第06講復數的概念【人教A版2019】模塊一模塊一數系的擴充和復數的概念1．數系的擴充與復數的相關概念(1)復數的引入

為了解決這樣的方程在實數系中無解的問題，我們引入一個新數i，規定：

①，即i是方程的根；

②實數可以和數i進行加法和乘法運算，且加法和乘法的運算律仍然成立.

在此規定下，實數a與i相加，結果記作a+i；實數b與i相乘，結果記作bi；實數a與bi相加，結果記作a+bi.注意到所有實數以及i都可以寫成a+bi(a,b∈R)的形式，從而這些數都在擴充后的新數集中.(2)復數的概念

我們把形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位.全體復數構成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復數集.這樣，方程在復數集C中就有解x=i了.(3)復數的表示復數通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時，復數z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復數z的實部與虛部.(4)復數的分類對于復數a+bi，當且僅當b=0時，它是實數；當且僅當a=b=0時，它是實數0；當b≠0時，它叫做虛數；當a=0且b≠0時，它叫做純虛數.顯然，實數集R是復數集C的真子集，即.

復數z=a+bi可以分類如下：

復數，

復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系，可用圖表示.2．復數相等在復數集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規定：a+bi與c+di相等當且僅當a=c且b=d，即當且僅當兩個復數的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復數才相等.【題型1復數的基本概念】【例1.1】（2425高一下·全國·課后作業）下列四種說法正確的是（

）A．如果實數a=b，那么a?b+(a+b)iB．實數是復數．C．如果a=0，那么z=a+biD．任何數的偶數次冪都不小于零．【例1.2】（2425高一下·湖南長沙·階段練習）已知i為虛數單位，下列說法正確的是（

）A．若x2+1=0，則x=C．z=x2+1i可能是實數 【變式1.1】（2024高一下·江蘇·專題練習）下列命題：①若a∈R，則a+1②若a，b∈R，且a>b，則a+③若x2?4+④實數集是復數集的真子集.其中正確的是（

）A．① B．② C．③ D．④【變式1.2】（2425高一下·上?！ふn后作業）下列說法正確的是（

）A．i表示虛數單位，所以它不是一個虛數B．?1的平方根是±C．biD．若z=aa∈R，則復數z【題型2已知復數的類型求參數】【例2.1】（2324高一下·重慶·階段練習）若復數a2?a?2+a?1A．a=?1 B．a≠?1且a≠2 C．a≠?1 D．a≠2【例2.2】（2324高一下·安徽安慶·期末）已知a，b均為實數，復數：z=a2?b+(b?2a)i，其中i為虛數單位，若z<3，則A．?1,3 B．(?∞,?1)∪(3,+∞) C．【變式2.1】（2324高一下·甘肅定西·期末）已知復數z=m(1)若復數z是純虛數，求實數m的值；(2)當非零復數z的實部和虛部互為相反數時，求實數m的值．【變式2.2】（2425高一上·上?！ふn堂例題）求實數m的值或取值范圍，使得復數z=m(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數；(4)0.【題型3復數相等的求參問題】【例3.1】（2024·湖南岳陽·模擬預測）已知i為虛數單位，x,y為實數，若x+yi+2=3?4i+2yA．2 B．3 C．4 D．5【例3.2】（2324高一下·河南駐馬店·階段練習）已知復數z1=2?ai,z2=b?1+2i，（a,b∈A．a=?1,b=1 B．a=2,b=?3C．a=2,b=3 D．a=?2,b=3【變式3.1】（2425高一·全國·課后作業）分別求滿足下列條件的實數x，y的值．(1)2x?1+(y+1)i(2)x2【變式3.2】（2324高一下·全國·課堂例題）求滿足下列條件的實數x，y的值：(1)x?2y?(2)(x+y?3)+(x?y?2)i(3)x+y+4i(4)x2模塊二模塊二復數的幾何意義1．復數的幾何意義(1)復平面

根據復數相等的定義，可得復數z=a+bi有序實數對(a,b)，而有序實數對(a,b)平面直角坐標系中的點，所以復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應關系.

如圖所示，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數z=a+bi可用點Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.(2)復數的幾何意義——與點對應

由上可知，每一個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數和它對應.復數集C中的數和復平面內的點是一一對應的，即復數z=a+bi復平面內的點Z(a,b)，這是復數的一種幾何意義.(3)復數的幾何意義——與向量對應

在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與復數是一一對應的.這樣就可以用平面向量來表示復數.如圖所示，設復平面內的點Z表示復數z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定.

因此，復數集C中的數與復平面內以原點為起點的向量是一一對應的(實數0與零向量對應)，即復數z=a+bi平面向量，這是復數的另一種幾何意義.2．復數的模向量的模r叫做復數z=a+bi的?；蚪^對值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個實數a，它的模等于|a|(就是a的絕對值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).3．共軛復數(1)定義

一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部不等于0的兩個共軛復數也復數z的共軛復數用表示，即若z=a+bi，則.特別地，實數a的共軛復數仍是a本身.(2)幾何意義互為共軛復數的兩個復數在復平面內所對應的點關于實軸對稱(如圖).特別地，實數和它的共軛復數在復平面內所對應的點重合，且在實軸上.(3)性質①.

②實數的共軛復數是它本身，即z∈R，利用這個性質可證明一個復數為實數.4．復數的模的幾何意義(1)復數z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復數z=a+bi在復平面內對應的點Z(a,b)到坐標原點的距離，這是復數的模的幾何意義.(2)復數z在復平面內對應的點為Z，r表示一個大于0的常數，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以原點為圓心，r為半徑的圓，|z|<r表示圓的內部，|z|>r表示圓的外部.【題型4復數的幾何意義】【例4.1】（2425高二上·廣西南寧·階段練習）設z=3?2i，則在復平面內z對應點位于（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例4.2】（2425高三上·河北承德·開學考試）已知z1=a+1?2iA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【變式4.1】（2324高一下·廣東云浮·期末）已知復數z=m(1)若z是純虛數，求m；(2)在復平面內，z對應的點位于第三象限，求m的取值范圍.【變式4.2】（2425高一上·上海·隨堂練習）求實數m的取值或取值范圍，使復數z=m(1)對應的點在第三象限；(2)對應的點在直線x+y+4=0上.【題型5共軛復數的有關計算】【例5.1】（2425高三上·陜西渭南·期中）已知復數z=3?2i（i為虛數單位），則z的共軛復數z=（A．3?2i B．3+2i C．?3?2i【例5.2】（2425高二上·重慶·期中）在復平面內，復數z對應的點的坐標是1,2，則z的共軛復數z=（A．1+2i B．1?2i C．【變式5.1】（2324高一下·山東煙臺·期中）若復數z滿足i?z+2=3?i，則A．?3?3i B．?3+3i C．3?3i【變式5.2】（2324高一下·河北·期中）在復平面內，設i是虛數單位，則復數i?i2024A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【題型6復數的模的問題】【例6.1】（2024高一·全國·專題練習）設1+ix=1+yi，其中x，y是實數，則|x+yA．1 B．2 C．3 D．2【例6.2】（2024·全國·模擬預測）已知z=(2a?1)+(a+1)i(a∈R)，則“|z|=2”是“a=A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式6.1】（2324高一下·福建廈門·期末）若z=z?3=z?A．1 B．2 C．3 D．2【變式6.2】（2024·河南·一模）若x?i=1?2iA．1 B．2 C．3 D．4【題型7復數的向量表示】【例7.1】（2324高一·上?！ふn堂例題）如果復平面上的向量AB所對應的復數是?3+2i，那么向量BA所對應的復數是（

A．3?2i B．3+2i C．?3+2i【例7.2】（2324高三下·重慶·階段練習）在復平面內，O為坐標原點，復數1+i2對應的點為A，復數3+4i對應的點為B，復數?1+mi對應的點為C，若AB⊥A．12 B．?12 C．3【變式7.1】（2324高一·上海·課堂例題）設在復平面上的點A與點B所對應的復數分別為zA與zB，對于下列各組復數，分別求向量AB和向量(1)zA=2?3i(2)zA=1【變式7.2】（2324高一下·浙江臺州·期中）已知復平面內平行四邊形ABCD，A點對應的復數為2+i，向量BA對應的復數為1+2i，向量BC對應的復數為(1)點D對應的復數；(2)三角形ABC的面積.【題型8與復數模相關的軌跡（圖形）問題】【例8.1】（2025高一·上?！ｎ}練習）已知復數z且z=1，則z?2?2i的最小值是（A．22 B．22?1 C．2【例8.2】（2324高一下·福建福州·期中）已知復數z滿足|z|=2，則|z+3+4i|最小值是（A．3 B．4 C．5 D．6【變式8.1】（2425高一上·上?！ふn后作業）已知復數z1=3(1)求z1及z(2)設z∈C，滿足z2≤|z|≤z【變式8.2】（2425高一·全國·單元測試）已知復數z滿足|z+2?2i|=2，且復數z在復平面內的對應點為(1)確定點M的集合構成圖形的形狀；(2)求|z?1+2i一、單選題1．（2024高一·全國·專題練習）下列命題正確的個數是（

）①1+i2=0；②若a,b∈R，且a>b，則a+iA．1 B．2C．0 D．32．（2324高一下·湖南長沙·階段練習）復數z=a2?b2+a+A．a≤0 B．a<0且C．a>0且a≠b D．a>0且a=3．（2024高二下·安徽·學業考試）已知復數z=?1+2i，則z在復平面內對應的點位于（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2024高一·全國·專題練習）已知復數z1=a+2b+a?bi,A．－1 B．0C．1 D．25．（2425高一下·全國·課后作業）如圖，在復平面內，向量OA對應的復數z1=2+i，OA繞點O逆時針旋轉90°后對應的復數為z2，則

A．5 B．3 C．10 D．46．（2324高一下·上海·期中）下列說法正確的是（

）A．設z=a+bia,b∈R則zB．復數z與z在復平面中對應的點分別在x軸上方和下方C．設復數z1與z2滿足zD．若復數z1與z2滿足z7．（2324高一下·江蘇蘇州·期中）已知復數z滿足z?1=1，則z+2+4i（i是虛數單位）的最小值為（A．17?1 B．4 C．17+18．（2324高一下·廣東廣州·期末）瑞士數學家歐拉于1748年提出了著名的公式：eix=cosx+isinxA．eB．|eC．復數eπD．若z1=eπ3i，z2=二、多選題9．（2324高一下·四川達州·期中）下列四種說法不正確的是（）A．如果實數a=b，那么a?b+(a+b)iB．實數是復數．C．如果a=0，那么z=a+biD．任何數的偶數次冪都不小于零．10．（2324高一下·內蒙古興安盟·期末）已知復數z=1?2i，則（

A．z的共軛復數為1+2B．z是純虛數C．z的模是5D．z在復平面內對應的點位于第四象限11．（2324高一下·廣東深圳·階段練習）已知復數z=m2+2m?3+(m?1)i，其中mA．若z為純虛數，則m=1或?3B．若復平面內表示復數z的點位于第四象限，則m<?3C．若m=2，則z的虛部為?D．若z=a?2i?(a∈三、填空題12．（2324高一下·黑龍江哈爾濱·期中）復數m2?1+m+1i是純虛數，則實數m的值為13．（2324高一下·上海嘉定·期末）已知復平面上有點C2，4和點D，使得向量CD所對應的復數是1+i，則點D的坐標為14．（2324高一下·陜西西安·期中）若復數z滿足z?1?2i=1(i為虛數單位)，則z的最大值為四、解答題15．（2425高一·全國·隨堂練習）求適合下列各方程的實數x，y的值：(1)x+y?xy(2)x2(3)2x?1+y+116．（2324高一下·吉林長春·期中）已知復數z=m2(1)當z是