將軍飲馬模型解讀與提分精練

將軍飲馬模型在考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學生感覺有困難的地方，也恰是學生

能力區分度最重要的地方，主要考查轉化與化歸等的數學思想。在各類考試中都以中高檔題為主。在解決幾

何最值問題主要依據是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化

歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過本專題的講解讓大家對這類

問題有比較清晰的認識。

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

目錄導航

例題講模型

........................................................................................................................................2

模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）（兩定一動）................................2

模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）（兩定一動）................................29

模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）（一定兩動）..................................53

模型4.將軍飲馬（多線段和的最值模型）（兩定兩動）..................................68

習題練模型一

----------------------J......................................................................................................................................79

例題講模型］

模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）（兩定一動）

模型解讀

條件：A,5為定點，膽為定直線，尸為直線加上的一個動點，求4P+5P的最小值。

模型（1）點4、5在直線a兩側：模型（2）點/、5在直線同側：

模型（1）點/、5在直線兩側:模型（2）點4、3在直線同側:

圖⑴圖（2）

模型（1）：如圖（1）,連結N8,根據兩點之間線段最短，/P+8P的最小值即為：線段的長度。

模型（2）：如圖（2）,作點N關于定直線%的對稱點，，連結/方,根據兩點之間線段最短，/尸+8尸的最小

值即為：線段/‘3的長度。

模型運用

例1.（2024?福建?八年級期末）如圖，在MA43c中，/4CB=9Q。,NC=8C,點C在直線上，ZBCN

=30。，點P為"N上一動點，連結4P,BP.當4P+AP的值最小時，NCAP的度數為

A

【答案】15。##15度

【分析】作點3關于兒W的對稱點。，連接4D交MN于P,連接8尸，CD,先證明△BCD是等邊三角形,

從而得到“C=CD,ZACD=ZACB+ZBCD=150°,進而求得/CDP=15。，據軸對稱性得/C8P的度數.

【詳解】如圖，作點5關于的對稱點。，連接/。交MV于P,連接8P,CD,

7點8與點。是關于MN的對稱點，NBCN=30。,：.BC=CD,ZBCD=60°,ASCZ）是等邊三角形，

；NACB=9Q°,AC=BC,：.AC=CD,ZACD=ZACB+ZBCD=150°,：.ZCDP=15°,

,/點2與點。是關于MN的對稱點，，且△BCD是等邊三角形，

...由等邊三角形的軸對稱性可知：ZCBP=ZCDP=15°,故答案為：15。.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質，軸對稱最短線路問題等知識，明確/P+8尸的最

小值為ND長是解題的關鍵.

例2.（23-24八年級上?黑龍江牡丹江?期末）如圖，等邊A/BC中，AH1.BC于點、H,點。為的中點,

SAABC=12,AB=6,點、E為4H上一點,連接BE,DE,如果m=BE+DE,那么加的最小值為.

【答案】4

【分析】本題考查等邊三角形的性質，軸對稱解決線段和最小的問題，根據等邊三角形三線合一，得到點2,C

關于/〃對稱，進而得到加根據三角形的面積求出8的長即可.

【詳解】解：連接C2CE,

?等邊“8C中，于點”，；.點8,C關于⑷/對稱，BE=CE,

m=BE+DE=CE+DE>CD,

?.?點。為4B的中點，.?.CDLNB,...S/Bc=g4s-8=12,

*/AB=6,二機的最小值為4；故答案為：4.

例3.（23-24八年級上?陜西延安?階段練習）如圖，N/8N=60。，點C為射線8N上一定點，E為線段48

延長線上一定點，且5E=/3=12,點/關于射線2N對稱點為。，連接AD,CD,DE,若尸為直線3C

上一個動點，則△PDE周長的最小值為（）.

A.12B.24C.36D.48

【答案】C

【分析】如圖：連接利用對稱的性質得到BN垂直平分則A4=AD,CA=CD,然后證明

AB4C均BDC（SSS）可得NDBN=NABN=60°；然后證明△8DE為等邊三角形，所以DE=BE=12,再利用

2N垂直平分/D,則P4=PD,所以PE+PD=PE+P42AE（當且僅當尸、4、E共線時取等號），于是可

判斷P點運動到B點時，PA+PE的是小值為24,然后求出的最小周長即可.

【詳解】解：如圖：連接

:點/關于射線5N對稱點為BN垂直平分ND,.?.64=8。，CA=CD

在A&4C和中，BA=BD,CA=CD、BC=BC,

：.^BAC^BDC（SSS）,：.ZDBN=ZABN=60°,

,?BE=BA,BA=BD,：.BE=BD：.ZE=ZBDE,

VZABD=ZE+ZBDE,:.NE=NBDE=60。,；.為等邊三角形，:.DE=BE=T2,

：8N垂直平分40,；.PA=PD,：.PE+PD=PE+PA,

PE+PA>AE,：.當且僅當A/、E共線時取等號，即點P點運動到8點時，PE+P4的最小值為24,

此時周長的最小值為36.故選C.

【點睛】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題、全等三角形的判定與性質、垂直平分線的性質、等邊三角

形的判定與性質等知識點，利用軸對稱把幾條線段的和轉化為一條線段，然后利用兩點之間線段最短是解

題的關鍵.

例4.（23-24八年級上?山東濟寧?期末）如圖，在“8C中，AB=AC,ZB=60°,ADJ.BC于點、D.P是

AD上的一個動點，PEL4C于點E,連接CP.若40=6,則PC+PE的最小值是（）

【答案】B

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質、軸對稱一路線問題，作BE'L/C于E',交4D于P,連接

P'C,PB,根據等邊三角形的判定與性質可得瓦？=4。=6,點C關于4D的對稱點為點B,從而得出當

p、B、E在同一直線上且BEL/C時，PC+PE的值最小，為BE，，即可得出答案，熟練掌握以上知識點

并靈活運用是解此題的關鍵.

【詳解】解：如圖，作8E'_L/C于￡，，交4）于P，連接PC,PB,

???在"8C中，AB=AC,ZB=60。，.1A/BC是等邊三角形,

AD1BC,BE'±AC,BE'=AD=6,BD=CD,

...點C關于4D的對稱點為點B,.?.尸C=P8,.?.尸C+P￡=P8+PE,

:.當P、B、￡在同一直線上且BEL/C時，PC+PE的值最小，為BE',

PC+PE的最小值是6,故選：B.

例5.（23-24八年級上?浙江寧波?期中）如圖，在四邊形A8CDDA1AB,DA=6cm,Z5+ZC=150°,4剛

好是9中點，P、。分別是線段CE、5E上的動點，則8尸+尸。的最小值為（）

C

【答案】D

【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，直角三角形30。所對直角邊等于斜邊的一半，正確的作出圖形

是解題的關鍵.凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情

況要作點關于某直線的對稱點.作點8關于CE的對稱點尸，連接8尸、EF,則當尸、P、。在同一直線上,

且尸時，則2尸+尸。最小值為尸。的長，計算求解即可.

【詳解】作點3關于CE的對稱點尸，連接8尸、EF,則助=￡f，

VZ5+ZC=150°,/.BEC=30°,Z.ZBEF=60°,△BE1尸是等邊三角形，

連接AP、PF、PQ,則BP=FP,：.BP+QP=FP+PQ,

當尸、P、。在同一直線上，且尸。，即時，則BP+P。最小值為尸0的長,

此時，。為E3中點，故與A重合，/_L48,ZM=6cm,二/￡=6Gcm,

在必A0E產中，FQ=~^AE=#>義6也=18(cm),

.?.3P+P。最小值為18cm.故答案為：18cm.故選：D.

F

例6.(23-24八年級上?安徽蕪湖?期末)如圖，在等腰直角。BC中，ZACB=90。,AC=BC,。為8c的

中點，48=8,點P為4B上一動點，則PC+尸。的最小值為.

【答案】2M

【分析】根據勾股定理得到BC,由中點的定義求出BD,作點C關于AB對稱點C，，則PC=PC,連接

DC,交AB于P,連接BC,止匕時DP+CP=DP+PC=D。的值最小.由對稱性可知NCBA=NCBA=45。，于

是得到/CBC=90。，然后根據勾股定理即可得到結論.

【詳解】解：在等腰直角。5c中，ZACB=90。,4C=BC,AB=8,

行

,/AC2+BC2=AB2,.-.AC=BC=—ylS=4V2.*.,。為8c的中點，；.BD=2啦.

2

作點C關于AB對稱點。，交AB于點O,則PC=PC,連接DC,交AB于P,連接BC.此時DP+CP=DP+PC=DC

的值最小.

D

'P

:點C關于AB對稱點C1.-.ZC,BA=ZCBA=45°,BC'=BC=4母,：.ZCBC'=90°,

：.DC'=yjBD2+BC'=2&U,故答案為：2回.

【點睛】此題考查了軸對稱-線路最短的問題，等腰直角三角形的性質，以及勾股定理等知識，確定動點P

何位置時，使PC+PD的值最小是解題的關鍵.

模型2.將軍飲馬模型(雙線段差的最大值)(兩定一動)

模型解讀

條件：A,3為定點，”,為定直線，尸為直線/上的一個動點，求|4P-AP|的最大值。

模型(1)：點45在直線同側:模型(2)：點N、5在直線股異側:

A

圖(2)

模型(1)：如圖(1),延長N2交直線加于點P,當/、B、尸不共線時，根據三角形三邊關系，有：

\P'A-P'B\<AB,當2、尸共線時，^\PA-PB\=AB,^L\PA-PB\<AB,即|4P-AP|的最大值即為：線段N2的

長度。

模型（2）：如圖（2）,作點2作關于直線加的對稱點夕，連接/夕交直線加于點P,此時依=P2。

當4、B、尸不共線時，根據三角形三邊關系，有：［P'A-P'B^P'A-P'B'^AB',

當4B、P共線時，有|尸/-尸8|=|尸/-尸夕|=/"，tiL\PA-PB\<AB',即的最大值即為：線段N2’的長度。

模型運用

例1.（2024?云南昆明?八年級期末）在如圖所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1,格點三角形

（頂點是網格線的交點的三角形）的頂點4c的坐標分別為（-4,5）,（-1,3）.（1）請作出A/BC關于/

軸對稱的M'BC；（2）在y軸上找一點尸，使R4+PC最小；（3）在x軸上找一點°,使。最大.

【答案】（1）圖見解析；（2）P點見解析；（3）Q點見解析.

【分析】（1）先描出對應點，再依次連接即可；（2）C點關于y軸對稱點為0,所尸4+尸。=尸/+尸。最短

為4C,（3）根據三角形兩邊之差小于第三邊，可得a-Q3V/8（當Q在AB的延長線上等號成立），由

此可得Q點.

【詳解】解：（1）如圖所示；（2）如圖，連接ZC'與y軸交于P,此時PA+PC最??；

(3)延長AB與x軸交于Q,此時。最大.

【點睛】本題考查坐標與圖形變換一軸對稱，三角形三邊關系.熟知軸對稱的性質是解答此題的關鍵.

例2.(2024?江蘇泰州?八年級專題練習)如圖，在中，AB=AC,/C的垂直平分線交NC于點N,交

AB于點、M,AB=ncm,△8A/C的周長是20c〃z,若點P在直線MN上，則】%-P8的最大值為.

【詳解】解：垂直平分NC,

XCABMc=BM+MC+BC=20cm,BM+MA=AB=\2cm,：.BC=2Q-12=8(cm),

在跖V上取點尸，：肱V垂直平分4C連接尸/、PB、PC

：.PA=PC：.PA-PB=PC-PB在△P8C中PC-PB<BC

當尸、B、C共線時，即P運動到與尸重合時，(PC-PB)有最大值，此時尸C-P3=8C=8CTM.

例3.（2023?江蘇南通?模擬預測）如圖，已知“BC為等腰直角三角形，/C=3C=4,/BCD=15。,

P為CD上的動點，則|尸/-尸目的最大值為（）

A.4B.5C.6D.8

【答案】A

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質、軸對稱圖形的性質；通過軸對稱圖形的性質轉化線段和角是

解題的關鍵.作點B關于直線CO的對稱點E,連接4E并延長交CO于點尸，連接CE、PE-,易得

PB=PE,BC=CE,NPCE=/BCD=15。；進而構造出等邊然后根據三角形的三邊關系可得

\PA-PB\=\PA-PE\<AE.求出4E的長即可

【詳解】解：如圖，作點3關于直線CD的對稱點E,連接NE并延長交。。于點尸，連接CE、PE；

由軸對稱圖形的性質可知：PB=PE,BC=CE,NPCE=NBCD=）5。

A\PA-PB\^\PA-PE\<AE即：當尸、￡、/三點共線時，忸/一%二=/石

VAABC為等腰直角三角形，AC=BC=4：.ZACB=90°,CE=BC=AC=4

：.NACE=NACB-（ZBCD+NPCE）=60°/.AACE是等邊三角形

/E=/C=4即：即的最大值為4故選：A.

例4.（2024?江蘇?九年級月考）如圖，點A,3在直線的同側，A到"N的距離ZC=8,8到MN的距

離BD=5,已知CD=4,尸是直線肱V上的一個動點，記尸力+尸8的最小值為。，歸”-尸理的最大值為6,

貝1/一/的值為（）

A.160B.150C.140D.130

【答案】A

【分析】作點/關于直線跖V的對稱點4,連接H3交直線于點P,則點尸即為所求點，過點H作直線

AELBD,在根據勾股定理求出線段48的長，即為尸/+尸2的最小值，延長48交AW于點尸'，止匕時

P/-=48,由三角形三邊關系可知">儼"尸卻，故當點P運動到p時e/一最大，過點8作鴕，NC

由勾股定理求出AB的長就是目的最大值，代入計算即可得.

【詳解】解：如圖所示，作點/關于直線的對稱點4,連接48交直線于點尸，則點P即為所求點,

過點4作直線/E_LAD,

VAC^8,BD=5,CD=4,4'C=8,BE=8+5=13,A'E=CD=4,

在做4E3中，根據勾股定理得，A'B=^BE+A'E=V132+42=V185;即P/+P3的最小值是。=麗;

如圖所示，延長交于點P,

,:PA-PB=AB,AB>\PA-PB\,二當點P運動到尸，點時，|"一網|最大，

過點2作跖，NC,則5E=CD=4,:.AE=AC-BD=8-5=3,

在中，根據勾股定理得，AB=^AE2+BE2=732+42=5-

/.\PA-PB\=5,即6=5,a2-Z>2=（V185）2-52=160,故選A.

【點睛】本題考查最短線路問題和勾股定理，解題關鍵是熟知兩點之間線段最短及三角形的三邊關系.

模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）（一定兩動）

模型解讀

如圖，N為定點，在直線加、〃上分別找兩點尸、Q,使三角形4P0的周長C4P+PQ+Q4）最小。

模型證明

證明：如上圖，作點/分別關于定直線加、"的對稱點/'、連結/瓦

根據對稱得至U：QA=QAPA=PA’',PA+PQ+QA=PA"+PQ+QA

再利用“兩點之間線段最短"，得到尸N+P0+a的最小值即為：線段的長度。

模型運用

例1.（23-24八年級上?湖北武漢?期末）如圖，銳角”3C中，乙4=30。，BC=2,AA8C的面積是6,D、

E、尸分別是三邊上的動點，則AZ）EF周長的最小值是（）

A.3B.4C.6D.7

【答案】C

【分析】本題主要考查了軸對稱最短路徑問題，垂線段最短，等邊三角形的性質與判定等等，作點E關于

的對稱點作點E關于/C的對稱點N,連接FM,DN,MN,AN,/E,根據軸對稱的性質可

得AM=AE=AN,MF=EF,ED=ND,ZMAB=ZBAE,NCAE=NCAN,則可得NM4N=60。，進一步可

得當點在一條直線上時，MF+DF+DN最小,即此時SE/周長最小，最小值為MV,此時三

角形㈤kW是等邊三角形，則根據點到直線垂線段最短，可知當4ELBC時，/E最小，即力￡尸周長最小,

利用面積法求出AE的長即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，作點E關于的對稱點M,作點E關于/C的對稱點N,連接

FM,DN,MN,AN,AE,

：.AM=AE=AN,MF=EF,ED=ND,ZMAB=ZBAE,NCAE=NCAN

ABAC=ABAD+ADAC=30°,AMAN=AMAB+ABAD+ZDAC+ZCAN,

AMAN=2（ZBAE+ZEAC）=2ABAC=2x30°-60°,

,/遼）EF周長=EF+DE+DF=MF+DF+DN,

當點在一條直線上時，MF+DF+DN最小,即此時S跖周長最小，最小值為此時三

角形是等邊三角形，：.AM=AN=MN=AE,

根據點到直線垂線段最短，可知當NELBC時，NE最小，即9跖周長最小,

；“3C的面積是6,BC=2,即LBc=g2C2E=Jx22E=6,

AE=6,即S￡F周長最小6,故選C.

例2.（23-24八年級上?廣東廣州?期中）如圖，點尸是//03內任意一點，。尸=4,點C和點。分別是射

線。/和射線08上的動點，APCD周長的最小值是4,則/4O8的度數是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】B

【分析】本題考查軸對稱知識，等邊三角形的判定與性質.分別作點尸關于0408的對稱點凡E,連接

FE,分別交。4。2于點C,。，止匕時心+PC+8的值最小，再根據已知條件可證AOM是等邊三角形即可.

【詳解】解：分別作點尸關于的對稱點凡￡,連接FE,分別交。4。8于點C,。，此時PD+PC+CQ

的值最小，連接OE,OF,PC,PD,CD,如圖所示：

?；點?關于。/的對稱點為尸，關于OB的對稱點為EPC=FC,OP=OF,AFOA=NPOA

:點P關于OB的對稱點為E：.PD=ED,OP=OE,AEOB=NPOB：.OE=OP=OF,NAOB=；/EOF

'：APCD周長的最〃、值是4；.PD+PC+CD=4：.DE+CF+CD=4^EF=4=OP

：.OE=OF=EF,即AOEF是等邊三角形；./EOF=60°；.4408=30。.故選：B.

例3.（2024?江蘇九年級一模）如圖，RfA4BC中,ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E,尸分別是N2,BC,AC

邊上的動點，則△。斯的周長的最小值是（）

A.2.5B.3.5C.4.8D.6

【答案】C

【分析】如圖作。關于直線/C的對稱點用■，作。關于直線BC的對稱點N,連接CW,CN,CD,EN,

FM,DN,DM.由ZBCN=ZBCD,ZACD+ZBCD=90°,推出/MCQ+/NC￡>=180。，可得

M、B、N共線，由DF+DE+EF=FM+EN+EF,FM+EN+EF>MN,可知當M、F、E、N共線時，且CZ）_L/8

時，OE+EB+ED的值最小，最小值=2CD,求出CD的值即可解決問題.

【詳解】解:如圖，作。關于直線/C的對稱點作。關于直線8C的對稱點N,連接CM,CN,CD,

EN,FM,DN,DM.

：.DF=FM,DE=EN,CD=CM,CD=CN,：.CD=CM=CN,

VZMCA=ZDCA,ZBCN=ZBCD,ZACD+ZBCD=90°,

：.ZMCD+ZNCD=180°,：.M,C、N共線，DF+DE+EF=FM+EN+EF,

'：FM+EN+EF>MN,.,.當M、F、E、N共線時，且CO_L/3時，尸+尸。的值最小，最小值為MN=2CD,

11AB-AC12

'JCDLAB,：.--AB-CD=-'AB-AC,：,CD=----------=—=2.4,

22AB5

.?.OE+EF+FD的最小值為4.8.故選：C.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短問題、兩點之間線段最短、垂線段最短等知識，解題的關鍵是靈活運用軸對

稱以及垂線段最短解決最短問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

模型4.將軍飲馬（多線段和的最值模型）（兩定兩動）

模型解讀

模型（1）：兩定點+兩動點

條件：A,3為定點，在直線加、”上分別找兩點P、Q,使"+PQ+”最小。

兩個點都在直線外側（圖1-1）；內外側各一點（圖1-2）；兩個點都在內側（圖1-3）

A

m

Am

圖1-1圖1-1圖1-1

模型證明

圖1-1圖1-1圖1-1

模型（1-1）（兩點都在直線外側型）

如圖（1-1）,連結48,根據兩點之間線段最短，A4+P2+03的最小值即為：線段48的長度。

模型（1-2）（直線內外側各一點型）

如圖（1-2）,作點5關于定直線〃的對稱點夕，連結AB；根據對稱得到：QB=QB：故

PA+PQ+QB=PA+PQ+QB

根據兩點之間線段最短，P/+P0+QB的最小值即為：線段/夕的長度。

模型（1-3）（兩點都在直線內側型）

如圖（1-3）,作點8關于定直線〃的對稱點夕，作點/關于定直線加的對稱點，，連結/

根據對稱得至U：QB=QB,,PA=PAPA+PQ+QB=PA'+PQ+QB

根據兩點之間線段最短，P/+P0+03的最小值即為：線段/3'的長度。

模型運用

例1.（2024八年級?重慶?培優）在直角坐標系中，已知點4-6,2）,8（-2,4）及動點。（0,〃）,。（仇0）,當四邊形

/BCD周長最小時，曲的值為（）

A.一~—B.—C.—"-D.非以上答案

【答案】A

【分析】本題考查了一次函數的解析式求解、軸對稱、兩點之間線段最短等知識點，作點/關于x軸的對

稱點/'(-6,-2),作點8關于夕軸的對稱點夕(2,4),連交y軸于點C,交x軸于點

D.AD+DC+BC=A'D+DC+B'C>A'B',據此即可求解.

【詳解】解：為定長，，當4D+OC+8C最小時，四邊形48CD周長最小

作點/關于x軸的對稱點月'(-6,-2),作點8關于y軸的對稱點夕(2,4),連⑷夕交y軸于點C,交x軸于點

D.如圖所示:

VAD+DC+BC=AD+DC+B'C>48'.?.此時四邊形ABCD周長最小,

1—6左+6=—2435

設的解析式為：y=2b,貝IJ解得：；???43，的解析式為歹=彳%+\

2左+b=4542

i7b--

I2

令y=o得x=_g；令》=0得了=m；貝'g,o；故必==故選：A

例3.(24-25八年級上?江蘇無錫?階段練習)如圖，乙408=20°,M,N分別為CM,上的點,

0M=0N=3,P,。分別為CM,03上的動點，則“0+尸0+尸"的最小值為

【答案】3

【分析】本題考查軸對稱-最短路線問題，能用一條線段的長表示出三條線段的和的最小值是解題的關鍵.

作點”關于05的對稱點Ml點N關于。4的對稱點NL連接ATV交。4于點P,交08于點。'，連接

PN'、QM',P'N,根據軸對稱的性質，得到MP+PQ+QN的最小值為推出△“ON'為等邊三角

形，進一步得出結果.

【詳解】解：如圖，作點M關于。5的對稱點”，點N關于04的對稱點州，連接交。4于點P,

交05于點。'，連接PM、QM',P'N,

則MQ=Af。，PN=PN',：.MQ+PQ+PN=MQ+PQ+PN，2MN',:.MQ+PQ+PN的最八、悔為MN的長.

-：OM=OM',ON=ON',MM'LOB,NN'LOA,ZM'OB=ZAOB=20°,ZN'OA=ZAOB=20°,

.-.ZM'ON'=60°,.?.△M'ON'為等邊三角形，:.MN=0M'=3,

即MP+PQ+QN的值最小為3；故答案為：3

例3.（23-24八年級上?廣東廣州?期中）如圖，4403=30。，點M、N分別在邊。4、08上,且

OM=3,ON=5,點尸、0分別在邊OB,OA±,則"P+PQ+0N的最小值是.

【答案】V34

【分析】本題考查了兩個動點的三線段和的最小值，勾股定理，對稱的性質；分別作出兩個定點關于定直

線的對稱點，根據三點共線時，和最小計算即可.

【詳解】解：作“關于08的對稱點AT,作N關于。力的對稱點N',如圖所示：

連接其長度即為"P+PQ+QN的最小值.

根據軸對稱的定義可知：ZN'OQ=ZM'OB=ZAOB=30°,ON=ON'=5,OM=OM'=3,

ZN'OM'=90°,/.MN'=^ON'2+OM'2=V34■故答案為：V34.

習題練模型

1.（2024?江西宜春?八年級期末）如圖，在A/8C中，是邊/C的垂直平分線，交/C于點。，交48于

點E,點尸是直線上的一個動點，若48=5,則PB+PC的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】由條件可得點A是點C冠以ED的對稱點，即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的最小值，在點P

運動的過程中，P與E重合時有最小值.

【詳解】解：；ED是AC的垂直平分線，；.PC+PB=PA+PB,

運動的過程中，P與E重合時有最小值，

.".PB+PC的最?。鹴=AB=5.故選：A

【點睛】本題主要考查動點最短路徑問題，結合對稱，尋找對稱點，判斷最值狀態是解題的關鍵.

2.（23-24八年級下?四川綿陽?期中）如圖，已知等腰直角三角形點E是邊/C上的一點，AE=3,

EC=1,尸為斜邊48上一動點，則尸E+PC的最小值為（）.

BC

A.2+2V2B.5C.l+3>/2D.6

【答案】B

【分析】本題考查軸對稱-最短路線問題，解答時涉及軸對稱的性質，三角形三邊關系，勾股定理，熟悉將

軍飲馬模型是解題的關鍵.

作點C關于的對稱點C',連接尸C',NC',EC',CC',利用將軍飲馬模型，根據勾股定理即可求出答案.

【詳解】解：作點C關于N3的對稱點C',連接

"BC等腰直角三角形，ZBAC=NB=ABAC=45°,

VAE=\EC=\,：.AC=AC=AE+EC=3+1=4,PC'=PC,

Z.PE+PC=PE+PC>EC',即PE+PC的最小值為EC'的長，

在及中，由勾股定理，得EC'=J/。"+ZE?=J42+32=5，故選：B.

3.（2024?山東臨沂市?八年級期末）如圖，AA8C中，4B=AC,BC=3,SMBC=6,4。_13。于點。，EF

是的垂直平分線，交48于點E,交NC于點尸，在EF上確定一點P,使尸B+最小，則這個最小值

C.4.5D.5

【答案】B

【分析】根據三角形的面積公式得到AD=4,由EF垂直平分AB,得到點A,B關于直線EF對稱，于是得

到AD=PB+PD的最小值，即可得到結論.

【詳解】解：VAB=AC,BC=3,SAABC=6-ADLBC于點D,；.AD=4,

：EF垂直平分AB,.?.點A,B關于直線EF對稱，；.EF與AD的交點P即為所求,

如圖，連接PB,止匕時PA=PB,PB+PD=PA+PD=AD,AD=PB+PD的最小值，

即PB+PD的最小值為4,故選：B.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，線段的垂直平分線的性質，凡是涉及最短距離的問題，一般要

考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點.

4.（2025?安徽??？家荒＃┤鐖D，在銳角A48C中，AB=6,ZABC^60°,N/8C的平分線交/C于點D,

點尸，0分別是2D,N2上的動點，則AP+PQ的最小值為（）

A.6B.6gC.3D.36

【答案】D

【分析】在5c上取E,使這樣/P+P。轉化為/尸+尸￡即可得出答案.

【詳解】解：如圖，在BC上取E,使BE=BQ,連接尸E,過/作于〃,

A、B

Q

,：BD是NABC的平分線，NABD=ZCBD,

'：BP=BP,BE=BQ,:.△BPQ4^BPE（SAS）,

：.PE=PQ,：.AP+PQ的最小即是4P+PE最小，

當/尸+尸￡=/，時最小，在RtZBH中,4B=6,ZABC^60°,

：.AH=373,；.4P+PQ的最小為36，故選：D.

【點睛】本題考查兩條線段和的最小值，解題的關鍵是作輔助線把PQ轉化到BD的另一側.

5.（23-24八年級上?遼寧鐵嶺階段練習）如圖，已知N/OB=15。，點〃■在邊上，且＜W=4,點N和點

P分別是■和。/上的一個動點，則尸"+PN的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查軸對稱的性質，垂線段最短及直角三角形30。角所對直角邊等于斜邊一半，作“關于。/

的對稱點〃［，過作交。/于一點即為最小距離和點P,結合直角三角形30。角所對直角邊等

于斜邊一半求解即可得到答案.

【詳解】解：作M關于04的對稱點過M］作M|N_LO8交04于一點尸，如圖所示，

是M關于。/的對稱點，OM=4,408=15。，

ZM0M1=2ZA0B=30°,OMX=OM=4,PM=PMX,

M、N1OB,：.(PM+PN)min=M、N,ZONM,=90°,

：.M,N=^OM}=2.：.(PM+PN\^=2,故選：B.

6.（23-24八年級上?安徽阜陽?期末）如圖，在AABC中，ZC=90°,44=30。，48=9,5。是的

角平分線，點尸、點N分別是線段3。和邊/C上的動點，點M在邊3c上，且瓦1/=2,則EW+PN的最

小值是（）

A

A.3B.273C.V3D.3.5

【答案】D

【分析】本題考查了最短路線問題，作點M關于AD的對稱點AT連接PA/',則WPM,BM=BM'=2

當N,P,在同一直線上，且時，PN+P”的最小值等于垂線段的長，利用含30。角的

直角三角形的性質，即可得到，解題的關鍵是熟練掌握軸對稱求最短距離及相關知識的應用.

【詳解】如圖所示，作點村關于AD的對稱點〃?'連接PA/'

則尸=BM=BM'=2,：.PN+PM=PN+PM',

當N,P,AT在同一直線上，且Af5v_L《C時，PN+PA，的最小值等于垂線段A/5V的長，

在Rt"A￡V中，N4=30。，.?.M?V=；/"=gx（9-2）=3.5,.?.尸A/+尸N的最小值為3.5,故選：D.

7.（23-24八年級上?江蘇淮安?階段練習）如圖，4405=45。，點尸是內的定點且0尸=1,若點必

N分別是射線。/、05上異于點。的動點，則APAW周長的最小值是.

【答案】0

【分析】本題考查了軸對稱的性質，勾股定理;

作點P關于的對稱點尸，關于。3的對稱點￡,連接E尸交04,0B于點、M,N,連接PM,PN,求出

的周長=E0+EN+MN2￡F,再根據軸對稱的性質得出乙磯）尸=90。，OF=OP=OE=l,最后利

用勾股定理計算即可.

【詳解】解：作點尸關于。/的對稱點尸，關于的對稱點E,連接E尸交。/,OB于懸M,N,連接

PM,PN,則APTW的周長=++=++產，

O、、、、M\MA

'、、?

,/ZAOB=45°,.,.由對稱性可知：ZEOF=90°,OF=OP=OE=\,

：?EFF+I2=e，即△尸兒W周長的最小值是后，故答案為：41.

8.（2024八年級?重慶?期中）在平面直角坐標系中，已知出3,4）,5（2,7）,點尸是x軸上一點，三角形N2P

周長的最小值是.

【答案】7122+710

【分析】本題考查作圖-軸對稱變換、軸對稱-最短路線問題、勾股定理，使尸的周長最小，即/P+3P

最小，作點A關于x軸的對稱點4,連接24,交x軸于點P,連接/P,此時滿足/尸+3P最小，最小值為

84的長，利用勾股定理分別求出45,34的長，即可得出答案.

【詳解】解：：使的周長最小，N3+4P+3P最小，

AB=^（3-2）2+（7-4）2=V10,為定值，，使ZP+BP最小，作點A關于x軸的對稱點4,連接臺4,交

x軸于點尸，連接/P,此時滿足/尸+AP最小，最小值為臺4的長，

y八

"AP的周長最小值為巫^+所.故答案為：V122+VW.

455

9.（23-24四川省成都市七年級期末）如圖，在面積為營的銳角。臺。中，AB=~,NC=30。，D是“BC

82

內部一點，E,產分別是邊5C,/C上的動點，連接AD,BD,DE,DF,EF.若△45。的面積為1,則S￡F周

長的最小值為.

37

【答案】正

【分析】作點。關于8C的對稱點N,關于/C的對稱點M,4CD,CM,CN,MN,EN,FM,易證ACAW

為等邊三角形，得至IJMV=CD,根據AZ）￡F的周長=OE+DF+M=FM+EN+M2MN,進而得到當

四點共線時，SEF的周長最小，為的長，即為CD的長，進而得到當C。最小時，SEF的

周長最小，過點C作CPLNB,過點。作根據三角形的面積公式求出CP,D。的長，進而得到點

。在平行于N8且距離等于。。的直線％上，進而得到當。為的與C尸的交點時，CD的長度最小，進行

求解即可.

【詳解】解：作點。關于的對稱點N,關于/C的對稱點連接CD,CM,CN,MN,EN,FM,

貝｝|：CD=CN=CM,EN=DE,DF=FM,ZDCE=ZNCE,NDCF=ZMCF,

ZDCE+ZNCE+ZDCF+NMCF=2/ACB=60°,ACMN為等邊三角形，:.MN=CN=CD,

：.力EF的局長=DE+DF+EF=FM+EN+EF2MN,

.?.當四點共線時，Aft卯的周長最小，為MV的長，即為CO的長，

.?.當8最小時，AZ）EF的周長最小，過點C作CPL4B,過點。作。

：.SAABC=^AB-CP=^CP=^-,S^ABD=^AB-DQ=^DQ=1,

944

.?.CP=-,。。=不，.?.點。在平行于N8且距離等于1的直線/上，

9437

.?.當。為AG與CP的交點時，CD的長度最小，此時

???SEF周長的最小值為3養7；故答案為：養37.

【點睛】本題考查利用軸對稱解決線段和最小問題，成軸對稱的性質，等邊三角形的判定和性質，與三角

形的高有關的計算，熟練掌握相關知識，確定立）斯周長最小時，尸的位置，是解題的關鍵.

10.（2024?福建福州?八年級期中）如圖，在等邊A/BC中，￡是/C邊的中點，尸是A/BC的中線4。上的

動點，且48=6,則8P-PE的最大值是

【答案】3

【分析】連接尸C,貝|AP=CP,BP-PE=CP-PE,當點尸與點/重合時，CP-PE=CE,進而即可求解.

【詳解】解：連接PC,

?在等邊△48c中，A