCG,

,:MQ〃CB,

：.ZGMQ=ZBCG=ZACF=/OFH,

VZMQG=ZFO7/=90°,FH=MG,

/XFOH^/XMQG(AAS),

：.MQ=OF,

VZBMP=ZMBQ,M±AB,MP1BC,

：.MQ=MP,

：.MP=OF,

'：ZCPM=ZCOF=90°,ZPCM=ZOCF,

:.△CPM/ACOFCAAS),

：.CM=CF,

,JOE//AG,04=OC,

：.EG=EC,

?：/\FCG是等腰直角三角形，

；.NGCF=45°,

：.NCFN=/CBM,

,?NFCN=Z.BCM,

：.ABCMs^FCN,

?CM=CB

"CNCF,

:.CF2=CB-CN,故③正確，

如圖3中，將△C5M繞點C順時針旋轉90°得到△CD八連接/立則CM=C〃，BM=DW,ZMCW=90°,

ZCBM=ZCDW=45°,

:NFCG=NFCW=45°,CM^CW,CF=CF,

：.△CFMm△CFW(SAS),

：.FM=FW,

VZFDW=ZFDC+ZCDW=450+45°=90°,

：.FW2=DF2+DW2,

：.FM1=BM1+DF2,

'：BD±AC,FGA,CF,

：.ZCOF=90°,ZCFG=9Qa,

:./FCN+/OFC=90°,ZOFC+ZGFM=9Q°,

NFCN=NGFM,

■:NNFC=NFGM=45°,FG=CF,

：.△CFN沿AFGMCASA),

：.CN=FM,

：.CN1=BM1+DF1,故④正確,

答案：①③④.

圖3

5.(2021?蘭州中考)已知正方形N8CD,E,尸為平面內兩點.

【探究建模】

(1)如圖1,當點E在邊N5上時，DE1DF,且3,C,尸三點共線.求證：AE=CF；

【類比應用】

(2)如圖2,當點￡在正方形/2CD外部時，DE±DF,AELEF,且E,C,尸三點共線.

①(1)中的結論/E=C尸還成立嗎？請說明理由；

②猜想并證明線段CE,DE之間的數量關系.

圖1圖2

(1)證明：如圖1中，

?.?四邊形/BCD是正方形，

：.DA=DC,ZA=ZADC=ZDCB=90°,

\"DE.LDF,

；./EDF=NADC=90°,

ZADE=ZCDF,

在△￡)/￡1和△DCF中，

，ZADE=ZCDF

-DA=DC，

kZA=ZDCF

/\DAE^ADCFCASA),

：.AE=CF.

(2)①(1)中的結論4E=CF還成立.

證明：如圖2中，

?.?四邊形/BCD是正方形，

：.DA=DC,ZDAB=ZADC=ZDCB=ZDCF=90°,

'：DE.LDF,

；.NEDF=NADC=90°,

：.ZADE=ZCDF,

:AELEF,

：.ZAEF^90°,

AZDAE+ZDCE^180a,

VZDCF+ZDCE=\^O°,

：.ZDAE=ZDCF,

在△￡>/￡和△OCF中，

,ZADE=ZCDF

<AD=CD，

kZDAE=ZDCF

:.ADAE沿ADCF(ASA),

：.AE=CF.

②解：結論：EA+EC=y[2DE.

理由：如圖2中，連接AC交。E于點O,過點D作DKA.EC于點K,DJLEA交EA的延長線于點J.

圖2

:四邊形42C。是正方形，△￡＞斯是等腰直角三角形,

AZDAO=ZOEC=45a，

'：NAOD=NEOC,

：.AAOD^AEOC,

AO

EO

AO

OD

'：ZAOE=ZDOC,

：.ZUOEsADOC,

:.NAEO=NDCO=45°,

：.ZDEJ=ZDEK,

;NJ=/DKE=90°,ED=ED,

：./\EDJ^/\EDK(AAS),

:.EJ=EK,DJ=DK,

；NJ=NDKC=90°,DJ=DK,DA=DC,

：.RtADJARtADATC(HL),

：.AJ=CK,

：.EA+EC=EJ-AJ+EK+CK=2EJ,

,:DE=y[^J,

：.EA+EC=42PE.

6.(2021?青島中考)已知：如圖，在矩形和等腰中，AB=8cm,AD=AE=6cm,ZDAE=90

。.點尸從點3出發(fā)，沿34方向勻速運動，速度為Icm/s；同時，點Q從點。出發(fā)，沿DB方向勻速運動，速

度為1cm/s.過點Q作QM//BE,交AD于點H,交DE于點M,過點Q作QN〃BC,交CD于點N.分別連接

PQ,PM,設運動時間為f(s)(0<Z<8).解答下列問題：

(1)當尸Q_LAD時，求f的值；

(2)設五邊形尸MDNQ的面積為S(c/),求S與/之間的函數關系式；

(3)當尸°=尸初時，求才的值；

(4)若加與相交于點憶分別連接。%和E%在運動過程中，是否存在某一時刻3使N4旌=/

圖1

由題意，BP—DQ—t(cm),

在矩形/BCD中，AB=8cm,BC=AD=6cm,ZBAD=90°,

5￡IVAB2+AD2=VS2+62=10(cm)，

'CPQLBD,

:./PQB=90°,

：.cosZPBQ=^-=^-,

PBBD

???1-0---t_―8,

t10

?L50

9

答：當尸0，AD時，f的值為9.

9

(2)如圖2中，過點尸作POLQM于點。

圖2

在等腰RtzX/DE中，AD=AE=6,ZEAD=90°,

：.BE=AB+AE=8+6=14(cm),

'：QM//BE,

：.ZPOH=ZPAH=ZOHA=90°,

...四邊形。P/H是矩形，

：.PO=AH,

,JQM//EB,

：.ZDQM=ZQDM,

,：ZQDM=ZQDM,

：./\DQM^/\DBE,

?QM=DQ

"BEDB'

?.?-Q-M_,t,

1410

：.QM=Lt(cm),

'：QN//BC,

:.NDNQ=/C=90°,

'：ZCDB=ZCDB,

:.△NDQS^CDB,

，DQ=DNNQ

"DBDCBC'

??t?_D,N_N--Q---,

1086

:?DN=&(cm),QN=^-t(.cm).

55

1?S=S四邊形

=1.(PQ+DH)?QM+LQN?ND

22

=工(HA+DH)?QM+LQN?ND

22

=X--AD?QM+1JQN*ND

22

=LX6X口+工X當義生

25255

255

，s與t之間的函數關系式為：s=&p+2L(0<?<8).

255

(3)如圖3中，延長N0交3E于點G.

A

圖3

由(1)(2)可知DC〃/8,NDNQ=90°,POLQM,

VZDNQ=ZNGA=ZBAD=90°,

四邊形NG4D是矩形，

：.BG=CN=(8-生)(cm),

5

同理可證，四邊形PG。。是矩形，

：.QO=PG=BP-CN=t-(8-生)=(2-8)(cm),

55

.,」X0=2-8,

255

???I=，80-，

11

答：當尸0=尸初時，f的值為強.

11

(4)存在.

理由：如圖4中,

D

A

圖4

由(2)得。N=生，

55

'.,QN//BC,QM//BE,

：.ZDNQ=ZNQH=ZNDH=900,

四邊形是矩形，

：.QH=DN=h,且/0〃D=9O°,

：.ZQHA=ZDAE=90°,

ZAWE=ZQWD,

：.^HQW^AAEW,

同理可證平sATMW,

?QH=HWHM=HW

,,AEWA，PA

...里=地，

"AEPA'

68-t

?7

2

經檢驗，f=工是分式方程的解，

2

答：在運動過程中，/的值為工時，AAWE=AQWD.

2

7.（2021?鎮(zhèn)江中考）如圖1,/A=/B=/C=ND=NE=/F=90°,AB,FE,DC為鉛直方向的邊，AF,ED,

3c為水平方向的邊，點E在/2,CD之間，且在/尸，2C之間，我們稱這樣的圖形為“L圖形”，記作“工圖形

ABCDEF”.若直線將上圖形分成面積相等的兩個圖形，則稱這樣的直線為該工圖形的面積平分線.

【活動】

小華同學給出了圖1的面積平分線的一個作圖方案：如圖2,將這個乙圖形分成矩形/GE/、矩形G8CD,這兩

個矩形的對稱中心。1，Q所在直線是該工圖形的面積平分線.

請用無刻度的直尺在圖1中作出其他的面積平分線.（作出一種即可，不寫作法，保留作圖痕跡）

如圖3,直線。1。2是小華作的面積平分線，它與邊2C，/尸分別交于點〃，N,過血W的中點O的直線分別交

邊BC,/尸于點尸，Q,直線尸0是（填“是”或“不是"）入圖形/BCD斯的面積平分線.

【應用】

在工圖形N8CDE/形中，已知/8=4,BC=6.

（1）如圖4,CD=AF=1.

①該工圖形的面積平分線與兩條水平的邊分別相交于點P,Q,求尸。長的最大值；

②該工圖形的面積平分線與邊CD分別相交于點G,H,當GH的長取最小值時，2G的長為—總―.

（2）設型=f。>0）,在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，如果只有與邊C。相交的面積

AF

平分線，直接寫出/的取值范圍t>l.

3-

解：【活動】如圖1,直線彷。2是該工圖形的面積平分線；

：.AF//BC,

：.ZNQO=ZMPO,

:點。是MN的中點，

：.ON=OM,

在△OQV和△(?■中，

，ZNQ0=ZMP0

?NN0Q=NM0P，

,ON=OM

:.△OQN經AOPM(AAS),

?,S^OQN-S叢OPM，

?s梯形ABMN=SMNFEDC，

；?S梯形ZBJWV-S^OPM=SMNFEDC~S叢OQN，

即SABPON=ScDEFQOM，

??SABPO仲SAOQN=ScDEFQO貯SAOPM，

SPS梯形4BPQ=ScDEFQP，

：.直線PQ是L圖形ABCDEF的面積平分線.

答案：是；

【應用】

(1)①如圖3,當尸與8重合時，PQ最大,過點。作0//L5C于〃,

￡圖形45CDE/的面積=4X6-(4-1)X(6-1)=9,

?:PQ是L圖形48co斯的面積平分線,

，梯形CDQP的面積=上義CDQ+BC)XCD=X

22

即_lx(DQ+6)義1=旦，

22

：.DQ=CH=3>,

：.PH=6-3=3,

'：QH=CD=\,

由勾股定理得：90=在可工=W6；

即PQ長的最大值是同；

②如圖4,當G/7L/8時G”最短，過點￡作EATL48于

根據上下兩部分面積相等可知，6x=(4-1)X1+(1-x)X6,

解得x=3,即BG=3；

44

答案：3；

4

(2)(?>0),

AF

：.CD=tAF,

在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，只有與邊N8,CD相交的面積平分線,

如圖5,直線DE將圖形分成上下兩個矩形，當上矩形面積小于下矩形面積時，在所有的與鉛直方向的兩條邊相

交的面積平分線中，只有與邊CZ)相交的面積平分線,

延長DE交48于G,延長FE交BC于H,

圖5

只需要滿足S矩形ZGE尸〈S矩形EHCD，

S矩形ABHF<S矩形CDG3，

：.6CD>4AFf

?CD>X

**AFT

3

答案：>2.

3

8.（2021?丹東中考）已知，在正方形/BCD中，點M、N為對角線/C上的兩個動點，且/M8N=45°,過點M、

N分別作48、5c的垂線相交于點￡,垂足分別為RG,設△/所的面積為用，△NGC的面積為S2，叢MEN

的面積為S3?

圖1圖2

（1）如圖（1）,當四邊形EEBG為正方形時，

①求證：△/FAfgZkCGN；

②求證：$3=S1+S2.

（2）如圖（2）,當四邊形EF8G為矩形時，寫出Si，$2,邑三者之間的數量關系，并說明理由;

（3）在（2）的條件下，若BG：GC=m：n請直接寫出/尸：尸3的值.

解：(1)①在正方形45cZ)和正方形瓦吆G中，

AB=CB,BF=BG,ZFAM=ZGCN=45°,ZAFM=ZCGN=90°,

：.AB-BF=CB-BG,

即AF=CG,

：.AAFM^△CGN(ASA)

②如圖1,連接8。，則5。過點E,且5Q_L4C,ZABD=ZCBD=45

由①知AAFM空△CGN,

：.AM=CN,

VZBAM=ZBCN,AB=BC,

:.4ABM%ACBN(SAS)f

:?BM=BN,/ABM=/CBN,

,:4MBN=45°=/ABD,

：./FBM+/MBO=ZMBO+ZOBN,

：.ZFBM=ZOBN,

VZBFM=ZBON=90°,

:?叢FBM沿叢OBN(44S),

：.FM=ON,

VZAFM=ZEON=90°,ZFAM=ZOEN=45°,

:?△AFM"XEON(AAS)f

同理△CGN二△EOM(44S),

:?SAEOM=SACGN，S叢EON=S“FM，

?*S3=SAMEN=SAEOGS叢EON=S?CG/SAAFM，

圖1

(2)S3=Si+5*2，理由如下：

如圖2,連接8。交/C于點O,

:四邊形/BCD是正方形，四邊形EEBG為矩形，

J.BDLAC,ZBFM=ZBON=90°,ZABD=ZCBD=45AC=BD=2OB,

■:NMBN=45°,NFBM=NOBN=45°-AMBO,

：.AFBMs叢OBN,

???B一F'=一BM,

OBBN

,___1f、22

,.S矩形EFBG=$△ABC節(jié)(m+n)X，

即BF*BG~(m+n)2x2,

.麗=[65)2乂2=[6打)2乂2=6切)2*

BGmx2m

/22、

?)x

,,AEF=A5B-BnFc=-k-m---n-----，

/m

.\AF：BF=11rL-”)，：(1n+")_L=(m-n)：(m+n).

2m2m

9.(2021?淄博中考)已知：在正方形45c。的邊5C上任取一點尸，連接4R一條與Z方垂直的直線/(垂足為點

尸)沿/尸方向，從點力開始向下平移，交邊4B于點E.

AD

廠.4―P

FFeBFC

圖1圖2圖3

(1)當直線/經過正方形N2C。的頂點。時，如圖1所示.求證：AE-BF-,

(2)當直線/經過//的中點時，與對角線8。交于點0,適2接尸。，如圖2所示.求//FQ的度數；

(3)直線/繼續(xù)向下平移，當點尸恰好落在對角線上時,交邊CO于點G,如圖3所示.設/2=2,BF=

x,DG=y,求y與x之間的關系式.

(1)證明：如圖1中，

cr

圖1

???四邊形是正方形，

；?4B=4D,/B=NBAD=90°,

'：DE±AF,

：.ZAPD=9Q°,

/.ZPAD+ZADE=90°,ZPAD+ZBAF=90°,

ZBAF=NADE,

:."BF沿ADAE(ASA),

：.BF=AE.

(2)解：如圖2中，連接/0,CQ.

：.BA=BC,ZABQ=ZCBQ=45°,

,:BQ=BQ,

:.LABQqACBQ(MS),

：.QA=QC,NBAQ=NQCB,

9：EQ垂直平分線段4R

???04=QR

^QC=QF,

：.ZQFC=ZQCF,

：.ZQFC=ZBAQ,

9：ZQFC+ZBFQ=1^Q°,

AZBAQ+ZBFQ=1SO°,

AZAQF+ZABF=1SO°,

VZABF=90°,

ZAQF=90°,

ZAFQ=ZFAQ=45°.

(3)解：過點￡作ETUCQ于T,則四邊形5C霓是矩形.

圖3

：.ET=BC,ZBET=ZAET=90°,

J四邊形ABCD是正方形，

：.AB=BC=ET,ZABC=90°,

U：AFLEG,

；?NAPE=90°,

?；/AEP+/BAF=90°,ZAEP+ZGET=90°,

NBAF=/GET,

■:/ABF=/ETG,AB=ET,

：.AABF^AETG(ASA)f

：.BF=GT=x,

'CAD//CB,DG//BE,

???BE—=BP=,BF

DGDPAD

?-?BE_—x,

y2

**?BE=TC=-^-xyy

9

：GT=CG-CTf

4廠興

.\y=k^L(0Wx<2).

x+2

10.(2021?無錫中考)已知四邊形48c。是邊長為1,點E是射線8c上的動點，以/￡為直角邊在直線

8c的上方作等腰直角三角形/EF,ZAEF=90°,設BE=m.

備用圖

（1）如圖，若點E在線段2c上運動，EF交CD于點、P,/下交CD于點。，連接CR

①當機=工時，求線段Cr的長；

3

②在△PQE中，設邊便上的高為人，請用含加的代數式表示心并求〃的最大值；

（2）設過2c的中點且垂直于2C的直線被等腰直角三角形/所截得的線段長為小請直接寫出〉與加的關系

式.

解：（1）①過尸作FG,3c于G,連接CF,如圖:

?四邊形/BCD是正方形，ZAEF=9Q°,

：.ZBAE=90°-/AEB=NFEG,Z5=ZG=90°,

;等腰直角三角形/ER

：.AE=EF,

在△4BK和AEG尸中，

2B=NG

-ZBAE=ZFEG-

AE=EF

Z./\ABE^/\EGF(AAS),

:.FG=BE=L,EG=AB=BC,

3

：.EG-EC=BC-EC,即CG=3E=

3

在RtzXCG尸中，CF=7CG2+FG2=

②△/BE繞N逆時針旋轉90°,得△/￡>?,過尸作PH_LEQ于X,如圖:

:△/BE繞N逆時針旋轉90°,得△/￡>￡,

:.LABE且LADE,ZB=ZADE'=90Q,ZBAE=ZDAE',NAEB=NE',AE=AE',BEDE',

.*.N4DC+N/DE=180°,

；.C、D、E共線，

VZBAE+ZEAD=90°,

AZDAE'+ZEAD=90°,

VZEAF=45°,

；.NE4F=/EAF=45°，

在△E/Q和△EN0中，

，AE=AE/

<ZEAQ=ZEyAQ，

,AQ=AQ

A/\EAQ^/\E'AQ(SAS),

:.NE=NAEQ,EQ=E'Q,

：./AEB=ZAEQ,EQ=DQ+DE=DQ+BE,

：.ZQEP=90°-NAEQ=90°-ZAEB=ZCEP,即時是NQEC的平分線,

又NC=90°,PH±EQ,

：.PH=PC,

VZBAE=ZCEP,ZB=ZC=90°,

：.LABEsAECP,

?CP—CEpnCP—l-in

BEABm1

；.CP=m(1-m),

.'.PH=h=-m2+m=-(m-A)2+A,

24

.?.m=工時，〃最大值是工

24

VZBAE=90°-ZAEB=ZHEG,NB=NHGE=90°,

:.AABEsAEGH,

?HG-EGpnHG_￥-m

BEABm1

：.HG=-m2+ljn,

2

■:MG//CD,G為5c中點，

:.MN為LADQ的中位線，

：.MN=^DQ,

由(1)知：EQ^DQ+BE,

設DQ=x,貝ijEQ=x+m,CQ=1-x,

RtZ\E0C中，EC2+CQ2^EQ2,

(1-m)2+(1-x)2=(x+m)2,

解得x=上衛(wèi)，

ltm

：.MN=_—,

2(If)

:.y=NH=MG-HG-MN

=1-(-)-——上IB_

22(IF)

=1-L?-——上IB_+m2,

22(IF)

:MG〃AB,

1

.?理_=雪，即HG=m~7

"ABBE'I-m

2m

同①可得MN=LDQ=―IziB―

22(14m)

:.HN=MG-HG-MN

—?_2m-l_l-m

2m2(ltm)

_1+m2

-----,

2m2+2m

?”—1+m2

??y~—5—‘

2m+2m

121112（1^），1U（°?2）

綜上所述，/=<

tm2+2m）

11.(2021?陜西中考)問題提出

(1)如圖1,在匚/ABCD中,ZA=45°,AB=8,AD=6,￡是4D的中點，點尸在。。上，且。尸=5,求四邊

形N2忙的面積.(結果保留根號)

問題解決

(2)某市進行河灘治理，優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境.如圖2所示，現規(guī)劃在河畔的一處灘地上規(guī)劃一個五邊形河

畔公園46CDE.按設計要求，要在五邊形河畔公園N8CDE內挖一個四邊形人工湖。PMN,使點。、P、M、N

分別在邊2C、CD、AE、AB上,且滿足2O=2/N=2CP,4M=OC.已知五邊形N2CDE中，/A=NB=NC=

90°,4B=800機,8c=1200/，CD=600m,AE=900m.為滿足人工湖周邊各功能場所及綠化用地需要，想讓

人工湖面積盡可能小.請問，是否存在符合設計要求的面積最小的四邊形人工湖OPAW?若存在，求四邊形OPAW

面積的最小值及這時點N到點N的距離；若不存在，請說明理由.

解：（1）如圖1,過點/作CD交CD的延長線于〃，過點E作EGLCH于G,

.?./〃=90°,

?/四邊形/BCD是平行四邊形，

.,.CD=AB=8,AB//CD,

；.N4DH=NB4D=45°,

在RtZUD“中，AD=6,

：.AH=AD-sinZBAD=6Xsin45°=3如，

?.?點￡是NO的中點，

'.DE=-1-AD=3,

2

同理EG=2返，

2

,:DF=5,

：.FC=CD-DF