第五章平面向量與復數

5.1平面向量的概念及線性運算

課程標準?有的放矢

1.通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景，理解平面向

量的意義和兩個向量相等的含義.

2.理解平面向量的幾何表示和基本要素.

3.借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運算及運算規則,

理解其幾何意義.

4.通過實例分析，掌握平面向量的數乘運算及運算規則，理解其幾何意義.

理解兩個平面向量共線的含義

5.了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義.

必備知識溫故知新

【教材梳理】

1.向量的有關概念

名稱定義說明

向量在數學中，我們把既有垃又有左包的量叫平面向量是自由向量

做向量

有向線段具有方向的線段叫做有向線段，向量可以用有向線段包含三個要素：起

有向線段表示，也可用字母Q力,C,...表示點、方向、長度

向量的模向量荏的大小稱為向量近的長度（或稱向量的模是數量

模），記作畫

零向量長度為止的而基叫做零向量，記作0

單位向量長度等于1個單位長度的向量,叫做單位向a是非零向量，則±合是單

旦lal

里位向量

平行向量（共線方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,規定：零向量與任意向量平

向量）平行向量也叫做共線向量行

相等向量長度相等且方向蛔的向量叫做相等向量兩向量可以相等也可以不相

等，但不能比較大小

相反向量與向量a長度相等,方向相反的向量,叫做。的相反向量仍是o

a的相反向量，記作-a

2.向量的線性運算

運

定義法則（或幾何意義）運算律（性質）

算

B

交換律：a+b=b+a,并規定：a+Q=

求兩個向

加0+a=a；結合律：a+（b+c）=

量和的運

法（a+b）+c；\a+b\<\a\+\b\，當且僅

算

當a力方向相同時等號成立

平行四邊形法則

求兩個向

減

量差的運a—b=a+(—b)

法

算

求實數aMa|=Bilal：設A,/ZGR,則

數與向量aA(jia)-；

其方向：240時，與a方向擔

乘的積的運(A+g)a=(a+；

回；4V0時，與a方向相反;

算A(a+b)=Aa+Ab

4=0時，Aa=0

3.向量共線定理

向量a(aH0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數4,使b=/la.

【常用結論】

4,加法運算的推廣

(1)加法運算的推廣：溫+石羽+…+「…==瓦C.

(2)向量三角不等式：||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|.兩向量不共線時,

可由“三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”知

“V”成立；兩向量共線時，可得出“二”成立(分同向、反向兩種不同情

形).

5.線性運算重要結論

⑴若P為線段AB的中點，。為平面內任一點，則而=3瓦5+而).

(2)若G為△4BC的重心，則刀+林+元=0.

(3)若成=；1而+〃沆(人從為實數)，則點力，B,C共線的充要條件

是4+〃=1.

(4)如圖，△4BC中,BO=m,CD=九,則而=」一而+2-彳？，特別地,。

m+nm+n

為BC的中點時(m=n),AD=^AB+^AC.

A

自主評價牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內畫“J”，錯誤的畫“X”.

（1）相等向量的起點和終點分別相同.（義）

（2）|a|與網是否相等與a,b的方向無關.（J）

（3）零向量與任一向量平行.（J）

（4）若向量荏與向量就是共線向量，則A,B,C,。四點在一條直線

上.（X）

（5）當兩個向量a,b共線時，一定有b=/laQWR）,反之亦成立.（X）

2.（教材習題改編）下列說法正確的是（D）

A.單位向量都相等B.若Q〃b,則|a|=|b|

C.若|a|=網，則a=bD.若a=Xbf^bH0）,貝

［解析I解：對于A,單位向量的模長相等，但方向不一定相同，所以錯誤；

對于B,當Q〃b時，其模長向與網不一定相等，所以錯誤；

對于C,當|a|=|b|時，不一定有。=6,因為a=b需|a|=|可且a與。同

向，所以錯誤；

對于D,a=。0）,則。〃力，D正確.故選D.

3.【多選題】（教材題改編）對于向量Q力有下列表示，其中向量a,b一定共

線的有（ABC）

A.a=2e,b=-2eB.a=—e2=—2ex+2e2

21

C.a=—-e2,b=——e2D.a=+e2,b=2e1—2e2

［解析懈：對于A,a=-b.

對于B,Q=--b.

2

對于C,a=4b.故A,B,C符合題意.

1=27

對于D,若a=2b,0盧2不共線，則一‘無解，不合題意.

（1=一2九

故選ABC.

4.（教材題改編）在等腰梯形ABCD中，AB=2DCfE.F分別為AD,BC的中

點，G為EF的中點，則彳5=（B）

A.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

84822448

［解析］解：由題意，AG=AE+EG=-AD+-EF=-AD+DC)=

2224'z

工而+?南.故選B.

28

核心考點精準突破

考點一平面向量的基本概念

例1

（1）下列命題正確的是（B）

A.任一向量與它的相反向量都不相等

B.長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量

C.平行且模相等的兩個向量是相等向量

D.若a。b,則|a|。\b\

［解析I解：零向量與它的相反向量相等，A錯；由相等向量的定義知，B正確;

兩個向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平

行四邊形/8C。中，隔而,=\CD\,但宿工而，故C錯；a*

b,可能兩個向量模相等而方向不同，D錯.故選B.

（2）在△ABC中，點。，E分別為邊AB,AC的中點，則如圖所示的向量

中，相等向量有（A）

A

A

BL------------

A.1組B.2組C.3組D.4組

［解析］解：由相等向量的定義可知，題圖中只有一組向量相等，即方=瓦5.故

選A.

【點撥】準確理解向量的概念，請特別注意以下兒點:①?！?，有Q與b方

向相同或相反兩種情形;②向量的模與數的絕對值有所不同，如|a|=|b|#a=

土b;③零向量的方向是任意的，并不是沒有，零向量與任意向量平行;④對于任

意非零向量強是與。同向的單位向量，這也是求單位向量的方法:⑤向量平

|Q|

行，其所在直線不一定平行，兩向量還可能在一條直線上;⑥只要不改變向量a

的大小和方向，可以自由平移a,平移后的向量與a相等，所以線段共線與向

量共線是有區別的，當兩向量共線且有公共點時，才能得出線段共線，而向量

的共線與向量的平行是一致的.

變式1.

（1）下列命題正確的是（D）

A.若向量a〃b,則a與b的方向相同

B.若向量a〃b,b//c,則a〃c

C.若兩個單位向量互相平行，則這兩個單位向量相等

D.若向量a=b,b=ct則a=c

［解析J解：對于A,向量?！╞,不能得到。與b的方向相同，故A錯誤;對于

B,向量,b//c,可能b=0,此時不能得到a〃c,故B錯誤;對于C,

兩個單位向量相互平行，可能方向相反，此時不能得到兩個向量相等，故C錯

誤;對于D,根據向量相等的知識可知D正確.故選D.

（2）在如圖所示的向量Q力,c,d,e中（小正方形的邊長為1）,分別寫出滿

足下列關系的向量：

（I）是共線向量的有a和d,e和力;

（II）方向相反的向量有a和d,b和e；

（III）模相等的向量有摳二.

［解析］（I）a//d,e//b,故Q和d,e和b是共線向量.（II）Q和d,b和e

是方向相反的向量.（Ill）由勾股定理可得，模相等的向量有a,c,d.故填（I）

a和d,e和b；（II）a和d,b和e；（HI）a,c,d.

考點二平面向量的線性運算

例2

(1)「2022年新高考I卷1在△ABC中，點。在邊A8上，BD=2D4.記石？=

m,CD=nt則方=(B)

A.3m—2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

［解析］解：如圖，因為而=褊+而=刀+：麗=已？+：(而一而)=g?+

(2)如圖，AB是圓。的一條直徑，C,D是半圓弧的兩個三等分點，則荏=

A.AC-ADB.2AC-2ADC.AD-ACD.2AD-2AC

［解析］解：因為C,。是半圓弧的兩個三等分點，所以且48=

2CD,所以說=2CD=2(AD-AC)=2AD-2AC.故選D.

(3)［2023屆廣東高三上開學聯考］在平行四邊形A8CZ)中，點E,F分別滿足

DE=^EC,RF=|FD,若荏=a,AD=bf則加=(A)

A.-a--bB.-a--bC.-a--bD.-a--b

124124124124

［解析I解：如圖，因為在平行四邊形ABC。中，點E,F分別滿足屁=］沅，

BF=-FD,

3

DE

所以麗=XF-AE=(AF+FF)-+DE),BF=^BD=：(而一而)=

：(b—CL)?所以EF=[a+](b—a)]—(b+[Q)=a—[力.故選A.

【點撥】進行向量的線性運算時，要盡可能轉化到平行四邊形或三角形

中，選用從同一頂點出發的基本向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運

算及數乘運算規則進行運算.

變式2.

(1)[2020年新高考II卷]在△ABC中，。是月8邊上的中點，貝1」而=(C)

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

[解析I解：CB=CA+AB=CA+2AD=CA+2(CD-~CA)=2CD-CA.故選

C.

(2)【多選題】如圖，在梯形A80C中，AB//CD,\AB\=2\CD\,AD^BC

相交于點0,則下列結論正確的是(ABC)

A.AD-AC=-ABB.AB+BC+'CD+DA=0

2

C.\0A+20D\=0D.OA=|DC+/

[解析J解:對于A,而一而=而=g何，所以A正確；

對于B,荏+正+而+石5=0正確，所以B正確；

對于Cq?△0B4,所以竺二竺=工，即歷=一工瓦5,所以

ABOA22

\6A+20D\=|aX-o7|=|o|=o,所以c正確；

對于D,耐=|礪=：(而+/)=：(而+2沆)=|DF+IDC,故D不正

確.故選ABC.

(3)如圖，在平行四邊形4BCD中，荏=4FC,BE=2EC,AE=aAB+

［解析］解：由題意可得，荏=而+而=而+：尻=前+：而=荏+

2（彳7+2瓦5）=乙而+2而，所以。=工，b=-,所以Q—b=—工.故選B.

3\4/23236

考點三向量共線定理及其應用

命題角度1向量共線問題

例3［2022屆江西南昌月考］已知向量a力不共線，若ka—b與a+2b共線，

則實數k的值為（B）

A.-1B.--C.1D.2

2

［解析］解：因為kQ—b與g+2。共線，所以存在唯一實數4,使ka—b=

A（a+2b）,

所以解得k=2=-1故選B.

【點撥】a//boa=Ab（bH0）是判斷兩個向量共線的主要依據，注意待

定系數法和方程思想的應用；若a與b不共線且4a=曲，則入=〃=0.對于兩

個向量共線定理（a（a豐0）與b共線=存在唯一實數;I使得。=/la）中條件

“a。?！钡睦斫猓孩佼攁=0時，a與任一向量。都是共線的；②當a=0且

時，b=4a是不成立的，但a與b共線.因此，為了更具一般性，且使充

分性和必要性都成立，我們要求aH0.換句話說，如果不加條件“aH0”，

“a與b共線”是“存在唯一實數2使得b=Aa”的必要不充分條件.

變式3.已知向量a,b,c中任意兩個都不共線，但Q+b與c共線，且b+c

與a共線，則向量a+b+c=Q.

［解析］解：依題意，設a+b=/nc,b+c=na,則有（a+b）—（b+c）=

me-na,即a—c=me—九a.又Q與c不共線，于是有m=-1,n=-1,

a+b=-c，a+b+c=0.故填0.

命題角度2三點共線問題

例4設a,b是不共線的兩個平面向量，已知所=Q+kb,而=2a—b.若

P,Q，R三點共線，則實數k的值為(A)

A.--B.-C.-2D.2

22

［解析］解：若P,Q,R三點共線，則訪=/l漉=a+kb=；l(2a—b)=

［二■所以k=一(故選A.

【點撥】三點共線問題可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共

線的區別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線.

變式4.設a力是不共線的兩個向量，已知瓦5=a+2b^BC=4a-4b,CD=

一Q+2b,則(D)

A.A,B,。三點共線B.B,C,。三點共線

C.A,B,C三點共線D.A,C,D三點共線

［解析I解：因為瓦5=a+2b,BC=4a-4b,CD=-a+2b,所以n=

AB-}-BC=3a-6b=-3(-a4-2b)=-3CD,所以品，而共線，又前與

前有公共點C,所以4,C,。三點共線.故選D.

考點四向量共線性質的應用

例5

(1)已知刀=；而+亡正，若A,B,C三點共線，則黑為(C)

3\AC\

221

A.-B.-C.-D.2

352

［解析懈：因為瓦？=|而+tPC,且A,B,C三點共線，則|+￡=1,解得

t=-,即西=2而+三而，即2(百一而)=白(無一百)，即2瓦？=元，

33333

嚼H?故選。

(2)如圖，平行四邊形A8CD的對角線相交于點。，過點。的直線與4B,AD

所在直線分別交于點M,N,若而=加折，AN=nAD(m>Ofn>0),則:

的最大值為(B)

［解析］解：因為而=：存+：而，又而=根而？，AN=nADf故可得而=

-AM+-AN,又O,M,N三點共線，故可得”+工=1,即租+三=2.故土=

22n22nnn

mx+-)=1，當且僅當m=n=1時取得最大值.故選B.

n4\nJ

【點撥】①若次=a而+〃沅(，〃為實數)，則4,B,C共線

o4+〃=l;②要靈活使用性質，即要會變換系數(配湊)或拆分(組合)向

量，使之與上述形式一致;③0是任一點.

變式5.

(1)［2023屆河南名校聯盟高三上9月聯考］已知△ABC的邊BC上有一點

D,滿足而=mAB+2mAC,則?n=(C)

A.1B.-C.-D.-

234

［解析］解：直接應用性質得m+2m=l=m=(或者：因為。是BC上任一

點，所以存在唯一實數;1(04/IE1),使麗=/I三，所以而一而=2近一

XAB，所以而=AAC+(1-A)AB.

因為而=mAB+2mAC,所以曰=解得m=L故選C.

(2)點M為△4BC所在平面內一動點，且M滿足：病=/而+

|(1-A)^4C,\AC\=3,4=；,若點M的軌跡與直線48,4c圍成封閉區域

的面積為4，則|BC|=3.

［解析懈:如圖,設而=：而，AE=1AC,則|陽=2.

4

D,

E

B

因為M滿足而7=iAAB+1（1-A）AC，所以前=AAD+（1-A）AE,所以

M,D,E三點共線，所以M點軌跡為直線.

因為點M的軌跡與直線48,AC圍成封閉區域的面積為苧,所以翔0|?

\AE\sinA=^-t即與皿?2sin1=苧,所以|4D|=1,即|48|=3.所以

\AB\=\AC\，所以△ABC為等邊三角形，所以|BC|=3.故填3.

課時作業知能提升

【鞏固強化】

1.給出下列命題，其中正確的為（B）

A.兩個具有公共終點的向量一定是共線向量

B.兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小

C.Au=0（4為實數），貝I」，必為零

D.%/為實數，若4a=,則a與b共線

［解析］解：因為兩個向量終點相同，起點若不在一條直線上，則不共線，命題

錯誤；由于兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小，因此命題正確；

若4a=0（2為實數），則。也可以為0,因此命題錯誤；若；1/為0,盡管有

=則a與b也不一定共線，即命題錯誤.故選B.

2.己知四邊形4BC0,。為任意一點，若57-麗=麗一方，那么四邊形

ABCD的形狀是（B）

A.正方形B.平行四邊形C.矩形D.菱形

［解析］解：因為初一而=而一沅，所以瓦5=瓦，所以B4〃C0,且84=

CD.所以四邊形48co是平行四邊形.故選B.

3.0是△4BC的邊上的中點，則向量而=（A）

A.-'BC-^-BAB.-BC--BAC.BC--BAD.BC+-BA

2222

［解析］解:如圖，麗=方+茄=方+［瓦5=—方+］瓦？.故選A.

C

ADB

4.己知向量a,b不共線，c=ka+b(k€R),￡￡=。一辦.如果以/d，那么

(D)

A.k=1且c與d同向B.k=1且c與d反向

C.k=—1且c與d同向D.k=—1且c與d反向

［解析］解：因為以/d,所以存在實數2,使得c=4d,即Aa+b=2(a-b),

所咪二;,解彳峭二；’此時―d反向?故選D.

5.設a,b是非零向量，則“存在實數，使得a=4b”是“|a+b|=|a|+

\b\"的（B）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

［解析［解：存在實數4,使得Q=，＞,說明向量a力共線，則a力向向或反

向；|a+b|=|a|+|b|,則a力同向.故“存在實數4,使得a=2b”是

(i\a+b\=|a|+\b\"的必要不充分條件.故選B.

6.向量a力,e-?，如圖所示，則Q-b=(C)

A.2e1一4。2B.-_2e?C.e1—3e?D.3e1—e?

［解析］解：如圖，連接向量a,b的終點并指向a的終點，于是得a-b,觀察圖

形得Q-b=et-3e2.

故選C.

7.［2023屆湖北“宜荊荊恩”高三起點考試］在△4BC中，。是BC邊上的點,

且前二2族，設而=+y就，則％-y=-g.

［解析］解：由題意知。是BC邊上的點，且麗=2DC,

12

--

則而=屈+前=通+河33

所以％—y=1—|=—1.故填--.

8.如圖，在已知AOAB中，點。在線段08上，且00=208,延長84到C,

使B4=AC.設或=a,OB=b.

B

(1)用a,b表示向量。？，反；

［答案］解：因為4為BC的中點，所以瓦5=1西+方)，可得灰=2罰一

OB=2a—bt

而方=OC-OD=OC--OB=2a--b.

33

(2)若向量沅與M+/c沆共線，求k的值.

［答案］由(1)得，0A+kDC=(2k+l)a-|/cb,

因為沆與面+誦？共線，設沅=4(耐+k反)，

即2a-b=k(2k+l)a-^Xkb,

(2=A(2/c+1),

根據平面向量基本定理，得1,

(-1=一51

解得J.

4

一里辮用】一

9.已知△ABC和點M滿足加+MF+MC=0.若存在實數m使得前=

m(而+正)成立，則zn=(C)

A.1B.-C.-D.i

234

［解析I解：由拓？+而+就=0可得加+加+而+拓5+近=0,故

3MA=-AB-AC,所以前=：（南+而），故m=g.故選C.

10.直角三角形ABC中，斜邊BC長為2,0是平面ABC內一點，點P滿足而=

OA+^（AB+AC），貝川麗|=（A）

A.1B.2C.-D.3

2

OP=OA+^（AB+AC}^>OP=OA+AD^>OP-OA=A^^AP=ADf因

此|而|=|而|=1.故選A.

11.在△ABC中，D,E為BC邊上的兩個動點，且滿足荷+荏=》而+

yAC,則工+工（D）

xy

A.有最小值4B.有最大值4C.有最大值2D.有最小值2

［解析］解：設尸為DE的中點，如圖所示.

則而+荏=2而，所以2萬=%而+丫而，即而=：屈+：彳？.

又因為B,C,F三點共線，且F在線段上，

所以匯>0,y>0,且:4-^=1,

所以工+工=仁+工）仔+'+f+*1+2區?f=2,當且僅當

xy\xy）\22/22x2y2J2x2y

X=y=1時，等號成立.故選D.

12.已知4,B,C是不在同一直線上的三點，0是平面4BC內一定點，P是平

面A8C內一動點，若而一瓦？=A(方+：近)/6(0,+8),則點P的軌跡必

過△48C的(C)

A.外心B.內心C.重心D.垂心

［解析］解：設BC的中點為D,則而一瓦5=；［(瓦+微記)=2(而+而)，所

以Q=a而，40是△力的中線，點P的軌跡必過的重心.故選C.

13.【多選題】已知的面積為3,在△4BC所在的平面內有兩點P,Q,

滿足05+2同=0,QA=2QBf記△4PQ的面積為S,則下列說法正確的是

(BD)

A.PB//CQB.~RP=^BA+^BC

C.R4PC>0D.S=4

［解析］解:由瓦？+2無=0,QA=2QB,可知點P為4c的三等分點，點Q為

4B延長線的點，且B為力Q的中點，如圖所示.

對于A,點P為4c的三等分點，點B為力Q的中點，所以P8與CQ不平行，故

前

22前12

對+-=+---+-

B,3333

正確.

對于C,,港.萬=|港||玩|COSTT=同I?|玩|V0故C錯誤.

對于D,設△ABC的高為無，則△APQ的高為gh.S—Bc=3伏引九=3,即

\AB\h=6,則4APQ的面邠up。=1\AQ\x|h=1x2\AB\x|h=1x6=

4,故D正確.故選BD.

【拓廣探索】

14.我國人民早在幾千年前就已經發現并應用勾股定理了，勾股定理最早的證明

是東漢數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦

圖”.“趙爽弦圖”是數形結合思想的體現，是中國古代數學的圖騰，還被用作

第24屆國際數學家大會的會徽.如圖，大正方形4BC0是由4個全等的直角三角

形和中間的小正方形組成的，若方=。,而=力，E為8F的中點，則族=

(A)

4224

C.-a+-bD.-a+-b

3333

［解析I解：設BE=mMAE=BF=2BE=2m,在Rt△ABE中，可得4B=

y/Sm.

如圖，過點E作￡7/_L48于點H,

AH=J（2〃i）2_（等.J=等〃i.

所以,HE=|AO.

所以荏=麗+屜=（荏+：而=（a+|b.

另解：AE=AB+~BE=AB=AB+^（AD-^AE）=AB+^AD-

-AE,移項整理得荏=±荏+三而=&a+?b.故選A.

45555

5.2平面向量基本定理及坐標表示

課程標準?有的放矢

1.理解平面向量基本定理及其意義.

2.借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示.

3.會用坐標表示平面向量的加、減運算與數乘運算.

4.能用坐標表示平面向量共線的條件.

必備知識溫故知新

【教材梳理】

1?平面向量基本定理

如果ei?2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一

向量a,有且只有一對實數;11，%，使Q=入。1+%e?.我們把｛0,0｝叫做

表示這一平面內所有向量的一個基底.

2.平面向量的正交分解及坐標表示

(1)平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個立1睡直的向量，叫做

把向量作正交分解.

(2)線性運算的坐標表示

名稱文字敘述符號表示

加法兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量若a=,b=(x2,y2)，則a+

相應坐標的和b=G]+孫+y?)

減法兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量若Q=(%i，%)，b=(x2,y2)，則a-

相應坐標的差b=d-一y?)

兩點構成的一個向量的坐標等于表示此向量的有向若AQi，yi)，8(應/2)，則荏=

向量坐標線段的終點的也標減去起點的坐標

Cx2-xA.y2-Vi)

數乘實數與向量的積的坐標等于用這個實數若a=(x,y),ZGR,則入a=

塞原來向量的相應坐標Qx,Ay)

(3)平面向量共線的坐標表示：設a=,b=(x2ly2)，其中b*0,

向量Q力共線的充要條件是匕為一不當=0-

【常用結論】

3?平面向量基本定理的推論

(1)設0=+%02/=入3。1+羽e2al，入2，義3，及WR)，且,。2不共

線，若a=b，則心=23且％=兒.

(2)若a與b不共線，且4a+=0，則2=〃=0.

(3)教材例1推論:

①已知平面上點。是直線I外一點，4,B是直線I上給定的兩點，則平面

內任意一點P在直線，上的充要條件是：存在實數￡,使得加=（1-。65+

t麗.特別地，當亡=三時，點P是線段48的中點.

②對于平面內任意一點0,P,4,8三點共線=存在唯一的一對實數4,

〃，使得次=AOA+iiOB，且;I+〃=1.

4.重要坐標公式

己知△4BC的頂點4（%1，兒）,8（%2，丫2）。（%3，丫3），則線段的中點坐標為

牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內畫“J”，錯誤的畫“X”.

（1）平面內的任何兩個向量都可以作為一組基底.（X）

（2）若a,b不共線，且入"+4速=，則心=的，41=%?（J）

（3）平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內的任何一個向量都可

被這組基底唯一表示.（V）

（4）若a=（/,%），b=（%2，為），則0〃辦的充要條件是"=-.（X）

xzyz

（5）向量的坐標就是向量終點的坐標.（X）

2.設名，。2是平面內不共線的兩個向量，則以下各組向量中不能作為基底的是

（C）

A.et+2e2與與+2etB.e2與-e2

C.ex—2e2與4?—2etD.—e2與+e2

［解析1解：因為修，々是平面內不共線的兩個向量，

對于A,因為01+20與62+2%不共線，故可以作為基底；

對于B,因為02與02不共線，故可以作為基底；

—

對于C,因為?1—2e2=~（4c2—2。1）,故—2e2與4e2-2e1共線，不可

以作為基底；

對于D,因為Cl-?與%+。2不共線，故可以作為基底.故選c.

3.(教材練習改編)已知點/(一1,1),B(L2),C(-2,-l),D(3,4),則2荏+

CD=(A)

A.(9,7)B.(7,6)C.(1,5)D.(0,3)

［解析I解：依題意得四=(2,1),CD=(5,5),所以2存+CD=2(2,1)+

(5,5)=(9,7).故選A.

4.(教材題改編)已知向量a=(1,-2),b=(-l,m),若a”b,則m的值為

(C)

A.1B.-1C.2D.-2

［解析I解：由向量a=(L-2),b=(-l,zn),a//b,可得Ixm-(-2)x

(-1)=0，解得m=2.故選C.

核心考點

考點一平包向量典當標運籌

例1設0(0,0),4(0,3),8(6,0),BP=-2AP,則西=(B)

A.V5B.2>/2C.2V5D.717

［解析懈：設P(%y)，則加=(%-6,y),而=(%y-3),因為麗=一2而，

所以(%-6,y)=-23y-3),

所叫;二.片解得仁;:即P(2.2)‘

則加=(2,2),\OP\=V22+22=2V2.故選B.

【點撥】平面向量坐標運算的技巧：①向量的坐標運算常建立在向量的線性運

算的基礎之上，若已知有向線段兩端點的坐標，則應考慮坐標運算；②解題過

程中，常利用“向量相等，則其坐標相同”這一原則，通過列方程(組)進行

求解.

變式1.設點4(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且而=2AB-3BCf則點0的坐

標為(2.16).

［解析［解：由題意，可得而=(3,1),近=(1,-4),

所以2荏-3近=(3,14).

設點。的坐標為(x,y),則而=(%4-l,y-2),

可得臚二4解得仁：6,

所以點。的坐標為(2,16).故填(2,16).

考點二平面向量基本定理及其應用

例2

(1)［2023屆河北衡水部分學校高三9月聯考］在△ABC中，。為BC的中

點，E為4c上一點，且荏=3前，若屁=A與+〃前，則入+2〃=(A)

A.0B.1C.-D.-1

2

［解析］解：因為。為BC的中點，所以而=乂而+而).

又因為荏=3前，所以荏=，近，屁=而一而=：而一:(而+而)=

--AB+-AC，

24

則4=一,所以4+2〃=0.故選A.

(2)已知而與前的夾角為90°,|荏|=2,|波|=1,AM=AA§+

〃前Q,〃WR),且宿?前=0,則'的值為;.

［解析］解：根據題意，建立如圖所示的平面直角坐標系，

則4(0,0),8(0,2),C(l,0),所以荏=(0,2)，AC=(1,0)，BC=(1,一2).設

M(>,y),則前一(x,y),所以獺?瓦一(陽y)?(l,-2)一乂一2、一0,即

x=2yf又^?=XAB+pAC,即(%,y)=4(0,2)+“(1,0)=(/z,2A),所以％=

〃，y=2A,所以=1故填

【點撥】應用平面向量基本定理應注意平面向量基本定理中的基底必須是兩個

不共線的向量.選定基底后，通過向量的加、減、數乘以及向量平行的充要條

件，把相關向量用這一組基底表示出來.

變式2.

(1)［2023屆浙江嘉興高三上9月測試］在平行四邊形力BCD中，點E,尸分

別在邊BC,CD上，且屁=2EC,CF=3FD,記而=a,AD=bf則

EF=(A)

A.--a+-￡)B.-a+-bC.-a--bD.--a+-b

43434343

［解析I解：如圖，因為屁二2前，CF=3FD,所以前=工廢,存=日方.因

34

為在平行四邊形4BC0中，AB=afAD=b,

所以前=正+而=三近+三麗=工而一。荏=一之。+工/>.故選A.

343443

(2)如圖，已知平面內有三個向量07,OB,OC,其中雨與麗的夾角為

120°,OA與坑的夾角為30。，且|瓦?|=\OB\=1,\OC\=2V3,若方=

XOA+liOB^iieR),則a+〃的值為色

［解析I解：(方法一)以2瓦？和〃而為鄰邊作平行四邊形。&G41,如圖，則

OC=西+西.

RtZkOaC中，\0C\=2V3,

所以|西|=2,\B^C\=4,所以|西|=|瓦@=4,所以而=40A+

20B,即；l+〃=6.

(方法二)以。為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則4(1,0),

C(2V3cos30°,2V3sin30°),B(cosl20°,sinl20°).即4(L0),

C(3,何B(一消).

由況=AOA+fiOB=4(1,0)+〃(一'曰)=。一)當〃)，即("孤當〃)=

(3,75),

a-=3,(M—2,

得仁所以即2+〃=6.故填6.

果=AU=4,

考點三共線向量的坐標表示及應用

例3

(1)設平面向量a=(2,1),b=(x,—2),若Q〃b,則|3a+b|=(A)

A.V5B.V6C.V17D.V26

［解析］解：由題意，2x(-2)-x=0,得％=-4,所以3a+b=3(2,1)+

(一4,—2)=(2,1),所以|3a+b|=V22+l2=V5.故選A.

(2)已知梯形48co,其中,4B〃CD,且。C=2AB,三個頂點4(1,2),

8(2,1),C(4,2),則點。的坐標為盤⑷.

［解析I解：因為在梯形4BCD中，DC=2AB,AB//CD,所以反=2AB.設點

D的坐標為(％y),

則反=(4,2)一(3)=(4-x,2-y),

四=(2,1)-(1,2)=(1,-1),

所以(4—%,2—y)=2(1,—1),即(4—%,2—y)=(2,—2),

所以C二;二-2,解得=i故點。的坐標為(2,4).故填(2,4)?

【點撥】兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a=(/,%)，b=

(》2，、2)，則?！╞(b工0)的充要條件是％i、2-=0；②a〃b(Q00)，當

且僅當唯一一個實數4,使b=4a.向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平

行，也可以由平行求參數.當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比

例來求解.

變式3.

(1)已知向量a=(2,tan。)，b=(1,-1),且,WJtanQ_=(B)

A.2B.-3C.3D.-i

3

［解析］解：由題意可得tan。=-2,

則tan(：-9)==一3?故選B.

4

(2)［2023屆廣西高三上開學考試］已知向量屈=(7,6),BC=(-3,m),

AD=(—1,2m),若4,C,。三點共線，則m=-1.

［解析］解：4?=AB+FC=(4,77?+6),

因為4,C,D三點共線，所以前〃前,則2mX4=-(m+6)，解得m=

—|.故填.

思想方法?以數輔形在平面向量中的應用

典例如圖，已知P為邊長為2的正方形ABCO所在平面內一點，則無?

［解析］解：建立如圖所示坐標系,

設P(x,y)，則4(0,0)出(2,0),C(2,2),D(0,2),所以玩=(2-y2-y),而+

PD=(2-X,-y)+(—七2—y)=(2—2x,2—2y),故A??(PB+PD)=

(2-x)(2-2x)+(2-y)(2-2y)=2(x-1)2-i+2(y-1)2-i=

2(“一丁+2(丫一丁一1,所以當*=y時，近.(而+麗)最小，且最小

值為-1.故選A.

【點撥】向量是溝通幾何和代數的橋梁，有垂直背景的試題中，直觀不易處理

時，常可利用向量的正交分解解題，體現出數形結合思想中的“以數輔形”.如

條件中的圖形是矩形（正方形）、等腰（等邊）三角形、等腰或直角梯形等，

因為此時建系確定坐標更為容易.與圓相關的問題則常建好系后利用圓的參數方

程求解.但是要注意靈活應用，不可把簡單問題復雜化.

變式［2020年北京卷］已知正方形4BC0的邊長為2,若點P滿足族=

X而+尼），則麗?麗=二1；若點P在正方形及其內部自由移動，則而?麗

的最小值為二2.

［解析］解：如圖，分別以48/O為光軸，y軸建立直角坐標系，

y

D---------\C

A