第11講分數(shù)的乘除法(3種題型)

【知識梳理】

—：分數(shù)的乘法

i.分數(shù)與分數(shù)相乘

兩個分數(shù)相乘，將分子相乘的積作積的分子，分母相乘的積作積的分母.即：

pmpxm(門八、

—x—=(qW0,MWO)

qnqxn

2.整數(shù)與分數(shù)相乘

整數(shù)與分數(shù)相乘，整數(shù)與分數(shù)的分子的積作積的分子，分母不變.即：

3.分數(shù)的乘法的運用

整數(shù)a的？?可列式為：ax-(〃W0)；

nn

分數(shù)已的‘可列式為：^x-(#0,n^O).

qnqn

二：分數(shù)的除法

1、倒數(shù)

1除以一個不為零的數(shù)得到的商，叫做這個數(shù)的倒數(shù).

a的倒數(shù)是,(awO),K的倒數(shù)是包(p^Q,4盧0).

aqp

互為倒數(shù)的兩個數(shù)的乘積是1.

2.分數(shù)除法的運算法則

甲數(shù)除以乙數(shù)(0除外)，等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù).用字母表示就是:

mpmq.?八、

—：—=—x—(〃wn0,pwO,qwO)

nqnp

3.分數(shù)的除法的運用

已知某數(shù)的畫等于小貝！J：某數(shù)二。土生.

nn

一」【考點剖析】

題型一：分數(shù)的乘法

33453929

例1.(1)-X-；(2)-X-；(3)-X-；(4)-X-

54785434

aS?73

【答案】(1)—;(2)—；(3)—；(4)

2014202

【解析】本題考查分數(shù)乘法運算，運算法則=能約分先約分.

qnqxn

例2.(1)—x6；(2)3x—；(3)4x2-.

1262

【答案】(1)-；(2)—；(3)10.

22

【解析】分數(shù)和整數(shù)相乘，將整數(shù)改寫成分母為1的分數(shù)，同時帶分數(shù)一定要先化為假分數(shù)，再進行約分計

556

X5

一1-=4x2-=-x-=10.

1212~2212

234%

例3.(1)-x3-；(2)3-x2—.

5437713

【答案】(1)-(2)4；(3)8.

2

2

23?15361464

【解析】(1)-x3-=-x——二(2)4-X—=——x—=4

545423737

52生=8

(3)3-x2—

713713

【總結(jié)】本題在計算時需注意帶分數(shù)先化為假分數(shù)，最終的結(jié)果一定要化簡.

例4.下列運算正確的是()

A4c8n236

510777

2233

C.8x-=8-D.100個—就是—的100倍

5588

【答案】D

【解析】本題主要考察對分數(shù)乘法法則的理解及運用.

5

例5.5米的士7和2米的士()

99

A.一樣長B.5米的士2長C.2米的？5長D.無法比較

99

【答案】A

【解析】5米的2和2米的9一樣長，因為5x2=2x9=".

99999

【總結(jié)】本題中需注意兩個女的區(qū)別.

9

例6.小智每天早上起床后，用42小時晨練，那么一個周小智用多長時間晨練？

5

［答案】23小時.

5

【解析】一周按7天計算，7個2是好即23,所以一周用于晨練的時間是23小時.

5555

例7.正方形的邊長是』米，它的周長是多少？面積是多少？

4

【答案】周長為3米；面積為2平方米.

16

【解析】正方形的周長公式是C=4a,面積公式是S=/,把a=3代入計算即可，注意單位的書寫.

4

例8.1小時的士3是分鐘；5噸大米的上1是千克.

425—

【答案】45；200.

31

【解析】1小時=60分鐘,60義一=45分鐘；5噸=5000千克,5000x—=200千克.

425

【總結(jié)】本題考查分數(shù)乘法的基礎(chǔ)應(yīng)用.

例9.2工可以看作是由個工組成的分數(shù)；個工組成分數(shù)2^.

31266

【答案】28；17.

【解析】2』可以看作幾個,組成，要用除法計算，列式22+L=?X12=28,同理17個工組成分數(shù)

31231236

【總結(jié)】本題主要判斷是用分數(shù)乘法還是分數(shù)除法解決問題.

例10.比12米的工少工米的線段長米.

52

【答案】--

10

【解析】列式：12x1-1=—3^.

5210

例11.在括號中填入“<”、">”或“=

(1)-X-()2；(2)-X-()-；(3)3

3537472

【答案】V;>；=.

【解析】一個大于零的數(shù)乘以一個真分數(shù)，乘積結(jié)果小于原數(shù)；乘以一個假分數(shù)，乘積結(jié)果大于原數(shù)，第(3)

題先進行計算再判斷大小.

例12.計算：

/I、15。1_4_J7_3

(1)2—x——x3——；(2)X；

5261815~242

2113

(3)3x2—x—x—；

542⑷r4

39

【答案】(1)—;(2)(3)—；⑷：.

128010

31S113155555

【解析】(1)2-x—x3—一x——x——二——

526185261812

4343733

(2)X—二——x—

…211cl2119

(3)3x2—x—x—=3x—x—x—=

54254210

83

(4)—x—

94

【總結(jié)】第(2)題，涉及到負數(shù)，老師可以稍微拓展下有關(guān)負數(shù)運算符號的確定；第(4)題注意小數(shù)要化

分數(shù)再進行運算.

例13.修一條公路，第一天修完全長的上，第二天修了余下的白，第二天修了全長的幾分之幾？

43

【答案】

2

【解析】第一天修了全長的工，余下全長的3,第二天修了余下的2,也就是全長的3x2=」，所以第二

443432

天修了全長的工.

2

【總結(jié)】本題主要考查分數(shù)運算的應(yīng)用.

例14.地球上1千克的物體，在月球上只有」千克；小智的體重是38千克，如果到了月球上，他的體重比

6

在地球上輕了多少千克？

【答案】史千克.

3

【解析】1千克的物體在月球上只有工千克，38千克的物體在月球上應(yīng)該有38x」千克，比他在地球上輕了

66

15os

38—38x—=38x—=—千克.

663

【總結(jié)】本題主要考查分數(shù)運算的應(yīng)用.

例15.100米長的繩子，先剪去它的士2還多5米，再剪去余下的9二，還剩下繩子多少米？

55

【答案】33米.

2

【解析】100米長的繩子，先剪去它的|還多5米，乘IJ下100-(100x^+5)=55米，再剪去余下的M,剩下

55-55x-=33

5米.

【總結(jié)】本題主要考查分數(shù)運算的應(yīng)用.

題型二：分數(shù)的除法

例1.寫出以下各數(shù)的倒數(shù)：

2、乜、7、2-.n(〃#0).

353

【答案】，亮汨

n

（）的倒數(shù)是匕土的倒數(shù)是巴

【解析】0沒有倒數(shù),a"0

amn

【總結(jié)】本題主要考查倒數(shù)的概念.

例2.填空:

454

(1)—4--=—X

96915v7154

33/5110

rr(X-；—x——.

310211

【答案】久"

【解析】除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，其中特別注意是除數(shù)變倒數(shù)被除數(shù)不變，第（3）

（4）題學(xué)生易錯.

【總結(jié)】本題主要考查分數(shù)的除法法則.

例3.計算：

一、54

(1)-4--;(2)--7；(3)10--5；

45289

-2

(4)18-1—；(5)2—；—；(6)3--1-.

187346

7553245139

【答案】（1）—;（2）(3)—；(4)—；(5)—；(6)—

16196,9291414

5455_25/c、5r515

【解析】⑴-^-=-x-?

45441628287196

/小、595119…1118324

(3)10—?5=——x—二；(4)18-1—=18x—=——；

995~~9182929

「、-3217351/八c1,113639

(5)2—+—=—x—二-；(6)3—+1—=—x—=——.

737214464714

【總結(jié)】本題主要考查分數(shù)的除法運算，若有帶分數(shù)時一定要先化為假分數(shù)再進行運算.

例4.解方程：

⑴乙5=15；（2）7—x=—9.

71814

【答案】（1）x=21；（2）x=—.

49

【解析】解方程的步驟和普通方程一樣，注意加減乘除的關(guān)系式變換，比如一個因數(shù)等于乘

積除以另一個因數(shù)等.

【總結(jié)】本題主要考查含分數(shù)的運算在解方程中的應(yīng)用.

例5」1中包含個一^1；33士由個士3組成.

410048

【答案】(1)25；(2)10.

【解析】工中包含幾個一L;3』由幾個3組成，列式都是除法運算，-^―=25;3-^-=10.

410048410048

【總結(jié)】本題主要考查分數(shù)除法的基礎(chǔ)應(yīng)用.

例6.如果8是某數(shù)的工，那么某數(shù)是

5

【答案】40.

【解析】文字題的解答，主要是判斷用乘法還是除法，某數(shù)的是X,求某數(shù)：尤

aa

【總結(jié)】已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)，用除法.

例7.下列各種表達正確的是（）

A.真分數(shù)的倒數(shù)一定是假分數(shù)

B.假分數(shù)的倒數(shù)一定是真分數(shù)

C.任何不等于0的數(shù)的倒數(shù)都大于這個數(shù)

D.正整數(shù)的倒數(shù)一定是真分數(shù)

【答案】A

【解析】B、C、D的特例都是“1”，假分數(shù)的值大于或等于1,1的倒數(shù)是它本身.

【總結(jié)】本題主要是考查概念的辨析題.

例8.如果一節(jié)課的時間是三個小時，那么節(jié)課的時間是6小時.

4

【答案】8節(jié).

【解析】6+3=8.

4

【總結(jié)】本題主要考查分數(shù)除法的應(yīng)用.

3

例9.如果x是p的丁則p是x的.

【答案】

3

【解析】考查分數(shù)的意義，甲數(shù)是乙數(shù)的幾分之幾，甲數(shù)除以乙數(shù)，乙數(shù)是甲數(shù)的幾分之幾，乙數(shù)除以甲數(shù)，

所以結(jié)果是互為倒數(shù)的.

例10.小智想去看電影《功夫熊貓》，他家距離電影院32千米，他計劃用？個小時騎自行車到達電影院.那

77

么小智騎自行車的平均速度是每小時多少千米？

【答案】"千米每時.

4

【解析】速度=路程+時間，3-^-=—,所以平均速度是每小時竺千米.

7744

【總結(jié)】本題主要是利用分數(shù)的除法解決實際問題.

例11.小方在做分數(shù)除法練習(xí)時，把“除以士2”錯寫成“除以士3”,得到的答案是52,你能告訴小方這道題

3212

的正確答案嗎？

【答案】

16

【解析】先按照小方的理解計算出被除數(shù)，-再計算正確答案，

1228838216

【總結(jié)】本題考查分數(shù)運算的綜合應(yīng)用.

題型三：分數(shù)乘除混合運算

例1.計算：5—xl-------^3；

344

【答案】6-；

4

【解析】解：原式=5'x』—3XL（5'—』）X3=5X9="（或6!）.

3443334444

例2.計算：[32-（27—1L）]-21-!-x2-

416443

【答案】-5

6

…皿……「37"92『7]429421

[解析]解：原式=[------+—]-J—X—=[1]x—X—=一X—X—.

416443169316936

例3.計算：|1------]+3+2—.

I48；3

23

【答案】

53127127。16。23

【解析】解：原式=x—I-2—=-x—F2-=F2—=2—.

4833833242424

例4.計算:

(1)2-廿xlj(2)

3155

5

(3)2(4)14-1-|.

r之2|）；49

9169

【答案】(1)4；(2)—(3)(4)—

323036

11437158

【解析】（1）=—x一X—=4；

31553145

(2)8-

316161632

&2|1351313169

(3)2——?(—X——=——x——=----

r55135630

+閆=—

(4)1459515

%941449936

【總結(jié)】本題主要考查分數(shù)乘除混合運算，第（3）（4）題需要注意運算順序.

53185

例5.計算:—x-----1-------r

84458

【答案_】45；

4

【解析】解：原式=*X2+』X*+3=*X（3+L+I）=3X2=9（或1!）

84488844844

例6.計算：--1--

4153)102

【答案】

10

r&s+cAS弋3n210、333232123

【解析】解：原1H式二—X------+—+-=—X—+—x-=一+—.

411515J102415103101010

531

例7.解方程：-+-x=2-.

646

【答案】x=—；

9

【解析】解：移項，得』x=2L—』，兩邊同除以3，得，故x=（y—故原方程的解

4664664639

【過關(guān)檢測】

選擇題（共4小題）

1.（2022秋?楊浦區(qū)期末）把一根繩子剪成兩段，第一段長2米，第二段占全長的2,那么下列說法中正確

55

的是（）

A.第一段長B.第二段長

C.兩段一樣長D.無法確定哪段更長

【分析】根據(jù)第二段占全長的2,可知第一段占全長的3，然后即可得哪段長.

55

【解答】解：由題意可得，

第一段占全長的國，第二段占全長的2,

55

第一段長，

故選：A.

【點評】本題考查分數(shù)大小的比較，解答本題的關(guān)鍵是求出第一段占全長的幾分之幾.

2.（2022秋?楊浦區(qū)期中）下列運算正確的是（）

魚工2苴乂旦

5,3-42

cx2

-FH5'3"43

【分析】根據(jù)分數(shù)乘法、除法法則即可判斷.

【解答】解：A.A-2=AXA,選項A正確;

2

B.—4--=—X-,選項5不正確;

5352

C.14-2=1x1,選項C不正確；

552

故選：A.

【點評】本題主要考查了分數(shù)的除法法則，掌握除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)的除法法則是解題的

關(guān)鍵.

3.（2020秋?浦東新區(qū)期末）計算：7><1+7X工的值等于（）

77

A.1B.—C.49D.—

【分析】直接利用有理數(shù)的乘除運算法則計算得出答案.

【解答】解：原式=7催/義滯義，=7><1><1><1=2

7777X7X749

故選：B.

【點評】此題主要考查了分數(shù)的乘除運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

4.（2022秋?楊浦區(qū)期中）甲、乙兩位同學(xué)看同一本書，甲20分鐘看12頁，乙15分鐘看8頁，問兩人中

閱讀速度較快的是（）

A.甲B.乙C.一樣快D.無法判斷

【分析】利用閱讀速度=閱讀頁數(shù)+閱讀時間，可分別求出甲、乙的閱讀速度，比較后即可得出結(jié)論.

【解答】解：甲的閱讀速度為12+20=12X°=2（頁），

205

乙的閱讀速度為8+15=8X工=6（頁）.

1515

2=_9_A>_1

?15,1515

515

.??甲的閱讀速度較快.

故選：A.

【點評】本題考查了分數(shù)除法的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意列出算式是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共13小題）

5.（2022秋?青浦區(qū)期中）計算：l』x3=—

516—10—

【分析】根據(jù)分數(shù)乘法的法則計算即可.

故答案為：金-.

10

【點評】本題考查了分數(shù)乘法，熟練掌握分數(shù)乘法的法則是解題的關(guān)鍵.

6.（2021秋?嘉定區(qū)期中）計算：-iX-=--

76-2一

【分析】根據(jù)分數(shù)的乘法法則計算即可.

【解答】解：旦x工=旦，

762

故答案為：1.

2

【點評】本題考查了分數(shù)乘法，熟練掌握分數(shù)乘法的法則是解題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?楊浦區(qū)期中）某數(shù)的3是60,那么這個數(shù)是100.

5

【分析】用60除以對應(yīng)分率列出算式計算即可.

【解答】解：60-1

5

=60X$

3

=100,

故答案為：100.

【點評】本題考查分數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意列出算式.

8.（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）40的工相當于30的2.

105

【分析】30乘2再除以上_即為所求的數(shù)，列式計算即可.

510

【解答】解：30義2小旦

510

=12X世

3

=40.

故答案為：40.

【點評】本題考查了分數(shù)的乘除法運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出的正確的計算式.

9.（2021秋?普陀區(qū)期末）2a?中有7個工.

33

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘除法進行計算即可.

【解答】解：???2工=工，

33

=1*3=7；

333

故答案為：7.

【點評】本題考查了分數(shù)的除法，解決本題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘除法運算.

10.（2022秋?松江區(qū)期中）旦里有9個」一

824

【分析】根據(jù)分數(shù)除法的法則（除以一個分數(shù)，等于乘這個分數(shù)的倒數(shù)），可得答案.

【解答】解：3+-L誓X24=9，

8248

即3里有9個工.

824

故答案為：9.

【點評】本題考查了分數(shù)的除法，掌握分數(shù)的除法法則是解答本題的關(guān)鍵.

11.（2021秋?靜安區(qū)校級期中）小馬虎在做分數(shù)練習(xí)時，把一個分數(shù)除以§錯看成加上反，由此得出的結(jié)果

44

是烏，那么這道題正確的結(jié)果應(yīng)該是工.

5.15一

【分析】根據(jù)題意列出算式，計算即可得到結(jié)果.

【解答】解：由題意可得：

（4-3）.

544

=（16.15）.3

20204

-_1.~3—

204

=1

'15，

答:這道題正確的結(jié)果應(yīng)該是」

15

故答案為：A.

15

【點評】此題考查了分數(shù)四則復(fù)合應(yīng)用，求出正確的被除數(shù)是解本題的關(guān)鍵.

12.（2022秋?楊浦區(qū)期末）在北京舉辦的第二十四屆冬季奧運會上，我國獲得了9枚金牌，占獲得獎牌總

數(shù)的3,那么在本屆冬奧會上我國總共獲得15枚獎牌.

5

【分析】利用在本屆冬奧會上我國總共獲得獎牌的數(shù)量=獲得金牌的數(shù)量小金牌占獲得獎牌總數(shù)的比例,

即可求出結(jié)論.

【解答】解：9小旦

5

=9XS

3

=15（枚）,

.?.在本屆冬奧會上我國總共獲得15枚獎牌.

故答案為：15.

【點評】本題考查了分數(shù)除法的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意列出算式是解題的關(guān)鍵.

13.（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）甲工程隊負責修理一段5千米的道路，預(yù)計13天修完，則甲工程隊平均每

天要修A千米，每天修這段路的A.（填幾分之幾）

一—13一

【分析】利用甲工程隊平均每天修路的長度=道路的總長度七甲工程隊修路所用時間，可求出甲工程隊

平均每天修路的長度；利用甲工程隊平均每天修這段路的幾分之幾=1+甲工程隊修路所用時間，即可求

出甲工程隊平均每天修這段路的幾分之幾.

【解答】解：?.?5+13=5X1_=?-（千米），14-13=1xA-=J_,

13131313

.?.甲工程隊平均每天要修互千米，每天修這段路的工.

1313

故答案為：豆；上.

1313

【點評】本題考查了分數(shù)除法的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意列出算式是解題的關(guān)鍵.

14.（2022秋?嘉定區(qū)期中）把一筐重5千克的蘋果平均分成8份，那么每份是總體的1（填幾分之

一8一

幾）.

【分析】利用每份是總體的幾分之幾=1+平均分成的份數(shù)，即可求出結(jié)論.

【解答】解：?門+8=1義工=工，

88

.??每份是總體的工.

8

故答案為：-1

8

【點評】本題考查了分數(shù)除法的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意列出算式是解題的關(guān)鍵.

15.（2021秋?徐匯區(qū)校級期中）一筐橙子50斤平均分成5份，每一份是這筐橙子的1.（用分數(shù)表示）

一5一

【分析】把50斤橙子看作單位“1”，利用每一份是這筐橙子的幾分之幾=1+平均分成的份數(shù)，即可求

出結(jié)論.

【解答】解：：：1?5

=ixA.

5

―_―1,

5

每一份是這筐橙子的」.

5

故答案為：-1.

5

【點評】本題考查了分數(shù)除法的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意列出算式是解題的關(guān)鍵.

16.（2022秋?黃浦區(qū)期中）比3米的工多米等于A米.

435-20~

【分析】首先用3乘工，求出國米的工是多少；然后用它加上工即可.

43435

【解答】解：1x1+1

435

_1+1

45

故比旦米的工多工米等于9米.

43520

故答案為：A.

20

【點評】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，注意運算順序，解答此題的關(guān)鍵是要明確：求一個數(shù)的幾

分之幾是多少，用乘法解答.

17.（2021秋?黃浦區(qū)期中）把2磅的蛋糕平均分成7份，每份是原蛋糕的1.（填幾分之幾）

一7一

【分析】根據(jù)除法的意義即可得到結(jié)論.

【解答】解：把蛋糕平均分成7份，每份是原蛋糕的：1+7=」.

7

故每份是原蛋糕的

7

故答案為：-1

7

【點評】本題考查了分數(shù)的意義，熟練掌握分數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共9小題）

18.（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）計算：1工X24X±

758

【分析】根據(jù)分數(shù)的乘法法則計算即可.

【解答】11x21x1

758

_限14乂7

758

T

=2生

5

【點評】不太可參考分數(shù)的乘法，熟練掌握分數(shù)乘法的法則是解題的關(guān)鍵.

19.（2021秋?金山區(qū)期末）計算：9

2524

【分析】直接利用有理數(shù)乘除運算法則化簡求出答案.

【解答】解：衛(wèi)小1上義3旦

2524

12.3x15

2524

12乂2乂15

2534

旦

5

【點評】此題主要考查了分數(shù)的乘除運算，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵.

20.（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）計算：3互小2苫.

124

【分析】根據(jù)分數(shù)的除法法則計算即可.

【解答】解：3—4-2—=—X—=—.

124121133

【點評】本題考查了分數(shù)的除法，掌握分數(shù)除法的運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

21.（2021秋?嘉定區(qū)期中）計算：畀吟乂磕.

【分析】先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)乘法法則計算即可.

【解答】解：與+*x，

7122

-_.5.

4

【點評】本題考查分數(shù)的除法、分數(shù)的乘法，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

22.（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）小明在做分數(shù)除法計算時，把某數(shù)除以2,誤認為等于旦除以某數(shù)，從而

32

得到的答案是3,那么這道題原來