第26講空間直線、平面的垂直必備知識PART01第一部分1．直線與直線垂直(1)已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．記作a⊥b.(3)當兩條直線a，b相互平行時，我們規定它們所成的角為0°.所以空間兩條直線所成角α的取值范圍是______________．0°≤α≤90°2．直線與平面垂直(1)直線與平面所成的角①平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角．②當直線與平面垂直和平行(或直線在平面內)時，規定直線和平面所成的角分別為__________．90°和0°3.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)判定定理和性質定理項目文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直

l?β，l⊥α?α⊥β項目文字語言圖形語言符號語言性質定理兩個平面互相垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直

β⊥α，α∩β＝a，l?β，l⊥a?l⊥α1．若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．2．一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這一條直線與另一個平面也垂直．3．兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．考點精析PART02第二部分考點一直線與平面垂直的判定和性質

如圖，四棱錐P-ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB.AB∥CD，∠DAB＝90°，PA＝AD，CD＝2AB，E為PC中點．求證：

(1)PA⊥BC；證明：因為平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PA⊥AB.所以PA⊥平面ABCD，因為BC?平面ABCD，所以PA⊥BC.(2)BE⊥平面PDC.所以四邊形ABEF是平行四邊形，所以BE∥AF，因為AP＝AD，F為PD的中點，所以AF⊥PD，所以BE⊥PD.因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，因為AB∥CD，∠DAB＝90°，所以AD⊥CD，又AD∩PA＝A，AD，PA?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，因為AF?平面PAD，所以CD⊥AF，因為BE∥AF，所以CD⊥BE，又BE⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD?平面PDC，所以BE⊥平面PDC.歸納總結(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①利用判定定理；②利用垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③利用面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④利用面面垂直的性質．(2)證明線面垂直的核心是證明線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質．因此，判定定理與性質定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想．(3)線面垂直的性質，常用來證明線線垂直．考點二平面與平面垂直的判定與性質

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E為AD的中點．求證：(1)PE⊥BC；證明：因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD，因為底面ABCD為矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)平面PAB⊥平面PCD.證明：因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因為PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.歸納總結(1)證明平面和平面垂直的方法：①利用面面垂直的定義；②利用面面垂直的判定定理．(2)已知兩平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化，在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直．綜合提升PART03第三部分1．(2024·廣東學考模擬)若l為一條直線，α，β，γ為三個互不重合的平面，則下列命題正確的是(

)A．α⊥γ，β⊥γ?α⊥βB．l∥α，α⊥β?l?βC．α⊥γ，β∥γ?α⊥βD．l∥α，α⊥β?l⊥β√解析：對A，若α⊥γ，β⊥γ，則α，β可能相交也可能平行，故A選項不正確；對B，D，若l∥α，α⊥β，則可能有l∥β，故B，D選項不正確；對C，若α⊥γ，β∥γ，則必有α⊥β，故C選項正確．故選C.2．已知α，β是兩個不同的平面，直線l?α，則“l⊥β”是“α⊥β”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件√解析：根據面面垂直的判定定理，可知若l?α，l⊥β，則α⊥β成立，滿足充分性；反之，若α⊥β，l?α，則l與β的位置關系不確定，即不滿足必要性．所以“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件．故選A.3．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點，則直線OM與AC，MN的位置關系是(

)

A．與AC，MN均垂直B．與AC垂直，與MN不垂直C．與AC不垂直，與MN垂直D．與AC，MN均不垂直√解析：連接B1D1(圖略).因為DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因為AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD?平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1，4．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列直線與B1D1垂直的是(

)

A．BC1 B．A1DC．AC D．BC√解析：連接BD(圖略).由平行關系可確定B1D1的垂線即為BD的垂線，由此可確定結果．因為四邊形ABCD為正方形，所以AC⊥BD，因為B1D1∥BD，所以AC⊥B1D1.故選C.5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設M為棱BC的中點，則下列說法正確的是(

)A．A1M⊥BDB．A1M∥平面CC1D1DC．A1M⊥AB1D．A1M⊥平面ABC1D1√解析：若A1M⊥BD，由A1A⊥平面ABCD，AM為A1M在底面ABCD上的射影，由三垂線定理的逆定理可得BD⊥AM，但BD⊥AC，顯然矛盾，故A錯誤；若A1M∥平面CC1D1D，又A1M?平面A1D1CB，且平面CC1D1D∩平面A1D1CB＝D1C，所以D1C∥A1M，但D1C∥A1B，顯然矛盾，故B錯誤；由A1B⊥AB1，A1B為A1M在平面A1B1BA上的射影，可得A1M⊥AB1，故C正確；若A1M⊥平面ABC1D1，則A1M⊥AB，又A1A⊥平面ABCD，AM為A1M在底面ABCD上的射影，可得AM⊥AB，顯然不成立，故D錯誤．故選C.6．如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數為________．4解析：因為PA⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，得BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，從而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，E為棱PB的中點．證明：(1)AE⊥平面PBC；證明：因為PA＝AB，且E為PB的中點，所以AE⊥PB.因為PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，在正方形ABCD中，AB⊥BC，又因為AB，PA?平面PAB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又因為AE?平面PAB，所以BC⊥AE，因為BC，PB?平面PBC，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC.(2)平面PAD⊥平面PCD.證明：因為PA⊥平面ABCD，ABCD為正方形，所以PA⊥CD，AD⊥CD，又PA，AD?平面PAD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，因為CD?平面PCD