微專題08一次不等式(組)及不等式的應用

考點精講

構建知識體系

考點梳理

1.不等式的基本性質(zhì)

(1)定義：用不等號(如：“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”)連接而成的數(shù)學式子叫做不等式

(2)基本性質(zhì)1：若a＞b，b＞c，則①

(3)基本性質(zhì)2：若a＞b，則a±c＞b±c；若a＜b，則a±c②b±c

(4)基本性質(zhì)3：若a＜b，c＞0，則ac③bc，④；若a＜b，c＜0，則

??

ac⑤bc，⑥??

??

2.一元一次不等式?的解法及解集?表示

(1)解法步驟

去分母→去括號→移項→合并同類項→系數(shù)化為1

(2)解集的表示

解集在數(shù)軸上的表示總結

x＜a

x＞a在數(shù)軸上表示解集時，要注意：“＞”或“＜”是空心圓

x≤a圈，“≥”或“≤”是實心圓點；小于向左，大于向右

x≥a

3.一元一次不等式組的解法及解集表示(6年6考)

第1頁共10頁

類型(a＞b)在數(shù)軸上的表示口訣解集

同大取大

＞x≥a

?≥?

＜

??同小取小x≤b

??

?≤?大小、小大取中間b≤x≤a

?≤?

＞

?≥?大大、小小取不了無解

＜

??

4.一元一?次?不等式的實際應用(6年3考)

(1)列不等式解應用題的基本步驟：審題→設未知數(shù)→列不等式→解不等式→檢驗

→作答

(2)解決不等式的實際應用問題時，常見的關鍵詞與不等號的對應表：

常見關鍵詞不等號

大于，多于，超過，高于＞

小于，少于，不足，低于＜

至少，不低于，不小于，不少于⑦

至多，不高于，不大于，不超過⑧

練考點

1.若x＞y，則下列結論中不一定成立的是()

A.x－1＞y－1

B.x＋2＞y＋2

C.x2＞y2

D.－＜－

??

33－

2.解不等式＜x－2.

?1

3

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－

3.解不等式組：，并將解集在數(shù)軸上表示出來.

－－

?1<2

3?1≤2

第3題圖

4.品茗茶園要劃分一片長方形土地種植龍井茶，若要給這塊地圍一圈柵欄，且柵

欄的總長度不超過10km，已知此長方形土地寬比長少1km，設寬為xkm，則可

列不等式為.

5.小真用100元錢去購買筆記本和鋼筆共20件.已知每本筆記本3元，每支鋼筆

8元.則小真最多能買支鋼筆.

高頻考點

考點1不等式的基本性質(zhì)

例1(2024廣州)若a＜b，則()

A.a＋3＞b＋3B.a－2＞b－2C.－a＜－bD.2a＜2b

變式1(2024佛山模擬)若x＜y，且(a－3)x≥(a－3)y，則a的取值范圍是()

A.a＞3B.a＜3C.a≥3D.a≤3

考點2一元一次不等式(組)的解法及解集表示(6年6考)

例2(2024河南)下列不等式中，與－x＞1組成的不等式組無解的是()

A.x＞2B.x＜0C.x＜－2D.x＞－3

－

變式2(2024浙江)不等式組的解集在數(shù)軸上表示為()

－＞－

2?1≥1

3(2?)6

考點3一元一次不等式的實際應用(6年5考)

例3某商店銷售筆記本和筆袋兩種文具.

(1)若商店計劃購進兩種文具共10個，若要求購買的筆記本的數(shù)量至．少．是筆袋的

4倍，則購買筆記本的數(shù)量至．少．為多少本？

第3頁共10頁

(2)張老師準備用200元購買筆記本、筆袋共30個，并將這些文具獎給期末進步

的學生.已知筆記本每本5元，筆袋每個8元，則張老師最．多．能購買多少個筆袋？

(3)筆記本的進價為2元，出售時標價為5元，后來由于該文具積壓，商店準備打

折出售，但要保證利潤率不．低．于．5％，則至．多．可打幾折？

真題及變式

命題點1一元一次不等式(組)的解法及解集表示(6年6考)

－

1.(2023廣東8題3分)一元一次不等式組的解集為()

?2>1

－＜＜＜＜＜＜

A.1x4B.x4C.x3?<D4.3x4

－－

2.(2020廣東8題3分)不等式組的解集為()

－－

23?≥1

A.無解B.x≤1C.x≥?－11≥D2.(?－+1≤2x)≤1

3.(2024廣東12題3分)關于x的不等式組中，兩個不等式的解集如圖所示，則

這個不等式組的解集是.

第3題圖

－－

4.(2021廣東18題6分)解不等式組－.

2?＞4>3(?2)

?7

4?2

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命題點2一元一次不等式的實際應用(6年3考)

5.(2023廣東14題3分·北師八下隨堂練習改編)某商品進價4元，標價5元出售，

商家準備打折銷售，但其利潤率不能少于10％，則最多可打折.

5.1變設問——將最多可打折變?yōu)樽疃嗫山祪r

某商品的進價為4元，標價6元出售.商店準備降價銷售，但其利潤率不能少于

20％，則最多可降價元.

6.(2019廣東21題7分)某校為了開展“陽光體育運動”，計劃購買籃球、足球共

60個，已知每個籃球的價格為70元，每個足球的價格為80元.

(1)若購買這兩類球的總金額為4600元，求籃球、足球各買了多少個？

(2)若購買籃球的總金額不超過購買足球的總金額，求最多可購買多少個籃球？

新考法

7.[真實問題情境](2024江西)如圖，書架寬84cm，在該書架上按圖示方式擺放數(shù)

學書和語文書，已知每本數(shù)學書厚0.8cm，每本語文書厚1.2cm.

(1)數(shù)學書和語文書共90本恰好擺滿該書架，求書架上數(shù)學書和語文書各多少

本？

(2)如果書架上已擺放10本語文書，那么數(shù)學書最多還可以擺多少本？

第7題圖

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8.[注重過程性](人教七下閱讀與思考改編)閱讀感悟：

代數(shù)證明題是數(shù)學中常見的一種題型，它要求運用邏輯推理和代數(shù)知識來證明某

個數(shù)學命題的正確性，如下例題：

例：已知實數(shù)x、y滿足x＞y＞0，證明：x2＞y2.

證明：∵x＞y且x，y均為正數(shù)，

∴x2＞，xy＞，(不等式的兩邊都乘以同一個正數(shù)，不等號的方

向不變)

∴x2＞y2.(不等式的傳遞性)

解決問題：

(1)請將上面的證明過程填寫完整；

＋

(2)嘗試證明：若a＜b，則＜b.

??

2

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考點精講

①a＞c②＜③＜④＜⑤＞⑥＞⑦≥⑧≤

教材改編題練考點

1.C

2.解：去分母，得x－1＜3(x－2)，

去括號，得x－1＜3x－6，

移項，合并同類項，得－2x＜－5，

系數(shù)化為1，得x＞.

5

3.解：解不等式x－21＜2，得x＜3，

解不等式－3x－1≤2，得x≥－1，

∴該不等式組的解集為－1≤x＜3，

將解集在數(shù)軸上表示如解圖.

第3題解圖

4.2x＋2(x＋1)≤10【解析】∵此長方形土地寬比長少1km，∴長為(x＋1)km，

又∵柵欄的長度不超過10km，∴可列不等式為2x＋2(x＋1)≤10.

5.8【解析】設小真購買x支鋼筆，則購買(20－x)本筆記本，根據(jù)題意，得8x

＋3(20－x)≤100，解得x≤8，∴x的最大值為8，即小真最多能買8支鋼筆.

高頻考點

例1D【解析】由題知，a＜b，兩邊同時加上3，得a＋3＜b＋3，則A不符

合題意；兩邊同時減去2，得a－2＜b－2，則B選項不符合題意；兩邊同時乘－

1，得－a＞－b，則C選項不符合題意；兩邊同時乘2，得2a＜2b，則D選項符

合題意.

變式1D【解析】∵若x＜y，且(a－3)x≥(a－3)y，∴a－3≤0，∴a≤3.

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例2A【解析】∵－x＞1，∴x＜－1，∴選項中的與x＜－1組成的不等式組

無解的是x＞2.

變式2A【解析】解不等式2x－1≥1，得x≥1，解不等式3(2－x)＞－6，得x

＜4，∴不等式組的解集為1≤x＜4，解集在數(shù)軸上表示如選項A所示.

例3解：(1)設購買筆記本的數(shù)量為x本，則購買筆袋的數(shù)量為(10－x)個，

根據(jù)題意可得x≥4(10－x)，解得x≥8，

∴購買筆記本的數(shù)量至少為8本；

(2)設購買筆袋的數(shù)量為x個，則購買筆記本的數(shù)量為(30－x)本，

根據(jù)題意可得8x＋5(30－x)≤200，解得x≤，

50

∵x為正整數(shù)，3

∴張老師最多能購買筆袋16個；

(3)設打x折出售，

根據(jù)題意可得5×－2≥2×5％，解得x≥4.2，

?

∴至多可打4.2折10.

真題及變式

－

1.D【解析】令，解不等式①得x＞3，∴該不等式組的解集為3

?2>1①

＜x＜4.?<4②

2.D【解析】解不等式2－3x≥－1得x≤1，解不等式x－1≥－2(x＋2)得x≥－1，

∴不等式組的解集是－1≤x≤1.

3.x≥3

－－

4.解：令－，

2?＞4>3(?2)①

?7

解不等式①4，?得x2＜2②，(2分)

解不等式②，得x＞－1，(4分)

第8頁共10頁

∴原不等式組的解集為－1＜x＜2.(6分)

5.8.8【解析】設這種商品打x折銷售，根據(jù)題意可列不等式5×0.1x－4≥4×10％，

解得x≥8.8，∴該商品最多可以打8.8折.

－－

變式5.11.2【解析】設該商品可降價x元，根據(jù)題意，得×100％≥20％，

6?4

解得x≤1.2，∴最多可降價1.2元.4

6.解：(1)設買了x個籃球，y個足球，(1分)

＋

由題意得，(2分)

＝

??=60

解得70.?(3+分80)?4600

?