1/12022北京西城高二（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為A． B． C． D．2．（4分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，5，關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為A．，5， B．，， C．，5， D．，，3．（4分）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則其準(zhǔn)線方程為A． B． C． D．4．（4分）圓與圓的位置關(guān)系為A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切5．（4分）在的展開式中，的系數(shù)為A． B． C．5 D．106．（4分）在長方體中，，，則直線與平面所成角的大小為)A． B． C． D．7．（4分）已知橢圓，雙曲線，其中．若與的焦距之比為，則的漸近線方程為A． B． C． D．8．（4分）將4名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球3個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有A．48種 B．36種 C．24種 D．12種9．（4分）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上．過的直線交拋物線于點(diǎn)，則以為直徑的圓A．必過原點(diǎn) B．必與軸相切 C．必與軸相切 D．必與拋物線的準(zhǔn)線相切10．（4分）如圖，某市規(guī)劃在兩條道路邊沿，之間建造一個(gè)半橢圓形狀的主題公園，其中為橢圓的短軸，為橢圓的半長軸．已知，，．為使盡可能大，其取值應(yīng)為（精確到A． B． C． D．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）圓心為且過原點(diǎn)的圓的方程是．12．（5分）已知直線，．若，則實(shí)數(shù)．13．（5分）在正三棱柱中，，則直線與所成角的大小為；直線到平面的距離為．14．（5分）設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)是，，點(diǎn)在雙曲線上，則；若為銳角，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是．15．（5分）如圖，在正方體中，過的平面分別交，于點(diǎn)，．給出下列四個(gè)結(jié)論：①四邊形一定是平行四邊形；②四邊形可能是正方形；③四邊形為菱形時(shí)，其面積最小；④四邊形為矩形時(shí)，其面積最大．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（10分）從2位女生，4位男生中選出3人參加垃圾分類宣傳活動(dòng)．（Ⅰ）共有多少種不同的選擇方法？（Ⅱ）如果至少有1位女生入選，共有多少種不同的選擇方法？17．（15分）如圖，在長方體中，，，點(diǎn)在上，且．（Ⅰ）求直線與所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角的余弦值．18．（15分）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，且離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，求的值．19．（15分）設(shè)，為兩定點(diǎn)，，曲線是到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)組成的集合．（Ⅰ）判斷的中點(diǎn)是否在曲線上；（Ⅱ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線的方程，并討論曲線的形狀．20．（15分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為平行四邊形，，．點(diǎn)在上，且平面．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．21．（15分）已知橢圓，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）已知兩點(diǎn)，．記直線的斜率為，直線的斜率為，求的值．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合方向向量的定義，求出直線的斜率，再結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解．【解答】解：直線的一個(gè)方向向量為，直線的斜率，直線的傾斜角為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的傾斜角，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的規(guī)律：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，第三坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，即可求得答案．【解答】解：由題意，關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，第三坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，從而有點(diǎn)，5，關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，5，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題以空間直角坐標(biāo)系為載體，考查點(diǎn)關(guān)于面的對(duì)稱，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，可得．即可得到拋物線的準(zhǔn)線方程．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，．拋物線的準(zhǔn)線方程為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】求出兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心距，即可判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系．【解答】解：圓的圓心，半徑為1；圓圓心坐標(biāo)，半徑為：3，兩個(gè)圓的圓心距為：2，又兩個(gè)圓的半徑差為：，兩個(gè)圓的位置關(guān)系是內(nèi)切．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判斷，基本知識(shí)的考查，基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理即可求解．【解答】解：的展開式中含的項(xiàng)為，則的系數(shù)為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】平面，為直線與平面所成的角，在中，求出，即可得到直線與平面所成角的大小．【解答】解：連接，由長方體，可得平面，所以在平面的射影為，所以為直線與平面所成的角，由，，可得，，在中，，所以直線與平面所成角的大小為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角的求法，屬基礎(chǔ)題．7．【分析】通過橢圓與雙曲線的焦距關(guān)系，推出，關(guān)系，然后求解雙曲線的漸近線方程．【解答】解：橢圓，雙曲線，其中．與的焦距之比為，可得，可得，所以雙曲線的漸近線方程：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．8．【分析】先將4人分成3組，其中一組有2人，然后將3個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行排列，即可完成這個(gè)事件，進(jìn)而可得到結(jié)果．【解答】解：先將4人分為3組，其中一組有2人，另外兩組各1人，共有種分法，然后將3個(gè)項(xiàng)目全排列，共有種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的分配方案共有種，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合，涉及分步乘法計(jì)數(shù)原理，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】設(shè)拋物線的方程，可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)的橫坐標(biāo)，由題意可得的值，進(jìn)而求處以為直徑的圓的半徑，再求的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得中點(diǎn)到軸的距離等于半徑，所以以為直徑的圓與軸相切．【解答】解：由題意設(shè)拋物線的方程為：，則焦點(diǎn)，，準(zhǔn)線方程為：，設(shè)，，由題意可得，所以以為直徑的圓的半徑，而的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以可得以為直徑的圓必與軸相切，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用與直線與圓相切的性質(zhì)，屬于中檔題．10．【分析】由題意得，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使橢圓為標(biāo)準(zhǔn)的方程，由題意得橢圓的短軸長，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，橢圓的長半軸最大，由題意知直線的斜率為1，可得直線的方程，設(shè)橢圓方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，使判別式等于零時(shí)，長軸長最長．【解答】解：由題意設(shè)建立坐標(biāo)系，所在的直線為軸，以所在的直線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意得橢圓的，設(shè)橢圓方程：，由，，直線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為3，由題意設(shè)直線為：，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，橢圓的長半軸最大，聯(lián)立直線與橢圓的方程整理得：，△，即，解得：，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．【分析】求出圓的半徑，即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：圓心為且過原點(diǎn)的圓的半徑為：．所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解答此題的關(guān)鍵是求出圓的半徑，是基礎(chǔ)題．12．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合兩直線垂線的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：直線，且，，解得．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】由，得到為直線與所成角，由此能求出直線與所成角的大小；作，推導(dǎo)出平面，平面，從而即為直線到平面的距離，由此能求出結(jié)果．【解答】解：如圖，在正三棱柱中，，為直線與所成角，，，作，平面平面，平面平面，平面，，且平面，平面，平面，即為直線到平面的距離，直線到平面的距離為．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角、直線到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．14．【分析】利用雙曲線的定義求解第一空；由題意畫出圖形，以在雙曲線右支為例，求出為直角時(shí)的縱坐標(biāo)，可得為銳角時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．【解答】解：雙曲線，可得，，，由雙曲線定義可知．不妨以在雙曲線右支為例由，得，又，①兩邊平方得：，，②當(dāng)為直角時(shí)，，解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，此時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是，，．故答案為：；，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查雙曲線定義的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．15．【分析】根據(jù)正方體的幾何特征及面面平行的性質(zhì)即可判斷①；若四邊形可能是正方形，則，證明不成立，即可判斷②；以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出點(diǎn)到的距離，根據(jù)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分別求出當(dāng)面積最小和最大時(shí)四邊形的形狀，即可判斷③④．【解答】解：對(duì)于①，在正方體中，平面平面，又平面，平面，且，，所以，同理，所以四邊形一定是平行四邊形，故①正確；對(duì)于②，設(shè)正方體的棱長為2，若四邊形可能是正方形，則，分別為，的中點(diǎn)，，，并不滿足，即不成立，故四邊形不可能是正方形，故②不正確；對(duì)于③如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，2，，，，正方體的棱長為2，則，2，，，0，，則，，，，，，則，，所以，所以點(diǎn)到的距離，當(dāng)時(shí)，四邊形面積最小，此時(shí)四邊形為菱形，故③正確；當(dāng)或2時(shí)，四邊形面積最大，此時(shí)四邊形為矩形，故④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何體的截面圖形的形狀與面積的最值問題，屬中檔題．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，利用組合數(shù)公式計(jì)算可得答案；（Ⅱ）根據(jù)題意，利用間接法分析，計(jì)算“選出的3人中沒有女生”的數(shù)目，分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，從2位女生，4位男生中選出3人參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，是組合問題，其選擇方法數(shù)為，（Ⅱ）根據(jù)題意，從6人中選出3人，其中沒有女生入選的選擇方法數(shù)為，所以至少有1位女生入選的選擇方法數(shù)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，（Ⅱ）注意間接法的使用，屬于基礎(chǔ)題．17．【分析】（Ⅰ）以為原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出，，利用空間向量的數(shù)量積求解直線與所成角的余弦值即可．（Ⅱ）求出平面的法向量，平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）以為原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1分）則，0，，，1，，，3，，，3，，，3，．所以，．（4分）所以．（7分）所以直線與所成角的余弦值為．（Ⅱ）因?yàn)椋O(shè)平面的法向量為，，，則即（9分）令，則，．于是，2，．（11分）顯然是平面的一個(gè)法向量．（12分）因?yàn)椋?5分）所以二面角的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，二面角以及異面直線所成角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．18．【分析】由已知頂點(diǎn)以及離心率求出，的值，進(jìn)而可以求出的值，即可求解；聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用弦長公式以及韋達(dá)定理即可求解．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為．由題意得解得，所以橢圓的方程為．（Ⅱ）由得，由△，解得，設(shè)，，，，則，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，，“”等價(jià)于“”，所以，解得，符合題意，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及到弦長公式以及垂直問題，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．19．【分析】（Ⅰ）依題意，根據(jù)的取值進(jìn)行判斷即可；（Ⅱ）以點(diǎn)，所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系．曲線上任意一點(diǎn)為，即可得到，再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式整理即可．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)的中點(diǎn)為，則．所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在曲線上；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不在曲線上；（Ⅱ）以點(diǎn)，所在的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系．所以，．設(shè)曲線上任意一點(diǎn)為，由題意知．所以．整理得．經(jīng)檢驗(yàn)，曲線的方程為．當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為．所以曲線的形狀是直線．當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為．所以曲線的形狀是以為圓心，為半徑的圓．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的軌跡方程求解，主要涉及圓的軌跡方程，屬于中檔題．20．【分析】（Ⅰ）證明．．即可證明平面．然后推出．（Ⅱ）取中點(diǎn)，連接．以為原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系通過，求解即可．（Ⅲ）由（Ⅱ）得，求出平面的法向量，利用點(diǎn)線面距離求解點(diǎn)到平面的距離．【解答】（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫妫裕?分）因?yàn)槠矫妫裕?分），，平面，所以平面．（3分）所以．（4分）（Ⅱ）解：取中點(diǎn)，連接．由（Ⅰ）得四邊形為菱形，所以．因?yàn)椋裕?分）因?yàn)椋瑑蓛苫ハ啻怪保詾樵c(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（6分）則，0，，，，，0，．所以．設(shè)，其中．（7分）所以．（8分）因?yàn)槠矫妫裕矗?分）所以．解得，即．（10分）（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得．（11分）因?yàn)椋O(shè)平面的法向量為，，，則即令，則，于是．（13分）所以點(diǎn)到平面的距離為．（15分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．21．【分析】（Ⅰ）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，推出．②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為．聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式，轉(zhuǎn)化求解即可．（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不