第5節(jié)函數(shù)的對(duì)稱性及應(yīng)用考試要求1.能通過平移，分析得出一般的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱公式和推論.2.會(huì)利用對(duì)稱公式解決問題.【知識(shí)梳理】1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的對(duì)稱性(1)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱.(2)若f(x－2)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為x＝－2；若f(x－2)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱中心為(－2，0).2.若函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱，則f(a－x)＝f(a＋x)；若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱.3.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)關(guān)于y軸對(duì)稱；(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱；(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]對(duì)稱性的四個(gè)常用結(jié)論(1)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)?f(a＋x)＝f(a－x)?y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝a對(duì)稱.(2)y＝f(x＋a)是奇函數(shù)?f(a＋x)＝－f(a－x)?y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱.(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱.特別地，當(dāng)a＝b時(shí)，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時(shí)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱.特別地，當(dāng)b＝0時(shí)，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時(shí)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱.【診斷自測(cè)】1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱.()(2)函數(shù)y＝f(x－1)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱.()(3)若函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，則f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.()(4)若函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√解析(2)函數(shù)y＝f(x－1)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，0)對(duì)稱.(3)由函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＋f(x＋1)＝0可得f(x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(－x)≠f(x)，故f(x)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱.2.函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋1,x)圖象的對(duì)稱中心為()A.(0，0) B.(0，1)C.(1，0) D.(1，1)答案B解析因?yàn)閒(x)＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)，由y＝eq\f(1,x)向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝1＋eq\f(1,x)，又y＝eq\f(1,x)關(guān)于(0，0)對(duì)稱，所以f(x)＝1＋eq\f(1,x)的圖象關(guān)于(0，1)對(duì)稱.3.(必修一P87T13改編)已知函數(shù)y＝f(x＋2)－3是奇函數(shù)，且f(4)＝2，則f(0)＝______.答案4解析法一由y＝f(x＋2)－3是奇函數(shù)，∴f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3，令x＝2，f(0)－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4.法二由y＝f(x＋2)－3是奇函數(shù)，得f(x)關(guān)于(2，3)對(duì)稱，故f(0)＋f(4)＝6，即f(0)＝4.4.若偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f(x)＝2x－1，則f(－1)＝________.答案5解析∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的圖象關(guān)于x＝2對(duì)稱，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5.考點(diǎn)一函數(shù)的對(duì)稱性例1(2023·全國(guó)乙卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,x)＋a)ln(1＋x)，是否存在a，b，使得曲線y＝f(eq\f(1,x))關(guān)于直線x＝b對(duì)稱？若存在，求a，b的值；若不存在，說明理由.解假設(shè)存在a，b,使得曲線y＝f(eq\f(1,x))關(guān)于直線x＝b對(duì)稱.令g(x)＝f(eq\f(1,x))＝(x＋a)ln(1＋eq\f(1,x))＝(x＋a)lneq\f(x＋1,x)，因?yàn)榍€y＝g(x)關(guān)于直線x＝b對(duì)稱，所以g(x)＝g(2b－x)，即(x＋a)lneq\f(x＋1,x)＝(2b－x＋a)lneq\f(2b－x＋1,2b－x)＝(x－2b－a)lneq\f(x－2b,x－2b－1)，于是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2b－a，,1＝－2b，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－\f(1,2)，))當(dāng)a＝eq\f(1,2)，b＝－eq\f(1,2)時(shí)，g(x)＝(x＋eq\f(1,2))ln(1＋eq\f(1,x))，g(－1－x)＝(－x－eq\f(1,2))lneq\f(－x,－1－x)＝(－x－eq\f(1,2))lneq\f(x,1＋x)＝(x＋eq\f(1,2))lneq\f(x＋1,x)＝(x＋eq\f(1,2))ln(1＋eq\f(1,x))＝g(x)，所以曲線y＝g(x)關(guān)于直線x＝－eq\f(1,2)對(duì)稱，滿足題意.故存在a，b，使得曲線y＝f(eq\f(1,x))關(guān)于直線x＝b對(duì)稱，且a＝eq\f(1,2)，b＝－eq\f(1,2).感悟提升1.函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱?f(a＋x)＝f(a－x)，或f(2a＋x)＝f(－x).2.函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱?f(2a－x)＋f(x)＝2b或f(a－x)＋f(a＋x)＝2b.3.函數(shù)y＝f(a＋x)的圖象與函數(shù)y＝f(b－x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(b－a,2)對(duì)稱.訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)y＝f(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象與y＝f(4－x)的圖象()A.關(guān)于直線x＝1對(duì)稱B.關(guān)于直線x＝3對(duì)稱C.關(guān)于直線y＝3對(duì)稱D.關(guān)于點(diǎn)(3，0)對(duì)稱答案A解析設(shè)P(x0，y0)為y＝f(x＋2)圖象上任意一點(diǎn)，則y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以點(diǎn)Q(2－x0，y0)在函數(shù)y＝f(4－x)的圖象上，而P(x0，y0)與Q(2－x0，y0)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象與y＝f(4－x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱.(2)(多選)關(guān)于函數(shù)f(x)＝sinx＋eq\f(1,sinx)有如下四個(gè)命題，其中正確的是()A.f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱B.f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱D.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)對(duì)稱答案BCD解析∵f(x)＝sinx＋eq\f(1,sinx)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ，k∈Z}，f(－x)＝sin(－x)＋eq\f(1,sin（－x）)＝－sinx－eq\f(1,sinx)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤，B正確；∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝cosx＋eq\f(1,cosx)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝cosx＋eq\f(1,cosx)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱，故C正確；又f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋eq\f(1,sin（x＋2π）)＝sinx＋eq\f(1,sinx)，f(－x)＝－sinx－eq\f(1,sinx)，∴f(x＋2π)＝－f(－x)，∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)對(duì)稱，故D正確.考點(diǎn)二對(duì)稱性與周期性例2(1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，f(x)＝x3－3x，則f(2023)＝()A.1 B.－2 C.－1 D.2答案D解析法一因?yàn)槎x在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，所以f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)，則f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù).則f(2023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝2.法二由f(x)的定義域?yàn)镽，f(－x)＝－f(x)，可知f(x)為奇函數(shù)，由f(1＋x)＝f(1－x)，可知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，則f(2023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝2.(2)(2024·泉州質(zhì)測(cè))已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)1≤x<2時(shí)，f(x)＝x－2.若y＝eq\f(1,6)x－eq\f(1,3)與f(x)的圖象交于點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n∈N*)，則eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi＋yi)＝()A.6 B.8 C.10 D.14答案D解析因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以直線x＝1是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸.又由f(x＋2)＝－f(x)，得到f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù).作出f(x)的圖象，如圖所示.由圖象可知，點(diǎn)(2，0)是f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，直線y＝eq\f(1,6)x－eq\f(1,3)也關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，且當(dāng)x≥8時(shí)，y＝eq\f(1,6)x－eq\f(1,3)≥1，當(dāng)x≤－4時(shí)，y＝eq\f(1,6)x－eq\f(1,3)≤－1，所以直線y＝eq\f(1,6)x－eq\f(1,3)與y＝f(x)的圖象有7個(gè)公共點(diǎn)，則由對(duì)稱性可得，x1＋x2＋…＋x7＝2＋4×3＝14，y1＋y2＋y3＋…＋y7＝0，因此eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(xi＋yi)＝14，故選D.感悟提升1.若函數(shù)y＝f(x)的對(duì)稱軸為x＝a，x＝b，則其周期為T＝2|b－a|.2.若函數(shù)y＝f(x)的對(duì)稱中心為(a，0)，(b，0)，則其周期為T＝2|b－a|.3.若函數(shù)y＝f(x)的對(duì)稱軸為x＝a，對(duì)稱中心為(b，0)，則其周期為T＝4|b－a|.訓(xùn)練2(1)(多選)(2024·承德模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，則下列結(jié)論正確的是()A.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱C.f(x)的周期為4D.y＝f(x＋4)為偶函數(shù)答案ACD解析∵f(2＋x)＝f(2－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，故A正確，B錯(cuò)誤；∵f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，則f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正確；∵T＝4且f(x)為偶函數(shù)，故y＝f(x＋4)為偶函數(shù)，故D正確.(2)(2024·洛陽模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))為偶函數(shù)且f(1)＝2，則f(2022)＋f(2023)＋f(2024)＝()A.－2 B.0 C.2 D.4答案D解析因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))為偶函數(shù)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，則f(x＋3)＝f(－x)，故f(x＋3)＝－f(x)，則有f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是以6為周期的周期函數(shù).對(duì)于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，令x＝－eq\f(1,2)，得f(2)＝f(1)＝2，f(2022)＝f(6×337)＝f(0)＝0，f(2023)＝f(6×337＋1)＝f(1)＝2，f(2024)＝f(6×337＋2)＝f(2)＝2，所以f(2022)＋f(2023)＋f(2024)＝4.考點(diǎn)三對(duì)稱性、周期性與單調(diào)性例3(多選)(2024·杭州調(diào)考)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在(－1，0]上單調(diào)遞增，f(1＋x)＝f(1－x)，且圖象關(guān)于(2，0)對(duì)稱，則()A.f(0)＝f(－2)B.f(x)的周期T＝2C.f(x)在(2，3)上單調(diào)遞減D.f(x)滿足f(2021)>f(2022)>f(2023)答案AC解析由f(1＋x)＝f(1－x)，可得f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝1，所以f(0)＝f(2)，又由f(1＋x)＝f(1－x)，可知f(2＋x)＝f(－x).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于(2，0)對(duì)稱，即f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)，所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的周期為4，所以f(－2)＝f(2)，所以f(0)＝f(－2)，故A正確，B錯(cuò)誤.因?yàn)閒(x)在(－1，0]上單調(diào)遞增，且周期為4，所以f(x)在(3，4]上單調(diào)遞增，又f(x)的圖象關(guān)于(2，0)對(duì)稱，所以f(x)在[0，1)上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以f(x)在(1，2]上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)在(2，3)上單調(diào)遞減，故C正確.根據(jù)f(x)的周期為4，可得f(2021)＝f(1)，f(2022)＝f(2)，f(2023)＝f(3)，因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以f(2)＝f(0)且f(3)＝f(－1)，即f(2021)＝f(1)，f(2022)＝f(0)，f(2023)＝f(－1)，由C選項(xiàng)的分析可知，函數(shù)f(x)在[0，1)上單調(diào)遞增，在(－1，0]上單調(diào)遞增，確定的單調(diào)區(qū)間內(nèi)均不包含x＝±1，若f(－1)＝f(1)＝0，則f(2021)>f(2022)>f(2023)不成立，故D錯(cuò)誤.感悟提升解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問題，一般要利用周期性與對(duì)稱性縮小自變量的值或轉(zhuǎn)換自變量所在的區(qū)間，然后利用單調(diào)性比較大小或解不等式.訓(xùn)練3(2024·成都診斷)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＋f(x)＝0，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則下列不等式正確的是()A.f(log27)<f(－5)<f(6)B.f(log27)<f(6)<f(－5)C.f(－5)<f(log27)<f(6)D.f(－5)<f(6)<f(log27)答案C解析由f(x＋2)＋f(x)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，f(x)的周期T＝4.又f(－x)＝－f(x)，f(2)＝－f(0)＝0，所以f(－5)＝－f(5)＝－f(1)＝－log22＝－1，f(6)＝f(2)＝0.又2<log27<3，則0<log27－2<1，則0<log2eq\f(7,4)<1，因?yàn)楫?dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)∈[0，1]，所以f(log27)＝－f(log27－2)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(7,4)))＝－log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(7,4)＋1))＝－log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(7,2))).又1<log2eq\f(7,2)<2，所以0<log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(7,2)))<1，所以－1<－log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(7,2)))<0，所以f(－5)<f(log27)<f(6).抽象函數(shù)1.我們把不給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，解決抽象函數(shù)問題的兩種常用方法有：函數(shù)性質(zhì)法和特殊值法.2.常見的抽象函數(shù)模型：(1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)可看做f(x)＝kx的抽象表達(dá)式；(2)f(x＋y)＝f(x)f(y)可看做f(x)＝ax的抽象表達(dá)式(a>0，且a≠1)；(3)f(xy)＝f(x)＋f(y)可看做f(x)＝logax的抽象表達(dá)式(a>0，且a≠1)；(4)f(xy)＝f(x)f(y)可看做f(x)＝xa的抽象表達(dá)式.一、抽象函數(shù)求值例1(1)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，則f(－2)等于________.答案2解析∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，∴令x＝y(tǒng)＝1，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2＝6，再令x＝2，y＝－1，得f(2－1)＝f(2)＋f(－1)－4＝2，∴f(－1)＝0，∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＋2＝2.(2)f(x)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，則eq\f(f（2）,f（1）)＋eq\f(f（4）,f（3）)＋eq\f(f（6）,f（5）)＋…＋eq\f(f（2024）,f（2023）)＝()A.2024 B.2022 C.1012 D.1011答案A解析由f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，令b＝1可得f(a＋1)＝f(a)·f(1)＝2f(a)，所以eq\f(f（2）,f（1）)＋eq\f(f（4）,f（3）)＋eq\f(f（6）,f（5）)＋…＋eq\f(f（2024）,f（2023）)＝eq\f(2f（1）,f（1）)＋eq\f(2f（3）,f（3）)＋eq\f(2f（5）,f（5）)＋…＋eq\f(2f（2023）,f（2023）)＝2×1012＝2024.二、抽象函數(shù)的性質(zhì)例2(1)(多選)(2024·常德模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，且f(2)＝3，則()A.f(1)＝1B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增C.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)D.函數(shù)f(x)的一個(gè)解析式為f(x)＝2x－1答案ABD解析A中，因?yàn)閒(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，f(2)＝3，令x＝y(tǒng)＝1，則f(2)＝[f(1)]2＋2f(1)＝3，解得f(1)＝1，A正確；B中，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x2>x1，則f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)＋f(x2－x1)，因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，所以f(x2－x1)>0，f(x1)>0，所以f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)＋f(x2－x1)>f(x1)，即f(x2)>f(x1)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，B正確；C中，令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝[f(0)]2＋2f(0)，解得f(0)＝0或f(0)＝－1，當(dāng)f(0)＝0，且x>0時(shí)，令y＝－x，則0＝f(x)f(－x)＋f(x)＋f(－x)，若f(x)為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，即0＝－f2(x)＋f(x)－f(x)，解得f(x)＝0，與題意矛盾；當(dāng)f(0)＝－1時(shí)，f(x)不為奇函數(shù).綜上所述，函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；D中，當(dāng)f(x)＝2x－1，則f(x＋y)＝2x＋y－1，f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)＝(2x－1)(2y－1)＋(2x－1)＋(2y－1)＝2x＋y－2x－2y＋1＋2x－1＋2y－1＝2x＋y－1，所以f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，易得f(x)＝2x－1在R上單調(diào)遞增，所以x>0時(shí)，f(x)＝2x－1>20－1＝0，f(2)＝22－1＝3，故函數(shù)f(x)的一個(gè)解析式為f(x)＝2x－1，D正確.(2)(2024·紹興質(zhì)檢)已知f(x)是定義在區(qū)間(0，＋∞)上的增函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，如果x滿足f(x)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－3)))≤2，則x的取值范圍為________.答案(3，4]解析∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)，∴f(y)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝f(x).在上述等式中取x＝4，y＝2，則有f(2)＋f(2)＝f(4).又∵f(2)＝1，∴f(4)＝2，∴f(x)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－3)))≤2可變形為f(x(x－3))≤f(4).又∵f(x)是定義在區(qū)間(0，＋∞)上的增函數(shù)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（x－3）≤4，,x＞0，,x－3＞0，))解得3＜x≤4.故x的取值范圍是(3，4].訓(xùn)練(1)(多選)(2024·佛山模擬)已知定義在R上且不恒為0的函數(shù)f(x)，對(duì)任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)，則()A.f(8)＝12f(2)B.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)C.對(duì)?n∈N*，有f(xn)＝nf(x)D.若f(2)＝2，則eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(k＝1))f(2k)＝(n＋1)2n－2答案AB解析對(duì)于A，令x＝2，y＝2，則有f(2×2)＝f(4)＝2f(2)＋2f(2)＝4f(2)，f(8)＝f(2×4)＝2f(4)＋4f(2)＝12f(2)，正確；對(duì)于B，因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，因?yàn)閷?duì)于?x∈R，f(xy)＝xf(y)＋yf(x)，當(dāng)x≠0時(shí)，令y＝x，則有f(xy)＝f(x2)＝2xf(x)，∴f(x)＝eq\f(f（x2）,2x)，f(－x)＝－eq\f(f（x2）,2x)＝－f(x)，令x＝0時(shí)，f(0×y)＝f(0×0)＝0，所以f(x)是奇函數(shù)，正確；對(duì)于C，由B知，當(dāng)n＝2時(shí)，f(x2)＝2xf(x)，錯(cuò)誤；對(duì)于D，f(2n)＝f(2n－1×2)＝2n－1f(2)＋2f(2n－1)，令an＝f(2n)(n∈N*)，則有an＝2an－1＋2n，∴2－nan＝2－(n－1)an－1＋1，令bn＝2－nan，則bn＝bn－1＋1，b1＝2－1×2＝1，{bn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴bn＝b1＋(n－1)＝n，即an＝n2n(n∈N*)，令Sn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(k＝1))f(2k)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(k＝1))ak＝a1＋a2＋…＋an＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n2n，①則2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1，②①－②得：－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝eq\f(2×（1－2n）,1－2)－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2，故Sn＝(n－1)2n＋1＋2，錯(cuò)誤.故選AB.(2)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，則f(4)＝________.答案7解析令x＝y(tǒng)＝1，則f(2)＝f(1)＋f(1)＋1＝3.令x＝y(tǒng)＝2，則f(4)＝f(2)＋f(2)＋1＝7.【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(1，－2)，則函數(shù)y＝－f(－x)的圖象必過點(diǎn)()A.(－1，2) B.(1，2)C.(－1，－2) D.(－2，1)答案A解析函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(1，－2)，則函數(shù)y＝－f(－x)的圖象必過點(diǎn)(－1，2).2.已知函數(shù)f(x)＝2|x－a|的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，則a等于()A.1 B.2 C.0 D.－2答案B解析函數(shù)f(x)＝2|x－a|的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，可得f(2＋x)＝f(2－x)，即為2|2＋x－a|＝2|2－x－a|，即有|2＋x－a|＝|2－x－a|(*)恒成立，可得2＋x－a＝2－x－a或2＋x－a＋2－x－a＝0，解得x＝0或a＝2，檢驗(yàn)可得a＝2時(shí)(*)式恒成立.3.(2024·常州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(1＋x)＝－f(1－x)，f(2＋x)＝f(2－x)，則f(x)是()A.偶函數(shù)，又是周期函數(shù)B.偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C.奇函數(shù)，又是周期函數(shù)D.奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)答案A解析法一因?yàn)閒(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于(1，0)中心對(duì)稱；因?yàn)閒(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，則f(x＋2)＝f(x－2).又f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，f(x)是偶函數(shù).法二因?yàn)閒(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x＋2)＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x).因?yàn)閒(2＋x)＝f(2－x)，所以f(2－x)＝－f(－x)，即f(2＋x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，則f(x＋2)＝f(x－2).因?yàn)閒(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)＝f(－x)，f(x)是偶函數(shù).4.已知函數(shù)f(x＋2)是R上的偶函數(shù)，且f(x)在[2，＋∞)上恒有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0(x1≠x2)，則不等式f(lnx)>f(1)的解集為()A.(－∞，e)∪(e3，＋∞) B.(1，e2)C.(e，e3) D.(e，＋∞)答案C解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x＋2)是R上的偶函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，在[2，＋∞)上恒有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0(x1≠x2)，當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，不等式f(lnx)>f(1)需滿足|lnx－2|<|1－2|?1<lnx<3，解得e<x<e3.5.(多選)(2024·濟(jì)寧統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足f(x＋3)＋f(x＋1)＝0，且f(x＋1)為偶函數(shù)，則()A.f(2)＝0 B.f(x)為偶函數(shù)C.f(x)為周期函數(shù) D.f(x＋4)為偶函數(shù)答案AC解析因?yàn)閒(x＋1)為偶函數(shù)，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，又f(x＋3)＋f(x＋1)＝0，所以f(x＋3)＋f(－x＋1)＝0，令x＝－1，得f(2)＋f(2)＝0，所以f(2)＝0，故A正確；因?yàn)閒(x＋3)＋f(x＋1)＝0，所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期是4，又f(x＋3)＋f(－x＋1)＝0，所以f(x＋4)＝－f(－x)＝f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，且f(x)的周期是4，所以(4，0)是f(x)的圖象的對(duì)稱中心，f(x＋4)＝－f(－x＋4)，f(x＋4)為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.6.(2024·泉州調(diào)研)已知函數(shù)y＝f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)且f(1－x)＋f(x－1)＝0，則f(2025)＝()A.－3 B.0 C.3 D.6答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(1－x)＋f(x－1)＝0，即f(1－x)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù).由題意知f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)，令x＝－3，得f(3)＋f(－3)＝2f(3)，即f(3)－f(3)＝2f(3)，所以f(3)＝0，則f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)＝0，即f(x＋6)＝－f(x)，所以f(x＋12)＝－f(x＋6)＝－[－f(x)]＝f(x)，即12為函數(shù)y＝f(x)的周期，所以f(2025)＝f(12×168＋9)＝－f(3)＝0.7.(2024·廣州模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)為偶函數(shù).若f(0)＝2，則eq\o(∑,\s\up6(115),\s\do4(k＝1))f(k)＝()A.116 B.115 C.114 D.113答案C解析由f(x＋1)＋f(x－1)＝2，得f(x＋2)＋f(x)＝2，即f(x＋2)＝2－f(x)，所以f(x＋4)＝2－f(x＋2)＝2－[2－f(x)]＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為4.又f(x＋2)為偶函數(shù)，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(4－x)＝f(－x)，所以函數(shù)f(x)也為偶函數(shù).又f(x＋1)＋f(x－1)＝2，所以f(1)＋f(3)＝2，f(2)＋f(4)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4.又f(0)＋f(2)＝2，f(0)＝2，所以f(2)＝0，所以eq\o(∑,\s\up6(115),\s\do4(k＝1))f(k)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×28＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝4×28＋2＋0＝114.8.與f(x)＝ex關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的函數(shù)是________.答案y＝e2－x解析設(shè)函數(shù)f(x)＝ex的圖象上的任意一點(diǎn)(x0，y0)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋x,2)＝1，,y0＝y(tǒng)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2－x，,y0＝y(tǒng)，))因?yàn)辄c(diǎn)(x0，y0)在函數(shù)f(x)＝ex圖象上，所以y0＝ex0，即y＝e2－x.9.寫出一個(gè)同時(shí)具有性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)＝________.①f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2.答案2sineq\f(π,2)x(答案不唯一)解析由①②③可知函數(shù)f(x)是對(duì)稱軸為x＝1，定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f(1)＝2，可寫出滿足條件的函數(shù)f(x)＝2sineq\f(π,2)x.10.已知函數(shù)f(x)對(duì)?x∈R滿足f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，且f(x)>0.若y＝f(x－1)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，f(0)＝1，則f(2025)＝________.答案2解析因?yàn)閥＝f(x－1)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝0對(duì)稱，即y＝f(x)是偶函數(shù).對(duì)于f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，令x＝－1，可得f(1)·f(－1)＝2f(1)，又f(x)>0，所以f(－1)＝2，則f(1)＝f(－1)＝2，所以函數(shù)f(x)對(duì)?x∈R滿足f(x＋2)·f(x)＝4，所以f(x＋4)·f(x＋2)＝4，所以f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(2025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝2.11.函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a，b)成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)y＝f(x＋a)－b為奇函數(shù).(1)若f(x)＝x3－3x2，求此函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；(2)類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱的充要條件是函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論.解(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－3x2圖象的對(duì)稱中心為P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，則g(x)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－3＝0，,a3－3a2－b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，))所以函數(shù)f(x)＝x3－3x2圖象的對(duì)稱中心為(1，－2).(2)推論：函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a成軸對(duì)稱的充要條件是函數(shù)y＝f(x＋a)為偶函數(shù).12.已知定義域?yàn)镮＝(－∞，0)∪(0，＋∞)的函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x1，x2∈I都有f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1).(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)設(shè)g(x)＝eq\f(f（x）,x)，且當(dāng)x>1時(shí)，g(x)<0，求不等式g(x－2)>g(x)的解集.(1)證明令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝－eq\f(1,2)f(1)＝0，令x1＝x，x2＝－1，得f(－x)＝xf(－1)－f(x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù).(2)解∵f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)，∴eq\f(f（x1x2）,x1x2)＝eq\f(f（x1）,x1)＋eq\f(f（x2）,x2)，∴g(x1x2)＝g(x1)＋g(x2)，設(shè)x1>x2>0，則eq\f(x1,x2)>1，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))<0.∵g(x1)＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2·\f(x1,x2)))＝g(x2)＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))<g(x2)，∴g(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù).∵g(－x)＝eq\f(f（－x）,－x)＝eq\f(－f（x）,－x)＝g(x)，∴g(x)是偶函數(shù)，∴g(|x－2|)>g(|x|)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2≠0，,x≠0，,|x－2|<|x|，))解得x>1且x≠2，∴不等式g(x－2)>g(x)的解集為{x|1<x<2或x>2}.【B級(jí)能力提升】13.(2023·唐山模擬)已知函數(shù)f(2x＋1)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2x＋1)的一個(gè)周期為2，則()A.1為f(x)的周期B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))對(duì)稱C.f(2023)＝0D.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱答案C解析對(duì)于A，因?yàn)閒(2x＋1)的一個(gè)周期為2，所以f[2(x＋2)＋1]＝f(2x＋1)，即f(2x＋1＋4)＝f(2x＋1)，設(shè)t＝2x＋1，則f(t＋4)＝f(t)，所以f(x)的一個(gè)周期為4，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，因?yàn)閒(2x＋1)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，設(shè)m＝2x，則f(－m＋1)＝－f(m＋1)，所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，因?yàn)閒(x)的一個(gè)周期為4，所以f(2023)＝f(4×506－1)＝f(－1)＝－f(1)，又f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，令x＝0，得f(1)＝0，所以f(2023)＝0，故C正確.對(duì)于D，f(x)的定義域?yàn)镽，因?yàn)閒(－1)＝0，f(x)的一個(gè)周期為4，所以f(4k＋3)＝0(k∈Z)，f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，作出一個(gè)符合上述條件的圖象，如圖所示，此時(shí)f(x)的圖象不關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.14.