活頁作業(十三)實際問題中導數的意義1．質點運動的速度v(單位：m/s)是時間t(單位：s)的函數，且v＝v(t)，則v′(1)表示()A．t＝1s時的速度 B．t＝1s時的加速度C．t＝1s時的位移 D．t＝1s時的平均速度解析：v(t)的導數v′(t)表示t時刻的加速度．答案：B2．從時刻t＝0開始的ts內，某導體的電荷量(單位：C)可用公式q＝2t2＋5t表示，則第5s時，電流強度為()A．45C/s B．C．25C/s D．解析：q′(t)＝4t＋5，q′(5)＝25.答案：C3．下列四個命題：①曲線y＝x3在原點處沒有切線；②若函數f(x)＝eq\r(x)，則f′(0)＝0；③加速度是動點位移函數s(t)對時間t的導數；④函數y＝x5的導函數的值恒非負．其中真命題的個數為()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中y′＝3x2，x＝0時，y′＝0，∴y＝x3在原點處的切線為y＝0.②中f(x)在x＝0處導數不存在．③中s(t)對時間t的導數為瞬時速度．④中y′＝5x4≥0.所以命題①②③為假命題，④為真命題．答案：A4．某汽車啟動階段的路程函數s(t)＝2t3－5t2(t為時間)，則t＝1時，汽車的加速度為()A．6 B．4C．2 D．1解析：速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t，∴加速度a(t)＝v′(t)＝12t－10，當t＝1時，a(1)＝2.答案：C5．如下圖，設有定圓C和定點O，當l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉(旋轉角度不超過90°)時，它掃過的圓內陰影部分的面積S是時間t的函數，它的圖像大致是()A．B．C．D．解析：由于是勻速旋轉，所以陰影部分的面積在開始和最后時段緩慢增加，而中間時段相對增速較快．選項A表示面積的增速是常數，與實際不符；選項B表示最后時段面積的增速較快也與實際不符；選項C表示開始時段和最后時段面積的增速比中間時段快，與實際不符；選項D表示開始和最后時段面積的增速緩慢，中間時段增速較快．符合實際．答案：D6．一質點沿直線運動，若由始點起經過ts后的位移為s＝3t2＋t，則速度v＝10時的時刻t＝________.解析：s＝3t2＋t，s′＝6t＋1.令s′＝10，得6t＋1＝10，∴t＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)7．假設某國家在20年間的平均通貨膨脹率為5%，物價p(單位：元)與時間t(單位：年)有如下函數關系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0為t＝0時的物價，假定某種商品的p0＝1，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是________元/年(精確到0.01)．解析：∵p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.在第10個年頭，這種商品價格上漲的速度，即為函數的導函數在t＝10時的函數值．∵p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln1.05，∴p′(10)＝1.0510×ln1.05≈0.08(元/年)．∴在第10個年頭，這種商品的價格約以0.08元/年的速度上漲．答案：0.088．一列在直線軌道上運行的火車，從剎車到停車的這段時間內，測得剎車后ts內火車前進的距離s＝27t－0.45t2(單位：m)，則這列火車在剎車后停下來消耗的時間為________s.解析：由題意可知，火車停止時速度為0，令v＝s′＝27－0.9t＝0，解得t＝30.答案：309．一杯80℃的熱紅茶于20℃的房間里，它的溫度會逐漸下降．溫度T(單位：℃)與時間t(單位：min)間的關系，由函數T＝f(t)(1)f′(t)的符號是什么？為什么？(2)f′(3)＝－4的實際意義是什么？解：(1)f′(t)是負數．因為f′(t)表示溫度隨時間的變化率，而溫度是逐漸下降的，所以f′(t)為負數．(2)f′(3)＝－4表明在3min附近時，紅茶溫度約以4℃10．某機械廠生產某種機器配件的最大生產能力為每日100件，假設日產品的總成本C(元)與日產量x(件)的函數關系式為C(x)＝eq\f(1,4)x2＋60x＋2050.求：(1)日產量75件時的總成本和平均成本；(2)當日產量由75件提高到90件，總成本的平均改變量；(3)當日產量為75件時的邊際成本．解：(1)當x＝75時，C(75)＝eq\f(1,4)×752＋60×75＋2050＝7956.25(元)，∴eq\f(C75,75)≈106.08(元)．故日產量75件時的總成本和平均成本分別為7956.25元，106.08元．(2)當日產量由75件提高到90件時，總成本的平均改變量eq\f(ΔC,Δx)＝eq\f(C90－C75,90－75)＝101.25(元/件)．(3)∵C′(x)＝eq\f(1,2)x＋60，∴C′(75)＝97.5(元)．11．已知成本C與產品x之間的函數關系式為C(x)＝0.001x3＋5x，那么，當x＝1000時，邊際成本為()A．2000 B．2005C．3005 D．4000解析：C′(x)＝0.003x2＋5，C′(1000)＝0.003×10002＋5＝3005.答案：C12．正方形的周長y關于邊長x的函數是y＝4x，則y′＝________，其實際意義是____________.答案：4邊長每增加1個單位長度，周長增加4個單位長度13．某汽車的路程函數是s＝2t3－eq\f(1,2)gt2(g＝10m/s2)，則當t＝2s時，汽車的加速度是________m/s2.解析：v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，∴a(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．答案：1414．圓的面積S關于半徑r的函數是S＝πr2，那么在r＝3時面積的變化率是________．解析：∵S′＝2πr，∴S′(3)＝2π×3＝6π.答案：6π15．現有一批貨物由海上從A地運往B地，已知輪船的最大航行速度為35nmile/h，A地至B地之間的航行距離約為500nmile，每小時的運輸成本由燃料費用和其余費用組成，輪船每小時的燃料費用與輪船速度的平方成正比(比例系數為0.6)，其余費用為每小時960元．(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度x(nmile/h)的函數：y＝f(x)；(2)求x從10變到20的平均運輸成本；(3)求f′(10)并解釋它的實際意義．解：(1)依題意得y＝eq\f(500,x)(960＋0.6x2)＝eq\f(480000,x)＋300x，函數的定義域為0<x≤35，∴y＝eq\f(480000,x)＋300x(0<x≤35)．(2)Δy＝f(20)－f(10)＝eq\f(480000,20)＋300×20－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(480000,10)＋300×10))＝－21000，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－21000,20－10)＝－2100.∴x從10變到20的平均運輸成本為－2100元，即每小時減少2100元．(3)f′(x)＝－eq\f(480000,x2)＋300，∴f′(10)＝－eq\f(480000,102)＋300＝－4500.f′(10)表示當速度x＝10nmile/h時，速度每增加1nmile/h，每小時的運輸成本就要減少4500元．16．東方機械廠生產一種木材旋切機械，已知生產總利潤c元與生產量x臺之間的關系式為c(x)＝－2x2＋7000x＋600.(1)求產量為1000臺的總利潤與平均利潤；(2)求產量由1000臺提高到1500臺時，總利潤的平均改變量；(3)求c′(1000)與c′(1500)，并說明它們的實際意義．解：(1)產量為1000臺時的總利潤為c(1000)＝－2×10002＋7000×1000＋600＝5000600(元)，∴平均利潤為eq\f(c1000,1000)＝5000.6(元/臺)．(2)當產量由1000臺提高到1500臺時，總利潤的平均改變量為eq\f(c1500－c1000,1500－1000)＝eq\f(6000600－5000600,500)＝2000(元/臺)．(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7