第5章剛體的定軸轉動作業(yè)5-35-65-95-115-16一．剛體（RigidBody）1.定義：是一種特殊的質點系統(tǒng)，無論它在多大的外力作用下，系統(tǒng)內任意兩點間的距離始終保持不變。

2.注意：考慮物體的形狀和大小，但不考慮形變，是一個理想模型；可以看作是形狀固定的質點系（含無數質點、不形變、理想固體。）二.平動和轉動1.平動（translation)：剛體內任何一條給定的直線，在運動中始終保持它的方向不變。§5-1剛體的平動、轉動和定軸轉動各點位移、速度、加速度均相同，剛體質心的運動代表了剛體平動中每一質元的運動；2.轉動（rotation）：剛體中所有的點都繞同一條直線作圓周運動,這種運動稱為轉動，這條直線叫作轉軸。瞬時轉軸:轉軸隨時間變化，一般轉動固定轉軸:轉軸不隨時間變化，定軸轉動3.剛體的運動＝平動＋轉動§5-1剛體的平動、轉動和定軸轉動三．剛體的定軸轉動1.剛體上各點都繞同一固定轉軸作不同半徑的圓周運動；2.圓周運動的平面垂直于軸線,圓心在軸線上;3.各質點相同時間內轉過相同的角度；角位移，角速度和角加速度均相同。剛體的定軸轉動角位移角速度角加速度四．角速度矢量1.角速度的大小:2.角速度的方向:角速度方向沿著軸線方向。由右手螺旋法則確定，右手彎曲的四指沿轉動方向,伸直的大拇指即為角速度的方向。3.線速度與角速度的關系

P§5-1剛體的平動、轉動和定軸轉動一．力矩1.力矩的定義d

O●方向：右手螺旋法則§5-2力矩轉動慣量剛體定軸轉動定律大小：力臂由力矩的定義可知，力矩為零有以下兩種可能：（1），即物體所受外力為零；（2），但，即力的作用線通過參考點。參考點力作用點一．力矩2.力對定軸的力矩dz

與軸平行,對轉動無貢獻。方向：右手螺旋法則，沿OZ軸力臂O●§5-2力矩轉動慣量剛體定軸轉動定律3.說明在轉軸方向確定后，力對轉軸的力矩方向可用＋、－號表示。使剛體朝規(guī)定的正方向加速轉動的力矩為正。定軸轉動中，如果有幾個外力同時作用，它們的總力矩的量值等于這幾個力的力矩的代數和。Od1zd3d2§5-2力矩轉動慣量剛體定軸轉動定律二.定軸轉動定律

Oz

i牛頓第二定律：-合外力-合內力切向分量式為：對剛體中任一質量元

i§5-2力矩轉動慣量剛體定軸轉動定律

設剛體由N個點構成得：總外力矩M轉動慣量J——剛體定軸轉動定律角加速度說明：Mz為剛體總外力矩，Mz

一定，J越大，

越小，轉動慣量是轉動慣性大小的量度；Mz

的符號：使剛體向規(guī)定的轉動正方向加速的力矩為正；Mz

J

是對同一個軸而言的；三．轉動慣量的計算

剛體對轉軸的轉動慣量等于組成剛體各質點的質量與各自到轉軸的距離平方的乘積之和。

剛體質量連續(xù)分布取決于剛體總質量和對給定轉軸的質量分布；

Oz§5-2力矩轉動慣量剛體定軸轉動定律例

質量為m，半徑為

r

的均勻細圓環(huán)，解：根據轉動慣量的定義求解。對通過其中心并垂直環(huán)面的轉軸的轉動慣量。dJ=R2dmJ=

=mR2J=

=R2·λ·2πR=mR22πR·λ=mOmRdmdl例求質量為m、長為l

的均勻細棒對下面三種轉軸的轉動慣量：1）轉軸通過棒的中心并和棒垂直；2）轉軸通過棒的一端并和棒垂直；3）轉軸通過棒上距中心為h的一點并和棒垂直。解l/2l/2OlOlABh1）當轉軸通過中心并和棒垂直時2）當轉軸通過棒的一端A并和棒垂直時3）當轉軸通過棒上距中心為h的B點并和棒垂直時l/2l/2OxdxlxdxAOxdxlBh柱坐標系

(cylindricalpolarcoordinates)體積元

求均勻圓柱體繞對稱軸的轉動慣量球坐標系

(sphericalpolarcoordinates)體積元求均勻球體繞對稱軸的轉動慣量

計算J的幾條規(guī)律*1.對同一軸J具有可疊加性

J=Ji?2.平行軸定理Jmrmxyiiiiiii==+^??DD222()DDmxmxxiiiiici22??=+(')=++???DDDmxxmxxmiiciiiicii''222=0xydcc222+=DmxyJiiiic('')22+=?JJmdc=+2\=JJcmin=mCdmJCJ平行

3.對薄平板剛體的正交軸定理Jmrmxmyziiiiii==+^???DDD222

例：已知圓盤JmRz=122求對圓盤的一條直徑的Jx

（或J

y）。由JJJJJJJmRzyxxyxy=+=ìí?\==142即

JJJxy=+yrixzyiximi

Δyxz

圓盤RCm已知：R=0.2m，m=1kg，vo=0，

h=1.5m，繩輪無相對滑動，繩不可伸長，下落時間t=3s。求：輪對O軸J=？解：動力學關系：對輪：TRJ=a(1),對：mmgTma-=(2)轉動定律應用舉例

定軸O·Rthmv0=0繩αTG·RNmgT=-T′ma運動學關系：a=aR(3)hat=122(4)(1)~(4)聯(lián)立解得：JgthmR=-()2221=

-

=(..)..9832151102114222kgm分析：單位對；、一定，，合理；若，得，正確。1230122...hmJtJhgt-?-==例一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質量為m1和m2的物體1和2，m1<m2

如圖所示。設滑輪的質量為m

，半徑為r，所受的摩擦阻力矩為Mτ。繩與滑輪之間無相對滑動。試求物體的加速度和繩的張力。m1m2T2

T1

T1T2G2G1aaam1m2解:當不計滑輪質量及摩擦阻力矩即令m=0、M

=0時，有

例一半徑為R，質量為m勻質圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設盤與桌面間摩擦系數為

，令圓盤最初以角速度

0繞通過中心且垂直盤面的軸旋轉，問它經過多少時間才停止轉動？rRdr

d

e解由于摩擦力不是集中作用于一點，而是分布在整個圓盤與桌子的接觸面上，力矩的計算要用積分法。在圖中，把圓盤分成許多環(huán)形質元，每個質元的質量dm=

rd

dre，所受到的阻力矩是r

dmg

。此處e是盤的厚度。圓盤所受阻力矩大小為因m=

e

R2，代入得根據定軸轉動定律，阻力矩使圓盤減速，即獲得負的角加速度.設圓盤經過時間t停止轉動，則有由此求得一．力矩的功

Oz

i

d

元功轉過一定角位移的功再對各個外力的功求和，就得到所有外力作的總功§5-3定軸轉動的動能定理

力對剛體所作的功可用力矩與剛體角位移乘積的積分來表示，叫做力矩的功。力矩的功率總外力矩為什么沒有考慮剛體質點間內力做功？§5-3定軸轉動的動能定理二.剛體的轉動動能剛體因轉動而具有的動能，因此叫做剛體的轉動動能設質點離軸的垂直距離為，則zrimi§5-3定軸轉動的動能定理三．定軸轉動的動能定理轉過角位移力矩所做的功為：定軸轉動的動能定理：總外力矩對剛體所做的功等于剛體轉動動能的增量。§5-3定軸轉動的動能定理m四．剛體的重力勢能

剛體重力勢能是組成剛體的各個質點的重力勢能之和。

一個不太大的剛體的重力勢能與它的質量集中在質心時所具有的勢能一樣。●●hx§5-3定軸轉動的動能定理例一質量為m，長度為l的均勻細桿，可繞通過其一端O且與桿垂直的光滑水平軸轉動。若將此桿在水平位置由靜止釋放，求當桿轉到與水平方向呈θ角時的角速度。三種方法：1.轉動定律2.定軸轉動的動能定理3.機械能守恒定律思考：如果要求桿上任意一點此時刻的加速度呢？例已知：均勻直桿m，長為l，初始水平靜止，軸光滑，AOl=4

。求:桿下擺q角后，角速度w=?軸對桿作用力vN=?解：桿地球系統(tǒng)，+∵只有重力作功，∴E守恒。初始：，Ek10=

令

EP10=末態(tài)：EJko2212=w,

EmglP24=-sinq

則：

12402Jmglowq-=sin

(1)

由平行軸定理

JJmdoc=+2=+=1124748222mlmlml()(2)由(1)、(2)得：

wq=267glsin應用質心運動定理：vvvNmgmac+=$sinlmgNmalcl方向：-+=q

(3)$costmgNmatct方向：

q+=

(4)algcl==4672wqsin

(5)allmgJctlo==444aqcos=37gcosq(6)由(3)(4)(5)(6)可解得：Nmgl=137sin,qNmgt=-47cosqvNmglmgt=-13747sin$cos$qqNmg=+7153162sinqaq==--tgNNtgctgtl11413||()一．質點的角動量質點對O點的角動量1.大小:2.方向:右手螺旋法則判斷3.圓周運動質點對圓心角動量大小

小球對圓心的角動量保持不變條件是什么？§5-4定軸轉動剛體的角動量定理和角動量守恒定律二．質點的角動量守恒定律質點的角動量守恒定律：如果作用在質點上的外力對某給定點O的力矩為零，則質點對O點的角動量在運動過程中保持不變。這就叫做角動量守恒定律。§5-4定軸轉動剛體的角動量定理和角動量守恒定律例我國第一顆人造衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運動，地球的中心O為該橢圓的一個焦點，已知地球的平均半徑為R，人造衛(wèi)星距地面最近距離為l1，最遠距離為l2，若人造衛(wèi)星在近地點A1的速度為v1，求人造衛(wèi)星在遠地點A2的速度。§5-4定軸轉動剛體的角動量定理和角動量守恒定律遠地點速度更慢----->m

例推導開普勒第二定律行星受力方向與矢徑在一條直線（中心力），故角動量守恒。太陽到行星的矢徑在相等的時間內掃過相等的面積。三．剛體的角動量1.先求第i

個質點對軸的角動量;2.再求所有質點角動量的矢量和，就是剛體對軸的角動量。zmi§5-4定軸轉動剛體的角動量定理和角動量守恒定律四．定軸轉動剛體的角動量定理力矩的沖量角動量的增量角動量定理:定軸轉動剛體對軸的角動量的增量等于合外力矩的沖量.§5-4定軸轉動剛體的角動量定理和角動量守恒定律五．定軸轉動剛體的角動量守恒定律表述：若一個系統(tǒng)一段時間內所受合外力矩恒為零，則此系統(tǒng)的總角動量為一恒量。恒量§5-4定軸轉動剛體的角動量定理和角動量守恒定律1轉動慣量和角速度均保持不變；2轉動慣量改變，角速度也同時改變，J↓，

角動量守恒定律是自然界中的一條基本定律，不但在宏觀世界中成立，而且在微觀領域中也是成立的。

ω↑J↑，ω↓；但兩者的乘積保持不變。說明：角動量保持不變的情況有兩種可能：

例

恒星晚期在一定條件下，會發(fā)生超新星爆發(fā)，這時星體中有大量物質噴入星際空間，同時星的內核卻向內坍縮，成為體積很小的中子星（neutronstar）。中子星是一種異常致密的星體，一湯匙中子星物質就有幾億噸質量！設某恒星繞自轉軸每

45

天轉一周，它的內核半徑

R0

約為

2×107m，坍縮成半徑

R

僅為6×103m

的中子星。試求中子星的角速度。坍縮前后的星體內核均看作是勻質圓球。

解：在星際空間中，恒星不會受到顯著的外力矩，因此恒星的角動量應該守恒，即

J0ω0=Jω=6πrad·s-1由于中子星的致密性和極快的自轉角速度，在星體周圍形成極強的電磁場，并沿著磁軸的方向發(fā)出很強的無線電波、光或

X

射線。當這個輻射束掃過地球時，就能檢測到脈沖信號，因此中子星又叫脈沖星（pulsar）。目前已探測到約2000

個脈沖星。

直線運動與定軸轉動規(guī)律對照質點的直線運動剛體的定軸轉動221mvEK=wJL=221wJEK=Fò-=0dLLtM

JM=tMdJMmxFAdd=tFdmaF=ò-=0dPPtFò-=2022121dmvmvxFò-=2022121dwwqJJM例一勻質細棒長為l

，質量為m，可繞通過其端點O的水平軸轉動，如圖所示。當棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體的質量也為m，它與地面的摩擦系數為

。相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。求相撞后棒的質心C上升的最大高度h，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。解：1.第一階段是棒自由擺落的過程。機械能守恒。CO（1）2.第二階段是碰撞過程。系統(tǒng)對O軸的角動量守恒。（2）

式中

′棒在碰撞后的角速度，它可正可負。

′取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。3.第三階段是物體在碰撞后的滑行過程。（3）由勻減速直線運動的公式得（4）亦即CO亦即l>6

s；當

′取負值，則棒向右擺，其條件為亦即l<6

s

棒的質心C上升的最大高度，與第一階段情況相似，也可由機械能守恒定律求得：把式（5）代入上式，所求結果為當

′取正值，則棒向左擺，其條件為(6)例如圖示已知：M=2m，h，R,q=60°求：碰撞后瞬間盤的w0=？

P轉到x軸時盤的w=?a=?解：m下落：mghmv=122vghT=2(1)碰撞

t

極小，沖力遠大于粘土塊的重力，故重力對O力矩的沖量可忽略，m+盤系統(tǒng)角動量守恒：mvRJocosqw=(2)JMRmRmR=+=122222

(3)由(1)(2)(3)得：wqoghR=22cos

(4)對m+M+地球系統(tǒng)，只有重力做功，E守恒，則：P、x重合時EP=0。令1mgRJJosinqww+=12222(5)由(3)(4)(5)得：wqq=+ghRgR222cossin=+12243RghR.()()q=60oa===MJmgRmRgR222例工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉速一起轉動。如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，A輪的轉動慣量為JA=10kg

m2，B的轉動慣量為JB=20kg

m2

。開始時A輪的轉速為600r/min，B輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉速；在嚙合過程中，兩輪的機械能有何變化？

A

ACBACB解以飛輪A、B和嚙合器C作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程中，系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器間的切向摩擦力，前者對轉軸的力矩為零，后者對轉軸有力矩，但為系統(tǒng)的內力矩。系統(tǒng)沒有受到其他外力矩，所以系統(tǒng)的角動量守恒。按角動量守恒定律可得

為兩輪嚙合后共同轉動的角速度，于是以各量的數值代入得或共同轉速為

在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機械能不守恒，部分機械能將轉化為熱量，損失的機械能為2r12r2d例如圖，沖床上配置一質量為5000kg的飛輪，r1=0.3m,r2=0.2m.今用轉速為900r/min的電動機借皮帶傳動來驅動飛輪，已知電動機的傳動軸直徑為d=10cm。（1）求飛輪的轉動動能。（2）若沖床沖斷0.5mm厚的薄鋼片需用沖力9.80

104N，所消耗的能量全部由飛輪提供，問沖斷鋼片后飛輪的轉速變?yōu)槎啻螅拷猓?）因飛輪質量大部分分布在輪緣上，由圖示尺寸并近似用圓筒的轉動慣量公式，得

皮帶傳動機構中，皮帶每點的線速度一致，兩輪的轉速與輪的直徑成反比，即飛輪的轉速為由此得飛輪的角速度這樣飛輪的轉動動能是（2）在沖斷鋼片過程中，沖力F所作的功為這就是飛輪消耗的能量，此后飛輪的能量變?yōu)橛汕蟮脹_斷后的角速度

’為而飛輪的轉速變?yōu)椤?-5

進動（了解）1.進動現(xiàn)象：高速旋轉的物體，其自轉軸繞另一個軸轉動的現(xiàn)象。2.進動原因剛體受重力矩dt時間內角動量增量所以自轉軸發(fā)生轉動，產生進動。§5-5

進動3.定量研究進動進動角速度§5-5

進動地球自轉軸的進動（歲差）以上只是近似討論，因為當旋進發(fā)生后：vvvww總=+ωP只有高速自轉w>>ωP

時，才有總v