1/12019-2021北京高一（上）期中數學匯編一次函數與二次函數章節綜合一、單選題1．（2020·北京市第四十四中學高一期中）函數是單調函數的充要條件是（

）A． B． C． D．2．（2019·北京·東直門中學高一期中）當時，函數的值域為A． B． C． D．3．（2019·北京·清華附中高一期中）函數的值域為A．[4,9] B．[0,9] C．[0,4] D．[0,)4．（2019·北京一七一中高一期中）已知函數在上是減函數，且對任意的總有則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．二、雙空題5．（2019·北京·清華附中上莊學校高一期中）已知函數，則__；若，則的值為__.三、填空題6．（2020·北京市第四十四中學高一期中）函數的一個單調遞增區間為___________.7．（2019·北京五十五中高一期中）函數，的值域是__________.8．（2019·北京四中高一期中）函數y＝x2+3x﹣1，x∈[﹣2，3]的值域是_____．9．（2019·北京市第二十二中學高一期中）函數在上的最大值和最小值分別為M，N，則______．10．（2021·北京市第一二五中學高一期中）若函數在區間上單調遞增，則a的范圍為______．四、解答題11．（2020·北京·清華附中高一期中）已知函數的圖象經過坐標原點，且為偶函數．（1）求函數的解析式；（2）求證：對于任意的，總有；（3）記函數在區間的最大值為，直接寫出的最小值．12．（2020·北京市昌平區第二中學高一期中）已知函數（1）若在區間上是增函數，求實數a的取值范圍；（2）求函數在區間上的最小值．13．（2020·北京市八一中學高一期中）已知二次函數，且滿足，.（1）求函數的解析式；（2）若關于的方程在上有解，求實數的取值范圍；（3）當時，求函數的最小值（用表示）.14．（2020·北京市第四十四中學高一期中）設，函數.（1）解不等式；（2）求在區間上的最小值.15．（2020·北京師范大學珠海分校附屬外國語學校高一期中）已知二次函數滿足，滿足，且．（1）函數的解析式；（2）若當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．16．（2019·北京市第二十五中學高一期中）若二次函數滿足f（x＋1）－f（x）＝2x且f（0）＝1.（1）求f（x）的解析式；（2）若在區間[－1，1]上不等式f（x）>2x＋m恒成立，求實數m的取值范圍.17．（2019·北京交通大學附屬中學高一期中）已知二次函數，有兩個零點為和．（1）求、的值；（2）證明：；（3）用單調性定義證明函數在區間上是增函數；（4）求在區間上的最小值．18．（2019·北京·東直門中學高一期中）已知是定義在上的偶函數，且當時，.(1)寫出函數的解析式和單調減區間；(2)若函數，，求函數的最小值.19．（2019·北京·清華附中上莊學校高一期中）已知函數為偶函數，且有一個零點為2.（1）求實數a，b的值.（2）若在上的最小值為－5，求實數k的值.20．（2019·北京市第一五九中學高一期中）已知函數，其中．（I）若，求在區間上的最大值和最小值；（II）解關于x的不等式21．（2019·北京師范大學第三附屬中學高一期中）近年來，霧霾日趨嚴重，霧霾的工作、生活受到了嚴重的影響，如何改善空氣質量已成為當今的熱點問題，某空氣凈化器制造廠，決定投入生產某型號的空氣凈化器，根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統計規律，每生產該型號空氣凈化器（百臺），其總成本為（萬元），其中固定成本為12萬元，并且每生產1百臺的生產成本為10萬元（總成本=固定成本+生產成本），銷售收入（萬元）滿足，假定該產品銷售平衡（即生產的產品都能賣掉），根據上述統計規律，請完成下列問題：（1）求利潤函數的解析式（利潤=銷售收入-總成本）；（2）工廠生產多少百臺產品時，可使利潤最多？22．（2021·北京市第一六一中學高一期中）已知二次函數滿足，且．(1)求的解析式；(2)設，求的最小值；(3)當時，方程有解，求實數m的取值范圍．

參考答案1．A【解析】因為函數在上單調遞增，且在上是單調函數，比較即可求解參數范圍．【詳解】函數在上單調遞減，在上單調遞增，又在區間上是單調函數，所以，解得，故選：A2．C【解析】由函數的單調性即可求解.【詳解】因為函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，函數有最小值，當時，函數有最大值，函數的值域為.故選：C.【點睛】本題主要考查二次函數的值域的求解問題，屬基礎題.3．B【解析】由函數在為減函數，在為增函數，再求值域即可.【詳解】解：因為函數，則函數在為減函數，在為增函數，又，，則，又，即函數的值域為，故選B.【點睛】本題考查了二次函數在閉區間上的值域問題，重點考查了函數的單調性，屬基礎題.4．B【解析】由函數在上是減函數得a≥2，又，由任意的總有所以，結合a≥2，得實數的取值范圍為,故選B.5．

-3

2或-5【解析】直接令求解,再根據列出關于的關系式進行求解即可.【詳解】,又故,所以2或-5故答案為(1)-3

(2)2或-5【點睛】本題主要考查二次函數的基本運算,屬于基礎題型.6．，答案不唯一.【解析】根據二次函數的圖象與性質，即可求得函數的一個單調遞增區間，得到答案.【詳解】由題意，函數表示開口向上的拋物線，且對稱軸為，根據二次函數的性質，可得函數的一個單調遞增區間為.故答案為：，答案不唯一.7．【解析】利用二次函數的性質求解.【詳解】∵函數，，∴對稱軸，由二次函數的性質得：最大值為，最小值為，∴函數的值域是.故答案為：.8．[，17]【解析】直接利用二次函數的圖象和性質求解.【詳解】因為y＝x2+3x﹣1，所以函數對稱軸為，因為x∈[﹣2，3]，所以當x時，y的值最小為，當x＝3時，y的值最大為32+9﹣1＝17，所以函數的值域為[，17]．故答案為[，17]【點睛】本題主要考查二次函數在區間上的值域的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.9．8【解析】求出的對稱軸，可得在區間上的單調性，可得最值，即可得到的值．【詳解】函數的對稱軸為，對稱軸在區間里面，即有在區間上遞減，在區間遞增，可得最小值；最大，可得．故答案為8．【點睛】本題考查二次函數的最值的求法，注意確定對稱軸和區間的位置關系，考查運算能力，屬于基礎題．10．【解析】直接根據二次函數對稱軸與區間的位置關系，即可得到答案【詳解】函數的對稱軸為，且函數開口向上，，故答案為：.11．（1）；（2）證明見解析；（3），的最小值為2．【解析】（1）由題意得，，再由偶函數的圖象關于y軸對稱，求得，可得出函數的解析式；（2）原問題等價于對于任意的，總有，令，求得的范圍，即可得證；（3），討論m的大小并結合二次函數的圖象進行分析；【詳解】（1）由題意得，，即，所以，，因為為偶函數，所以，即，所以；（2）對于任意的，總有等價于對于任意的，總有，令，則當，即對于任意的，總有，故得證；（3），當時，由（2），因為對于任意的，總有，則此時，即有，故或時，y有最大值，即；當時，如圖，由圖，可得此時在或時，y有最大值，即；當時，如圖或，由圖，可得此時在時，y有最大值，即，綜上；當時，，當時，，故的最小值為2．【點睛】方法點睛：解決關于二次函數在某區間上的值域時，注意討論二次函數的對稱軸與區間的位置關系，再根據二次函數的單調性得出最值.12．（1）；（2）分類討論，答案見解析．【解析】（1）根據對稱軸與區間的位置關系，即可得答案；（2）對稱軸與區間分三種位置關系進行討論，即可得答案；【詳解】解：（1）函數的對稱軸方程為，因為函數區間上是增函數，所以所以；（2）①當即時，函數區間上是增函數，所以；②當即時，函數區間上是減函數，所以；③當即時，函數區間上是減函數，在上時增函數所以，綜上所述：當時，，當時，；當時，；【點睛】二次函數軸變區間定的問題，若是求最小值，一般是考慮對稱軸在區間的三種位置關系即可.13．（1）；（2）；（3）【解析】（1）根據題中條件，列出方程組求解，求出系數，即可得出結果；（2）根據二次函數的性質，求出在區間的值域，進而可得出結果；（3）分別討論，，三種情況，結合二次函數的性質，即可得出結果.【詳解】（1）因為二次函數滿足，，所以，即，所以，解得，因此；（2）由（1）知，是對稱軸為開口向上的二次函數，所以在上單調遞減，在上單調遞增，因此，又，，所以，即當時，，為使關于的方程在上有解，只需；（3）因為是對稱軸為開口向上的二次函數，當時，在上單調遞增，則；當，即時，在上單調遞減，則；當，即時，；綜上.【點睛】方法點睛：求二次函數在區間上的最值時，一般用分類討論的方法求解；分別討論對稱軸位于區間的左右兩側，以及位于給定區間內，結合二次函數的性質求解即可.14．（1）；（2）.【解析】（1）化簡不等式，結合一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.（2）根據的對稱軸進行分類討論，結合函數的單調性，求得.【詳解】（1），即，化簡整理得，解得.所以不等式的解集為.（2）函數圖象的對稱軸方程是.①當，即時，在區間上單調遞增，所以；②當，即時，在區間上單調遞減，在上單調遞增，所以；③當，即時，在區間上單調遞減，所以.綜上，.【點睛】求解二次函數在區間上的最值問題，要牢牢把握住開口方向和對稱軸.15．（1）；（2）【解析】（1）利用待定系數法即可求解.（2）由（1）分離參數可得，只需當時，即可.【詳解】（1）由，，則，又，則，整理可得，即，解得，所以.（2）當時，不等式恒成立，即在恒成立，設，對稱軸，開口朝下，所以在上單調遞增，所以，所以.【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式、一元二次不等式恒成立求參數的取值范圍，考查了分離參數法求參數值，屬于基礎題.16．（1）f（x）＝x2－x＋1；（2）m<－1.【解析】（1）設f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），則由f（0）＝1可求出，由f（x＋1）－f（x）＝2x可求出，從而可求出函數的解析式，（2）將問題轉化為x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，構造函數g（x）＝x2－3x＋1－m，然后利用二次函數的性質求出其最小值，使其最小值大于零即可求出實數m的取值范圍【詳解】（1）設f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝1，∴c＝1，∴f（x）＝ax2＋bx＋1.∵f（x＋1）－f（x）＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，∴，∴，∴f（x）＝x2－x＋1.（2）由題意：x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立.令g（x）＝x2－3x＋1－m＝2－－m，其對稱軸為x＝，∴g（x）在區間[－1，1]上是減函數，∴g（x）min＝g（1）＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.17．（1），；（2）證明見解析；（3）證明見解析；（4）.【解析】（1）利用韋達定理可得出關于實數、的方程組，即可求出這兩個未知數的值；（2）直接計算和f1?x，可證明出；（3）任取，作差，因式分解后判斷差值的符號，即可證明出函數在區間上是增函數；（4）分和兩種情況討論，分析函數在區間上的單調性，即可得出函數在區間上的最小值的表達式.【詳解】（1）由韋達定理得，解得；（2）由（1）知，，，因此，；（3）任取，則，，，，，即，因此，函數在區間上是增函數；（4）當時，函數在區間上為減函數，此時；當時，函數在區間上減函數，在區間上為增函數，此時.綜上所述，.【點睛】本題考查二次函數相關的問題，涉及利用韋達定理求參數、二次函數對稱性、單調性的證明、以及二次函數在區間上最值的求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.18．見解析.【解析】（1）利用函數為偶函數，先求出當時，函數的解析式，即可寫出分段函數的解析式，再分段求出單調減區間即可；（2）因為，所以，然后分、、三種情況討論函數的單調性即可求出相應的最小值.【詳解】（1）由已知可得，當時，，，即當時，，所以；當時，在上單調遞減，當時，在上單調遞減，所以的單調減區間為、；（2）當時，，，當，即時，在上單調遞增，；當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，；當，即時，在上單調遞減，.綜上所述，當時，；當時，；當時，.【點睛】本題主要考查了利用函數的奇偶性求分段函數的解析式問題、分段函數的單調性問題、含參數的二次函數的最值問題等，屬中等難度題.19．（1），（2）【解析】（1）根據偶函數性質求a，再根據零點求b，（2）根據二次函數對稱軸與定義區間位置關系分類討論函數最小值取法，再根據最小值求k的值.【詳解】（1）因為函數為偶函數，所以，即因此，又因為零點為2，所以（2）,當<0時，在上的最小值為,舍去，當>3時，在上的最小值為,舍去，當03時，在上的最小值為,因為3，所以，綜上.【點睛】研究二次函數最值，一般通過研究對稱軸與定義區間位置關系得函數單調性，再根據單調性確定函數最值取法.20．（1）最小值為，最大值為；（2）見解析【解析】(Ⅰ)最小值為，最大值為；(Ⅱ)當時，不等式解集為當時，不等式解集為當時，不等式解集為當時，不等式解集為21．（Ⅰ）;（Ⅱ）12.【解析】試題分析：（1）先求得，再由，由分段函數式可得所求；（2）分別求出各段的最大值，注意運用一次函數和二次函數的單調性求最值法，然后比較兩個最值即可得到