第四章頻域圖像增強（1）

頻域圖像增強印刷出版－“美容”處理，平滑、柔和的外觀。原始圖像(放大的眼部細紋)(細紋減少)(細紋減少)444×508像素的低分辨率文本樣本，例如掃描、傳真、復印、歷史記錄等，放大后可以看到形狀失真和字符斷裂人眼視覺填充識別這些字符沒有問題，但機器識別系統閱讀這些斷裂字符將很困難頻域圖像增強頻域圖像增強處理圖像背景中的周期性紋理干擾頻域圖像增強步驟輸入圖像前處理傅里葉變換濾波函數傅里葉反變換后處理增強后的圖像前處理、后處理：1.中心變換2.輸入圖像向其最接近的偶數維轉換3.灰度級標定4.輸入向浮點的轉換5.輸出向8比特整數的轉換思考幾個問題：1.為什么要進行圖像變換？2.有哪些常見的變換手段？3.為什么利用傅里葉變換？它具有什么特點？圖像變換圖像變換技術：將原始圖像以某種方式變換到另外一個空間，并利用圖像在變換空間中的特有性質對圖像信息進行加工，然后再轉換回圖像空間以得到所需的效果。圖像變換是雙向的，一般將從圖像空間轉換到其他空間的操作稱為正變換，由其他空間轉換回圖像空間稱為逆變換。

為什么要圖像變換？圖像變換的意義：以某種意義來說，利用不同的空間來描述圖像，就好比使用不同的語言來表達觀點，能講兩種語言的人常常會發現，在表達某些觀點時，一種語言會比另一種語言優越。類似的，圖像處理時分析者在解決某一問題時會在不同的空間來回切換，掌握圖像變換技術，就可以在不同的空間下思考問題，并利用不同空間的優越性解決問題，這種能力是非常有用的。現在研究的圖像變換基本上都是正交變換，正交變換可以減少圖像數據的相關性，獲取圖像的整體特點，有利于用較少的數據量表示原始圖像，這對圖像的分析、存儲以及圖像的傳輸都是非常有意義的。主要變換有：離散傅立葉變換、離散余弦變換、K－L變換，沃爾什－哈達瑪變換及小波變換。

為什么要頻域變換？相較于圖像空間域處理，頻域圖像處理有以下優點：①頻域圖像處理可以通過頻域成分的特殊性質完成一些空間域圖像處理難以完成的任務，例如全局特性的提取。②頻域圖像處理更有利于信號處理的解釋，它可以對濾波過程中產生的某些效果做出比較直觀的解釋。③頻域濾波器可以作為空間濾波器設計的指導，通過傅里葉逆變換可以將頻域濾波器轉換為空間域變換的操作。通過頻域濾波做前期設計，然后實施階段用空間域濾波實現。時域&頻域什么是時域？隨時間變換的信號。音樂、跳繩、股票什么是頻域？頻域不是真實的，而是一個數學構造。頻域是一個遵循特定規則的數學范疇。正弦波是頻域中唯一存在的波形，即正弦波是對頻域的描述，因為時域中的任何波形都可用正弦波合成。用線性代數的語言就是裝著正弦函數的空間。對于一個信號來說，信號強度隨時間的變化規律就是時域特性;信號是由哪些單一頻率的信號合成的就是頻域特性。時域&頻域時域分析與頻域分析是對信號的兩個觀察面。時域分析是以時間軸為坐標表示動態信號的關系；頻域分析是把信號變為以頻率軸為坐標表示出來。目前，信號分析的趨勢是從時域向頻域發展。然而，它們是互相聯系，缺一不可，相輔相成的。貫穿時域與頻域的方法之一，就是傳說中的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級數（FourierSeries）和傅里葉變換(FourierTransformation)。傅里葉變換也被喻為描述圖像的第二種語言。傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。一維的傅里葉變換簡單的說就是將時域信號變換為多個正余弦函數的疊加，信號分解如下圖1所示。圖1時域信號分解示意圖圖像的傅里葉變換基礎圖像的傅里葉變換基礎

圖2頻域信號圖像的傅里葉變換基礎“頻域”空間的舉例：時域空間頻域空間圖像的傅里葉變換基礎傅里葉變換將圖像變成怎樣的空間？我們之前所討論，大家所熟悉的圖像空間為“空域”空間。經過傅里葉變換，則可獲得圖像的“頻域”空間。那么什么是“頻域”呢？這個就要從信號的分解開始說起……所謂的信號，就是帶有信息的物理量，對于灰度圖像，像素點的灰度值就是其攜帶的信號。因此，圖像本質上是一個二維信號的集合。圖像的傅里葉變換基礎信號分解---概述信號分解是利用“化繁為簡，化整為零”的思想，將一個復雜信號分解為一系列“簡單”信號(也稱為基元信號)的特定組合(疊加)。問題1：怎么樣的信號是我們需要的“簡單”信號？問題2：它們遵循什么樣的組合規律？信號分解---“簡單”信號如果一組信號彼此完全不相似，它們互相不包含對方的分量，則這組信號是我們需要的簡單信號。在數學上，有一個專門的術語描述這種性質，叫“正交”性。(信號是物理述語，在數學世界，信號等價于函數)圖像的傅里葉變換基礎信號分解---概述信號分解是利用“化繁為簡，化整為零”的思想，將一個復雜信號分解為一系列“簡單”信號(或稱基元信號)的特定組合(疊加)。問題1：怎樣的信號是我們需要的“簡單”信號？正交信號：正、余弦函數；復指數函數。問題2：它們遵遁什么樣的組合規律？正弦函數:就是圓上任意一點的y坐標（紅）和弧長（藍）之間的關聯。左圖的藍色弧長和右圖的藍線完全一樣。余弦函數就是圓上任意一點的x坐標和弧長之間的關聯，只不過在畫函數的時候，把圓上點的x坐標打了個彎，對應成了函數曲線上的y坐標，就像這張圖里的藍線那樣。圖像的傅里葉變換基礎法國數學家傅立葉(生于1768年)在1822年出版的《熱分析理論》一書中指出:任何周期函數都可以表達為不同頻率的正弦和或余弦和的形式,即傅立葉級數。20世紀50年代后期,快速傅立葉變換算法出現,得到了廣泛的應用。傅里葉變換在物理學、電子類學科、數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用。傅里葉級數第一幅圖是一個郁悶的余弦波cos（x）第二幅圖是2個余弦波的疊加cos(x)+a.cos(3x)第三幅圖是4個余弦波的疊加第四幅圖是10個余弦波的疊加圖像的傅里葉變換基礎

圖像的傅里葉變換基礎傅里葉變換的介紹一維連續信號的傅立葉變換一維離散信號的傅里葉變換（離散時間傅里葉變換）一維離散傅里葉變換二維連續信號的傅立葉變換二維離散信號的傅里葉變換（離散時間傅里葉變換）二維離散傅里葉變換一維連續函數的傅立葉變換

式中，，x為時域變量，

u為頻域變量。一維連續函數的傅立葉變換對的符號表示為：

復數形式：指數形式：幅值譜：相位譜：

能量譜：一維連續傅里葉變換

一維連續傅里葉變換一維連續傅里葉變換對應的傅立葉譜為：一維連續傅里葉變換簡單函數的傅里葉譜M點離散函數及其傅里葉頻譜(M=1024,A=1,K=8)；對應的傅里葉頻譜曲線下面積：當x域加倍時，頻率譜的高度也加倍；當函數長度加倍時，相同間隔下頻譜中零點的數量也加倍。卷積定理

設{f(x)|f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}為一維信號f(x)的N個抽樣，其離散傅立葉變換對為：式中：x，u=0，1，2，…,N－1。由于連續傅立葉變換在計算機上無法直接使用，計算機只能處理離散數值，為了在計算機上實現傅立葉變換計算，必須把連續函數離散化，即將連續傅立葉變換轉化為離散傅立葉變換(DiscreteFourierTransform，簡稱DFT)。（15）（16）一維離散傅里葉變換沖激信號及取樣特性單位沖激信號：特性：

沖激信號及取樣特性沖激序列：

沖激序列的傅里葉變換

取樣和取樣函數的F變換取樣函數：

取樣定理

混淆單變量的離散F變換（DFT）

（4.4-11）（4.4-12）（4.4-13）一維傅立葉變換及其反變換離散函數f(x)(其中x，u=0,1,2,…,M-1)的傅立葉變換:F(u)的反變換的反變換：計算F(u)：1)在指數項中代入u=0，然后將所有x值相加2)u=1，復對所有x的相加；3)對所有M個u重復此過程，得到完整的FT。傅里葉變換的連續性和離散性函數在時（頻）域的離散對應于在頻（時）域的周期性反之連續則意味著在對應域的信號的非周期性一維離散傅里葉變換離散傅里葉變換及其反變換總存在。用歐拉公式得得：每個F(u)由f(x)與對應頻率的正弦和余弦乘積和組成；u值決定了變換的頻率成份，因此，F(u)覆蓋的域(u值)稱為頻率域，其中每一項都被稱為FT的頻率分量。與f(x)的“時間域”和“時間成份”相對應。一維離散傅里葉變換傅里葉變換將信號分成不同頻率成份。類似光學中的分色棱鏡把白光按波長(頻率)分成不同顏色，稱數學棱鏡。傅里葉變換的成份：直流分量和交流分量由歐拉公式可知

可見，離散序列的傅立葉變換仍是一個離散的序列，每一個u對應的傅立葉變換結果是所有輸入序列f(x)的加權和（每一個f(x)都乘以不同頻率的正弦和余弦值），u決定了每個傅立葉變換結果的頻率。（17）（18）二維DFT傅里葉變換一個圖像尺寸為M×N的函數f(x,y)的離散傅立葉變換F(u,v):F(u,v)的反變換的反變換:二維DFT傅里葉變換二維離散傅立葉變換在極坐標下表示:頻率譜相位譜功率譜二維DFT傅里葉變換(u,v)=(0,0)位置的傅里葉變換值為即f(x,y)的均值，原點(0,0)的傅里葉變換是圖像的平均灰度。F(0,0)稱為頻率譜的直流分量(系數)，其它F(u,v)值稱為交流分量(交流系數)。二維DFT傅里葉變換的性質平移特性當u0=M/2,v0=N/2時通常在變換前用(-1)x+y乘以輸入圖像函數，實現中心化變換：二維DFT傅里葉變換的性質將F(u,v)原點變換到(M/2,N/2),它是頻域M×N區域中心。頻率范圍指定為頻率矩形：u=[0,M-1],v=[0,N-1]。為了確保移動后的坐標為整數，要求M和N為偶數。計算過程中，變量u從1到M，而v從1到N，變換的實際中心變為u=(M/2)+1，v=(N/2)+1。離散傅里葉變換是對區間[0,M-1]中的u值表述的，變換結果是關于原點對稱的兩個半周期，要顯示完全的周期，需要將變換的原點移到u=M/2，二維圖像中心化亦是如此二維DFT傅里葉變換的性質共軛對稱性

如果f(x,y)是實函數，其傅里葉變換必然對稱：

F(u,v)=F*(-u,-v)|F(u,v)|=|F(-u,-v)|

傅里葉變換的頻率譜是對稱的。共軛對稱和中心對稱的性質簡化了頻率域內循環對稱濾波器的技術條件。簡單二維函數的中心譜空間域和頻率域抽樣點之間的關系如下：簡單二維函數的中心譜二維傅里葉變換的性質周期性傅里葉級數(DFS)有周期性M×N，反變換也是周期性的。DFT是其中的一個周期。

二維傅里葉變換的性質分配性傅里葉變換對加法有分配性，而乘法沒有。傅里葉反變換適用于相同的結論。

二維傅里葉變換的性質比例變換性

對于比例因子a,b

二維傅里葉變換的性質旋轉性

引入極坐標

二維傅里葉變換的性質微分性質

二維傅里葉變換的性質拉普拉斯算子線性

第四章頻域圖像增強（2）

頻域圖像增強步驟輸入圖像前處理傅里葉變換濾波函數傅里葉反變換后處理增強后的圖像前處理、后處理：1.中心變換2.輸入圖像向其最接近的偶數維轉換3.灰度級標定4.輸入向浮點的轉換5.輸出向8比特整數的轉換二維DFT傅里葉變換二維離散傅立葉變換在極坐標下表示:頻率譜相位譜功率譜圖像的傅里葉變換幅度譜與相位譜頻域圖像增強（案例一）印刷出版－“美容”處理，平滑、柔和的外觀。原始圖像(放大的眼部細紋)(細紋減少)(細紋減少)頻域圖像增強（案例二）444×508像素的低分辨率文本樣本，例如掃描、傳真、復印、歷史記錄等，放大后可以看到形狀失真和字符斷裂。人眼視覺填充識別這些字符沒有問題，但機器識別系統閱讀這些斷裂字符將很困難。頻域圖像增強（案例三）處理圖像背景中的周期性紋理干擾思考題如何設計相應的濾波器，對上述圖像進行增強？1）空域濾波器能否實現上述功能？2）頻率濾波器設計的基本原則是什么？3）空域濾波器與頻域濾波器是否存在關聯？一些基本的圖像特性假設低頻分量圖像灰度級的平滑區域

對應頻域空間的低頻分量高頻分量圖像細節部分(如邊緣和噪聲)對應頻域空間的高頻分量濾波器設計的基本原則低通濾波器：使低頻通過，高頻衰減（平滑）保留平滑部分，減少圖像中尖銳的細節部分高通濾波器：使高頻通過，低頻衰減（銳化）去除平滑部分，突出圖像灰度級的細節部分頻率域平滑濾波器1）理想低通濾波器(ILPF)2）Butterworth低通濾波器(BLPF)3）高斯低通濾波器(GLPF)理想低通濾波器(ILPF)理想低通濾波器:截斷傅里葉變換中所有高頻部分。變換函數:式中D0是一個規定的非負的量，叫做理想低通濾波器的截止頻率。D(u,v)是從頻率域的原點到(u,v)點的距離，即:理想低通濾波器(ILPF)理想低通濾波器ILPF變換函數的3D透視圖以圖像顯示的理想濾波器理想濾波器的徑向橫截面理想低通濾波器陡峭的截止頻率可以在計算機上實現，物理上(電子器件)不可實現！圖像的功率占比總功率

是頻域全部點

的功率譜成份之和：其中P(u,v)是傅立葉變換功率譜。通過的功率為原點在頻率矩形的中心、半徑為r的圓包含α%的功率，即：

計算截止頻率以內的圖像功率占圖像總功率值PT的百分比。理想低通濾波器(ILPF)D0=5,α=92%消除所有圖像細節，只剩大物體的“點”。細節在濾除8%功率中D0=15,α=94.6%嚴重的振鈴現象D0=30,α=96.4%標準低通振鈴現象D0=80,α=98%D0=230,α=99.5%理想低通濾波器--模糊和振鈴特性模糊和振鈴特性可用卷積定理來解釋,卷積過程濾波器輸出是卷積過程，在每個脈沖位置復制h(x,y)（乘以f(x,y))。理想濾波器響應h(x,y)

具有大的旁瓣，其引起了振鈴。理想低通濾波器--模糊和振鈴特性如r=5的ILPF，空間濾波器單位脈沖響應h(x,y)H(u,v)乘以(-1)u+v中心化；

反傅里葉變換；

IDFT的實部乘以(-1)x+y得到h(x,y).r=5的頻域ILPF的H(u,v)

h(x,y)

中心水平掃描線的灰度級剖面線關鍵是濾波器脈沖響應h(x,y)的特性：h(x,y)為sinc函數理想低通濾波器--模糊和振鈴特性空間域單位脈沖響應h(x,y)兩個主要特性：原點處有一個主要的中心成份，其主要決定模糊；中心成份周圍集中、呈周期性的成份，其主要決定理想濾波器振鈴現象。理想低通濾波器--模糊和振鈴特性*原始圖像f(x,y)黑色背景下五個明亮的像素組成，明亮的點可以近似為沖激。結果圖像g(x,y)原始亮點通過卷積而發生模糊，振鈴現象在此種情況下非常嚴重，以至于相互之間的干擾而發生畸變D0=5,α=92%消除所有圖像細節，只剩大物體的“點”。細節在濾除8%功率中D0=15,α=94.6%嚴重的振鈴現象D0=30,α=96.4%標準低通振鈴現象D0=80,α=98%D0=230,α=99.5%Butterworth低通濾波器n階Butterworth低通濾波器(BLPF)的傳遞函數定義:這里,D0是截止頻率,D(u,v)是(u,v)點距頻率矩形原點的距離,Butterworth低通濾波器巴特沃思低通濾波器傳遞函數H(u,v)的3D透視圖以圖像顯示的BLPF

濾波器頻域特性H(u,v)1到4階的BLPF濾波器H(u,v)的徑向橫截面Butterworth低通濾波器不同于ILPF，BLPF變換函數在帶通和被濾除的頻率之間沒有明顯的截斷，有一個平滑的過渡帶。對于有平滑(過渡帶)的傳遞函數H(u,v)的濾波器，定義一個截止頻率位置D0，并在D0處使H(u,v)幅度降到其最大值的某個百分比。這里β決定BLPF濾波器在截止頻率D0處的增益。

當β=1，D(u,v)=D0時，H(u,v)=0.5(從最大值1降到50%)

當β=0.414，D(u,v)=D0時，H(u,v)=0.7072階Butterworth低通濾波的結果理想低通濾波的結果Butterworth低通濾波器不同階數、相同截止頻率(都為5個像素)的BLPF空間域h(x,y)圖像表示和剖面圖：二階BPLF顯示了輕微的振鈴和較小的負值，但遠沒有ILPF明顯，是較好的折中選擇。Butterworth濾波器的特性一階的Butterworth濾波器沒有振鈴.二階的Butterworth濾波器有很微小的振鈴,但階數增大時振鈴便成為一個重要因素.當階數n充分大時,Butterworth濾波器就變成理想低通濾波器.高斯低通濾波器高斯低通濾波器變換函數:高斯低通濾波器當D(u,v)等于截止頻率時，濾波器下降到它最大值得0.607處。空間高斯濾波器沒有振鈴現象。原始圖像2階高斯濾波器空域濾波與頻域濾波間的對應關系高斯濾波器函數(低通):對應的空間域濾波器δ為高斯曲線的標準差。空域濾波與頻域濾波間的對應關系頻域濾波器越窄，濾除的低頻部分越多，圖像越模糊。在空域中意味著濾波器越寬，模板就越大(階數越大)。空域濾波與頻域濾波間的對應關系高斯濾波器的重要特性頻域和空域高斯濾波器構成傅里葉變換對，且都是實高斯函數。處理時不用考慮復數，而且高斯曲線直觀，易于操作。高斯濾波器傅里葉變換對之間有相互作用：當H(u)有很寬輪廓時(大δ值)，h(x)很窄輪廓，反之亦然；當δ趨于無窮時，H(u)趨于常函數，h(x)趨于沖擊函數。ILPF,BLPF,GLPF濾波效果對比低通濾波器的應用示例印刷出版－“美容”處理，平滑、柔和的外觀。原始圖像(放大的眼部細紋)用D0=100的GLPF濾波的結果(細紋減少了)用D0=80的GLPF濾波的結果低通濾波器的應用示例444×508像素的低分辨率文本樣本，例如掃描、傳真、復印、歷史記錄等，放大后可以看到形狀失真和字符斷裂。用GLPF(D0=80)濾波模糊后，斷開的字符連上了，很好地修復了字符。低通濾波器的應用示例a)被正弦干擾污染了的圖像b)傅里葉變換的幅度譜c)頻域濾波模版，消除噪聲脈沖d)頻域濾波后反變換的結果一系列亮點表示正弦干擾噪聲的頻譜分量在圖像噪聲濾波中的應用低通濾波器的應用示例傅里葉變換的低通濾波低通濾波器的應用示例傅里葉變換的低通濾波低通濾波器的應用示例輕微圖像壓縮，保留大部分峰值大的頻譜分量，總頻譜功率減少輕微在圖像壓縮中的應用頻域圖像增強—平滑濾波器教學重點：1）理想低通濾波器(IPLF)2）Butterworth低通濾波器(BPLF)3）高斯低通濾波器(GPLF)本節要求：1）濾波器形式2）關鍵參數分析3）設計低通濾波器思考題與作業基礎作業：習題5.1項目任務：能否利用傅里葉變換實現對織物的表面缺陷檢測？資源鏈接/competition/gameList/activeList第四章頻域圖像增強（3）

頻域圖像增強步驟輸入圖像前處理傅里葉變換濾波函數傅里葉反變換后處理增強后的圖像前處理、后處理：1.中心變換2.輸入圖像向其最接近的偶數維轉換3.灰度級標定4.輸入向浮點的轉換5.輸出向8比特整數的轉換頻率域銳化濾波器由低通濾波可知，衰減傅立葉變換的高頻成份將使圖像模糊由于在灰度級的邊緣和其它地方的急劇變化與高頻有關，圖像銳化能夠在頻率域用高通濾波器處理實現，衰減低頻部分不會擾亂傅里葉變換的高頻信息。頻率域銳化濾波器高通濾波器的傳遞函數高通濾波器:理想高通濾波器IHPF；巴特沃思高通濾波器BHPF；高斯高通濾波器GHPF；低通濾波器的傳遞函數頻率域銳化濾波器理想高通濾波器Butterwhorth高通濾波器高斯高通濾波器頻率域銳化濾波器空間域高通濾波器h(x,y)及相應的灰度剖面圖理想高通濾波器理想高通濾波器的變換函數:這里,D0是指定的截止頻率,

D(u,v)是(u,v)點距頻率矩形原點的距離,即理想高通濾波器與低通濾波器相對，IHPF將以D0為半徑的圓周內的所有頻率置為0，而毫不衰減地通過圓周外的任何頻率。IHPF也是物理不可實現的，只能通過計算機實現。和ILPF一樣有振鈴現象理想高通濾波器濾波效果(a)D0＝15(b)D0＝30(c)D0＝80a圖振鈴現象十分嚴重，以致產生失真，物體的邊界也被加粗了(字母a)，頂部三個圓的邊緣不清晰，微小的物體和線條顯現出幾乎純粹的白色。b圖情況有所改善，開始看到對微小物體的過濾，對應的空間濾波器比左圖小，但是邊緣失真仍然很明顯c圖的高通濾波圖像邊緣更加清晰，失真更小，而且細小的物體也能得到正確地過濾Butterworth高通濾波器n階Butterworth高通濾波器的傳遞函數定義:這里,

D0是截止頻率,

D(u,v)是(u,v)點距頻率矩形原點的距離,Butterworth高通濾波器透視圖

圖像表示

橫截面圖BHPF比IHPF更平滑，相同設置的BHPF邊緣失真比IHPF小得多。D0＝15D0＝30D0＝802階Butterworth濾波器比理想濾波器的平滑效果更好高斯型高通濾波器截頻距原點D0的高斯高通濾波器的傳遞函數為高斯低通高斯型高通濾波器H(D(u,v)=0)=0;H(D(u,v)=D0)=1-e-0.5=0.393

GHPF比前兩種濾波器更平滑，即使對微小物體和細線用GHPF過濾也是較清晰的。高斯低通濾波器的傅里葉反變換也是高斯的，因此沒有振鈴現象。高斯型高通濾波器GHPF濾波器比2階Butterworth濾波器的平滑效果要好平滑效果：GHPF>2階BHPF>IHPF三種高通濾波器效果比較

頻率濾波削減周期噪聲本節介紹能削減或消除周期性噪聲的專用帶阻、帶通和陷波濾波器。帶阻濾波器帶通濾波器陷波濾波器最佳陷波濾波器帶阻濾波器帶阻濾波器消除或衰減了傅里葉變換原點處的頻段。帶阻濾波器的主要應用之一是在頻率域噪聲分量的一般位置近似已知的應用中消除噪聲。理想帶阻濾波器的表達式為：其中，D(u,v)是到中心化頻率矩形原點的距離，W是頻帶的寬度，D0是頻帶的中心半徑。帶阻濾波器n階巴特沃思帶阻濾波器的表達式為：高斯帶阻濾波器的表達式為：(a)理想帶阻濾波器(b)巴特沃思帶阻濾波器(c)高斯帶阻濾波器帶阻濾波器利用帶阻濾波器消除周期性噪聲(a)被正弦噪聲污染的圖像(b)圖(a)的頻譜(c)巴特沃斯帶阻濾波器(d)濾波效果圖帶通濾波器帶通濾波器執行與帶阻濾波器相反的操作。帶通濾波器的傳遞函數Hbp(u,v)是根據相應的帶阻濾波器的傳遞函數Hbr(u,v)并應用下式：得到的。帶通濾波器Hbp(u,v)=1-Hbr(u,v)理想帶通濾波器的表達式：帶通濾波器Hbp(u,v)=1-Hbr(u,v)理想Butterworth帶通濾波器的表達式：帶通濾波器Hbp(u,v)=1-Hbr(u,v)理想Gaussian帶通濾波器的表達式：使用帶通濾波器提取噪聲模式在一幅圖像上直接執行帶通濾波器不是一個通常的做法，因為，這通常會消除太多圖像細節。不過，帶通濾波在選中頗段的圖像中屏蔽效果時是非常有用的。陷波濾波器陷波濾波器阻止(或通過)事先定義的中心頻率鄰域內的頻率。由于傅里葉變換是對稱的，要獲得有效結果，陷波濾波器必須以關于原點對稱的形式出現。這個原則的特例是，如果陷波濾波器位于原點處，則要以它本身的形式出現?？蓪崿F的陷波濾波器的對數是任意的。陷波區域的形狀也是任意的(例如，矩形)。陷波濾波器如圖分別顯示了理想、巴特沃思和高斯陷波(帶阻)濾波器的三維圖。由于傅立葉變換是對稱的,因此陷波濾波器必須以關于原點對稱的形式出現.理想陷波濾波器巴特沃思陷波濾波器高斯陷