專題01有理數

思維導圖

中等類型

【類型覆蓋】

類型一、數軸上兩點之間的距離

【解惑】在原點左側距離原點3個單位長度的點表示的數是（）

1、3

A.3B.—C.—3D.—

32

【融會貫通】

1.在數軸上，點43在原點。的兩側，分別表示數°,3,將點/向左平移1個單位長度，得到點C,若

CO=8O,則a的值為（）

A.4B.2C.-2D.-1

2.一只電子螞蟻沿數軸從點A向右爬行2個單位長度到達點B,若點B表示的數為-4,則點A表示的數

為.

3.已知4B,C是數軸上的三個點，且C在8的右側，點48表示的數分別是1,3,如圖所示，若

BC=3AB,則點C表示的數是.

z5

,-,'?■

123456

-4-3-2-10

類型二、數軸上字母大小關系

【解惑】實數。，6在數軸上對應點的位置如圖所示.若a+6=0,則下列結論中正確的是（）

a01b

A.|a|<\b\B.2a>2bC.ab>0D.a<-l

【融會貫通】

1.已知心b,c在數軸上對應點的位置如圖所示，則下列結論正確的是（）

___________________?_________________?_________________??________________>>

caQb

A.a+b<0B.|a|>|c|C.a-c>0D.b-c<.0

2.如圖，數軸上的兩個點/、2所表示的數分別為a、b,比較大小：一a一b.（用"或"="號連接）

ab

%W1一稅11U.

-10-12

3.已知a,b,c的大小關系如圖所示，則下列各式：①6+a+（-c）>0：②（-a）-b+c>0；③bc-a>0；

@\a-b\-\c-b\+\a-d\=0,其中正確的是.（請填寫序號）

___________IlliA

b0ac

類型三、絕對值化簡

【解惑】如圖所示，則卜3-4T6+1|等于（）

____________I______I__I________II_____

-1aQ1b

A.4+a—bB.2+a—bC.—4—a—bD.—2—a+b

【融會貫通】

1.如圖，數軸上點A表示的數為。，化簡問的結果為（）

A

」?」」」」」?

-3展2-1012

A.2a—4B.—4C.2a+4D.4

2.若0Va<l,則k|+|a-l卜.

3.有理數a,b,c在數軸上的對應點的位置如圖所示，貝1]|。-6|+2上|=.

?111A

bcQa

類型四、幻方幻圓問題

【解惑】幻方是古老的數學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方一一九宮格，如圖九宮格內每個

小方格內均有不同的數字，要求方格內每一行、每一列以及每一條對角線上的三個數字之和均相等，圖中

給出了部分數字，則〃處對應的數字是（）

A.7B.5C.4D.1

【融會貫通】

1.如圖是根據幻方改編的"幻圓"游戲，將-3,2,-1,0,1,-2,3,-4分別填入圖中的圓圈內，使橫行、

豎列以及內外兩圈上的4個數字之和都相等.已知圖中。，b,c,分別表示一個數，貝i]a+6的值是（）

C.一2或3D.-2

2.愛動腦筋的小明同學設計了如圖所示的“幻方"游戲圖，將1,-2,3,-4,5,-6,7,-8分別填入圖

中的圓圈內，使得橫、豎以及內外兩個正方形的4個數字之和都相等，他已經將-4、5、7、-8這四個數填

入了圓圈，則圖中6的值為.

3.幻方是古老的數學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方一九宮格，將9個數填入幻方的空格

中，要求每一橫行、每一豎列以及每條對角線上的3個數之和均相等，例如下圖（1）就是一個幻方，圖

（2）是一個未完成的幻方，則。的值是.

類型五、有理數的分類

【解惑】把下列各數分別填入相應的集合里.

422

—4,——,0,-y,—3.14,2006,—（+5）,+1,88

⑴負數集合:｛

⑵分數集合：｛

⑶整數巢合：｛...｝.

【融會貫通】

1.把下列各數填到相應的括號里（只填編號即可）

71

①];②1；③0.5;④+7;⑤0;⑥一1.4;⑦一9;⑧一5；⑨5%

自然數：｛｝;

整數：｛｝；

分數：｛｝;

非負有理數：｛｝,

2.把下列各數填在相應的大括號里：

79

-1,--，0,+3.6,-17%,3.142,—,-0,088,2008,-506.

811

整數集合：｛...｝

正分數集合：｛...｝

負分數集合：｛...｝

3.把下面的有理數填在相應的大括號里:

15,—,0,—0.15,—128，—，+20,—2.6

24

正數集合｛

負數集合｛...｝;

整數集合｛...｝;

非負數集合｛...｝.

類型六、日歷問題

【解惑】在我們日常生活中的日歷上也隱藏著許多的數學規律.如圖是2024年3月份的日歷，一個虛線方

框圈出的2x2（2行2列）個數字之和為：5+6+12+13=36

日'

二三四五六

3

廿L廿2：九九

4:5678910

廿四;驚蟄廿六女生節婦女節廿九初一

1

11；121314151617

龍頭節:植樹節初四初五初六初七初八

18192021222324

初九初十春分十二十三十四十五

25262728293031

產十七十八十九二十廿一

(1)若這個虛線方框圈出的2x2個數字之和為100,則這4個數的左上角那天是3月幾日？

(2)請通過計算判斷這個虛線方框圈出的2x2個數字之和能否為84.

【融會貫通】

1.觀察某月日歷，回答下列問題:

2.生活與數學

日一二三四五六

123456

78910111213

14151617181920

21222324252627

28293031

⑴山姆同學在某月的日歷上圈出2x2個數，如圖1,正方形的方框內的四個數的和是48,求這四個數.

圖1圖2圖3

(2)小麗也在上面的日歷上圈出2x2個數，如圖2,斜框內的四個數的和是46,則它們分別是

⑶劉莉也在日歷上圈出5個數，呈十字框形，如圖3,它們的和是55,則中間的數是.

⑷某月有5個星期日的和是75,則這個月中最后一個星期日是.

3.如圖是2022年11月的日歷，用一個方框在日歷中任意框出4個代表日期的數

(1)a—b—c+d=；

(2)設^S=a+b+c+d.

①若S=84,求a的值；

②S的值能否為36?請說明理由.

ab

Cd

日一二三四五六

12345

6789101112

13141516171819

20212223242526

27282930

類型七、擺放規律問題

【解惑】按如下規律擺放三角形:

AAA

AAAAAA

①②③

⑴圖①有個三角形，圖②有個三角形，圖③有個三角形.

(2)按上述規律排列下去，第"個圖形中有多少個三角形？

⑶按上述規律排列下去，第2023個圖形中有多少個三角形？

【融會貫通】

1.九年級某班在學習了教材尸23頁的數學活動后，某數學小組經討論組織了一次綜合與實踐活動，經歷了

如下過程：

將大小相同的標準小等邊三角形按如圖所示的方式進行擺放，根據圖形中的規律，解決如下問題：

問題提出

(1)在下列三個圖中，標準小等邊三角形的個數分別是：圖1中共有個，圖2中共有個,

圖3中共有個；

操作發現

(2)按此規律擺放下去，猜想第四個圖形中，共有標準小等邊三角形的數為個；

數學思考

(3)按以上規律擺放下去，是否存在最后兩個圖形標準小等邊三角形的個數總數為265個的情況？如果存

在，求最后這個圖形中標準小等邊三角形的個數；如果不存在，說明理由.

2.如圖所示的圖形是由相同大小的正方形和相同大小的圓按照一定規律擺放而成的，我們發現：

第1個圖中有4個圓；

第2個圖中有6個圓；按此規律變化下去…

(i)(2)⑶

(1)第3個圖中有個圓；

(2)第4個圖中比第3個圖中多個圓；

⑶第n個圖中一共有個圓.(用含n的式子表示)

3.小明想探究自然數的立方和V+23+33+.?.+/(其中〃為自然數)的推導方法，查閱資料后、想到一個

方法、把這個代數問題轉化為幾何題、具體如下：F對應圖①中邊長為1的小正方形個數；23對應圖②中

邊長為1的小正方形的個數；3、對應圖③中邊長為1的小正方形個數.小明發現，圖①、圖②、圖③恰

好可以拼成一個邊長為6的正方形，從而得到E+2?+33=36.

圖①圖②圖③

(1)①請你順著小明的研究思路在網格圖中畫出手對應的小正方形個數的擺放圖形;

②把這4個圖形拼成一個正方形，則這個正方形的邊長為；

⑵根據小明的發現，請直接寫出「+23+33+.?.+/=(用含〃的式子表式);

(3)請根據第(2)問的規律求203+2/+22、…+10()3的值.

類型八、數軸折疊對稱問題

【解惑】操作與嘗試：在紙面上有如圖所示的數軸，折疊紙面，若數軸上數1表示的點與數表示的點重

合，則數軸上數-2表示的點與數2表示的點重合，

-6-5-4-3-2-]0123456

探究與應用：現打開紙面后，再次折疊，使數軸上數-4表示的點與數0表示的點重合.數軸上A、8兩點

折疊后重合，M>N兩點折疊后重合

(1)則數軸上數3表示的點與數表示的點重合；

(2)若點A到原點的距離是5個單位長度，求8點表示的數；

⑶若數軸上“、N兩點之間的距離為2024,如果M點表示的數比N點表示的數大，求M點、N點表示的

數

【融會貫通】

1.平移和翻折是初中數學兩種重要的圖形變化.請思考下列問題：

-5-4-3-2-1012345

⑴平移運動

①把筆尖放在數軸的原點處，先向負方向移動3個單位長度，再向正方向移動2個單位長度，這時筆尖的

位置表示的數為一

A.(+3)+(+2)=+5C.(+3)+(—2)=+1

B.(-3)-(+2)=-5D.(-3)+(+2)=-1

②一機器人從原點。開始，第1次向左跳1個單位，緊接著第2次向右跳2個單位，第3次向左跳3個單

位，第4次向右跳4個單位，…，依此規律跳，當它跳2023次時，落在數軸上的點表示的數是

⑵翻折變換

①若折疊紙條，表示-1的點與表示3的點重合，則表示-2017的點與表示—的點重合；

②若數軸上/、2兩點之間的距離為2018(4在3的左側，且折痕與①折痕相同)，且/、3兩點經折疊后

重合，則A點表示B點表示

③若數軸上折疊后重合的兩點分別表示數a,b,則折疊中間點表示的數為_(用含有。，6的式子表示)

2.如圖：在數軸上A點表示數-3,8點表示數1,C點表示數9.

——?----------1---------------------------------1--------------------->

ABC

⑴若將數軸折疊，使得A點與C點重合，則點B與表示的點重合；

(2)若點A、點8和點C分別以每秒2個單位、1個單位長度和4個單位長度的速度在數軸上同時向左運動.

①若f秒鐘過后，A,B,C三點中恰有一點為另外兩點的中點，求“直；

②當點C在3點右側時，是否存在常數加，使〃28c-2/8的值為定值，若存在，求加的值，若不存在，請

說明理由.

3.綜合與實踐，閱讀理解：

【問題背景】數軸是一個非常重要的數學工具，使數和數軸上的點建立起對應關系，這樣能夠用"數形結合"

的方法解決一些實際問題.如圖，在紙面上有一數軸，按要求折疊紙面：

??I??II?I?A

-4-3-2-1012345

【問題解決】

（1）若折疊后數1對應的點與數-1對應的點重合，則此時數-3對應的點與數對應的點重合；

【學以致用】

（2）若折疊后數2對應的點與數-4對應的點重合，則此時數0對應的點與數對應的點重合；

【問題拓展】

（3）若如（2）這樣折疊后，數軸上有/、8兩點也重合，且/、8兩點之間的距離為U（點8在/點的

右側），則點/對應的數為，點3對應的數為；

（4）在（3）的條件下，數軸上有一動點P,動點尸從2點出發，以每秒2個單位長度的速度在數軸上勻

速運動，設運動時間為/秒（?>0）.

①動點尸從2點向右出發，「為何值時，P、/兩點之間的距離為15個單位長度；

②請直接寫出動點尸從3點向左出發時，P、/兩點之間的距離為15個單位長度的/的值.

【一覽眾山小】

1.如圖，檢測4個足球的質量，其中超過標準質量的克數記為正數，不足標準質量的克數記為負數.從質

量的角度看，最接近標準質量的是（）

-3.8g-2.3g1.1g1.5g

2.設4是絕對值最小的數，6是最大的負整數，C是最小的正整數，則服b、c三數分別為（）

A.0,—1,1B.1,0,—1C.1,—1,0D.0,1,—1

3.已知〃、b、。三個數的位置如圖所示，則下列結論不正確的是（）

a?bc

-4-3-2-1012

A.a+b<0B.b-a>0C.b+c<0D.a+c<0

4.如圖，一條數軸上有點4、B、C,其中點4、B表示的數分別是-14,30,現以點。為折點，將數軸向

右對折，若點/落在射線上且到點8