專題17解三角形（七大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01余弦定理、正弦定理

?題型02判斷三角形的形狀

?題型03解三角形與平面向量

?題型04解三角形幾何的應用

?題型05取值范圍、最值問題

?題型06解三角形的實際應用

?題型07解三角形解答題

?題型01余弦定理、正弦定理

1.（2024?浙江金華?三模）在“8C中，角的對邊分別為。，b,c.若a=S,b=2,A=60°,貝心

為（）

A.1B.2C.3D.1或3

2.（21-22高一下?江蘇連云港?期中）△NBC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=3,c=l,

cos（/+C）=-g,貝！］6=（）

A.V?B.V13C.3D.V19

3.（2022?河南?模擬預測）已知。3C的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為3百，4=方，

b+c-4^/3，則。=（）

A.2A/3B.5C.8D.2a

4.（2022?山西晉城?三模）的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知N=30。萬+c?-/=4百,

則“BC的面積為（）

A.1B.V3C.1D.2

5.（2023?四川南充?三模）在中，角48,C的對邊分別是。也c,b2=a2+c2-ac,則8=（）

TT7c27r57r

A.-B.—C.—D.—

3636

?題型02判斷三角形的形狀

6.（21-22高二上?廣西桂林?期末）內角/,B,C的對邊分別為a,b,c.若‘=兒05/,則“8C一

定是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

7.（2023?上海嘉定?一模）已知“3C,那么就就就『＜0"是"小8C為鈍角三角形”的（）

A.充分條件但非必要條件B.必要條件但非充分條件

C.充要條件D.以上皆非

8.（2023?貴州?一模）在。8C中，a/,c分別為角4瓦。的對邊，且滿足=則。BC的形狀

為（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.直角三角形或等腰三角形D.等腰直角三角形

?題型03解三角形與平面向量

TVJT______

9.（2024?江蘇鹽城?模擬預測）中，若AB=6,/BAC=q,NACB=i，則筋.前+G5.而=（）

A.54B.27C.9D.376

10.（2024?安徽六安?模擬預測）已知平面向量3,b，3滿足同=1,W=6,=

句-3分㈤=30。，則同的最大值等于（）

A.2不B.V?C.2A/3D.36

3,。滿足|/同=2,昌一篇與，則|就+前|

11.（2024?廣東東莞?模擬預測）已知在同一平面內的三個點/,

CA

的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,V3]D.[0,2V3]

?題型04解三角形幾何的應用

12.（2024?北京?三模）在四棱錐尸-48CD中，底面NBCZ）為正方形，48=4,PC=PD=3,ZPCA=45°,

則APBC的周長為（）

A.10B.11C.7+V17D.12

13.（2024?廣東廣州?模擬預測）在“8C中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,若c=3,b=2,ZBAC

的平分線/。的長為生R,則8C邊上的中線NH的長等于（）

5

AV17R4V2「后n4石

2343

14.（2023?四川南充?二模）在。"中，a,b,c分別是角4,B,C的對邊，若/+,2=2023/,則2s1ngsm;

tanZ-SIIL4

的值為（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

?題型05取值范圍、最值問題

15.（2024?江蘇連云港?模擬預測）在“3C中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,若。=1,

bcos/=l+cos8,則邊b的取值范圍為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（2,3）

16.（2024?四川成都?模擬預測）設銳角”3C的三個內角4瓦。的對邊分別為。，4c,且c=2,8=2C,則a+b

的取值范圍為（）

A.（2,10）B.（2+20,10）C.（2+272,4+273）D.（4+2后10）

17.（2024河南?三模）在A48c中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若上7+—^=二；，則tan么+tanC

cosAcos5cosC

的最小值是（）

48r-

A.-B.-C.2V3D.4

33

18.（2023?陜西榆林?一模）的內角48,C所對的邊分別為a,6,c,若asirL4+（b+Xa）sinB=csinC,則

彳的取值范圍為（）

A.（-2,2）B.（0,2）C.[-2,2]D.[0,2]

?題型06解三角形的實際應用

19.（2024?陜西西安?模擬預測）在100m高的樓頂A處，測得正西方向地面上3、C兩點（&C與樓底在同

一水平面上）的俯角分別是75。和15。，則3、C兩點之間的距離為（）.

C.180GD.20073

20.（2024?廣東?二模）在一堂數學實踐探究課中，同學們用鏡而反射法測量學校鐘樓的高度.如圖所示，將

小鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時測量人和小鏡子的距離為

%=L00m,之后將小鏡子前移a=6.00m,重復之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為的=0-60m,已

知人的眼睛距離地面的高度為〃=1.75m,則鐘樓的高度大約是（）

A.27.75mB.27.25mC.26.75mD.26.25m

21.（2024?上海嘉定?二模）嘉定某學習小組開展測量太陽高度角的數學活動.太陽高度角是指某時刻太陽

光線和地平面所成的角.測量時，假設太陽光線均為平行的直線，地面為水平平面.如圖，兩豎直墻面所

成的二面角為120。，墻的高度均為3米.在時刻乙實地測量得在太陽光線照射下的兩面墻在地面的陰影寬

度分別為1米、1.5米.在線查閱嘉定的天文資料，當天的太陽高度角和對應時間的部分數據如表所示，則

時刻f最可能為（）

太陽高度角時間太陽高度角時間

43.13°08:3068.53°10:30

49.53°09:0074.49°11:00

55.93°09:3079.60°11:30

62.29°10:0082.00°12:00

A.09:00B.10:00C.11:00D.12:00

22.(2024?云南昆明?一模)早期天文學家常采用“三角法”測量行星的軌道半徑.假設一種理想狀態：地球E

和某小行星〃繞太陽s在同一平面上的運動軌道均為圓，三個星體的位置如圖所示.地球在4位置時，測

2兀37r

出行星M繞太陽運動一周回到原來位置，地球運動到了用位置，測出/5片眼=彳

7T

NE]SE\.若地球的軌道半徑為七則下列選項中與行星M的軌道半徑最接近的是(參考數據:

V3?1.7)()

C.2.37?D.2.4R

?題型07解三角形解答題

23.(2024?內蒙古?三模)在AABC中,內角4及。的對邊分別為a,6,c,且

(a_0"cosC=c(0cos5-cos/).

⑴求2的值；

a

(2)若B=2C,證明：“BC為直角三角形.

24.(2024?四川綿陽?模擬預測)三角形三內角A,B,C的對邊分別為。，b,c.已知回=匕蟲巨.

asiib4

(1)求角3的大小；

(2)若。3C的面積等于。為2C邊的中點，當中線的長最短時，求NC邊的長.

25.(2024?重慶渝中?模擬預測)已知。8C的內角4瓦C的對邊分別為Ac,且滿足

Gc

-------sinB=taib4-cosB.

a

(1)求角A的大小；

(2)若^ABC為銳角三角形且a=2屈,求“8C面積的取值范圍.

26.（2024?江西?模擬預測）在小臺。中，角A,B,。所對的邊分別記為。，b,c,且

,cosB-sinC

tanA=----------------.

cosC+sin5

（1）若B=（,求C的大小.

o

（2）若Q=2,求b+c的取值范圍.

27.（2023?全國?模擬預測）記A45C的內角4B,C的對邊分別為〃，b,c,已知

cos2B-cos2A=4（cosC-cos2345C）.

JT

⑴若。=],求4；

（2）若△ABC為銳角三角形，求，空的取值范圍.

bc

—*、單選題

1.（2024?湖南?模擬預測）在“3C中，c=l,a=2,C=30。，貝iJ/=（）

A.60°B.90°C.45°D.120°

2.（2024?吉林?模擬預測）在中，角Z,B,C所對的邊分別為a,b,c,“acosB=6cos/”是

“A=B"（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2024?江西九江?三模）在A48c中，角4瓦C所對的邊分別為仇c,已知2c-a=2反o》，貝l]g=

（）

A.&B.工C.生D.包

6336

4.（2024?陜西安康?模擬預測）在。5C中，三個內角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,且

℃05（2+e）=加1強，若a=也,c=2,則6=（）

A.1B.2C.2A/3D.4

5.（2024?浙江紹興?三模）在“3C中，內角4B,C所對的邊分別為a,b,c.若

2bcos（5+C）-acosC=ccosA,則力等于（）

2

6.（2024?重慶?模擬預測）記。的內角的對邊分別為。也c,若5=§兀,6=6,/+〃=3〃。，則

的面積為（）

9I-Q9I-9

A.—V3B.—C.—>/3D.—

4422

7.（2024?湖北武漢?模擬預測）在三角形力中，角A,B,C的對邊分別為b,。且滿足02一/=仍，

c=2,則面積取最大值時，cosC=（）

AA/3—1口6+102--x/2n2+V2

2424

8.（2024?全國?模擬預測）在銳角”8C中，^V3sin^f—+—^=sin5smC,且6sinC+cosC=2,

Vac）

則a+b能取到的值有（）

A.5B.4C.273D.3

二、多選題

9.（2023?安徽?模擬預測）在。BC中，AB3B=60。,若滿足條件的三角形有兩個，則4C邊的取值可

能是（）

A.1.5B.1.6C.1.7D.1.8

10.（2024?江蘇南京?二模）已知“BC內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,。為“BC的重心，

cosA=j,AO=2,貝！J（）

_.1___.1_.____

A.AO=-AB+-ACB.AB-AC<3

C.AA8C的面積的最大值為3振D.。的最小值為26

11.（2024?貴州黔南?二模）已知銳角的三個內角A,B,C的對邊分別是。，b,c,且。3C的面

積為字S+c?一/）.則下列說法正確的是（）

A.5=|

B.A的取值范圍為。

C.若6=百，則A48c的外接圓的半徑為2

’3追3行

D.若a=6，則448c的面積的取值范圍為

82

7

三、填空題

44

12.（2024?湖南長沙?二模）在AA8C中，若BC=2,tanA=--,cosB=-,貝！］/C=.

13.（2024?湖北襄陽?模擬預測）在“BC中，48=4C,點。在線段8c上，ABLAD,80=3,。=1,

點〃是。8C外接圓上任意一點，則君.而最大值為.

14.（2024?江蘇?模擬預測）在“8C中，角4及。所對的邊分別為a/,c,若a=2,c=3,cos3=6cosC,尸,。

分別在邊和以上，且P0把。8C的面積分成相等的兩部分，則尸。的最小值為.

四、解答題

71

15.（2024?河北秦皇島?三模）在中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,