專題二翻折問題

知識與方法

折疊問題的實質是軸對稱問題，是全等變換，其性質如下：

1.圖形的全等：圖中必有全等圖形，對應邊相等、對應角相等；

2.點的對稱性：對稱點連線被對稱軸（折痕所在直線）垂直平分.

典例精析

例1小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖221①，在RtAABC中,NACB=90o,/B=30o,AC=：l第一步,

在AB邊上找一點D,將紙片沿CD折疊，點A落在A處,如圖②;第二步，將紙片沿CA折疊，點D落在D處，如

圖③.當點D恰好落在直角三角形紙片的邊上時，線段AD的長為.

答案：T或：2—V3

【簡析】①當點D恰好落在直角三角形紙片的AB邊上時.設AC交AB邊于點E,如圖2-2-2①,由題意

得:AADC之△A'DC之△ADC,AC垂直平分線段DD,

則/.D'A'C=/.DA'C=NA=60。,4c=AC=1,易求CE=A'E=1-y.

從而可得.4。'=2A'E=2-V3.

圖2-2-2

②當點D恰好落在直角三角形紙片的BC邊上時，如圖②，

由題意，得AADCdADC-AA'D'C,9=^A'CD=^'CD'=^ACB=3。。廁RAC=

z.DA'C=NA=60°,A'C=AC=1.可得A'D'=14c=

綜上，線段AD的長為［或22-VI

例2（沿中位線折疊）如圖223,在RtAABC中,NACB=9（T,AB=5,BC=3將點A折疊到點C處，則折痕DE的

長度為

A

圖2-2-3

答案：|

【簡析】由折疊的性質可知，DE是AABC的中位線DE=|.

變式1（沿邊的垂直平分線折疊）如圖224,在直角三角形ABC中,NACB=9（T,AB=5,BC=3,將點A折疊到點

B處，則折痕DE的長度為./?,

\\E

口木,8

【簡析】解法一：（相似處理）圖2-2-4

易知△ADES^ABC,，AE=DE3|］—=絲.解得DE=-.

438

解法二：（勾股定理處理）

設CD=x，則.AD=BD=4—x,；.%2+32=（4-x）2.解得x=（則BD=^.-.DE=］管丫—=裝.

解法三：（面積處理）

^ABC~SABD+^BCD'?,--x3x4：=-x3x-+-x5xDE.DE——.

變式2（沿角平分線折疊）如圖2-2-5,在RtAABC中,/ACB=90。,AB=5,BC=3,將點C折疊至l|AB邊上的點E

處,折痕為BD,則DE的長度為.

圖2-2-5

答案：|（可用變式1中三種方法）

變式3（沿斜邊中線折疊）已知，如圖2-2-6,在RtAABC中,/ACB=9（F,AB=5,BC=3,將點B沿斜邊AB上的中

線CD折疊到點E處，連接AE,貝［|AE的長度為.

【簡析】解法一：（隱圓處理）

本題出現了斜邊上的中線，可知CD=AD=BD,又由折疊可知DE=BD,則可得A,E,C,B四點共圓，轉化為圓的

內接四邊形處理.

如圖227,延長AE,BC交于點G,由折疊可知:CE=BC,

圖2-2-7

貝！ICE等于BC,；.NGAC=/BAC.貝！|可由ASA證彳導AGAC絲Z\BAC,即GA=BA=5.設AE=x，貝！1GE=5-x,

易知AGECs^GBA,則穿=能即？=X=(即AE=I，

(JDADObb□

解法二：（面積處理）

如圖228,連接BE,由折疊性質可知CD垂直平分BE,則S=SCDE+SBCD=2SABCD=SAABC,

四也形BLHD

BExCD=BCxAC.BE=g由解法一可知/AEB=90。，.?.4E=

解法三：（勾股定理處理）圖2-2-8

如圖229,過點D作DGLAE于G,連接BE交CD于點F.易得利用等積法可求出BF=普，利

用勾股定理求出DF=卷則AE=2DF=1.

CB

圖2-2-9

解法四：（旋轉處理）

如圖2210將AAEC繞點C順時針旋轉/ECB的度數可得AABC,

由解法一,知NAEC+NABC=180。,

.../ABC+NA，BC=180。.則A1,B,A三點共線.

過點C作CFLAA：垂足為F,

12916

??.CF=—,BF=-,AF=—.

555

77

?,.A'B=-.BPAE=

圖2-2-10

變式4如圖2211,在RtAABC中,/ACB=9（T,AB=5,BC=3,將點A折疊到點A處，目EA」BC,則折痕DE的

長度為

D

變式5如圖2212在R3ABC中,NACB=90o,AB=5,BC=3,將點A折疊到點A處，且A，B=1,則折痕DE的長度

為.

圖2-2-12

答案:15%

22

變式6如圖2213在RSABC中,NACB=9（F,AB=5,BC=3,將點A折疊到點A處，使四邊形ADA'E為菱形,

則折痕DE的長度為.

答案：呼

例3（沿對角線折疊）如圖2-2-14,將矩形紙片ABCD沿AC折疊點B的對應點為E,線段CE交AD于點F,

已知AB=3,BC=4廁線段AF的長為

答案：

【簡析】矩形折疊一般都會形成等腰三角形，是解題的突破口.“角平分線+平行線T等腰三角形”（知2推1很

重要）.

解法一：（勾股定理處理）設AF=x，則CF=x,DF=4-x,在RtADFC中,

必=（4一%）2+32,解得X=每

O

解法二：（三角函數處理）

如圖2215過點F作FGLAC于點G,則AG=|,XF=

變式1（沿對角線的垂直平分線折疊）如圖2216,折疊矩形紙片ABCD,使點B與點D重合折痕為EF,已知

AB=3,BC=4,貝（JEF=

【簡析】解法一：（勾股定理處理）

如圖2217,連接BD交EF于點O,設BF=x，則DF=x,CF=4—x,在RtADFC中Y=（4一久y+32,解得=-.

x8

即DF=全由折疊可知OD=「D=則由勾股定理可得OF=EF=學.

82284

解法二：（相似處理）

如圖2218,連接BD交EF于點0,過點E作EGLBC于點G,

則可得AEGFs/XBCD（矩形中的“十字”必相似）,

解法三：（面積處理）

“角平分線+平行線T等腰三角形”（知2推1很重要）.

連接BE,BD易得四邊形BEDF為菱形，則BFxCD=BDxEFx|,

即-x3=5xFFx-,

82r

???ELFL=—15.

4

變式2（直角頂點折疊到某一邊上）如圖2-2-19,在矩形紙片ABCD中,AB=3,BC=5.沿過點C的直線折疊，點B落

到AD邊上的點E處，折痕為CF,貝！J折痕CF的長為.

答案：（V10

【簡析】解法一：（相似處理）

由折疊可知,CE=CB=5,則DE=4油"一線三直角”可得AAEFs^DCE,可得=|,

由勾股定理可知CF=

解法二：（構造等腰三角形處理）

如圖2220,延長DA,CF交于點G,易得AECG為等腰三角形,，EG=5.

由解法一可得DE=4,則DG=9,由勾股定理可得：（GC=3國,又；△GAFs^CBF,相似比為gCF=的。=

|V10.

變式3（直角頂點折疊到矩形外側）如圖2221,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,將點B折疊到E處折痕為

PC,PE交AD于點F,且AF=2,則PB=

圖2-2-21

答案：|

【簡析】解法一：(勾股定理)

如圖2-2-22,連接CF.

VAF=2,.\DF=5.

由勾股定理可知CF=5V2,

由折疊可知CE=7,則由勾股定理可得EF=1.設PB=xJ5!|PE=x,PF=x-l.AP=5-x,(x-I)2=(5-x)2+22.

解得x=(即PB=

解法二：(構造等腰三角形法，“角平分線+平行線一等腰三角形”)

如圖2223,延長PE,CD交于點G.

可知ACPG為等腰三角形，且GP=CG.

由AAPFs^DGE得-=—=

MDGDF5

設AP=2x,GD=5x,貝!]PB=5-2x,

APE=5-2x.

VGC=5+5x,

；.GE=7x.由勾股定理得:((5+5x)2=72+(7x)2,解得/=[，冷=](舍去).(為什么會產生兩個解呢？留個懸

念讀者自行解決)

???AP3PB=7-.

=2%=22

變式4（直角頂點折疊到矩形外側）如圖2-2-24,在矩形ABCD中,AB=8,BC=10,將點B折疊到E處,折痕為

PC,PE交AD于點F,且AF=EF廁PB=.

【簡析】（勾股定理+全等處理）如圖2225，設CE交AD于點G,在RtACDG中，由勾股定理可得=當

變式5（二次折疊）已知，如圖2-2-26①,在矩形ABCD中,AB=3.對折矩形紙片，將BC邊與AD邊重合，折痕為

MN,再將矩形紙片展開；如圖②，將點A折疊到MN上,并使折痕經過點B,同時得到線段AB,則折痕

BE=.

圖2-2-26

答案：2百

反思與總結

由上述題型可知，我們應抓住折疊的一個本質即折疊是一種全等變換，會藏有相等的角和邊，這些條件恰恰是

我們解題的關鍵.我們還要樹立方程思想，運用已知關系構造等式求解.一般來說，折疊問題求長度均可通過勾股定

理、相似、三角函數、面積法求解，我們解題時要學會靈活運用.

折疊問題中的“一二一”：

“一個本質+二項歸類+一種思想”.

一個本質一折疊問題的本質是全等變換；

二項歸類一折疊問題通常用于求角度和長度；

一種思想——方程思想.

進階訓練

1.如圖2227將nABCD沿對角線BD折疊，使點A落在點E處.交BC于點F.若/ABD=48、/CFD=4。。,

則NE的度數為（）

A.102°B.112°

C.122°D.92°

2.如圖2228,將矩形ABCD折疊，使點C與點A重合折痕為EF,EF與AC交于點O.若AE=5,BF=3廁AO

的長為（）

A.V5B.|V5C.2V5D.4V5

3.如圖2229,在AABC中,D是AC邊上的中點，連接BD把ABDC沿BD翻折狷至以BDC,DC與AB交于

點E,連接AC.若AD=AC=2,BD=3,,則點D到BC的距離為（）

4.如圖2230在R3ABC中,/ACB=9（T,AC=8,BC=6,將邊BC沿CN折疊使點B落在AB上的點B處，再

將邊AC沿CM折疊，使點A落在CB，的延長線上的點A，處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點N,M,則線段

A'M的長為)

A-IB.|C-IDl

5.如圖2231,在RtAABC紙片中,NACB=9(F,AC=4,BC=3點D,E分別在AB,AC上，連接DE,將AADE沿DE

翻折，使點A的對應點F落在BC的延長線上.若FD平分/EFB廁AD的長為()

圖2-2-31圖2-2-32

6.如圖2232,已知AD〃BC,AB，BC,AB=3,E為射線BC上一個動點，連接AE,將AABE沿AE折疊點B

落在點B處過點B作AD的垂線，分別交AD,BC于M,N兩點.當B為線段MN的三等分點時，BE的長為()

A.-B.-V2

22

c.|或|V2￡>.|V2或|V5

7.如圖2-2-33,對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平后再次折疊，使點A落在

EF上的點A處，得到折痕BM,BM與EF相交于點N.若直線BA交直線CD于點O,BC=5,EN=1,則0D的

長為()

X.|V3B.|V3C.JV3￡).|V3

8.如圖2234矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=3,點P在BC上，將ACDP沿DP折疊，點C落在點E

處.PE,DE分別交AB于點O,F,且OP=OF,則cosZADF的值為()

9.如圖2-2-35,在RtAABC中,NBAC=9(T,AB=2V^,AC=6,點E在線段AC上，且AE=1,D是線段BC上的一

點，連接DE,將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE.當點G恰好落在線段AC上時,AF=.

10.如圖2236是一張矩形紙片ABCD,M是對角線AC的中點點E在BC邊上把ADCE沿直線DE折

疊使點C落在對角線AC上的點F處若MF=AB,則/DAF=_____度

11.如圖2-2-37①，在AABC中，AB=4V2,ZB=45°,ZC=60°.

(1)求BC邊上的高線長.

(2)E為線段AB的中點點F在邊AC上，連接EF,沿EF將AAEF折疊得至！］APEF.

①如圖2237②，當點P落在BC上時，求NAEP的度數.

②如圖2237③，連接AP,當PFXAC時.求AP的長.

圖2-2-37

12.如圖2238直線y=-|乂+6與x軸交于點B,與y軸交于點A,點P為線段AB的中點，點Q是線段

OA上一動點(不與點O,A重合).

(1)請直接寫出點A,點B,點P的坐標.

⑵連接PQ,在第一象限內將AOPQ沿PQ翻折得到AEPQ,點O的對應點為點E.若/OQE=90。,求線段AQ的

長.

(3)在⑵的條件下，設拋物線ax2-2a2%+a3+a+l(a0)的頂點為點C.

①若點C在APQE內部(不包括邊).求a的取值范圍.

②在平面直角坐標系內是否存在點C，使ICQ-CEI最大？若存在，請直接寫出點C的坐標；若不存在，請說明理

由.

13.如圖2-2-39①，在RtAABC中,NACB=90o,NA=6(r,CD是斜邊AB上的中線，點E為射線BC上一點，將

ABDE沿DE折疊，點B的對應點為點F.

⑴若AB=a，直接寫出CD的長(用含a的代數式表示)；

⑵若DFLBC,垂足為G,點F與點D在直線CE的異側，連接CF,如圖②，判斷四邊形ADFC的形狀，并說

明理由；

⑶若DF_LAB,直接寫出NBDE的度數

圖2-2-39

14.在矩形ABCD中，BC=WCD,點E,F分別是邊AD,BC上的動點，且AE=CF,連接EF,將矩形ABCD沿EF

折疊，點C落在點G處.點D落在點H處.

⑴如圖2240①，當EH與線段BC交于點P時,求證:PE=PF;

⑵如圖②，當點P在線段CB的延長線上時,GH交AB于點M,求證:點M在線段EF的垂直平分線上；

⑶當AB=5時在點E由點A移動到AD中點的過程中，計算出點G運動的路線長.

備用圖

圖2-2-40

15.如圖2241,已知正方形ABCD,點E是BC邊上一點，將AABE沿直線AE折疊點B落在點F處，連接

BF并延長，與/DAF的平分線相交于點H,與AE,CD分別相交于點G,M,連接HC.

⑴求證:AG=GH.

⑵若AB=3,BE=1,求點D至!］直線BH的距離.

(3)當點E在BC邊上(端點除外)運動時,NBHC的大小是否變化？為什么?

圖2-2-41

答案

進階訓練I

1.B［解析］,."□ABCD中,AD〃BC,

ZADB=ZDBC.

由折疊可彳導/ADB=NBDF,

ZDBC=ZBDF.

又/DFC=40。，

ZDBC=ZBDF=ZADB=20°.

又/ABD=48°,

AABD中，NA=180°—20°-48°=112°.

ZE=ZA=112°.

故選B.

2.C［解析］由折疊可得/AFO=NCFO,AF=CF,

四邊形ABCD是矩形，

??.AD//BC,ZB=90°..*.ZCFO=ZAEO.

ZAFO=ZAEO.Z.AE=AF=5=CF.

BF=3,.-.AB=VXF2-BF2=4,BC=8

???AC=y/AB2+BC2="6+64=4V5.

由對折得：。4=OC==2有.故選C.

3.B［解析］如圖，連接CC,則CC」BD,垂足記為F.

???D是AC邊上的中點,，DA=DC.

由折疊可知.DC=DC,

貝!JDA=DC=DC,ZAC'C=90°.

???AC=AD=2,

：.CC=2V3,DF=1,BF=2.BC=小點D到BC的距離等于點D到BC的距離，考慮用等積法.過點D作DH

_LBC交BC于H,

則BD-CF=BCDH,代入解得：DH=嚕=手，故選B.

4.B［解析］VAC=8,BC=6,ZACB=90°,AAB=10.

VAB'CN,AA'CM分另（J由ABCN,AACM翻折得至U,

AB'CN^ABCN,AA'CM^AACM.

ZA'CM=ZACM,ZB'CN=ZBCN,ZB'NC=ZBNC=90°,B'C=BC=6,A'C=AC=8.

.,.A'B'=8-6=2,ZMCN=45O.

ZNMC=45°.

.,?ZAMC=ZA'MC=135°.

^A'MB=135°-45°=90°.

ZA'MB=ZCNM.A'M//CN.

ACNB'^AA'MB'.

設CN=x,MB'=a，貝!JMN=x,NB'=x-a,

-?--=解得a=2%.

ax-a4

?2

B'N=BN=-x.

4

在RtABCN中，BN2+CN2=BC2,

2

（5）+/=62解得X=g（負值已舍）.

7774R

A'M=XM=10-BM=10--x=10--X—=

4455

5.D［解析］如圖，過點D作DHLBC于H在RtAABC中,NACB=9(F,AC=4,BC=3,由勾股理得AB

V32+42=5.

?."各AADE沿DE翻折彳導AFDE,

.*.AD=DF,ZA=ZDFE.

：FD平分/EFB,

/.ZDFE=ZDFH..\ZDFH=ZA.

設DH=3x,在RtADHF中，sinzDFW=sinX=|,

:.DF=5x.BD=5-5x.

???ZXBDHsABAC,.??!!=器=竽.

44cL20

???%=一????=5x=——.

77

6.D［解析卜①當MB'=：時'時,如圖,1<3人］\48，中，AB'AB=3,MB'=^AB=1,

AM=<AB'2-MB'2=2V2.

：AD〃BC,ABJ_BC,MN±AD,

.??四邊形ABNM是矩彩

BN=AM=2V2.

設BE=x，則B'E=K,EN=2V2-x,

RtAB'EN中，B'N=MN-MB'=2,EN2+B'N2=B'E2,

(2V2—x)2+22=解得x=誓.

；.BE的長為苧；

②當N夕=^MN時，如圖.

1

???NB'=-MN=l

3f

.?.MBf=2.設BE=y，同①可得y=—,

???BE的長為詈.

綜上所述，BE的長為學或千?故選D

7.B［解析］???EN=1,；.由三角形中位線定理，得AM=2.

由折疊的性質，可得.A'M=2,

VAD//EF,

ZAMB=ZA'NM.

,/ZAMB=ZA'MB,

AAA'NM=AA'MB.

：.A'N=A'M=2..-.A'E=3,A'F=2.

過M點作MGLEF于G,

.".NG=EN=1..\A'G=1.

由勾股定理得MG=722-12=回

：.BE=MG=V3.

???OF:BE=A'F-.A'E=2:3,

c口2^3c八w2y［3近

OF=——./.OD=V3----=——.

333

故選B.

8.C［解析］由題意得:RtADCP絲RtADEP,；.DC=DE=4,CP=EP.

在AOEFfflAOBP中,/EOF=NBOP,/E=/B,OF=OP,

AOEF^AOBP(AAS).OE=OB,EF=BP.

設EF=x,貝!］BP=x,DF=4-x,

又BF=OF+OB=OP+OE=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,

/.AF=AB-BF=4-(3-x)=1+x.

在RtADAF中，AF2+AD2=DF2,

即(1+x)2+32=(4-x)2,

解得久=!".EF=I，DF=4—|=/

...在RtADAF中，COS/.ADF=蔡=得.

9.竽［解析］如圖，過點F作FHLAC于H,：將四邊形ABDE沿直線DE翻折得到四邊形FGDE,AB=

FG=2y/2,AE=EF=l,ZBAC=ZEFG=90°.

廠'、"

EG=y/EF2+FG2=Vl+8

.□廠HFFG

smZ-FEG=—=——,

EFEGF

HF2V22V2

133

EHEFEH1

cosZ-FEG=—=—"?—=一.：.EH=

EFEG133

4

??.AH=AE+EH=

3

.?.AF=JAH—"=7y+|_2而

10.18［解析］連接DM,如圖:

4p

BEC

???四邊形ABCD是矩形,???NADC=90。.

M是AC的中點,DM=AM=CM.

JZFAD=ZMDA,ZMDC=ZMCD.

DC,DF關于DE對稱,JDF=DC.

JNDFONDCF.

MF=AB,AB二CD,DF=DC,MF=FD.

JZFMD=ZFDM.

ZDFC=ZFMD+ZFDM,

JZDFC=2ZFMD.

ZDMC=ZFAD+ZADM,

.\ZDMC=2ZFAD.

設NFAD=x。,貝!J.乙DFC=4x°,

：.ZMCD=ZMDC=4x°.

ZDMC+ZMCD+ZMDC=180°,

2x+4x+4x=180,/.x=18.

11.解：(1)如圖，過點A作ADLBC于D.

在RtAABD中，AD=AB-sin45°=4A/2xy=4.

；.BC邊上的高線長為4.

⑵①由折疊知AAEF也△PEF,AE=EP.

VE為線段AB的中點,，AE=EB.

BE=EP./EPB=/B=45。.

ZPEB=90°.AZAEP=180°-90°=90°.

②由⑴可知:"，

VPFXAC,

JZPFA=90°.

由折疊知4AEF之ZiPEF,

???ZAFE=ZPFE=45°.

JZAFE=ZB.

ZEAF=ZCAB,

AAEF^AACB.

AF_AE日口AF_2V2

■■■布=族，即港=亞.

3

AF=2V3.

在RtAAFP中,AF=FP,

AP=V2XF=2V6.

12.解:(l)A(0,6),B(4,0),P(2,3).

⑵如圖過點P作PFLOA于F.

1

???(OQE=90°,???Z.OQP=*QE=45°.

.*.QF=PF.

?.?點P(2,3),???QF=PF=2,OF=3.AOQ=5.

???點A(0,6),，AO=6.

???AQ=6-5=1,即AQ的長為1.

(3)①y=a(%2—2ax+a2)+a+1=a(%—a)2+a+l,

???其頂點C的坐標為(a,a+l).

???點C是直線y=x+1(x^0)Jz一點.

???ZOQE=90°,OQ=5,

當y=5時,x=4.

又??,點P(2,3)在直線y=x+l上，

???當點C在"QE內部(不含邊)時，a的取值范圍是2<a<4.

②存在點C使ICQ-CEI最大，其坐標為（

13.解：⑴CO=ja.

(2)四邊形ADFC是菱形.理由如下：

由折疊的性質得DF=DB,

,.,ZA=60°,.*.ZB=30°.

???AC=-AB=AD=DB.AC=DF.

2

VDFXBC,???AC〃DF.

???四邊形ADFC是平行四邊形.

VAD=DB=DF,

???平行四邊形ADFC是菱形.

(3)NBDE=45。或NBDE=135°.

［解析］分兩種情況：點E在線段BC上，點E在BC的延長線上，如圖①，圖②.

14.解:⑴證明:,?.四邊形ABCD是矩形,

JAD〃BC.???ZDEF=ZEFB.

由翻折變換可知,NDEF=NPEF,

???NPEF=NPFE.???PE=PF.

⑵證明:如圖，連接AC交EF于O,連接PM,PO.

?.?AE//CF,???ZEAO=ZFCO.

AE=CF,ZAOE=ZCOF,

???△AEO之△CFO(AAS).JOE=OF.

PE=PF,???PO平分NEPF.

AD=BC,AE=FC,ED=BF.

由折疊的性質可知ED=EH,??.B