專題3.3導數與函數的極值、最值【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據函數圖象判斷極值】 2【題型2求已知函數的極值】 3【題型3根據極值（點）求參數】 4【題型4求不含參函數的最值】 4【題型5求含參函數的最值】 5【題型6已知函數最值求參數】 6【題型7函數單調性、極值與最值的綜合應用】 61、導數與函數的極值、最值考點要求真題統計考情分析(1)借助函數圖象，了解函數在某點取得極值的必要和充分條件

(2)會用導數求函數的極大值、極小值(3)掌握利用導數研究函數最值的方法(4)會用導數研究生活中的最優化問題2022年新課標I卷：第10題，5分2023年新課標I卷：第11題，5分2023年新課標Ⅱ卷：第11題，5分2024年新課標I卷：第10題，6分2024年新課標Ⅱ卷：第11題，6分、第16題，15分導數與函數是高中數學的核心內容，高考對最值、極值的考查相對穩定，是高考常考的熱點內容，從近三年的高考情況來看，高考中常涉及的問題有利用導數解決函數的單調性、極值和最值等；與不等式、方程的根(或函數的零點)等內容結合考查，此類問題體現了分類討論、轉化與化歸等數學思想，此類問題在選擇、填空、解答題中都有考查，而在解答題中進行考查時試題難度較大，復習時需要加強練習.【知識點1函數的極值問題的求解思路】1．運用導數求函數f(x)極值的一般步驟：(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求導數f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函數定義域內的所有根；(4)列表檢驗f'(x)在f'(x)=0的根x0左右兩側值的符號；(5)求出極值.2．根據函數極值求參數的一般思路：

(1)已知函數極值，確定函數解析式中的參數時，要注意：根據極值點的導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解.(2)導數值為0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數法求解后必須檢驗.【知識點2函數的最值問題的解題策略】1．利用導數求函數最值的解題策略：(1)利用導數求函數f(x)在[a,b]上的最值的一般步驟：①求函數在(a,b)內的極值；②求函數在區間端點處的函數值f(a)，f(b)；③將函數f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.(2)求函數在無窮區間(或開區間)上的最值的一般步驟：求函數在無窮區間(或開區間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數的最值.2．求含有參數的函數的最值的解題策略：求含有參數的函數的最值，需先求函數的定義域、導函數，通過對參數分類討論，判斷函數的單調性，從而得到函數f(x)的最值.【方法技巧與總結】1．求最值時，應注意極值點和所給區間的關系，關系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值就是最值.2．函數最值是“整體”概念，而函數極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關系.【題型1根據函數圖象判斷極值】【例1】（2024·云南楚雄·一模）若a>b，則函數y=ax?a(x?b)2的圖象可能是（

）A． B．

C．

D．

【變式1-1】（2024·四川廣安·二模）已知函數fx其中，可以作為函數fx的大致圖象的個數為（

A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-2】（23-24高二下·四川廣元·階段練習）如圖是y=fx的導函數f′xA．當x=?1時，fx取得極大值 B．fxC．當x=1時，fx取得極大值 D．fx在?1,2上是增函數，在【變式1-3】（2024·全國·模擬預測）函數fx=axm3?xn在區間0,3上的圖像如圖，則A．m=2，n=2 B．m=2，n=1 C．m=1，n=2 D．m=1，n=1【題型2求已知函數的極值】【例2】（2024·浙江·模擬預測）函數fx=x?2A．e2?2 B．?2e2?2 【變式2-1】（2024·寧夏銀川·一模）若函數f(x)=x2?ax?2ex在x=?2A．?6e2 B．?4e C．?2【變式2-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數f(x)=4xex?e2x?2ex，A．g(x)的極大值為4eB．g(x)的極小值為4eC．g(x)的極大值為4lnD．g(x)的極小值為4ln【變式2-3】（2024·河南洛陽·模擬預測）已知函數fx及其導函數f′x的定義域均為R，且f′xA．有一個極小值點，一個極大值點 B．有兩個極小值點，一個極大值點C．最多有一個極小值點，無極大值點 D．最多有一個極大值點，無極小值點【題型3根據極值（點）求參數】【例3】（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知函數f(x)=ex?ax2在RA．?∞,e2 B．?∞,【變式3-1】（2024·四川宜賓·模擬預測）已知函數fx=x3+ax2+bx+aA．?4 B．16 C．?4或16 D．16或18【變式3-2】（2024·河北秦皇島·三模）已知0是函數fx=x3+aA．?∞,0 B．0,+∞ C．?【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）已知函數fx=asinx+cosxA．0,22eπ4 B．?【題型4求不含參函數的最值】【例4】（2024·陜西西安·二模）函數f(x)=xx2+1在A．613,?613 B．25,?【變式4-1】（2024·寧夏固原·一模）函數fx=sinx?x+2A．?2π?3,π+1 B．?2π?3,?3【變式4-2】（2024·甘肅蘭州·二模）若關于x的不等式ex+x+2ln1xA．12 B．e24 C．e【變式4-3】（2024·云南·模擬預測）已知函數fx=a2x2?xlnx?b?1A．0 B．1e C．ln2【題型5求含參函數的最值】【例5】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知函數fx=xe(1)求fx在區間?1,1(2)當a≥1時，求證：fx【變式5-1】（2024·山西呂梁·二模）已知函數fx(1)當a=1時，求fx(2)求fx在區間0,1【變式5-2】（2024·重慶·模擬預測）已知函數fx(1)求函數y=fx(2)若a=3，設曲線y=fx與x軸正半軸的交點為P，該曲線在點P處的切線方程為y=gx【變式5-3】（2024·陜西西安·二模）已知函數fx(1)當a=1時，求曲線y=fx在e(2)討論fx在1,(3)是否存在實數a，使得對任意x>0，都有fx≤a？若存在，求【題型6已知函數最值求參數】【例6】（2024·陜西渭南·模擬預測）已知函數fx=xex+a在區間0,1A．-2 B．2 C．-1 D．1【變式6-1】（2023·四川宜賓·三模）若函數fx=x?m2?2,x<02xA．m<0 B．m≤0 C．m>0 D．m≥0【變式6-2】（2024·寧夏吳忠·模擬預測）已知fx=2x3?6x2+m（m為常數）在A．?3 B．?5 C．?37 D．?39【變式6-3】（2024·甘肅金昌·模擬預測）已知函數fx=x3?ax2+3x在R上單調遞增，且A．3,4 B．2,3 C．3,4 D．2,3【題型7函數單調性、極值與最值的綜合應用】【例7】（2024·四川成都·二模）已知函數fx=x+a(1)當a=1時，求f′(2)若fx存在兩個極值點，求a【變式7-1】（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知函數fx(1)求函數y=fx(2)設函數?x=exx【變式7-2】（2024·全國·模擬預測）設函數fx(1)當a=32時，求(2)當2<a≤32時，設x1<x2，且x【變式7-3】（2024·全國·模擬預測）已知函數fx(1)當a=1時，討論函數fx(2)若fx有兩個極值點x①求實數a的取值范圍；②求證：x1一、單選題1．（2024·上海青浦·二模）如圖，已知直線y=kx+m與函數y=f(x),x∈0,+∞的圖象相切于兩點，則函數y=fxA．2個極大值點，1個極小值點 B．3個極大值點，2個極小值點C．2個極大值點，無極小值點 D．3個極大值點，無極小值點2．（2024·山東泰安·模擬預測）已知函數f(x)=ex?alnx在區間(1,2)A．e2 B．e?1 C．e 3．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知函數fx=asinx+A．0,eπ22 B．0,224．（2024·陜西安康·模擬預測）某學校組織學生到一個木工工廠參加勞動，在木工師傅指導下要把一個體積為27cm3的圓錐切割成一個圓柱，切割過程中磨損忽略不計，則圓柱體積的最大值為（A．4cm3 B．8cm3 C．5．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知函數fx=e2x+x?2aeA．?e B．?1e 6．（2024·福建泉州·一模）已知x1,x2，是函數A．x1+x2=?2 B．x17．（2024·廣東深圳·二模）設函數fx=x+ex，gx=x+lnx，若存在x1A．1e B．1 C．2 D．8．（2024·北京順義·三模）利用所學數學知識解決新問題是我們學習數學的一個重要目的，同學們利用我們所學數學知識，探究函數fx=xx，A．fx有且只有一個極值點 B．fx在C．存在實數a∈0,+∞，使得fa=1二、多選題9．（2024·重慶·三模）若函數fxA．ab<0 B．a<0 C．b2+16a>0 10．（2024·浙江杭州·三模）已知函數fx=x+1A．fx在區間?2,+∞上單調遞增 B．fC．方程fx=2的解有2個 D．導函數f11．（2024·黑龍江·三模）已知函數f(x)=excosA．f(x)的圖象在點π2,fπ2B．f(x)在?πC．f(x)在?π2D．若f(x)在?m,m內恰有11個極值點，則實數m的取值范圍為17三、填空題12．（2024·上海·三模）若函數fx=?4x3+3x在a,a+213．（2024·四川成都·模擬預測）若函數f(x)=(x?a)x+lnx在(0,+∞)上無極值點，則14．（2023·四川遂寧·模擬預測）已知函數fx=1①函數f(x)有兩個極值點；②若關于x的方程f(x)=t恰有1個解，則t>1；③函數f(x)的圖像與直線x+y+c=0(c∈R④若fx1=fx2四、解答題15．（2024·廣東東莞·模擬預測）已知函數fx(1)求函數fx(2)當a>0時，求函數fx在區間1,16．（2024·河北石家莊·三模）已知函數fx(1)討論函數fx(2)當a=2時，若函數gx=fx17．（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數f(x)=ax?lnx?a，若(1)求a的值;(2)若g(x)=xf(x)，證明:g(x)存在唯一的極大值點x0，且g18．（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數fx=x(1)求a的取值范圍；(2)若fx1=f19．（2024·天津河北·二模）已知a>0，函數fx(1)當a=1時，求曲線y=fx在點1,f(2)當0<a<1時.（ⅰ）求fx（ⅱ）設fx的極大值為ga，求(3)設n∈N+，且n≥2，求證：專題3.3導數與函數的極值、最值【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據函數圖象判斷極值】 2【題型2求已知函數的極值】 5【題型3根據極值（點）求參數】 8【題型4求不含參函數的最值】 11【題型5求含參函數的最值】 13【題型6已知函數最值求參數】 17【題型7函數單調性、極值與最值的綜合應用】 191、導數與函數的極值、最值考點要求真題統計考情分析(1)借助函數圖象，了解函數在某點取得極值的必要和充分條件

(2)會用導數求函數的極大值、極小值(3)掌握利用導數研究函數最值的方法(4)會用導數研究生活中的最優化問題2022年新課標I卷：第10題，5分2023年新課標I卷：第11題，5分2023年新課標Ⅱ卷：第11題，5分2024年新課標I卷：第10題，6分2024年新課標Ⅱ卷：第11題，6分、第16題，15分導數與函數是高中數學的核心內容，高考對最值、極值的考查相對穩定，是高考常考的熱點內容，從近三年的高考情況來看，高考中常涉及的問題有利用導數解決函數的單調性、極值和最值等；與不等式、方程的根(或函數的零點)等內容結合考查，此類問題體現了分類討論、轉化與化歸等數學思想，此類問題在選擇、填空、解答題中都有考查，而在解答題中進行考查時試題難度較大，復習時需要加強練習.【知識點1函數的極值問題的求解思路】1．運用導數求函數f(x)極值的一般步驟：(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求導數f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函數定義域內的所有根；(4)列表檢驗f'(x)在f'(x)=0的根x0左右兩側值的符號；(5)求出極值.2．根據函數極值求參數的一般思路：

(1)已知函數極值，確定函數解析式中的參數時，要注意：根據極值點的導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解.(2)導數值為0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數法求解后必須檢驗.【知識點2函數的最值問題的解題策略】1．利用導數求函數最值的解題策略：(1)利用導數求函數f(x)在[a,b]上的最值的一般步驟：①求函數在(a,b)內的極值；②求函數在區間端點處的函數值f(a)，f(b)；③將函數f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.(2)求函數在無窮區間(或開區間)上的最值的一般步驟：求函數在無窮區間(或開區間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數的最值.2．求含有參數的函數的最值的解題策略：求含有參數的函數的最值，需先求函數的定義域、導函數，通過對參數分類討論，判斷函數的單調性，從而得到函數f(x)的最值.【方法技巧與總結】1．求最值時，應注意極值點和所給區間的關系，關系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值就是最值.2．函數最值是“整體”概念，而函數極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關系.【題型1根據函數圖象判斷極值】【例1】（2024·云南楚雄·一模）若a>b，則函數y=ax?a(x?b)2A． B．

C．

D．

【解題思路】對比選項可知a≠0，由題意x=a，x=b（a>b）是函數y=ax?ax?b2的零點，x1=b<x2=2a+b【解答過程】對比各個選項可知a≠0，由三次函數圖象與性質可得x=a，x=b（a>b）是函數y=ax?a令y′可知x1=b<x2=2a+b3<a（若a>0，則函數y=ax?a具體為y=ax?ax?b2在?∞,b若a<0，則函數y=ax?a具體為y=ax?ax?b2在?∞,b故選：B.【變式1-1】（2024·四川廣安·二模）已知函數fx其中，可以作為函數fx的大致圖象的個數為（

A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】對a的情況進行分類討論，借助于導數對函數的單調性進行分析即可判斷函數的大致圖象.【解答過程】由題意知，fx定義域為R當a=0時，fx=e當a>0時，f'x=ax+a+1ex，令f'x=0可得：x=?a+1a<0，所以當x∈?當a<0時，f'x=ax+a+1ex，當f'x=0時x=?a+1a當a<?1時，x=?a+1a<0當?1<a<0時，x=?a+1a>0故選：D.【變式1-2】（23-24高二下·四川廣元·階段練習）如圖是y=fx的導函數f′xA．當x=?1時，fx取得極大值 B．fxC．當x=1時，fx取得極大值 D．fx在?1,2上是增函數，在【解題思路】由導函數的圖象，確定導函數的正負，由此得到函數f(x)的單調性，由極值的定義判斷函數f(x)的極值，由此判斷四個選項即可.【解答過程】根據導函數f′當x∈?2,?1∪2,4時，f′x可知f(x)在?2,?1,2,4內單調遞減，在所以當x=?1時，fx取得極小值，當x=2時，fx取得極大值，當x=4故ABC錯誤，D正確.故選：D.【變式1-3】（2024·全國·模擬預測）函數fx=axm3?xn在區間0,3上的圖像如圖，則A．m=2，n=2 B．m=2，n=1 C．m=1，n=2 D．m=1，n=1【解題思路】由圖及解析式易得a<0，將各項參數代入，利用導數研究f【解答過程】由題圖知，當x=1時f1=a?2當m=2，n=2時，fx則f′所以(0,32),(3,+∞)上f′x<0，所以fx的極小值點為x=當m=2，n=1時，fx則f′所以(?∞,0),(2,+∞)上f′x>0，f所以fx的極小值點為x=2當m=1，n=2時，fx則f′所以(?∞,1),(3,+∞)上f′x<0，f所以fx的極小值點為x=1當m=1，n=1時，fx=ax3?x故選：C.【題型2求已知函數的極值】【例2】（2024·浙江·模擬預測）函數fx=x?2A．e2?2 B．?2e2?2 【解題思路】利用二次導數研究f′x的單調性，并通過觀察得其零點，進而判斷【解答過程】f′記gx=x?1當x>0時，g′x>0，函數g當x<0時，g′x<0，函數g所以，當x=0時，gx因為g2=0，且當x<0時，所以，當x<2時，gx<0，即f′x<0當x>2時，gx>0，即f′x>0所以，當x=2時，fx取得極小值f故選：B.【變式2-1】（2024·寧夏銀川·一模）若函數f(x)=x2?ax?2ex在x=?2A．?6e2 B．?4e C．?2【解題思路】由題意求出a的值，進而求出fx【解答過程】因為函數f(x)=x2?ax?2則f′x=x2即4?22?a?2?a=0，所以所以fx=x令f′x=0，則x=2由x∈?∞,?2,f所以fx在?∞,?2所以函數fx在x=?2處取得極大值，f故選：C.【變式2-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數f(x)=4xex?e2x?2ex，A．g(x)的極大值為4eB．g(x)的極小值為4eC．g(x)的極大值為4lnD．g(x)的極小值為4ln【解題思路】本題考查利用導數判斷函數的極值，考查考生的運算求解能力，可按下列順序求解：f(x)=4xex?e2x?2ex→【解答過程】f(x)的定義域為R，f'所以g(x)=f'(x)求導得g'(x)=4?2ex，令當x<ln2時，g′(x)>0；當所以函數g(x)在(?∞,ln2)上單調遞增，在(ln2,+∞故選：C．【變式2-3】（2024·河南洛陽·模擬預測）已知函數fx及其導函數f′x的定義域均為R，且f′xA．有一個極小值點，一個極大值點 B．有兩個極小值點，一個極大值點C．最多有一個極小值點，無極大值點 D．最多有一個極大值點，無極小值點【解題思路】設gx=fxex，求導后，構造?x=gx+x【解答過程】令gx=f故f′令?x所以?′當x∈?∞,?1當x∈?1,0時，?當x∈0,+∞時，所以?x的極小值為??x的極大值為?所以當x∈?∞,?1時，?當?x在區間?則?x≥0，f′x=當?x在區間?可設為x0，則當x∈?∞,x當x∈x0,+∞時，所以fx有且只有一個極小值點x綜上，fx故選：C.【題型3根據極值（點）求參數】【例3】（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知函數f(x)=ex?ax2在RA．?∞,e2 B．?∞,【解題思路】求導數確定單調性，討論x的取值范圍可得結果.【解答過程】由題意得，f′(x)=e因為函數f(x)=ex?a所以f′當x＞0時，設gx=e當0＜x＜1時，得g′則gx在0,1上單調遞減，在1,+從而g′x≥當x＜0時，ex綜上，0≤a≤e故選：D.【變式3-1】（2024·四川宜賓·模擬預測）已知函數fx=x3+ax2+bx+aA．?4 B．16 C．?4或16 D．16或18【解題思路】求導，即可由f(?1)=8且f′(?1)=0求解a,b【解答過程】f′若函數fx在x=?則f(?1)=8且f′(?1)=0，即解得：a=3,b=3或a=?2,b=?7，當a=3,b=3時，f′x=3x當a=?2,b=?7時，f′當x>73或x<?1時，f′x>0故a=?2,b=?7符合題意，故fx故f1故選：A.【變式3-2】（2024·河北秦皇島·三模）已知0是函數fx=x3+aA．?∞,0 B．0,+∞ C．?【解題思路】分類討論a<0、a=0與a>0三種情況，結合導數與極值點的定義即可得解.【解答過程】因為fx=x令f′x=0，可得x=0當?2a3>0令f′x>0，得x<0或x>?2a3所以fx在?∞,0，?所以x=0是函數fx當?2a3=0，即a=0則fx在R當?2a3<0令f′x>0，得x<?2a3或x>0所以fx在?∞,?2a3所以x=0是函數fx綜上，a<0，即a的取值范圍為?∞故選：A.【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）已知函數fx=asinx+cosxA．0,22eπ4 B．?【解題思路】函數fx在0,π上恰有兩個極值點，f′x在0,π上有兩個變號零點，分離常數得a=ex【解答過程】解法一：

由題意可得f′x=?2asinxex+1令f′x=?2asin則直線y=a與函數y=gx，x∈g′當x∈π4,π時，g′x當x∈0,π4時，g′x又gπ4=22eπ4，當所以可作出gx的圖象如圖所示，數形結合可知a>即實數a的取值范圍是22故選：D．解法二

由題意可得f′x=?2asinxex+1當a≤0時，f′x>0當a>0時，令?x=f當x∈π4,π時，?′x>0，?x因為?0=?π=1，?π4=1?2a故選：D．【題型4求不含參函數的最值】【例4】（2024·陜西西安·二模）函數f(x)=xx2+1在A．613,?613 B．25,?【解題思路】求導，判斷導數正負得函數fx在?3,3【解答過程】f′x=令f′x>0，解得?1<x<1，即f令f′x<0，解得x∈?3,?1∪1,3，所以又f?3=?310，f?1所以函數fx在?3,3上的最大值為12，最小值為故選：D.【變式4-1】（2024·寧夏固原·一模）函數fx=sinx?x+2A．?2π?3,π+1 B．?2π?3,?3【解題思路】利用導數求得fx的單調區間，從而判斷出fx在區間【解答過程】f′所以fx在區間0,π上f′在區間π,2π上f′又f0=?3,f2所以fx在區間0,2π上的最小值為?2π故選：A.【變式4-2】（2024·甘肅蘭州·二模）若關于x的不等式ex+x+2ln1xA．12 B．e24 C．e【解題思路】對所給不等式適當變形，利用同構思想得出lnm≤x?2lnx對于任意x>0【解答過程】由題意可得x>0,m>0，ex+x+2ln令fx則f′所以fx所以若有fx≥fln即lnm≤x?2lnx令gx則g′令g′所以當0<x<2時，g′x<0，gx單調遞減；當x>2時，所以gx從而lnm≤lne24，所以m的取值范圍為m≤故選：B.【變式4-3】（2024·云南·模擬預測）已知函數fx=a2x2?xlnx?b?1A．0 B．1e C．ln2【解題思路】根據題意，轉化為ax+b≥lnx在0,+∞上恒成立，對于使得2a+b取得最小值時，直線y=ax+b和函數y=lnx的圖象相切，求得y=lnx上的一點x【解答過程】由fx=a所以f′x=ax+b?lnx≥0在0,+對于使得2a+b取得最小值時，直線y=ax+b和函數y=ln又由y=lnx，可得y′可得y=lnx在點x0,ln令a=1x0令gx=2當x∈0,2時，g′x<0；當所以gx在0,2上單調遞減，在2,+∞上單調遞增，所以所以2a+b的最小值為ln2故選：C.【題型5求含參函數的最值】【例5】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知函數fx=xe(1)求fx在區間?1,1(2)當a≥1時，求證：fx【解題思路】（1）求導f′x=eax1+ax（x>0）（（2）方法一：隱零點法，由x>0，a≥1，轉化為證明xex≥lnx+x+1，令gx=xex?lnx?x?1，（x>0），由gxmin≥0【解答過程】（1）解：f′x=eax令f′x=0當0<a≤1時，?1a≤?1，所以f′x≥0在區間所以fxmin=f當a>1時，?1<?1a<1，則當x∈?1,?1a時，當x∈?1a,1時，f′所以fx而f?1=?e?a綜上所述，當0<a≤1時，fxmin=?當a>1時，所以fxmin=?（2）方法一：隱零點法因為x>0，a≥1，所以xeax≥xex設gx=xex?令?x=ex?而?12=所以由零點的存在性定理可知，存在唯一的x0∈1即ex0?1x當x∈0,x0時，?′x<0，當x∈x0,+∞時，?′x>0所以g所以gx≥0，因此方法二：（同構）因為x>0，a≥1，所以xeax≥xex只需證明xe因此構造函數?x=e?′當x∈?∞,0時，?′x當x∈0,+∞時，?′x>0所以?x≥?0所以xe因此fx【變式5-1】（2024·山西呂梁·二模）已知函數fx(1)當a=1時，求fx(2)求fx在區間0,1【解題思路】（1）求出函數的導函數，再解關于導函數的不等式求出函數的單調區間與極值；（2）求出函數的導函數f′x=?x?a2x+ax2，再分a≥1、0<a<1、?2<a<0、a≤?2四種情況討論，得到函數f【解答過程】（1）當a=1時，fx則f′當0<x<1時，f′x>0當x>1時，f′x<0故函數fx的單調遞增區間是0,1，單調遞減區間是1,+函數fx的極大值為f（2）由題意得f′若a≥1，當x∈0,1時，f′x≥0，此時fx的最大值為f若0<a<1，當x∈0,a時，f′x當x∈a,1時，f′x此時fx的最大值為f若?2<a<0，則0<?a2<1，當x∈0,?a當x∈?a2,1時，此時fx的最大值為f若a≤?2，則?a2≥1，當x∈0,1時，f′此時fx的最大值為f綜上可得，fx【變式5-2】（2024·重慶·模擬預測）已知函數fx(1)求函數y=fx(2)若a=3，設曲線y=fx與x軸正半軸的交點為P，該曲線在點P處的切線方程為y=gx【解題思路】（1）利用函數求導，討論函數y=fx（2）利用a=3，求出曲線在點P處的切線方程，然后進行聯立證明即可.【解答過程】（1）因為函數fx=ax?e所以f′當a≤0時，f′x<0當a>0時，f′x=0則f′x>0,x<lnaf′x<0,x>lna所以函數fx在x=lna（2）因為a=3，所以函數fx=3x?曲線y=fx與x軸正半軸的交點為P則切線斜率為f′切線方程為：y=3?則gx令FF′所以Fx在?∞,Fx的最大值為F所以Fx即?x∈R【變式5-3】（2024·陜西西安·二模）已知函數fx(1)當a=1時，求曲線y=fx在e(2)討論fx在1,(3)是否存在實數a，使得對任意x>0，都有fx≤a？若存在，求【解題思路】（1）求得fe，f（2）先討論f(x)的單調性，找到極值點ea?1，再根據ea?1，1，（3）根據（2）中所求函數單調性和最值，結合題意可知，只需fea?1≤a，構造函數m【解答過程】（1）當a=1時，fx=x?xlnx，fe=e?e故曲線y=fx在e,fe處的切線方程為y?0=?（2）fx=ax?xlnx，f′(x)=?ln令f′(x)=0，即?ln故當x∈(0,ea?1)，f′(x)當x∈(ea?1,+∞)，f′(x)若ea?1≥e，即a≥2時，y=f(x)在[1,故當a≥2時，f(x)在[1,e]上的最大值為若ea?1≤1，即a≤1時，y=f(x)在[1,e故當a≤1時，f(x)在[1,e]上的最大值為若1<ea?1<e，即1<a<2時，y=f(x)在又fe故當1<a<2時，f(x)在[1,e]上的最大值為綜上所述，當a≤1時，f(x)在[1,e]上的最大值為當1<a<2時，f(x)在[1,e]上的最大值為當a≥2時，f(x)在[1,e]上的最大值為（3）由（2）可知，f(x)在(0,ea?1)單調遞增，在(故f(x)在(0,+∞)上的最大值為ea?1若存在實數a，對任意x>0，都有fx≤a，則ea?1又當a>0時，ea?1≤a，也即a?1≤ln令mx=lnx?x+1則當x∈(0,1)，m′(x)當x∈(1,+∞)，m′(x)<0，故y=m(x)的最大值為m1=0，則lnx故若存在實數a，滿足題意，則只有當a=1時，滿足lna也即當a=1時，對任意x>0，都有fx綜上所述，a可取的值組成的集合為{1}.【題型6已知函數最值求參數】【例6】（2024·陜西渭南·模擬預測）已知函數fx=xex+a在區間0,1A．-2 B．2 C．-1 D．1【解題思路】先利用導函數研究函數的單調性及最值計算即可.【解答過程】由題意可知：f′所以當x∈0,1時f′x>0，則所以fx故選：D.【變式6-1】（2023·四川宜賓·三模）若函數fx=x?m2?2,x<02xA．m<0 B．m≤0 C．m>0 D．m≥0【解題思路】利用導數求出函數fx在0,+∞上的極小值，然后對實數m的取值進行分類討論，結合fx【解答過程】當x≥0時，fx=2x當0<x<1時，f′x<0當x>1時，f′x>0所以，函數fx的極小值為f因為函數fx的最小值為?2，當m≥0時，函數fx在此時，函數fx在?當m<0時，函數fx在?∞,m此時，函數fx在?∞,0上的極小值為fm=?2綜上所述，m<0.故選：A.【變式6-2】（2024·寧夏吳忠·模擬預測）已知fx=2x3?6x2+m（m為常數）在A．?3 B．?5 C．?37 D．?39【解題思路】對函數進行求導，判斷其單調性和最值，根據最大值為3求出m，進而根據單調性可得其最小值.【解答過程】由fx=2x故當x∈?2,0時，f′x>0，當x∈0,2時，f′x≤0，故當x=0時，fx取得最大值，即f0=m=3當x∈?2,0，fx≥f?2=?37故最小值為f?2故選：C.【變式6-3】（2024·甘肅金昌·模擬預測）已知函數fx=x3?ax2+3x在R上單調遞增，且A．3,4 B．2,3 C．3,4 D．2,3【解題思路】根據函數fx在R上單調遞增，利用函數導數性質求出a的取值范圍，在由gx在區間1,2上既有最大值又有最小值求出【解答過程】1.因為fx=x若fx在R上單調遞增，則f′x即3x2?2ax+3≥0恒成立，則Δ2.因為gx=x+a①當a≤2時，g′x>0對任意x∈1,2恒成立，所以此時只有最大值，沒有最小值不滿足題意；②當a≥8時，g′x≤0對任意x∈1,2恒成立，所以此時只有最小值，沒有最大值不滿足題意；③當2<a<8時，令g′x>0，解得a2<x≤2則gx在a2,2單調遞增，在1,若gx在1,2則g2≥g1?2+a綜上所述：2<a≤3．故選：B.【題型7函數單調性、極值與最值的綜合應用】【例7】（2024·四川成都·二模）已知函數fx=x+a(1)當a=1時，求f′(2)若fx存在兩個極值點，求a【解題思路】（1）求導判斷函數的單調性即可求解，（2）求導，分類討論導函數的正負，結合零點存在性定理即可求解.【解答過程】（1）當a=1時，fx=x+1lnx令函數?x=lnx+1當x∈0,1時，?′x<0，?x為減函數；當x∈所以?(x)min=?（2）因為x∈0,+∞，有令gx=f①當a≤0時，因為x?a>0，所以g′x>0，即f所以至多存在一個x0∈0,+∞，使得f②當a>0時，解g′x=0故當x∈0,a時，g′x<0，f′f′x為增函數，所以（ⅰ）．當lna+2≥0，即a≥e?2時，f′x故fx（ⅱ）．當lna+2<0，即0<a<e又因為0<a22又由第（1）問知lnx+1x+1≥2，故又因為1>a，又f′所在x1∈a22,a且fx在0,x1，x所以x1，x2分別是綜上所述，a的取值范圍為0,e【變式7-1】（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知函數fx(1)求函數y=fx(2)設函數?x=exx【解題思路】（1）利用導數求解單調區間即可.（2）依據題意求出?x【解答過程】（1）易知fx的定義域為x∈(0,+而f′令f′x<0，x∈(0,1)，令f故fx在(0,1)上單調遞減，在(1,+則函數y=fx的單調遞減區間為(0,1)，單調遞增區間為(1,+（2）由題意得?x?′若y=?x恰有兩個極值點，則?′x易知x=1是?′令?′x=0，化簡得t=(x?1而g(x)定義域為{x而g′(x)=(1+x)ex故g(x)在x∈(0,1),(1,+∞而g(x)當x→+∞時，g(x)→+∞，故故實數t的取值范圍為(1【變式7-2】（2024·全國·模擬預測）設函數fx(1)當a=32時，求(2)當2<a≤32時，設x1<x2，且x【解題思路】（1）將a=32代入,然后對fx求導，判斷f（2）對fx求導，通過一元二次方程根的情況，判斷f′x的正負，得到fx的極值點，寫出Ga【解答過程】（1）當a=32時，fxf′當x∈0,12或x∈1,+∞當x∈12,1時，f因此fx的極大值點是1（2）由已知fx的定義域為0,+f′對于方程2x2?2ax+1=0，Δ則方程2x2?2ax+1=0根據根與系數的關系，得m+n=a,mn=12，則12當0<x<m或x>n時，f′x>0，當m<x<n所以fx的極大值點為m，極小值點為n因為x1∈1因為x2∈2所以G==?m+n令2m于是Ga=gtg′t=?12又g12=34?ln故Ga的取值范圍是0,【變式7-3】（2024·全國·模擬預測）已知函數fx(1)當a=1時，討論函數fx(2)若fx有兩個極值點x①求實數a的取值范圍；②求證：x1【解題思路】（1）求得f′x=2x?2lnxx，設gx=2x?2lnxx（2）①求得f′x=2ax?2lnxx，令f′x=0，解得②由函數f′x有兩個零點x1,x2，得到2ax12=lnx12,2ax2【解答過程】（1）解：當a=1時，可得fx=x2?設gx=2x?2令?x=x所以?x為0,+∞上的增函數，且所以gx在0,1上單調遞減，在1,+∞上單調遞增，所以所以f′(x)min=2>0，所以f′（2）解：①因為函數fx=ax令f′x=0設px=ln因為fx有兩個極值點x1,x2當x∈0,e時，p′x>0所以px在0,e上單調遞增，在e,+又當x>1時，px>0，故可作出結合圖象可得，0<a<12e，即實數a②由函數f′x有兩個零點x1令t1=x12,t只需證明t1不妨令t1>t2，由要證t1t2即證lnt即證lnt1?令m=t1t2，則令sm=ln所以sm在1,+∞上單調遞增，所以綜上所述，原不等式成立．一、單選題1．（2024·上海青浦·二模）如圖，已知直線y=kx+m與函數y=f(x),x∈0,+∞的圖象相切于兩點，則函數y=fxA．2個極大值點，1個極小值點 B．3個極大值點，2個極小值點C．2個極大值點，無極小值點 D．3個極大值點，無極小值點【解題思路】作出與直線y=kx+m平行的函數fx的所有的切線，即可觀察得到f′x與k的大小關系的不同區間，進而得出F′x【解答過程】Fx作出與直線y=kx+m平行的函數fx的所有切線，各切線與函數fx的切點的橫坐標依次為fx在a,b,c,d,e,處的導數都等于k在0,a,b,c,d,e上，在a,b,c,d,因此函數Fx故選：B.2．（2024·山東泰安·模擬預測）已知函數f(x)=ex?alnx在區間(1,2)A．e2 B．e?1 C．e 【解題思路】由題意得f′(x)≥0在(1,2)上恒成立，即a≤xex，然后構造函數g(x)=xex，利用可得g(x)在(1,2)上單調遞增，從而可得【解答過程】依題意可知，f′(x)=ex?設g(x)=xex，x∈(1,2)，所以g′所以g(x)在(1,2)上單調遞增，g(x)>g(1)=e故a≤e，即a的最大值為e故選：C．3．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知函數fx=asinx+A．0,eπ22 B．0,22【解題思路】根據函數有兩個極值點的個數，轉化為導數在0,π上有兩個變號零點，再進行參數a【解答過程】由題意得f′因為函數fx在0,π上恰有兩個極值點，則f′當a≤0時，f′x>0當a>0時，令?x=?2a當x∈π4,π時，?′當x∈0,π4時，?′x又?0=?π所以?π4=1?2aeπ故選：D．4．（2024·陜西安康·模擬預測）某學校組織學生到一個木工工廠參加勞動，在木工師傅指導下要把一個體積為27cm3的圓錐切割成一個圓柱，切割過程中磨損忽略不計，則圓柱體積的最大值為（A．4cm3 B．8cm3 C．【解題思路】寫出圓柱的體積解析式，構造函數，利用導數求出圓柱體的最大體積【解答過程】設圓錐的底面半徑為R，高為H，圓柱的底面半徑為r(0<r<R)，高為?，則?H=R?r所以V圓柱設fr=r令f′r=0，得r=當r∈0,23R時，f′所以fr的最大值為f所以V圓柱的最大值為4故選：C.5．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知函數fx=e2x+x?2aeA．?e B．?1e 【解題思路】由二次函數的性質可知fx≥xex，令【解答過程】因為fx令Px=xe當x∈?∞,?1時，P當x∈?1,+∞時，P′∴Px∴fx故選：B．6．（2024·福建泉州·一模）已知x1,x2，是函數A．x1+x2=?2 B．x1【解題思路】求出函數導數，解方程得出極值點，計算可判斷選項.【解答過程】f′(x)=3(x?1)2?1所以x1f(x故選：C.7．（2024·廣東深圳·二模）設函數fx=x+ex，gx=x+lnx，若存在x1A．1e B．1 C．2 D．【解題思路】根據題意，由條件可得fx1=flnx【解答過程】由題意可得fx1=g所以x1又f′x=1+ex即fx1=f且x1令?x=ln則?′x=令?′x=0當x∈0,1時，?′x當x∈1,+∞時，?′所以當x=1時，?x所以?x≤?1所以x1故選：B.8．（2024·北京順義·三模）利用所學數學知識解決新問題是我們學習數學的一個重要目的，同學們利用我們所學數學知識，探究函數fx=xx，A．fx有且只有一個極值點 B．fx在C．存在實數a∈0,+∞，使得fa=1【解題思路】由條件可得函數z=xlnx可以看作為函數z=ln【解答過程】由y=fx=xx得則函數z=xlnx可以看作為函數z=ln因為z=lny為增函數，所以z=xlnz′由z′=0得x0,11z?0+z=x↘?↗由表知，z=xlnx在0,1在x=1e時，取得極小值（最小值）所以fx=x在x=1e時，取得唯一極值（極小值，也是最小值）故選：C.二、多選題9．（2024·重慶·三模）若函數fxA．ab<0 B．a<0 C．b2+16a>0 【解題思路】根據題意，求得f'x=?4x【解答過程】由函數fx=aln因為fx可得方程?4x2+bx+a=0則滿足Δ=b2+16a>0b4>0?a例如：a=?1,b=5時，滿足上式，此時a?b<4故選：ABC.10．（2024·浙江杭州·三模）已知函數fx=x+1A．fx在區間?2,+∞上單調遞增 B．fC．方程fx=2的解有2個 D．導函數f【解題思路】利用導數判斷單調性，求解最值判斷A，B，將方程解的問題轉化為函數零點問題判斷C，對f′【解答過程】易知fx=x+1令f′x<0，x∈?∞故fx在?∞,?2故fx的最小值為f若討論方程fx=2的解，即討論易知g?2=?1e2故由零點存在性定理得到存在x0∈?2,1而當x→?∞時，g(x)→?2，顯然g(x)在?故g(x)=x+1ex令?(x)=f′x令?′(x)=0，解得x=?3，而?′故x=?3是?′(x)的變號零點，即x=?3是故得導函數f′x的極值點為故選：ABD.11．（2024·黑龍江·三模）已知函數f(x)=excosA．f(x)的圖象在點π2,fπ2B．f(x)在?πC．f(x)在?π2D．若f(x)在?m,m內恰有11個極值點，則實數m的取值范圍為17【解題思路】對于A：當x>0時，f(x)=excosx，求導，結合導數的幾何意義求切線方程，即可得結果；對于B：當x∈?π2,0時，【解答過程】對于選項A：當x>0時，f(x)=excos可得fπ2=0則函數f(x)的圖象在點π2,fπ所以切線在y軸上的截距為π2對于選項B：當x∈?π2則f′因為x∈?π2,?π4時，則當x∈?π4,0時，則x+π所以函數f(x)在?π2,?對于選項C：由選項B可知：f(x)在?π2,0因為f(x)的定義域為R，且f(?x)=e可知函數f(x)為偶函數，所以f(x)在?π2,對于選項D：若f(x)在?m,m內恰有11個極值點，由選項C可知：f(x)為定義在R上的偶函數，可知x=0為f(x)的極值點，則f(x)在0,m內恰有5個極值點，由選項A可知：當x>0時，f′令f′(x)=0得cosx+可知：f(x)的極值點即為y=cos令x+π4=k即f(x)在0,+∞內的極值點為x=k由題意可得：4π+π所以實數m的取值范圍為17π4故選：ACD.三、填空題12．（2024·上海·三模）若函數fx=?4x3+3x在a,a+2上存在最小值，則實數a【解題思路】根據題意，函數fx=?4x3+3x的極小值點在a,a+2【解答過程】因為fx=?4x令f′x=0當x∈?∞,?12當x∈?12,1當x∈12,+∞時，所以當x=?12時，因為函數fx=?4x又f1所以a<?12<a+2≤1所以實數a的取值范圍是?5故答案為：?513．（2024·四川成都·模擬預測）若函數f(x)=(x?a)x+lnx在(0,+∞)上無極值點，則a的取值范圍為【解題思路】由題意可得f(x)在(0,+∞)內單調，而當x→+∞時，f(x)→+∞，所以f′【解答過程】由f(x)=(x?a)x+lnx，得因為f(x)=(x?a)x+lnx在所以f(x)在(0,+∞因為當x→+∞時，f(x)→+所以f′(x)=2x?a+1即a≤2x+令g(x)=2x+1x(x>0)當0<x<22時，g′(x)<0，當所以g(x)在0,22上遞減，在所以g(x)所以a≤22即a的取值范圍為(?∞故答案為：(?∞14．（2023·四川遂寧·模擬預測）已知函數fx=1eln①函數f(x)有兩個極值點；②若關于x的方程f(x)=t恰有1個解，則t>1；③函數f(x)的圖像與直線x+y+c=0(c∈R④若fx1=fx2【解題思路】對函數fx的解析式進行化簡并畫出函數圖象，由圖可知函數fx有兩個極值點，即①正確；利用函數與方程的思想可得fx=t恰有1個解時t>1或t=0，可知②錯誤；易知y=?x和y=?x+2是函數fx的兩條切線，分類討論參數c并通過構造函數證明即可得出fx的圖像與直線x+y+c=0c∈【解答過程】由函數fx=1函數fx

對于①，由圖可知，x=0和x=1是函數fx對于②，若函數gx=fx?t恰有1個零點，即函數fx與y=t對于③，因為函數y=ln1?x，y′=1x?1在點0,0處切線斜率函數y=1x，y′=?1x2在1,1易知當0≤?c≤2，即?2≤c≤0時，fx的圖像與直線x+y+c=0當?c>2，即c<?2時，令1x=?x?c，得令px=x2+cx+1由二次函數的圖像及零點存在定理可知，方程px當?c<0，即c>0時，令ln1?x=?x?c，設則q′x=即函數qx在?∞,0設tx=lnx∈1,+∞,q1?c+22所以函數qx對于④，由fx1=f則x1=1?et，x2設?t=e設mt=t3+且m0<0，m1>0，所以存在且當t∈0,t0時，?′t<0，?t