專題01平面向量的概念精講精練（一）向量的定義向量是既有大小又有方向的量。用有向線段表示向量時，有向線段的長度就是向量的大?。茨＃^所指方向為向量的方向。向量可用字母如a、b等表示，也可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如AB。（二）零向量長度為0的向量是零向量，記作0。零向量方向任意，它與任意向量平行，在向量運算里，滿足a+（三）單位向量模等于1個單位長度的向量叫單位向量。對于非零向量a，同方向的單位向量是a|（四）相等向量長度相等且方向相同的向量是相等向量，若a和b相等，記為a=（五）平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量是平行向量，也叫共線向量，規定零向量與任意向量平行，向量a和b平行記作a∥（一）向量概念的理解與判斷此考點考查對向量、零向量、單位向量、相等向量、平行向量等概念的掌握，常以判斷命題真假的形式出現。（2324高二上·廣東湛江·開學考試）下列命題正確的個數是（）（1）向量就是有向線段；（2）零向量是沒有方向的向量；（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的長度為0。A．1B．2C．3D．4【答案】：B【解析】：向量有大小和方向，有向線段有起點、終點和長度，二者概念不同，所以（1）錯誤；零向量方向是任意的，并非沒有方向，所以（2）錯誤；零向量方向任意，（3）正確；零向量的長度規定為0，（4）正確。綜上，正確的是（3）（4），共2個，選B。（多選）（2324高一下·山東青島）設a為非零向量，下列有關向量的描述正確的是（）A．a|B．|C．aD．a【答案】：ABD【解析】：根據單位向量定義，對于非零向量a，a|a|單位向量的模長為1，對于a|a|當|a|=1時，a|a|根據向量點積公式m?n=|m||n|cos?θ（θ為m與n的夾角），（二）向量的表示與模的計算考查向量不同表示方法，以及依據向量坐標或幾何關系求向量的模。（2324高二下·江蘇南京·期末檢測）已知點A(2,3)，B(?1,5)，則向量A．(3,?2)B．(?3,2)C．(1,8)D．(?1,?8)【答案】：B【解析】：向量AB的坐標等于終點B的坐標減去起點A的坐標。即AB=(?3,2)，所以選B。（2324高三上·湖北武漢·月考）已知向量a=(?2,3)，則|A．1B．5C．13D．5【答案】：C【解析】：對于向量a=(x,已知a=(?2,3)，則==13（三）單位向量與共線向量問題常涉及求與已知向量共線的單位向量，或依據向量共線條件求參數值。（2425高三·全國·階段練習）已知向量a=(1,2)，b=(2,?2)，則與A.(B.(?C.(1010D.(1010【答案】：C【解析】：先求a?a=(?1,4)。設與a?b共線的單位向量為因為單位向量模為1，所以x2又因為e與a?b共線，兩向量m=(x1,y1)將②代入①得：xx17x解得x=±當x=y=?4×對x=1717，y=?41717當x=?y=?4×(?同樣進行分母有理化并化簡，得到x=?1010所以與a?b共線的單位向量為(10（2324高一下·廣東茂名·階段練習）已知e1、e2是兩個不共線的單位向量，a=2e1?e2，A.2B.2C.1D.1【答案】：A【解析】：因為a與b共線，所以存在實數λ，使得a=即2e由于e1、e2不共線，所以將λ=?1代入2=λk，得解得k=?2（一）概念判斷類（2324高二上·四川成都·隨堂測驗）下列說法正確的是（）A.若a∥b，bB.若a=b，則|a|=|bC.單位向量都相等D.零向量沒有方向【答案】：B【解析】：A選項，當b=0時，因為零向量與任意向量平行，所以即使a∥b且b∥B選項，根據相等向量的定義，長度相等且方向相同的向量稱為相等向量。所以若a=b，必然有|a|=|bC選項，單位向量是指模等于1的向量，但方向不一定相同。向量相等需要模相等且方向相同，所以單位向量不一定都相等，C錯誤。D選項，零向量的方向是任意的，并不是沒有方向，D錯誤。（2324高二下·浙江杭州·單元評估）（多選）下列關于向量的說法正確的是（）A.向量AB與向量BA是相等向量B.若|a|=0C.若|a|=|D.若a∥b，則a與【答案】：BD【解析】：A選項，向量AB與向量BA的大小相等，但方向相反。根據相等向量的定義，它們不是相等向量，A錯誤。B選項，向量的模為0時，該向量就是零向量，所以若|a|=0，則C選項，|a|=|b|只能說明向量a與b的模相等，但方向不一定相同。而相等向量要求模相等且方向相同，所以D選項，平行向量（共線向量）的定義是方向相同或相反的非零向量，并且規定零向量與任意向量平行。所以若a∥b，則a與（2324高三上·遼寧大連·模擬訓練）給出下列命題：①兩個向量，當且僅當它們的起點相同，終點相同時才相等；②若AB=DC，則A，B，C，③在平行四邊形ABCD中，一定有AB=④若a=b，b=⑤若a∥b，b∥c，則A.①②⑤B.③④C.③⑤D.①④⑤【答案】：B【解析】：①相等向量是指大小相等且方向相同的向量，與它們的起點和終點的位置無關。例如，在平面內將一個向量平移后，它的大小和方向不變，仍然與原向量相等，所以①錯誤。②當AB=DC時，A，B，C，③在平行四邊形ABCD中，AB平行且等于DC，根據向量相等的定義（大小相等且方向相同），向量AB與DC大小相等且方向相同，所以一定有AB=④由相等向量的傳遞性可知，若a=b，b=c，那么a與⑤若b=0，因為零向量與任意向量平行，所以當a∥b且b∥c時，a與（2324高二上·湖南長沙·課堂小測）下列關于向量的說法錯誤的是（）A.若向量a與向量b平行，則存在實數λ使得aB.起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量C.單位向量不一定都平行D.零向量與任意向量的數量積都為0【答案】：A【解析】：A選項，若b=0，而a≠0，因為零向量的方向是任意的，不存在實數λ使得非零向量a與零向量B選項，根據相等向量的定義，只要兩個向量的模相等且方向相同，無論它們的起點位置如何，都認為這兩個向量是相等向量，所以起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量，B正確。C選項，單位向量是模長為1的向量，它們的方向可以是任意的。所以單位向量之間的方向不一定相同或相反，即單位向量不一定都平行，C正確。D選項，根據向量數量積公式a?b=|a||b|cos?θ（其中θ為（2324高二下·河南鄭州·期中測試）（多選）下列命題中，正確的是（）A.向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反B.兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同C.兩個有公共終點的向量，一定是共線向量D.有向線段就是向量，向量就是有向線段【答案】：AB【解析】：A選項，平行向量（共線向量）的定義是方向相同或相反的非零向量，并且規定零向量與任意向量平行。所以當向量a與b平行時，若a，b都不為零向量，則a與b的方向相同或相反；若其中一個為零向量，也滿足平行關系，A正確。B選項，相等向量的大小相等且方向相同。若兩個向量有共同起點且相等，由于它們的大小和方向都相同，根據向量的性質，將它們的起點固定后，終點的位置是唯一確定的，所以其終點必相同，B正確。C選項，兩個有公共終點的向量，它們的起點位置不確定，方向也不一定相同或相反。共線向量要求方向相同或相反，所以兩個有公共終點的向量不一定是共線向量，C錯誤。D選項，向量是既有大小又有方向的量，而有向線段是具有方向的線段，它有起點、終點和長度。向量可以用有向線段來表示，但有向線段只是向量的一種直觀表示方式，不能說有向線段就是向量，向量就是有向線段，它們的概念是不同的，D錯誤。（二）向量表示與模計算類（2324高二上·福建廈門·期中考試）已知點M(?3,4)，N(5,?2)，則向量A.(?8,6)B.(8,?6)C.(?2,2)D.(2,?2)【答案】：B【解析】：根據向量坐標運算，對于向量MN，其坐標等于終點N的坐標減去起點M的坐標。

即MN=(5?(?3),?2?4)=(5+3,?2?4)=(8,?6)（2324高三下·河南鄭州·適應性考試）若向量a=(x,3)，且|A.4B.?4C.±4D.±2【答案】：C【解析】：對于向量a=(x,y)，其模長公式為|a|=x2+y2。

已知a=(x,3)且|（2324高二下·安徽合肥·期末測試）已知向量OA=(3,?4)，OB=(6,?3)，OC=(5?m,?3?m)。若點AA.mB.mC.mD.m【答案】：C【解析】：若點A，B，C能構成三角形，則向量AB與AC不共線。先求AB=再求AC=若兩向量AB=(x1,y1)，AC=(x2,y2)共線，則x1y2?x2y1=0。

對于AB（2324高二上·山東濟南·月考）已知向量a=(1,?2)，b=(?3,4)，則A.8B.6C.5D.5【答案】：A【解析】：先計算3a?b：

已知3a=3×(1,?2)=(3×1,3×(?2))=(3,?6)根據向量模長公式|m=(x,y)|=（2324高三上·湖北武漢·模擬）已知向量a=(x,1)，b=(2,yA.1B.5C.3D.5【答案】：D【解析】：因為a+b=(解第一個方程x+2=1，根據等式的性質，等式兩邊同時減去2，得到x解第二個方程1+y=?1，等式兩邊同時減去1，可得由此得出a=(?1,1)，b所以a?b=(?1?2,1?(?2))，先計算括號內的值，?1?2=?3，1?(?2)=1+2=3根據向量模長公式|m=(x,y)|=x2+y2，對于向量a?b=(?3,3)，有：

|a?b|=(?3)2+32=（三）單位向量與共線向量類（2324高一下·廣東佛山·階段練習）已知向量a=(1,?1)，則與aA.(B.(?C.(D.(?【答案】：A【解析】：對于非零向量a=(x,y)，其模長|a|=x2+y（2324高二上·河北石家莊·周測）已知向量a=(2,?3)，b=(?1,λ)，若A.2B.?C.3D.?【答案】：C【解析】：已知兩向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，若a∥b，則（2324高三下·江蘇南京·沖刺訓練）已知向量a=(1,2)，b=(2,?2)，c=(1,λ)A.1B.?C.1D.?1【答案】：A【解析】：先計算2a因為2a所以2a因為c=(1,λ)且c∥(2a+b)，根據兩向量平行坐標關系x1y2?x2y（2324高二下·山東青島·期末）已知