專題19.2四邊形（提高篇）專項練習

一、單選題

1.在四邊形ABC。中，AQ〃BC,下列選項中，不能判定四邊形A8CD為矩形的是（）

A.AZ）=BC且AC=B￡>B.AD=BC且NA=N8

C.A8=C1。且NA=NCD.A8=C。且/A=N3

2.如圖，在矩形ABC。中，點￡是A。的中點，NEBC的平分線交CD于點凡將△DEF

沿EF折疊，點。恰好落在8E上的M點處，延長8C,EF交于點、N,下列四個結論不正確

的是（）

A.DF=CFB.BFLEN

C.△BEN是等邊三角形D.SGBEF=3S.DEF

3.如圖，在。ABCO中，A8=2加，點E為4。的中點，按以下步驟作圖：①以點E為圓

心，E4長為半徑作弧，交AB于點凡②再分別以點A和點尸為圓心，大于!AF的長為

半徑作弧，兩弧相交于點M；③作直線EM交48于點N,連接CE.若N4￡>C=135。，OE

=2,則CE的長為（）

C.272D.75

4.如圖1,在平行四邊形ABC。中，點。為對角線AC的中點，連接。。，動點P從點B

出發，沿折線54fAOfODfDC以每秒1個單位長度的速度勻速運動，連接CP.設

點P的運動時間為x（單位：s）,CP的長度為y,圖2為y隨x的變化而變化的函數圖象，

1

則四邊形ABCD的面積為（)

5.如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,過點D作DH±AB于點H,連接0H,

若0A=6,S箜彩ABCO=48,則。”的長為（）

A.4B.8C.713D.6

6.如圖，在矩形ABCO中，AB=3,8C=4,點E在邊8C上，若E4平分NBED，則

BE=（）

7.在學習菱形時，幾名同學對同一問題，給出了如下兒種解題思路，其中正確的是（）

已知：如圖，四邊形ABC。是菱形，E、F是直線AC上兩點，AF=CE.

求證；四邊形EBED是菱形.

2

D

甲：利用全等，證明四邊形尸BED四條邊相等，進而說明該四邊形是菱形；

乙：連接8。，利用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，判定四邊形F8E。是菱形；

丙：該題目錯誤，根據已知條件不能夠證明該四邊形是菱形.

A.甲、乙對，丙錯B.乙、丙對，甲錯C.三個人都對D.甲、丙對，乙錯

8.如圖，有一張矩形紙條ABCQ,AB^5cm,BC=2cm,點、M,N分別在邊AB,CO上，

CN=\cm.現將四邊形8CNM沿MN折疊，使點3,C分別落在點夕，。上.在點M從點

A運動到點8的過程中，若邊MS與邊CQ交于點E,則點E相應運動的路徑長為（）

S'、

￡

A.y/5----C.75

2

9.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,將正方形ABC。沿EF對折，使點。恰好落在邊

AB的中點G處，點C的對應點為點H,延長EG交CB的延長線于P,連接對角線BD,交

折痕EF于。，則線段PQ的長為（）

^7F

H

A.B.277C.D.713

76

10.如圖，在矩形內畫了一些直線，已知△A。，，&BEF,四邊形HGFC的面積分別是12、

32、96,那么圖中陰影部分的面積是（）

A.48B.52C.60D.108

11.如圖，菱形A8CD和菱形EFG”，NA=NE,它們的面積分別為9c機2和64cs2,CD

落在EF上，若△BCF的面積為4c”落則△BOH的面積是（）

A.8cm2B.8.5cm2C.9cm2D.9.5cm2

二、填空題

12.如圖，在矩形A8CQ中，AB=6,AQ=8,E、F分別為A&CO邊上的點，且EF〃BC,

G為E/上一點，且Gb=2,M、N分別為GO、EC的中點，則MN=.

13.如圖，點M是用△ABC斜邊48的中點，過點M作。M_LCM,交AC于點。，若AQ

=2,BC=5,則CD=

4

B

D

14.如圖，如圖1將矩形ABC。剪2刀得3個角，其和為360。；如圖2,剪3刀得4個角,

其和為540。；如圖3,剪4刀得5個角，其和為720。……按上述剪法剪〃刀得（〃+1）個

角，其和為

15.如圖，在Rh/WC中，AC=BC=4,NACB=90。，正方形的邊長為2,將

正方形BDEF繞點B旋轉一周,連接AE,點M為AE的中點，連接，則線段用以的

最大值是.

16.如圖，在四邊形ABCD中，NDAB=NBCD=90。,對角線AC與30相交于點E,點F,

G分別是AC,BD的中點，當/C8ZX15。，EG=EC,FG=6時，則線段4c的長為

5

DC

17.如圖，已知點40,3),軸，點C為射線A8上的一個動點，連接。C，將A。4c

沿OC折疊，點A落在點。處，過點。作X軸的垂線，分別交X軸，A3于點M，N.當

DN=2DM時，點C的坐標為.

18.如圖，四邊形0AA片是邊長為1的正方形，以對角線為邊作第二個正方形人2員，

連接得到A444；再以對角線。兒為邊作第三個正方形外人為，連接44,得

到M.AA,,再以對角線。4.3，為邊作第四個正方形04ABi,連接44，得到A42AA4一?.，

設A4A4,A42AA4,…，的面積分別記為S|,S],S3,…，如此下去，則

52021的值為.

19.如圖“是長方形紙帶，ZDEF=22°,將紙帶沿E尸折疊成圖6,再沿B尸折疊成圖c,則

6

圖c中的/CFE的度數是'

20.將一副三角板如圖旋轉，共中NC=30°,"=45°,點E在8C邊上，M，N分

別為AB，DF上的點，G為三角板外一點.連接GW,GN,若NG=50°,則

ZGMB+/BED+4DNG=

21.己知矩形ABC￡>,AB=4,AZ)=6,點E為AB邊的中點，點尸為邊上的動

點，點8和點B'關于比對稱，則37)的最小值是.

22.如圖，有一張矩形紙條ABCD,AB=5cm,BC=2cm，點M,N分別在邊AB,CD上，

CN=lcm.現將四邊形BCN似沿MN折疊，使點8,C分別落在點？，C'上，在點M

從點A運動到點B的過程中，若邊MB’與邊CD交于點E,則點E相應運動的路徑長為

cm.

7

23.如圖所示，在正方形ABC。中，點E為邊8上一點，CE=2DE,AE交對角線BO

于點G，過點G作方GLAE交于E，連接石戶、AF,A/交對角線于點〃，

HG=-y/2,將△尸G”沿GF翻折得到△FG/7'，連接硝'，則△瓦H'的周長為

2

三、解答題

24.如圖，在平行四邊形4BCO中，點。是邊8C的中點，連接。。并延長，交A8的延長

線于點E,連接BD,EC.

(1)求證：&BOEmACOD；

(2)當/8。。=。時，四邊形8ECO是菱形.

8

在平行四邊形A8CQ中，AD>AB，求作菱形，使點E、點/分別在BC、AO邊上.（尺規作

圖，保留作圖痕跡）

辦法一：

以點8為圓心，A3長為半徑，畫弧交8C于點E，再分別以點A、E為圓心，大于‘AE的相同

2

長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連接并延長交AO于點F，連接瓦'，則所得四邊形/WEE是

菱形.

辦法二：

連接AC,分別以A、。為圓心，大于工AC的長為半徑作弧，兩弧交于V、N兩點；連接MN,

2

分別與8C、A。、AC交于E、F、0三點；連接AE、CF.則四邊形A￡C￡是菱形.

25.如圖，是小清同學的數學筆記，任細閱讀并完成任務：

任務：

（1）填空：“辦法一”中，判別四邊形回防是菱形的數學依據是；

（2）在圖2中，根據“辦法二”的作圖方法，使用直尺和圓規補全圖形（保留作圖痕跡）；

（3）寫出“辦法二”的推理過程.

9

26.（教材呈現）下面是華師版八年級下冊教材第89頁的部分內容.

如圖，G,H是平行四邊形A2CD對角線AC上的兩點，且AG=CH,E,F分別是邊AB和

CD的中點

求證：四邊形E//FG是平行四邊形

證明：連接EF交AC于點。

?.?四邊形ABC。是平行四邊形

：.AB=CD,AB//CD

又尸分別是AB,CD的中點

：.AE^CF

又,：ABHCD

：.ZEAO=ZFCO

XVZAOE^ZCOF

：.△AOEdC。尸

請補全上述問題的證明過程.

（探究）如圖①，在△ABC中，E,。分別是邊48、4c的中點，。、F分別是線段AO、

CO的中點，連結DE、EF,將4DEF統點、。旋轉180。得到△DGF,若四邊形DEFG的面

積為8,則4ABC的面積為.

（拓展）如圖②，G”是正方形ABC。對角線AC上的兩點，且AG=CH,GH^AB,E、F

分別是48和CO的中點.若正方形ABCD的面積為16,則四邊形EHFG的面積為.

10

27.在正方形ABCD中，E為邊CD上一點（不與點C、。重合），垂直于8E的一條直

線MN分別交BC、BE、AO于點“、P、N,正方形ABC。的邊長為6.

（1）如圖1,當點M和點。重合時，若AN=4,求線段尸M的長度；

（2）如圖2,當點M在邊8C上時，判斷線段AN、MB、EC之間的數量關系，并說明

理由;

（3）如圖3,當垂足P在正方形ABCD的對角線AC上運動時，連接N8,將△8PN沿

著8N翻折，點P落在點尸處，A3的中點為。，直接寫出P'Q的最小值.

28.如圖1所示，菱形ABCD的頂點A,B在x軸上，點A在點B的左側，點。在y軸的

正半軸上，其中點D（0,6）.

11

(1)求C點的坐標；

(2)如圖2,E是AO上一點，且4E=U,尸是4c上一動點，求PD+PE的最小值；

4

(3)如圖3,動點。從點8出發，以每秒°個單位長度的速度，沿折線6fCfO在菱

4

形的兩邊上勻速運動，設運動時間為f秒.若點。到8。的距離是|■，則/=.

12

參考答案

1.C

【分析】

根據矩形的判定條件逐項進行分析判斷即可；

【詳解】

解：4、■:AD//BC,AD=BC,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

???AC=8。，

???平行四邊形A3C。是矩形，故選項A不符合題意；

B、YAD//BC,AD=BC,

，四邊形ABC。是平行四邊形，ZA+ZB=180°,

乙4=N8,

ZA=ZB=90°,

,平行四邊形A8CO是矩形，故選項3符合題意；

C、■:AD//BC,

：.ZA+ZB=ZC+ZD=\SO°f

?rZA=ZC,

:?/B=ND,

???四邊形ABC。是平行四邊形，AB=CD,故選項C不符合題意;

D、?:AD〃BC,

：.ZA+ZB=180°,

*/ZA=ZB,

,NA=N8=90。，

：.ABA.AD,AB1.BC,A8的長為AO、BC間的距離，

又???A3=CO,

：.CDLADf

：,NAOC=90。，

???四邊形ABC。是矩形,

???選項。不符合題意；

13

故選：c.

【點撥】

本題主要考查了矩形的判定，準確分析判斷是解題的關鍵.

2.C

【分析】

由折疊的性質、矩形的性質與角平分線的性質，可證得CF=FM=O氏根據折疊性質和矩

形性質證明再根據等腰三角形三線合?可證得BFLEN；易證得△BEN是等腰三

角形，但無法判定是等邊三角形；根據角平分線性質、矩形性質得BM=BC=AZ)=2OE=

2EM,即可得EB=3EM,根據等高三角形的面積比等于對應底的比，即可求解.

【詳解】

解：???四邊形ABC。是矩形，

.",Z￡>=ZBCD=90°,

由折疊的性質可得：ZEMF=ZD=90°,DF=MF,

HPFMLBE,CFLBC,

■:BF平分NEBC,

：.CF=MF,

：.DF=CF,

故選項A正確；

'：AD//BN,

：.ZN=ZDEF,

由折疊性質可得NDEF=/MEF,

ZN=ZMEF,

：.BE=BN,

?:CD平分NEBC,

:.BF上EN,

故選項B正確；

,:BE=BN,

...△BEN是等腰三角形，

但NA3E度數未知，故無法求得△BEN各角的度數,

14

...△BEN不一定是等邊三角形，

故選項C錯誤；

,JFM^BE,CF±BC,BF平分NEBC,

：.NBFM=ZBFC,

：.BM=BC=AD=2DE=2EM,

：.BE=3EM,

SASEF=3SAEMF=3SADEF，

故選項D正確.

故選：C.

【點撥】

此題考查了折疊的性質、矩形的性質、角平分線的性質等知識，熟知相關知識，證明8E=8N

是解題關鍵.

3.A

【分析】

由題意得，MNLAB,根據平行四邊形的性質得到AB=CD=2也,延長CO交

MN于G,根據等腰直角三角形的性質得到。6=反；=￥力《=拒，根據勾股定理即可得

到結論.

【詳解】

解：延長CO交MN于G,

由題意得，MN1AB,

?；四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AB/7CD,AB=CD=2及,

：.MN1CG,

：.NCGN=90°,

：/CD4=135°,

15

，NEDG=45。，

???△OEG是等腰直角三角形，

:?DG=EG,

由勾股定理得DC^+EG^DE2,

:.DG=EG=§DE=母,

：.CG=CD+DG=3ji,

CE=4CG-+GE2=43后+(何=275.

故選：A.

【點撥】

本題考查了作圖-基本作圖、平行四邊形的性質、等腰直角三角形的判定和性質等知識，正

確的識別圖形是解題的關鍵.

4.B

【分析】

根據題意可得AB=a,AB+AO=a+5,據此可得40=5,同理可得00=4,進而得

出CD+AB=15—4—5=6,由平行四邊形的性質可得A6=8=3,由勾股定理的逆定

理可得△80是直角三角形，再根據三角形的面積公式計算即可.

【詳解】

解：由題意，可知當點P運動到點A時，點P運動ras,

AB=1xa=a,

當點P運動到點0時，點P運動了(a+5)s,

即AB+AO=a+5,

*'?AO=5，

同理，可得O￡>=a+9—(a+5)=4,

CD+AB=15—4—5=6,

四邊形ABC。是平行四邊形，

AB=CD-3，

在ACDO中,

16

"CO2CD2+0D2^

，△COD是直角三角形，

S△Cr-nCznLz=-2x3x4=6,

AO=CO,

=2S.COD=12，

S°ABCD=2S?ACD=2x12=24?

故選：B.

【點撥】

本題考查動點問題的函數圖象，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數

形結合的思想解答問題.

5.A

【分析】

由菱形的性質得出OA=OC=6,OB=OD,ACLBD,則AC=I2,由直角三角形斜邊上的中線

性質得出再由菱形的面積求出8。=8,即可得出答案.

【詳解】

解：???四邊形A8C。是菱形，

：.OA=OC=6,OB=OD,AC±BD,

AAC=12,

DHLAB,

：.NBHD=90。,

：.OH=-BD,

2

?.?菱形ABC。的面積=,xACx80=^x12x50=48,

22

:.BD=8,

：.OH=>BD=4；

2

故選：A.

【點撥】

17

本題考查了菱形的性質，直角三角形的性質，菱形的面積公式，解題的關鍵是根據直角三角

形斜邊上的中線性質求得OH='8。.

2

6.B

【分析】

根據角平分線和平行可得勾股定理求出EC即可.

【詳解】

解：在矩形A3CD中，AB=CD=3.BC=A￡>=4，

E4平分NBED，

/.ZBEA=ZAED，

?/AB//CD.

:?ZBEA=ZDAE，

ZDEA=ZDAE，

AD=ED=4,

EC=VDE2-DC2=742-32=^-

BE=4-幣；

故選：B.

【點撥】

本題考查了矩形的性質，角平分線性質，等腰三角形的判定和勾股定理，解題關鍵是通過角

平分線和平行得出等腰三角形，熟練運用勾股定理求線段長.

7.A

【分析】

先利用菱形ABCO的性質證明AFOB'FOD,可得FB=FD,再同理可得

FD=ED,ED=EB,從而判斷甲正確；連接8。交AC于0,利用四邊形ABCD是菱形，

可得AC_L8O,AO=CO,80=。。，再證明。尸=0E,即可判斷乙正確，從而可得丙判斷錯

誤.

【詳解】

解：；菱形A8CD,

18

AB=BC=CD=AD,AC±BD,OA=OC,OB=OD,

:.NFOB=NFOD=9U0,

\FO=FO,

:AFOBQAFOD,

FB=FD,

同理可得：FD=ED,ED=EB,

..FB=FD=DE=BE,

，四邊形FBED是菱形.故甲正確;

連接BD交AC于0,

???四邊形ABCC是菱形，

：.AC±BD,AO^CO,80=。。，

'：AF=CE,

：.0F=0E,

；?四邊形FBE。是菱形.故乙正確：

由甲，乙正確，可得丙的說法不正確；

故選：A.

【點撥】

本題考查的是菱形的判定與性質，掌握菱形的判定方法是解題的關鍵.

8.A

【分析】

探究點E的運動軌跡，尋找特殊位置解決問題即可.

19

【詳解】

解：如圖I中,

圖1

?.?四邊形A8C力是矩形,

.'.AB//CD,

由翻折的性質可知：Z1=Z2,

.*.Z2=Z3,

'-,NF=ylB'C'2+NC'2=V22+l2=右(cm),

BM=NB'=y/5(cm).

如圖2中，當點M與A重合時，

同理可得：AE=EN,

設AE=EN=xcm,

圖2

20

在放AAOE中，則有X?=22+(4-X)2,解得X=3,

2

53

DE=4----=—(cm),

22

如圖3中，當點3運動到MB」A8時,DE的值最大，DF=5-1-2=2(cm),

圖3

如圖4中，當點M運動到點房落在CO時，

。9（即。E"）=5—1一番=（4一逐）（cm）,

圖4

二點E的運動軌跡ETE—E",

運動路徑=￡￡+￡3'=2--+2—（4—逐）=（逐）（cm）.

22

故選：A.

【點撥】

本題考查了翻折變換，矩形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所

學知識解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

9.C

【分析】

如圖，過點尸作于J,過點。作。K_LBC于K.想辦法求出PB,BK,QK,再利

用勾股定理即可解決問題.

21

【詳解】

解：如圖，過點尸作于J,過點。作QK1_8c于K.

?.?四邊形48c力是正方形，

ZA=ZABC=90°,AB=AD=4,

由翻折的性質可知，EG=DE,

設EG=DE=x,

在放△AEG中，則有22+(4-x)2=乂2,

.5

.,.x=一,

2

5

：.EG=DE=~,

2

YEFLDG,

：.ZFEJ+ZADG=9Q°,ZADG+ZAGD=90°,

：.NFEJ=NAGD,

VZA=ZFJ￡=90°,FJ=AB=AD,

:.AFJEqMDAG(A4S),

：.EJ^AG=2,

：.DJ=CF^—,

2

7

：.BF=BC-CF=-,

2

,:BD:垃AB=4五,DE//BF,

：.BQ-.DQ=BF：DE=7：5,

77

BQ=一BD=-y/2,

123

*NKBQ=45。,

22

7

：,BK=QK=~,

?.,/A=NGBP=90。，AG=G8,NAGE=NBGP,

...△AGEg/XBG尸(ASA),

3

：.AE=PB=~,

2

3723

:.PK=PB+BK=-+-=—,

236

PQ=W+PK?=J.+令=空-

故選：c.

【點撥】

本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是正

確尋找全等三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

10.B

【分析】

設矩形的面積為S,則5ACOE=SA"L二"S,由圖形可知，S+96=SACDE+SAA8c+12+32+S口

2

彭，從而得到陰影部分的面積

【詳解】

解：設矩形的面積為S,作AN1BC

SACl)E=—EM?CD,SAABC——AN?BC

22

又丁四邊形為矩形

???AN=CD,EM=BC

則CDE=S&ABC=-S,

2

S+96=SACDF+SA4BC+12+32+5陰影

S陽%二S-SACDE-SAABC-\2-32+96

23

Su],=S-—S--S-12-32+96

22

51^=96-32-12=52.

故選：B

【點撥】

本題考查陰影部分的面積，分析整體和部分的和差關系，利用相加、相減的方法是常用的方

法

11.B

【分析】

先連接FH，求出8。//方H,再將求的面積轉化為求AB/卯的面積即可.

【詳解】

解：如圖，連接尸”，

:菱形A8CQ和菱形EFG”，ZA^ZE,

???/ADC=/EFG，

r.ZBDC=ZEFH,

二BD//FH,

，NBDH和M3DF同底等高，

??^\BDH=^\BDF，

菱形ABCD面積為9cm2,△BCF的面積為4cm2,

S.DF=S^DC+Sg=gx9+4=8.5(?2),

??SABDH—8.5(.

故選：B.

【點撥】

本題考查了菱形性質及其應用，解決本題的關鍵是利用同底等高將求她力”的面積轉化為

24

求Afi。尸的面積，考查了學生的分析和推理的能力，運用了轉化的思想方法.

12.372

【分析】

取。F的中點〃，CF的中點。，連接用”，NQ,過點“作MKLN。于K,由三角形中位

線定理可得NQ=^EF=4,M”=gGF=l,MH〃EF,NQ//EF,HQ=gcD=3,由勾

股定理可求解.

【詳解】

解：如圖，取Q尸的中點H,CF的中點0,連接M",NQ,過點M作MKJ_N。于K,

'：EF〃BC,AB//CD,

四邊形8CFE是平行四邊形，

又?..NBC￡>=90°,

???四邊形BCFE是矩形，

：.EF=BC=AD=S,

???何、N分別為GD、EC的中點，，是。尸的中點，。是C廠的中點，

:.NQ=；EF=4,GF^1,MH〃EF,NQ〃EF,HQ=—CD=3,

:.MH〃NQ,

■:KM1NQ,NNQD=90。,

:.MK〃HQ,

???四邊形MHQK是平行四邊形，

:.MK=3,KQ=MH=1,

:.NK=3,

:.MN=6MK=3O,

故答案為3萬.

25

【點撥】

本題考查了矩形的判定和性質，三角形中位線定理等知識，添加恰當輔助線構造直角三角形

是本題的關鍵.

13.曬.

【分析】

延長CM,使CD=MN,連接AM證明AAMN/ABMCXSAS),由全等三角形的性質得出

BC=AN=5,ZNAM=NB,山勾股定理求出DN=回，由中垂線的性質得出答案.

【詳解】

解：延長CM,使C￡>=MM連接AN,

如圖所示:

,/點M是Rt^ABC斜邊AB的中點,

/?AM=BM,

在AAAW和ABMC中,

AM=BM

<4AMN=NBMC,

MN=CM

^AMN^^BMC(SAS),

ABC=AN=5,ZNAM^AB.

：.AN//BC,

'：ZBCA=90°.

ZA64￡>=90°,

DN=JAN?+AD?=>/52+22=曬-

VDMVCM,CM=MN

26

；?CD=DN=曬，

故答案為：V29.

【點撥】

本題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理，中垂線的性質，直角三角形的性質，熟練

掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

14.180°〃

【分析】

根據多邊形的內角和公式即可得.

【詳解】

???四邊形ABC。是矩形，

.-.ZC=Z￡>=90°,

設剪n刀得(〃+1)個角的和為x，則所得多邊形的角的個數為“+1+2=〃+3個，

由多邊形的內角和公式得：》+90。+90。=180。(〃+3—2),

解得x=180°〃，

故答案為：180°n.

【點撥】

本題考查了多邊形的內角和公式，熟練掌握多邊形的內角和公式是解題關鍵.

15.372

【分析】

延長E尸到G,使FG=ER連接8G,FG,可得△8FG是等腰直角三角形，得到8G=

05F=2&，根據三角形中位線定理得AG=2FM,由勾股定理求出48,再根據三角形

三邊關系可求出AG的最大值，從而可得結論.

【詳解】

解：延長E/到G,使/G=E/,連接BG,FG,如圖，

27

A

G

?.?四邊形BDE尸是正方形，

:.BF=EF,NBFE=90。

：.ZBFG=90°

...△8FG是等腰直角三角形，

:.BG=6BF=也義2=26,

在RmABC中，ZC=90°,AC=BC=4

2

AB=VAC+sc2=4V2

,/AB-BG<AG<AB+BG

-■?2拒WAGW6加

y/2<FM<3直

線段RW的最大值是3亞

故答案為：3^2

【點撥】

此題主要考查了正方形的性質、等腰直角三角形的判定與性質，三角形中位線定理，銀河股

定理等知識，能正確作出相關的輔助線是解決本題的關鍵.

16.6

【分析】

連接AG,CG,利用“斜中半”定理推出AACG為等腰三角形，并根據題意求出NECG=30。,

ZGFC=90°,從而在RdCGF中求解CF,即可得出結論.

28

【詳解】

如圖所示，連接4G,CG,

由題意，△A8D與△C8O均是8。為斜邊的直角三角形,

：.AG=—BD,CG=—BD,

22

即：AG=CG,4ACG為等腰三角形，

VZCBD=15°,CG=BG,

：.NCGE=2NC8O=30°,

?:EC=EG,

：.NECG=NCGE=3。。,

又?.?尸為AC的中點，

；.G尸為△ACG的中線，AF=CF,

，由“三線合一''知，GF±AC,ZGFC=900,

,:FG=5

:.CF=^FG=3,

：.AC=2CF=6,

故答案為：6.

【點撥】

本題考查了直角三角形的“斜中半”定理，以及等腰三角形的判定與性質等，靈活運用直角三

角形的相關性質是解題關鍵.

17.

【分析】

29

由題意可證四邊形AOMN是矩形，可得04=MN=3,AN=OM,由折疊的性質可得￡>M=1,

DN=2,由勾股定理可求0M的長，可得AN=2&，由勾股定理可求AC的長，即可求解.

【詳解】

解：:MNL軸，A8〃x軸，

：.MN±AB,

XVZAOM=90°,

四邊形AOMN是矩形，

：.0A=MN=3,AN=OM,

,:DN=2DM,

：.DM=\,DN=2,

..?將△04C沿0c折疊，

：.0D=0A=3,AC=CD,

0M=y]OD2-DM2=^/9^T=2應-

:.AN=2近,

■:CD^CbP+DN1,

（20FC）2+4,

???心逑，

2

2

故答案為：（逑，3）.

2

【點撥】

本題考查了翻折變換，矩形的判定和性質，勾股定理等知識，求出0M的長是本題的關鍵.

18.22019

【分析】

首先求出Si、S2、珀，然后歸納命題中隱含的數學規律，即可解決問題.

【詳解】

30

解：???四邊形OA4B是正方形，

：.OA=AAi=A\Bi=\t

.*.5i=—xlxl=—=2"2,

22

TN044=90。，

.'.OAi2=l2+l2=2,

**?OA]—,

So=gx5/2x5/2=1=22",

'.'ZOAiA2=90°f

OA2=A2A3=血。4=2,

12

/.5s=—x2x2=2=2：

2

同理可得：54=24-2,…，Sn=2n-2,

.'.S2021=22021-2=22019.

故答案為：2刈%

【點撥】

本題考查了正方形的性質、等腰直角三角形的性質、三角形面積的計算、規律型等知識；熟

練掌握正方形的性質與三角形面積的計算，找出規律是解題的關鍵.

19.114°

【分析】

根據兩直線平行，內錯角相等可得NEF8=ND再根據翻折的性質，圖c中NEF8處重

疊3層，然后根據/仃七二180。?3/石尸8代入數據行計算即可得解

【詳解】

,/ZDEF=22°

長方形ABCD的對邊AD//BC

：.ZEFB=ZDEF=22°

由折疊，NEFB處折疊了3層

：.ZCFE=]S00-3ZEFB

=180°—3x22°

=114°

31

故答案為：114。

【點撥】

本題考查折疊問題，熟知折疊中蘊含著全等，有相等的角與邊進行分析是關鍵.

20.55

【分析】

延長EB交MG于H,延長ED交NG于Q,根據三角形的外角的性質得出

NGHE=NGMB+120，NGQE=NDNG+135,再根據四邊形的內角和定理即可得

出答案；

【詳解】

解：延長EB交MG于H,延長ED交NG于Q,

???一副三角板如圖旋轉，共中NC=30°，N0=45。，

ZMBH=120。，NNDQ=135。，

ZGHE=NGMB+120，NGQE=NDNG+135。，

在四邊形GHEQ中，ZGHE+ABED+ZGQE+NMGN=360,

ZGMB+120°+ZBED+4DNG+135°+乙MGN=360°

VZMGN=50。，

NGMB+120。+/BED+ZDNG+1350+50。=360

ZGMB+ZBED+NDNG=55；

32

【點撥】

本題考查了三角形的外角的性質以及四邊形的內角和定理，熟練掌握相關的知識是解題的關

鍵.

21.2M-2

【分析】

根據矩形的性質和軸對稱的性質，可以得到B'E的值，然后根據勾股定理可以得到。石的

值，從而可以得到點3'在匕時，取得最小值.

【詳解】

解：連接DE,則

???四邊形ABCD是矩形，AB=4,AT>=6,點七為AB邊的中點，點3和點8'關于Ef

對稱，

:.AE=BE=BE=2,ZA=90°,

DE=y/AE2+AD2=《2。+62=2M>

,/DE-EB'<B'D,

二當點8'在線段DE上時，取得最小值，此時=—8后=2加一2，

故答案為：2M-2.

【點撥】

本題主要考查了線段最小值求法，涉及了矩形的性質、軸對稱的性質、勾股定理，解答本題

的關鍵是明確當點3'在線段DE上時，B'D取得最小值.

l3

22.(J5——)

2

【分析】

探究點E的運動軌跡，尋找特殊位置解決問題即可.

33

【詳解】

解：如圖I中,

圖1

?..四邊形A8C￡＞是矩形，

J.AB//CD,

.\Z1=Z3,

由翻折的性質可知：Z1=Z2,BM=MB'，

；./2=/3,

:.MB'=NB'，

。N&=+NC，2=J12+22=&■(cm),

Z.BM=MB'=NB'=-j5(cm),DB'=4-75：

如圖2中，當點例與A重合時，AE=EN,設AE=EN=xcm,

圖2

在RSADE中，則有/=22+(4-x)2,解得尸之，

2

34

53

?*.DE=4----=—(cm),

22

如圖3中，當點M運動到用時，OE的值最大，DE'=5-1-2=2（cm）,

圖3

如圖4中，當點M運動到點B'落在CO時，OB'（即DE"）=4-正（cm）,

圖4

3

.?.點E的運動軌跡ETE'-E",運動路徑=七七'+后〃&=2-5+2-（4-5/5）=（6-

3

—）（cm）.

2

故答案是：（、后）

2

【點撥】

本題考查翻折變換，矩形的性質，利用勾股定理解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題

意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

23.5+75+710

【分析】

35

建立平面直角坐標系，通過函數的方法求出〃'、E、R三點的坐標，從而結合兩點的距離

公式分別求出AEFH'的三邊長，從而得出結論

【詳解】

如圖所示，以8為原點建立直角坐標系，連接"'與GF交于尸點，

由四邊形ABCD為正方形，則設A（0,3a）,C（3a,0）,D（3a,3a）,

：CE=2DE.

E（3a,2a）,

???直線BO的解析式為：yBD=x,

設直線AE的解析式為：yAE=ktx+bt,

將A（0,3a）,￡（3a,2a）代入得:

解得卜T,

/7,=3a

3ak\+b\=2Q

b、二3〃

?,?直線川石的解析式為：丫4￡=—§x+3a，

聯立直線AE與宜線BD的解析式得:

9

y二xx=-a

4

1。解得：《；，即:

y=——X+3Q

3

??,FG-LAE,

,,^GF=一1，^GF=3，

則設直線GF的解析式為：>GF=3X+4,

（99、9

將G二名7“代入得：歷=--a,

<44J2

9

???直線GF的解析式為：為/=3X-/Q,

令丁=0,解得：工二一二。，即：F\-a^

2\2

36

設直線AF的解析式為：yAF=k3x+b3,

將A（0,3a）,尸仁兄。卜入得：

h3=3a

4

直線AF的解析式為：y.=-2x+3a,

聯立直線AF與直線BD的解析式得：

=一21+3。x=a

,即：

":H、H'為對稱點，AE±GF,

：?HH」GF,AE//HHr,

設直線”“'的解析式為：％y/r=—gx+2，

將”（a,a）代入得：

14

xa

???直線的解析式為：yHH---+-'

聯立直線HH'與直線GF的解析式得：

147

y=—x4—ax=—a—

,334（73