第1頁（共1頁）河北省邯鄲市2024年中考數學二模試題按知識點分層匯編-04圖形的性質一．選擇題（共15小題）1．（2024?邯鄲二模）勾股定理是人類數學文化的一顆璀璨明珠，是用代數思想解決幾何問題最重要的工具，也是數形結合的紐帶之一．如圖，當秋千靜止時，踏板B離地的垂直高度BE＝0.7m，將它往前推3m至C處時（即水平距離CD＝3m），踏板離地的垂直高度CF＝2.5m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是（）A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m2．（2024?館陶縣二模）如圖，四邊形ABCD是正方形，直線l1，l2，l3分別通過A，B，C三點，且l1∥l2∥l3，若l1與l2的距離為5，l2與l3的距離為7，則正方形ABCD的面積等于（）A．70 B．74 C．144 D．1483．（2024?館陶縣二模）如圖，若將鐘面上的12時作為正北方向，3時作為正東方向，則8時可以描述為（）A．北偏西60°方向 B．北偏西30°方向 C．南偏西30°方向 D．南偏西60°方向4．（2024?館陶縣二模）如圖，在兩個同心圓⊙O中，AB，CD分別是大圓和小圓的直徑，且AB與CD不在同一條直線上，則可直接判定以點A，C，B，D為頂點的四邊形是平行四邊形的條件是（）A．兩組對邊分別平行 B．兩組對邊分別相等 C．一組對邊平行且相等 D．對角線互相平分5．（2024?邱縣二模）如圖，用一些全等的正五邊形按如圖方式可以拼成一個環狀，使相鄰的兩個正五邊形有公共頂點，所夾的銳角為24°，圖中所示的是前3個正五邊形拼接的情況，拼接一圈后，中間會形成一個正多邊形，則該正多邊形的邊數是（）A．4 B．5 C．6 D．76．（2024?館陶縣二模）如圖，平面上有P，Q，M，N四點，其中任意三點都不在同一條直線上，嘉淇進行了如下操作：①連接四點畫出四邊形PQMN；②利用尺規分別作PQ，PN的垂直平分線，兩直線交于點O．若以點O為圓心，OP長為半徑畫⊙O，則不一定在⊙O上的點是（）A．點P B．點Q C．點M D．點N7．（2024?邱縣二模）如圖，在△ABC中，M，N分別是邊AB，AC上的點，延長MN至點P，連接PC，∠P+∠BCP＝180°，要使四邊形MBCP為平行四邊形，甲、乙、丙三位同學給出三種不同的方案：甲：添加BM＝PC；乙：添加BM∥PC；丙：添加MP＝BC．則正確的方案（）A．只有甲、乙才對 B．只有乙、丙才對 C．只有甲、丙才對 D．甲、乙、丙都對8．（2024?邯鄲二模）如圖，過直線外一點畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法（圖中三角形ABC是三角板），其依據是（）A．同旁內角互補，兩直線平行 B．兩直線平行，同旁內角互補 C．同位角相等，兩直線平行 D．兩直線平行，同位角相等9．（2024?邯鄲二模）如圖，已知點A在直線a上，C、B兩點在直線b上，且a∥b，∠ABC是個鈍角，若AB＝5，則a、b兩直線的距離可以是（）A．8 B．6 C．5 D．410．（2024?邯鄲二模）如圖是正方體的表面展開圖，現將部分面上分別標注數字，若正方體朝上的面標注的數字是1，則正方體朝下的面標注的數字是（）A．2 B．3 C．4 D．511．（2024?邯鄲二模）如圖，在矩形ABCD鐵片上，截下一個正六邊形EFGHMN，其中點E、F在邊AD上，點G在矩形ABCD的內部，點H、M在邊BC上，點N在AB邊上，若AB=63cm，則A．9cm B．10cm C．11cm D．13cm12．（2024?邯鄲二模）已知：在四邊形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，如圖，求證，四邊形ABCD是菱形．證明：∵AB＝CD，BC＝DA，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵“_____”，∴四邊形ABCD是菱形．在以上證明過程中，“_____”可以表示的是（）A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．AB＝BC D．AB∥DC13．（2024?邯鄲二模）借助圓規，可得圖中最長的線段是（）A．BA B．CA C．DA D．EA14．（2024?邯鄲二模）如圖，在正方形ABCD內，確定一個點M，使△MAB、△MBC、△MCD、△MDA均為等腰三角形，則M點的個數為（）A．1 B．3 C．4 D．515．（2024?邱縣二模）已知直線PQ，嘉嘉和淇淇想畫出PQ的平行線，他們的作法如下（圖1和圖2）：嘉嘉：①將直尺緊貼直線PQ；②含60°角的三角板的頂點C落在直尺上；③使三角板斜邊BC與量角器的60°刻度線重合，則AB∥PQ．淇淇：①作射線PC；②在射線PC上任取點A，用尺規作與∠APQ相等的角，即∠CAB＝∠APQ；③連接AB，則AB∥PQ．下列說法正確的是（）A．嘉嘉的作法正確，淇淇的作法不正確 B．嘉嘉的作法不正確，淇淇的作法正確 C．嘉嘉和淇淇的作法都正確 D．嘉嘉和淇淇的作法都不正確二．填空題（共10小題）16．（2024?館陶縣二模）如圖1，在六邊形ABCDEF中，每個內角的度數都相等．嘉嘉針對圖形特點，對這個圖形進行了補充和探究：（1）分別延長CB，FA相交于點G，得到圖2，則∠G＝°；（2）若已知AB＝3，BC＝5，CD＝4，DE＝1，則六邊形ABCDEF的周長為．17．（2024?邯鄲二模）如圖，有A、B、C三個城鎮，A城鎮位于C城鎮正北方向，且到C城鎮5km，B城鎮位于C城鎮正東方向，且到C城鎮12km，點M，點C被湖水隔開，若點M是AB的中點，則MC＝km．18．（2024?邯鄲二模）如圖，已知△ABC，根據幾何作圖的痕跡，解決下列問題：（1）BE=12（2）若∠COE＝68°，則∠ACB＝°．19．（2024?邯山區二模）已知，如圖等邊△ABC中，AD是BC邊上的高，以點A為圓心，AD為半徑畫弧，交AB，AC于點E，F．若BC＝10，則EF的長為．20．（2024?邯鄲二模）如圖，將兩塊不同的等腰直角三角板OEF和三角板OCG放置在正方形ABCD中，直角頂點O重合，點E，F，G分別在邊AB，BC，AD上，AB＝10，GD＝BF，若較小的斜邊EF長為25，則BE的長為，較長的斜邊CG長為．21．（2024?邯山區二模）如圖，線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點O，若∠1＝39°，則∠AOC＝．22．（2024?峰峰礦區二模）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊AB重合，其中量角器0刻度線的端點N與點A重合，射線CP從CA處出發沿順時針方向以每秒2度的速度旋轉，CP與量角器的半圓弧交于點E，第35秒時，點E在量角器上對應的讀數是度．23．（2024?峰峰礦區二模）如圖，菱形ABCD中，AC交BD于O，CE⊥AB于E，連接OE，若∠ABC＝80°，則∠OEC的度數為°．24．（2024?邱縣二模）如圖，過正六邊形ABCDEF的頂點D作一條直線l⊥AD于點D，分別延長AB、AF交直線l于點M，N，則∠AMN＝；若正六邊形ABCDEF的面積為6，則△AMN的面積為．25．（2024?廣平縣二模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且AB＝4，∠ABO＝30°，則AC＝．由尺規作圖痕跡，可知∠OPD＝．三．解答題（共5小題）26．（2024?叢臺區二模）在四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，BC＝8，∠DAB＝∠ABC＝90°，以B為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，點E是從點B向點C運動的一個動點，速度為每秒一個單位長度，在運動過程中，連接線段AE，并將線段AE繞點E順時針旋轉90°得到線段EF．（1）易證：∠DCB的度數為；對角線AC的長度為；（2）當點E運動到點C時，求點F的坐標；（3）當點F落在對角線AC上時，求點E運動的時間t；（4）直接寫出點E從點B運動到點C時，點F運動的路徑長．27．（2024?叢臺區二模）雨過天晴，人們常看到天空中出現彩虹，它是由陽光照射到空中彌漫的水珠上時出現的現象．在說明這個現象時，需要分析光線射入水珠后的光路．已知：一細束光線MA射入水珠，水珠可視為一個半徑為R＝10mm的球，球心O到入射光線MA的垂直距離為d＝8mm，折射光線AC＝16mm．（參考數據：sin37°≈0.6，sin53°≈0.8）（1）圓心O到折線AC的距離；（2）求光線MA與折線AC所夾的劣弧BC的長．（3）若這條光線在第一次射出水珠的線路CN與水珠所在的⊙O相切，請直接寫出光線CN與MA所在直線所夾的銳角的度數．28．（2024?館陶縣二模）將直徑為10cm的量角器與矩形直尺按如圖1位置放置，其中量角器的直徑AB平行于直尺的邊緣MN，OA對應量角器的0°刻度線，OB對應量角器的180°刻度線，且量角器的輪廓所在的半圓O與直尺的邊緣MN相切于點P，與直尺的另一邊緣相交于點C，D．已知點P，C，D在直尺上的讀數分別為5cm，1cm，9cm．計算在圖1中，設OP與CD交于點E．（1）求直尺的寬度PE；操作將圖1中的量角器沿MN向右作無滑動的滾動，直尺保持固定，當量角器的端點B恰好與直尺邊緣上的交點D重合時停止滾動，如圖2所示．探究經過上述操作后，在圖2中，求：（2）點C在量角器上的讀數；（3）點P在直尺上的讀數（結果保留小數點后一位）（參考數據：tan37°取0.75，π取3.14）29．（2024?邯鄲二模）如圖1，在矩形OABC中，OA＝6，OC＝8，點D在射線OC上（不與O點重合），以O為圓心，OD為半徑向上作半圓O，半圓O交CO延長線于E點．（1）若OD＝2，M是半圓O上一點，則B、M兩點之間距離的最小值為．（2）如圖2，連接OB交半圓O于P點，在接AD交半圓O于F點，若P點恰好是DF的中點，求DF的長；【注：sin49°=cos41°=34，tan37°=34】（3）連接AC，若半圓O與△30．（2024?邯山區二模）如圖，點B在數軸上對應的數是﹣2，以原點O為圓心，OB的長為半徑作優弧AB，使點A在原點的左上方，且tan∠AOB=3，點D（1）求扇形AOB的面積；（2）點E是優弧AB上任意一點，①當∠EDB最大時，直接指出ED與優弧AB的位置關系，并求∠EDB的最大值．②當點E與點A重合時，線段DE與優弧AB的交點為F，請直接寫出EF的長．

河北省邯鄲市2024年中考數學二模試題按知識點分層匯編-04圖形的性質參考答案與試題解析一．選擇題（共15小題）1．（2024?邯鄲二模）勾股定理是人類數學文化的一顆璀璨明珠，是用代數思想解決幾何問題最重要的工具，也是數形結合的紐帶之一．如圖，當秋千靜止時，踏板B離地的垂直高度BE＝0.7m，將它往前推3m至C處時（即水平距離CD＝3m），踏板離地的垂直高度CF＝2.5m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是（）A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m【解答】解：由題意可知，CF＝2.5m，BE＝0.7m，∴BD＝1.8m．設AC的長為xm，則AB＝AC＝xm，所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m．在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣1.8）2+32＝x2，解得：x＝3.4，即繩索AC的長是3.4米．故選：A．2．（2024?館陶縣二模）如圖，四邊形ABCD是正方形，直線l1，l2，l3分別通過A，B，C三點，且l1∥l2∥l3，若l1與l2的距離為5，l2與l3的距離為7，則正方形ABCD的面積等于（）A．70 B．74 C．144 D．148【解答】解：過點A作AE⊥l1，過點C作CF⊥l2，∴∠CBF+∠BCF＝90°，四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°，∵l1∥l2∥l3，∴∠ABE＝∠BCF，在△ABE和△BCF中，∠AEB=∠BFC∠ABE=∠BCF∴△ABE≌△BCF（AAS）（畫出L1到L2，L2到L3的距離，分別交L2，L3于E，F）∴BF＝AE，∴BF2+CF2＝BC2，∴BC2＝52+72＝74．故面積為74．故選：B．3．（2024?館陶縣二模）如圖，若將鐘面上的12時作為正北方向，3時作為正東方向，則8時可以描述為（）A．北偏西60°方向 B．北偏西30°方向 C．南偏西30°方向 D．南偏西60°方向【解答】解：根據上北下南的方位，如果將鐘面上的12時作為正北方向，3時作為正東方向，那么8時可描述為南偏西60°．故選：D．4．（2024?館陶縣二模）如圖，在兩個同心圓⊙O中，AB，CD分別是大圓和小圓的直徑，且AB與CD不在同一條直線上，則可直接判定以點A，C，B，D為頂點的四邊形是平行四邊形的條件是（）A．兩組對邊分別平行 B．兩組對邊分別相等 C．一組對邊平行且相等 D．對角線互相平分【解答】解：在兩個同心圓⊙O中，AB，CD分別是大圓和小圓的直徑，且AB與CD不在同一條直線上，∴OA＝OB，OC＝OD，∴四邊形ADBC是平行四邊形故選：D．5．（2024?邱縣二模）如圖，用一些全等的正五邊形按如圖方式可以拼成一個環狀，使相鄰的兩個正五邊形有公共頂點，所夾的銳角為24°，圖中所示的是前3個正五邊形拼接的情況，拼接一圈后，中間會形成一個正多邊形，則該正多邊形的邊數是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵正五邊形的每個內角為180°×（5﹣2）÷5＝108°，∴組成的正多邊形的每個內角為360°﹣2×108°﹣24°＝120°，∵n個全等的正五邊形拼接可以拼成一個環狀，中間會形成一個正多邊形，∴形成的正多邊形為正n邊形，則(n?2)×180°n解得：n＝6．故選：C．6．（2024?館陶縣二模）如圖，平面上有P，Q，M，N四點，其中任意三點都不在同一條直線上，嘉淇進行了如下操作：①連接四點畫出四邊形PQMN；②利用尺規分別作PQ，PN的垂直平分線，兩直線交于點O．若以點O為圓心，OP長為半徑畫⊙O，則不一定在⊙O上的點是（）A．點P B．點Q C．點M D．點N【解答】解：連接OP，OQ，OM，ON，∵作PQ，PN的垂直平分線，兩直線交于點O，∴OP＝OQ＝ON，∴點P，Q，N在點O為圓心，OP長為半徑的圓上，OM與ON的大小關系不能確定，∴點M不一定在圓上，故選：C．7．（2024?邱縣二模）如圖，在△ABC中，M，N分別是邊AB，AC上的點，延長MN至點P，連接PC，∠P+∠BCP＝180°，要使四邊形MBCP為平行四邊形，甲、乙、丙三位同學給出三種不同的方案：甲：添加BM＝PC；乙：添加BM∥PC；丙：添加MP＝BC．則正確的方案（）A．只有甲、乙才對 B．只有乙、丙才對 C．只有甲、丙才對 D．甲、乙、丙都對【解答】解：∵∠P+∠BCP＝180°，∴MP∥BC，甲：添加BM＝PC后，一組對邊平行，另一組對邊相等，不能證明四邊形MBCP為平行四邊形；乙：添加BM∥PC后，滿足兩組對邊平行，能證明四邊形MBCP為平行四邊形；丙：添加MP＝BC后，滿足一組對邊平行且相等，能證明四邊形MBCP為平行四邊形；綜上可知，只有乙、丙才對，故選：B．8．（2024?邯鄲二模）如圖，過直線外一點畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法（圖中三角形ABC是三角板），其依據是（）A．同旁內角互補，兩直線平行 B．兩直線平行，同旁內角互補 C．同位角相等，兩直線平行 D．兩直線平行，同位角相等【解答】解：∵∠1＝∠2，∴a∥b（同位角相等，兩直線平行），∴C正確．故選：C．9．（2024?邯鄲二模）如圖，已知點A在直線a上，C、B兩點在直線b上，且a∥b，∠ABC是個鈍角，若AB＝5，則a、b兩直線的距離可以是（）A．8 B．6 C．5 D．4【解答】解：根據平行線之間的距離的定義可得a、b兩直線的距離應該小于5，故選：D．10．（2024?邯鄲二模）如圖是正方體的表面展開圖，現將部分面上分別標注數字，若正方體朝上的面標注的數字是1，則正方體朝下的面標注的數字是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：其中面“2”與面“1”相對，所以正方體朝上的面標注的數字是1，則正方體朝下的面標注的數字為2，故選：A．11．（2024?邯鄲二模）如圖，在矩形ABCD鐵片上，截下一個正六邊形EFGHMN，其中點E、F在邊AD上，點G在矩形ABCD的內部，點H、M在邊BC上，點N在AB邊上，若AB=63cm，則A．9cm B．10cm C．11cm D．13cm【解答】解：∵六邊形EFGHMN是正六邊形，∴∠FEN＝∠ENM＝∠NMH＝120°，EF＝EN＝NM，∴∠AEN＝∠BMN＝60°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴△ANE≌△BNM，∴AN=BN=1∴NE=AN如圖，連接EM，FH，NG，分別相交于點K，L，則四邊形ANKE與四邊形EFLK是矩形，∴KL＝EF＝6cm，∵∠MNE＝120°，MN＝NE，∴∠ENK＝60°，∠NEK＝30°，∴NK=1同理可得，GL＝3cm，∴NG＝NK+KL+LG＝3+6+3＝12cm∵點G在矩形ABCD的內部，∴AD＞NG，故選：D．12．（2024?邯鄲二模）已知：在四邊形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，如圖，求證，四邊形ABCD是菱形．證明：∵AB＝CD，BC＝DA，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵“_____”，∴四邊形ABCD是菱形．在以上證明過程中，“_____”可以表示的是（）A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．AB＝BC D．AB∥DC【解答】解：根據“有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形”，可得“…………”可以表示的是AB＝BC．故選：C．13．（2024?邯鄲二模）借助圓規，可得圖中最長的線段是（）A．BA B．CA C．DA D．EA【解答】解：通過用圓規比較圖中的四條線段，其中最長的DA，故選：C．14．（2024?邯鄲二模）如圖，在正方形ABCD內，確定一個點M，使△MAB、△MBC、△MCD、△MDA均為等腰三角形，則M點的個數為（）A．1 B．3 C．4 D．5【解答】解：如圖，作AD、BC、AB、CD的中垂線，①分別以A、C為圓心，正方形的邊長為半徑畫圓，每個圓與兩條中垂線各有2個交點，共8個交點，根據中垂線的性質以及圓內半徑相等，8個交點的位置都滿足△MAB、△MBC、△MCD、△MDA均是等腰三角形；②兩條中垂線的交點，也滿足△MAB、△MBC、△MCD、△MDA均是等腰三角形；∴滿足構成等腰三角形的所有點M的個數為：4+4+1＝9；其中在正方形內部的點有5個，故選：D．15．（2024?邱縣二模）已知直線PQ，嘉嘉和淇淇想畫出PQ的平行線，他們的作法如下（圖1和圖2）：嘉嘉：①將直尺緊貼直線PQ；②含60°角的三角板的頂點C落在直尺上；③使三角板斜邊BC與量角器的60°刻度線重合，則AB∥PQ．淇淇：①作射線PC；②在射線PC上任取點A，用尺規作與∠APQ相等的角，即∠CAB＝∠APQ；③連接AB，則AB∥PQ．下列說法正確的是（）A．嘉嘉的作法正確，淇淇的作法不正確 B．嘉嘉的作法不正確，淇淇的作法正確 C．嘉嘉和淇淇的作法都正確 D．嘉嘉和淇淇的作法都不正確【解答】解：嘉嘉：斜邊BC與量角器的60°刻度線重合，∴∠BCQ＝60°又∵直角板∠ACB＝30°，∴∠ACQ＝90°，∴∠A+∠ACQ＝180°，∴AB∥PQ，則嘉嘉的作法正確，淇淇：∵∠CAB＝∠APQ，∴AB∥PQ，則淇淇的作法正確，故選：C．二．填空題（共10小題）16．（2024?館陶縣二模）如圖1，在六邊形ABCDEF中，每個內角的度數都相等．嘉嘉針對圖形特點，對這個圖形進行了補充和探究：（1）分別延長CB，FA相交于點G，得到圖2，則∠G＝60°；（2）若已知AB＝3，BC＝5，CD＝4，DE＝1，則六邊形ABCDEF的周長為22．【解答】解：（1）（6﹣2）×180°＝720°，所以六邊形ABCDEF的每個內角度數為：720°÷6＝120°，所以∠CBA＝∠BAF＝120°，所以∠GBA＝∠GAB＝60°，所以∠G＝180°﹣60°﹣60°＝60°．故答案為：60．（2）延長CB，FA相交于點G，延長CD，FE相交于點M，因為∠G＝60°，∠C＝120°，所以∠G+∠C＝180°，所以CM∥GF，同理可得，CG∥FM，所以四邊形CGFM為平行四邊形，所以CG＝MF，CM＝GF．因為∠GBA＝∠GAB＝60°，所以△BGA為等邊三角形，所以BG＝AG＝AB＝3，同理可得，DM＝EM＝DE＝1，所以MF＝CG＝5+3＝8，GF＝CM＝4+1＝5，所以EF＝8﹣1＝7，AF＝5﹣3＝2，所以六邊形ABCDEF的周長為：3+5+4+1+7+2＝22．故答案為：22．17．（2024?邯鄲二模）如圖，有A、B、C三個城鎮，A城鎮位于C城鎮正北方向，且到C城鎮5km，B城鎮位于C城鎮正東方向，且到C城鎮12km，點M，點C被湖水隔開，若點M是AB的中點，則MC＝6.5km．【解答】解：由題意得∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB=A∵點M是AB的中點，∴CM=1故答案為：6.5．18．（2024?邯鄲二模）如圖，已知△ABC，根據幾何作圖的痕跡，解決下列問題：（1）BE=12BC（2）若∠COE＝68°，則∠ACB＝44°．【解答】解：（1）由作圖痕跡可知OE是線段BC的垂直平分線，∴BE=1故答案為：BC．（2）由作圖痕跡可知CO是∠ACB的角平分線，∴∠ACB＝2∠OCE，∵△OCE中，∠COE＝68°，∠OEC＝90°，∴∠OCE＝180°﹣68°﹣90°＝22°，∴∠ACB＝2×22°＝44°，故答案為：44．19．（2024?邯山區二模）已知，如圖等邊△ABC中，AD是BC邊上的高，以點A為圓心，AD為半徑畫弧，交AB，AC于點E，F．若BC＝10，則EF的長為53π【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，AD是BC邊上的高，BC＝10，∴BD＝5，AB＝10，∴AD=102∴EF的長為60π×53故答案為：5320．（2024?邯鄲二模）如圖，將兩塊不同的等腰直角三角板OEF和三角板OCG放置在正方形ABCD中，直角頂點O重合，點E，F，G分別在邊AB，BC，AD上，AB＝10，GD＝BF，若較小的斜邊EF長為25，則BE的長為2，較長的斜邊CG長為229．【解答】解：如圖，分別過O、G作AB的平行線RQ、GP，作OM∥BC交AB于點M，連接EC、GF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD∥RQ∥GP，AD∥BC∥OM，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，∴四邊形MBQO、PCDG、QPGR都是矩形，∴AB＝BC＝CD＝GP＝10，GD＝PC，由題意可知：OE＝OF，OC＝OG，∠EOF＝∠COG＝90°，∴∠EOC＝∠FOG，在△EOC和△FOG中，OE=OF∠EOC=∠FOG∴△EOC≌△FOG（SAS），∴EC＝FG，在Rt△EBC和Rt△FPG中，EC=FGBC=PG∴Rt△EBC≌Rt△FPG（HL），∴BE＝FP，設BE＝x，BF＝y，∴FP＝BE＝x，GD＝BF＝PC＝y，∵EF＝25，CB＝10，在Rt△BEF中，根據勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴x2+y2＝（25）2，∵BF+FP+PC＝BC，∴y+x+y＝10，解得x＝2，y＝4，∴BE＝2，BF＝GD＝4，∴GC=GD2故答案為：2，229．21．（2024?邯山區二模）如圖，線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點O，若∠1＝39°，則∠AOC＝78°．【解答】解：解法一：連接BO，并延長BO到P，∵線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝39°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；解法二：連接OB，∵線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點O，∴AO＝OB＝OC，∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，∴∠AOD+∠COE＝141°，∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；故答案為：78°．22．（2024?峰峰礦區二模）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊AB重合，其中量角器0刻度線的端點N與點A重合，射線CP從CA處出發沿順時針方向以每秒2度的速度旋轉，CP與量角器的半圓弧交于點E，第35秒時，點E在量角器上對應的讀數是140度．【解答】解：連接OE，∵∠ACB＝90°，∴點C在以AB為直徑的圓上，即點C在⊙O上，∴∠EOA＝2∠ECA，∵∠ECA＝2°×35＝70°，∴∠AOE＝2∠ECA＝2×70°＝140°．∵量角器0刻度線的端點N與點A重合，∴點E在量角器上對應的讀數是140，故答案為：140．23．（2024?峰峰礦區二模）如圖，菱形ABCD中，AC交BD于O，CE⊥AB于E，連接OE，若∠ABC＝80°，則∠OEC的度數為40°．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝80°，AB＝BC，∴∠CAB＝∠ACB=12（180°﹣80°）＝50°，AO＝∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∠AEC＝90°，∴∠OEA＝∠OAE＝50°，∴∠OEC＝90°﹣50°＝40°，故答案為：40．24．（2024?邱縣二模）如圖，過正六邊形ABCDEF的頂點D作一條直線l⊥AD于點D，分別延長AB、AF交直線l于點M，N，則∠AMN＝30°；若正六邊形ABCDEF的面積為6，則△AMN的面積為16．【解答】解：連接BE，CF交于點O，∵ABCDEF是正六邊形，∴∠MAD＝∠NAD＝60°，∵AD⊥MN，∴∠ADM＝∠ADN＝90°，∴∠AMN＝∠ANM＝30°∵ABCDEF是正六邊形，面積為6，∴點O在AD上，OA＝OB，△AOB的面積＝1，∴34?OA2∴OA2=4∵AD⊥MN，DM＝DN=3AD＝23OA∴S△ANM=12?MN?AD=12×2×23OA×2OA故答案為30°，16．25．（2024?廣平縣二模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且AB＝4，∠ABO＝30°，則AC＝4．由尺規作圖痕跡，可知∠OPD＝75°．【解答】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，AC＝2AO，∵AB＝4，∠ABO＝30°，∴AO=12∴AC＝4；在菱形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO＝30°，∵PD平分∠CDO，∴∠PDO=12∠∵∠DOP＝90°，∴∠OPD＝90°﹣15°＝75°，故答案為：4，75°．三．解答題（共5小題）26．（2024?叢臺區二模）在四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，BC＝8，∠DAB＝∠ABC＝90°，以B為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，點E是從點B向點C運動的一個動點，速度為每秒一個單位長度，在運動過程中，連接線段AE，并將線段AE繞點E順時針旋轉90°得到線段EF．（1）易證：∠DCB的度數為45°；對角線AC的長度為45（2）當點E運動到點C時，求點F的坐標；（3）當點F落在對角線AC上時，求點E運動的時間t；（4）直接寫出點E從點B運動到點C時，點F運動的路徑長．【解答】解：（1）如圖所示，過點D作DG⊥BC于點G，已知AB＝AD＝4，BC＝8，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四邊形ABGD是正方形，∴AB＝BG＝DG＝AD＝4，∴CG＝DG＝4，∴△CDG是等腰直角三角形，∴∠DCB＝45°，在Rt△ABC中，AC=A故答案為：45°，45（2）如圖所示，點E運動到點C，過點F作FH⊥BC延長線于點H，∴∠ABC＝∠FHC＝90°，∵∠AEF＝90°，∠ACB+∠FCH＝∠FCH+∠CFH＝90°，∴∠ACB＝∠CFH，且AC＝CF，∴△ABC≌△CHF（AAS），∴AB＝CH＝4，BC＝HF＝8，∴H（12，0），F（12，8）；（3）如圖所示，結合（2）的證明方法可得，△ABE≌△EHF（AAS），∴AB＝EH＝4，BE＝HF，設BE＝HF＝x，則CH＝8﹣（4+x）＝4﹣x，∵FH⊥BC，∠ABC＝90°，即AB⊥BC，∴AB∥FH，∴△CFH∽△CAB，∴CHCB=HF解得，x=4∵點E是從點B向點C運動的一個動點，速度為每秒一個單位長度，∴點F落在對角線AC上時，點E運動的時間t=4（4）由（1）可知，當點B與點E重合時，即AE＝AB＝4，∵將線段AE繞點E順時針旋轉90°得到線段EF，∴EF＝BG＝4，即F（4，0）；由（2）可知，當點B與點C重合時，F（12，8）當點E從點B開始運動時，結合上述證明可得，△ABE≌△EHF，∴BE＝HF，AB＝EH＝4，設F（x，y），∴FH＝BE＝BH﹣EH即y＝x﹣4∴點F運動路徑是y＝x﹣4（4≤x≤12）的線段，∴水平方向上：12﹣4＝8，垂直方向上：8，∴根據勾股定理得82∴點F運動的路徑長為8227．（2024?叢臺區二模）雨過天晴，人們常看到天空中出現彩虹，它是由陽光照射到空中彌漫的水珠上時出現的現象．在說明這個現象時，需要分析光線射入水珠后的光路．已知：一細束光線MA射入水珠，水珠可視為一個半徑為R＝10mm的球，球心O到入射光線MA的垂直距離為d＝8mm，折射光線AC＝16mm．（參考數據：sin37°≈0.6，sin53°≈0.8）（1）圓心O到折線AC的距離；（2）求光線MA與折線AC所夾的劣弧BC的長．（3）若這條光線在第一次射出水珠的線路CN與水珠所在的⊙O相切，請直接寫出光線CN與MA所在直線所夾的銳角的度數．【解答】解：（1）如圖所示，過點O作OD⊥AC于點D，∵AC＝16mm，∴AD=12又AO＝10mm，∴OD=AO2即圓心O到折線AC的距離為6mm；（2）如圖所示，過點O作OE⊥AB于點E，連接OB，OC，依題意，OE＝8mm，∴在Rt△AOE中，AE=AO2∵sin∠OAE=EOAO=∴∠OAE＝53°，∠DAO＝37°，∴∠BAC＝53°﹣37°＝16°，∴∠BOC＝32°，∴BC=32π×10（3）如圖所示，過點O作OF∥AM交CN于點F，由（2）可得∠OAE＝53°，則∠BOE＝∠AOE＝37°，∠BOC＝32°，∴∠EOC＝69°，∴∠COF＝90°﹣∠EOC＝21°，又∵CN是⊙O的切線，∴CN⊥OC，∴∠OFC＝90°﹣∠COF＝90°﹣21°＝69°，即光線CN與MA所在直線所夾的銳角的度數為69°．28．（2024?館陶縣二模）將直徑為10cm的量角器與矩形直尺按如圖1位置放置，其中量角器的直徑AB平行于直尺的邊緣MN，OA對應量角器的0°刻度線，OB對應量角器的180°刻度線，且量角器的輪廓所在的半圓O與直尺的邊緣MN相切于點P，與直尺的另一邊緣相交于點C，D．已知點P，C，D在直尺上的讀數分別為5cm，1cm，9cm．計算在圖1中，設OP與CD交于點E．（1）求直尺的寬度PE；操作將圖1中的量角器沿MN向右作無滑動的滾動，直尺保持固定，當量角器的端點B恰好與直尺邊緣上的交點D重合時停止滾動，如圖2所示．探究經過上述操作后，在圖2中，求：（2）點C在量角器上的讀數；（3）點P在直尺上的讀數（結果保留小數點后一位）（參考數據：tan37°取0.75，π取3.14）【解答】解：（1）∵C，D在直尺上的讀數分別為1cm，9cm，∴CD＝9﹣1＝8（cm），∵半圓O與MN相切于點P，∴OP⊥MN，又∵CD∥MN，∴OP⊥CD，∴DE=1如圖1，連接OD，在Rt△DOE中，OD=1∴OE=O∴PE＝OP﹣OE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（cm）；（2）連接OC，如圖2，在Rt△DOE中，tan∠ODE=OE∴∠ODE＝37°，∴∠AOC＝2∠ODE＝2×37°＝74°，即點C在量角器上的讀數為74°；（3）取半圓弧AB的中點為Q，連接OQ，∴∠DOQ＝90°，∴∠POQ＝90°﹣∠DOP＝∠ODE＝37°，∴PQ的長