素養提升課(二)平拋運動規律的應用第五章

拋體運動學習任務1．掌握平拋運動的推論并用來解決相關平拋運動的實際問題。2．能熟練運用平拋運動規律解決斜面上的平拋運動問題。3．掌握平拋中的臨界值極值問題的處理方法。探究重構·關鍵能力達成探究1

平拋運動的兩個推論推論1：從拋出點開始，任意時刻速度偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍，如圖所示。證明：推論2：從拋出點開始，任意時刻速度的反向延長線過水平位移的中點，如圖所示。證明：【典例1】如圖所示，一小球自傾角為θ的固定斜面頂端沿水平方向拋出后落在斜面上，小球與斜面接觸時速度方向與水平方向的夾角φ滿足(

)A．tanφ＝sinθ

B．tanφ＝cosθC．tanφ＝tanθ D．tanφ＝2tanθ√

[針對訓練]1．如圖為一物體做平拋運動的軌跡，物體從O點拋出，x、y分別表示其水平和豎直的分位移。在物體運動過程中的某一點P(x0，y0)，其速度vP的反向延長線交x軸于A點(A點未畫出)。則OA的長度為(

)A．x0

B．0.5x0C．0.3x0 D．不能確定√

法二由平拋運動的推論知，物體做平拋運動時速度矢量的反向延長線過水平位移的中點，故OA的長度為0.5x0。]

√√

探究2

與斜面(曲面)相關的平拋運動1．兩類與斜面相關的平拋運動(1)常見的有兩類問題①物體從斜面上某一點拋出以后又重新落到斜面上，此時平拋運動物體的合位移方向與水平方向的夾角等于斜面的傾角。②做平拋運動的物體垂直打在斜面上，此時物體的合速度方向與斜面垂直。(2)基本求解思路題干信息實例處理方法或思路速度方向垂直打在斜面上的平拋運動題干信息實例處理方法或思路位移方向從斜面上水平拋出后又落在斜面上的平拋運動2．常見的兩種與曲面相關的平拋運動(1)拋出點和落點都在圓面上。如圖所示，一小球從與圓心等高的半圓形軌道的A點以v0水平向右拋出，落在圓形軌道上的C點。(2)拋出點在圓面外，落點在圓面上。如圖所示，一小球從一半圓軌道左端A點正上方某處開始做平拋運動，飛行過程中恰好與半圓軌道相切于B點。角度1

與斜面相關的平拋運動【典例2】如圖所示，一個小球從高h＝10m處以水平速度v0＝10m/s拋出，撞在傾角θ＝45°的斜面上的P點，已知xAC＝5m，重力加速度大小取g＝10m/s2。求：(1)P、C之間的距離；(2)小球撞擊P點時速度。

角度2

與曲面相關的平拋運動【典例3】

(多選)如圖所示，一個半徑R＝0.75m的半圓柱體放在水平地面上，一小球從圓柱體左端A點正上方的B點水平拋出(小球可視為質點)，恰好從半圓柱體的C點掠過。已知O點為半圓柱體的圓心，OC與水平方向夾角為53°，重力加速度取g＝10m/s2，則(

)A．小球從B點運動到C點所用時間為0.3sB．小球從B點運動到C點所用時間為0.5sC．小球做平拋運動的初速度為4m/sD．小球做平拋運動的初速度為6m/s[思路點撥]將小球在C點的速度和經過的位移沿水平方向和豎直方向分解，然后利用圓的幾何特點結合平拋運動規律進行求解，注意速度方向與水平方向夾角的正切值等于位移方向與水平方向夾角正切值的2倍。√√

[針對訓練]3．(多選)如圖所示，從半徑為R＝1m的半圓PQ上的P點水平拋出一個可視為質點的小球，經t＝0.4s小球落到半圓上。已知當地的重力加速度g＝10m/s2，據此判斷小球的初速度可能為(

)A．1m/s

B．2m/sC．3m/s D．4m/s√√

√√√

探究3

平拋中的臨界、極值問題1．將平拋運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，是求解平拋運動的基本方法。2．分析平拋運動中的臨界問題時一般運用極限分析的方法，即把要求的物理量設定為極大或極小，讓臨界問題突顯出來，找出產生臨界的條件。3．確定臨界狀態，并畫出軌跡示意圖。4．注意適當運用數學知識分析求解有關臨界與極值的問題。【典例4】如圖所示，排球場的長為18m，假設球網的高度為2m。運動員站在離網3m遠的線上，正對球網豎直跳起，把球垂直于網水平擊出。(不計空氣阻力，g取10m/s2)(1)設擊球點的高度為2.5m，球被水平擊出時的速度在什么范圍內才能使球既不觸網也不出界？(2)若擊球點的高度小于某個值，那么無論球被水平擊出時的速度為多大，球不是觸網就是出界，試求出此高度。[思路點撥]排球被擊出后做平拋運動，若速度過大就會出界，若速度過小就會觸網。

(2)如圖所示為排球恰不觸網也不出界的臨界軌跡。設擊球點的高度為h，根據平拋運動的規律有

規律方法

平拋運動臨界、極值問題的常見特點(1)有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界點。(2)如題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起止點”，而這些“起止點”往往就是臨界點。(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值，這些極值也往往是臨界點。[針對訓練]5．小亮在河岸做拋石子游戲。如圖所示為河的橫截面示意圖，小亮自O點以垂直岸邊的水平速度向對岸拋石子。已知O點離水面AB的高度為h，O、A兩點間的水平距離為x1，水面AB的寬度為x2，重力加速度為g，不計空氣阻力。(1)若石子直接落到水面上，求其在空中飛行的時間t；(2)為使石子直接落到水面上，求拋出的速度v0的大小范圍。

探究4

類平拋運動的分析與求解1．類平拋運動類平拋運動是一種勻變速曲線運動。在初速度方向上不受力，初速度保持不變；在與初速度垂直的方向上存在一恒力，區別于平拋運動中的重力。2．類平拋運動的特點及處理方法受力特點物體所受合力為恒力，且與初速度的方向垂直運動特點處理方法常規分解將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的勻加速直線運動，兩個分運動彼此獨立、互不影響，且與合運動具有等時性特殊分解對于有些問題，可以過拋出點建立適當的直角坐標系，將加速度分解為ax、ay，初速度v0分解為vx、vy，然后分別在x、y軸方向列方程求解【典例5】如圖所示的光滑斜面長為l，寬為b，傾角為θ，一物塊(可看成質點)沿斜面左上方頂點P水平射入，恰好從底端Q點離開斜面，取重力加速度為g，試求：(1)物塊由P運動到Q所用的時間t；(2)物塊由P點水平射入時的初速度v0；(3)物塊離開Q點時速度的大小v。[思路點撥]

(1)物塊沿斜面做類平拋運動。(2)物塊沿垂直于初速度方向的加速度為gsinθ。(3)物塊沿水平方向的位移為b。

規律方法

類平拋運動問題的求解思路(1)分析物體的初速度與受力情況，確定物體做類平拋運動的加速度，并明確兩個分運動的方向。(2)利用兩個分運動的規律求解分運動的速度與位移。(3)根據題目的已知條件與未知條件，充分利用運動的等時性、獨立性、等效性。[針對訓練]6．如圖所示，質量為m的飛機以水平速度v0飛離跑道后逐漸上升，若飛機在此過程中水平速度保持不變，同時受到重力和豎直向上的恒定升力(該升力由其他力的合力提供，不含重力)。今測得當飛機在水平方向的位移為l時，它的上升高度為h。求：(1)飛機受到的升力大小；(2)在高度h處飛機的速度大小。

一、選擇題1．如圖所示，斜面上有a、b、c、d四個點，ab＝bc＝cd。從a點正上方的O點以速度v0水平拋出一個小球，它落在斜面上b點。若小球從O點以速度2v0水平拋出，不計空氣阻力，則它落在斜面上的(

)A．b與c之間某一點 B．c點C．c與d之間某一點 D．d點1題號23456789√101112素養提升練(二)A

[當水平速度變為2v0時，如果去掉斜面，作過b點的水平直線be，小球將落在c點正下方的直線上的e點，連接O點和e點的曲線，和斜面相交于bc間的一點(如圖)，即以速度2v0水平拋出小球時將落在斜面上的b與c之間的某一點。]1題號234567891011122．如圖所示，斜面底端上方高h處有一小球以水平初速度v0拋出，恰好垂直打在斜面上，不計空氣阻力，斜面的傾角為30°，則關于h和初速度v0的關系，下列圖像正確的是(

)√1題號23456789101112

A

B

C

D

1題號234567891011123．如圖所示，從傾角為θ的斜面上某點先后將同一小球以不同的初速度水平拋出，小球均落在斜面上，當拋出的速度為v1時，小球到達斜面時速度方向與斜面的夾角為α1；當拋出速度為v2時，小球到達斜面時速度方向與斜面的夾角為α2，不計空氣阻力，則(

)A．當v1>v2時，α1>α2B．當v1>v2時，α1<α2C．無論v1、v2關系如何，均有α1＝α2D．α1、α2的關系與斜面傾角θ有關√1題號23456789101112

1題號234567891011124．(多選)如圖所示，一個電影演員準備跑過一個屋頂，水平地跳躍并離開屋頂，然后落在下一棟建筑物的屋頂上。如果他在屋頂跑動的最大速度是4.5m/s，那么下列關于他能否安全跳過去的說法正確的是(g取10m/s2)(

)A．他安全跳過去是可能的B．他安全跳過去是不可能的C．如果要安全跳過去，他在屋頂水平跳躍速度應大于6.2m/sD．如果要安全跳過去，他在屋頂水平跳躍速度應小于4.5m/s√1題號23456789101112√

1題號234567891011125．如圖所示，甲、乙兩小球從豎直平面內的半圓軌道的左端A開始做平拋運動，甲球落在軌道最低點D，乙球落在D點右側的軌道上。設甲、乙兩球的初速度分別為v甲、v乙，在空中運動的時間分別為t甲、t乙，則下列判斷正確的是(

)A．t甲＝t乙 B．t甲<t乙C．v甲＞v乙 D．v甲＜v乙√1題號23456789101112D

[根據平拋運動規律可知，小球在空中運動的時間僅由下落高度決定，乙球下落高度小于甲球，故t乙＜t甲，選項A、B錯誤；水平位移x＝vt，而x乙＞x甲，t乙＜t甲，所以v甲＜v乙，選項D正確，C錯誤。]1題號234567891011126．利用手機可以玩一種叫“扔紙團”的小游戲。如圖所示，游戲時，游戲者滑動屏幕將紙團從P點以速度v水平拋向固定在水平地面上的圓柱形廢紙簍，紙團恰好沿紙簍的上邊沿入簍并直接打在紙簍的底角。若要讓紙團進入紙簍中并直接擊中簍底正中間，下列做法可行的是(

)A．在P點將紙團以小于v的速度水平拋出B．在P點將紙團以大于v的速度水平拋出C．在P點正上方某位置將紙團以小于v的速度水平拋出D．在P點正下方某位置將紙團以大于v的速度水平拋出√1題號23456789101112

1題號234567891011127．(多選)如圖所示，斜面AB固定在水平地面上，斜面的傾角α＝37°、長度為l＝1m。在頂點水平向左拋出一個小球，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不計空氣阻力，經過一段時間后，小球落在水平地面上或者斜面上，對于這一過程，下列說法正確的是(

)A．若小球的初速度為3m/s，則小球落在水平地面上B．若小球落在水平地面上，則小球在空中運動的時間為0.4sC．若小球落在斜面上，則初速度越大，落點處的速度方向與水平方向的夾角越大D．只要小球落在斜面上，落點處的速度方向與水平方向的夾角就都相同√1題號23456789101112√

1題號234567891011128．如圖所示，位于同一高度的小球A、B分別以v1和v2的速度水平拋出，都落在了傾角為30°的斜面上的C點，小球B恰好垂直打到斜面上，則v1、v2之比為(

)A．1∶1 B．2∶1C．3∶2 D．2∶3√1題號23456789101112

1題號234567891011129．(多選)如圖所示，水平屋頂高H＝5m，圍墻高h＝3.2m，圍墻到房子的水平距離L＝3m，圍墻外馬路寬x＝10m，為使小球從屋頂水平飛出落在圍墻外的馬路上，小球離開屋頂時的速度v0的大小的可能值為(g取10m/s2)(

)A．12m/s B．6m/sC．4m/s D．2m/s√1題號23456789101112√

1題號2345678910111210．如圖所示，abcd是傾角為θ的光滑斜面，已知ab∥dc，ab、bc均與ab垂直。在斜面上的a點，半甲球以速度v0沿ab方向入射的同時，在斜面上的b點將乙球由靜止釋放，則以下判斷正確的是(

)A．甲、乙兩球不可能在斜面上相遇B．甲、乙兩球一定在斜面上相遇C．甲、乙兩球在斜面上運動的過程中，總是在同一水平線上D．甲、乙兩球在斜面上運動的過程中，在相同時間內速度的改變可能不相同√1題號23456789101112C

[甲做類平拋運動，乙做初速度為零的勻加速直線運動，與類平拋運動沿斜面向下方向上的運動規律相同，可知甲、乙兩球在斜面上運動的過程中，相同時間內沿斜面向下的位移相同，即總是在同一水平線上，若斜面足夠長，兩球一定會在斜面上相遇，但是斜面不是足夠長，所以兩球不一定在斜面上相遇，故A、B錯誤，C正確；因為甲、乙兩球的加速度相同，則相同時間內速度的變化量相同，故D錯誤。]1題號23456789101112二、非選擇題11．如圖所示，水平地面上有一高h＝4.2m的豎直墻，現將一小球以v0＝6.0m/s的速度垂直于墻面水平拋出，已知拋出點與墻面的水平距離x＝3.6m、離地面高H＝5.0m，不計空氣阻力，不計墻的厚度。重力加速度g取10m/s2。(1)求小球碰墻點離地面的高度h1。(2)若仍將小球從原位置沿原方向拋出，為使小球能越過豎直墻，小球拋出時的初速度v的大小應滿足什么條件？1題號23456789101112

1題號23456789101112

1題號23456789101112[答案]

(1)3.2m

(2)v≥9.0m/s12．跳臺滑雪是一項勇敢者的運動，運動員穿專用滑雪板，在滑雪道上獲得一定的速度后從跳臺飛出，在空中飛行一段距離后著陸。如圖所示，某運動員從跳臺a處沿水平方向飛出，在斜坡b處著陸，測得ab間的距離L＝40m，斜坡與水平方向的夾角為θ＝30°，不計空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，則(計算結果可用根式表示)：1題號23456789101112(1)運動員在空中的飛行時間及在b處著陸時的速率是多少？(2)運動員飛出后經多長時間離坡面最遠，最遠距離是多少？(3)若斜坡足夠長、與水平方向的夾角為θ，則運動員在斜坡上飛行的距離L與運動員從跳臺a處水平飛出的速度v0之間有怎樣的函數關系？已知重力加速度為g。1題號23456789101112

1題號23456789101112

1題號23456789101112

1題號23456789101112

1題號23456789101112

章末綜合測評(一)√一、選擇題(共10小題，1～7題為單選題，8～10題為多選題)1．曲水流觴是我國古代漢族民間的一種傳統習俗。每年農歷三月上巳日，人們坐在河渠兩旁，讓盛著酒水的木杯(觴)順流而下，觴流經面前時，人們就取觴飲酒。如圖所示的觴隨著河水自西向東飄向下游時，突然吹來一陣南風，則之后觴可能的運動軌跡為(

)A．軌跡1

B．軌跡2C．軌跡3 D．軌跡4題號135246879101112131415章末綜合測評(一)動量守恒定律題號135246879101112131415B

[若沒有風吹，則觴隨著河水自西向東漂向下游，現有南風吹來，依據運動的合成與分解，之后觴可能的運動軌跡為2，不可能為1，原因是軌跡1沿河方向的速度最后變成了與水流相反的方向，也不可能是軌跡3或4，原因是吹的南風，合速度不可能不改變或是向下偏，故選B。]題號2134568791011121314152．2023年諾貝爾物理學獎授予三位物理科學家，表彰他們對于超快激光和阿秒物理科學的開創性工作。阿秒激光脈沖(1阿秒＝10-18秒)是目前人們所能控制的最短時間過程，可用來測量原子內繞核運動電子的動態行為等超快物理現象。其應用類似于頻閃照相機，下面三幅圖是同一小球，在同一地點，用同一頻閃照相儀得到的運動照片，下列說法正確的是(

)題號21345687910111213√1415A．三種運動過程中，小球的加速度逐漸增大B．前兩種運動小球處于完全失重狀態，而斜上拋運動的小球上升過程處于超重狀態C．三種運動過程中，相等時間內小球速度變化量相同D．三種運動過程中，相等時間內小球在豎直方向上位移相同題號23456879101112131415C

[三種運動小球均只受重力，小球處于完全失重狀態，加速度為重力加速度，保持不變，故A、B錯誤；平拋運動和斜拋運動水平方向分運動是勻速直線運動，水平分速度不變，只有豎直分速度變化，根據Δvy＝gΔt可知，三種運動過程中，相等時間內速度變化量相同，故C正確；自由落體運動和平拋運動相等時間內在豎直方向上的位移相同，斜上拋運動在豎直方向上做豎直上拋運動，與前兩種運動相等時間內位移不同，故D錯誤。]1題號324568791011121314153．如圖甲所示，一條小河寬度為d，兩河岸P、Q平行，一小船以恒定速度v0從河岸P出發，船頭總保持與河岸P垂直，河水速度v與小船離河岸P的距離x的關系圖像如圖乙所示，則小船在小河中運動的軌跡可能正確的是(

)√1題號32456879101112131415D

[在小船船頭垂直于河岸P勻速運動的過程中，河水的速度先增加，后減小，即小船沿河岸方向先加速后減速到零。故選D。]1題號4235687910111213√14154．如圖所示，中間有孔的物塊A套在光滑的豎直桿上，通過定滑輪用不可伸長的輕繩將物體拉著勻速向上運動。則關于拉力F及拉力作用點的移動速度v的下列說法正確的是(

)A．F不變、v不變

B．F減小、v減小C．F增大、v減小

D．F增大、v增大1題號42356879101112131415C

[設輕繩與豎直方向的夾角為θ，物塊A向上做勻速直線運動，設速度為v1，物塊在豎直方向受合力是零，則有Fcosθ＝mg，隨θ角的增大，拉力F增大；拉力作用點的移動速度為v＝v1cosθ，速度v1不變，隨θ角的增大，則v減小。故選C。]1題號2453687910111213√14155．某運動員進行高臺跳雪訓練，如圖所示，運動員從水平雪道末端以不同的初速度v0沿水平方向飛出，經時間t落到雪坡(可視為傾角為θ的斜面)上，此時其速度方向與雪坡的夾角為α，不計空氣阻力。下列關于t與v0、tanα與v0關系的圖像可能正確的是(

)1

A

B

C

D題號24536879101112131415

1題號2453687910111213√1415

1題號24536879101112131415

1題號2453768910111213√14157．如圖所示，在豎直平面內有一曲面，曲面方程為y＝x2，在y軸上有一點P，坐標為(0，6m)。從P點將一小球水平拋出，初速度為1m/s。則小球第一次打在曲面上的位置為(重力加速度g取10m/s2，不計空氣阻力)(

)A．(3m，3m) B．(2m，4m)C．(1m，1m) D．(1m，2m)1題號24537689101112131415

1題號2453867910111213√14158．如圖所示，有一條寬為50m的河道，一小船從岸邊的某點渡河。已知小船在靜水中的速度大小為5m/s，水流速度大小為3m/s。下列說法正確的是(

)A．小船渡河的最短時間是10sB．小船在河水中航行的軌跡是曲線C．小船渡河要位移最小，船頭應斜向上游，船與河岸的夾角應為53°D．小船在河水中的合速度大小可能為9m/s1√題號24538679101112131415

1題號24538679101112131415

1題號9245386710111213√14159．一質量為0.2kg的小球在如圖甲所示的xOy平面上運動，在x方向的v-t圖像和y方向的s-t圖像分別如圖乙、丙所示，下列說法正確的是(

)A．前2s內小球做勻變速直線運動B．小球的初速度大小為8m/sC．2s末小球的速度大小為4m/sD．前2s內小球所受合外力大小為0.8N1√題號92453867101112131415

1題號9245386710111213√141510．如圖所示，質量相同的乒乓球1、2落臺后恰好在等高處水平越過球網。不計乒乓球的旋轉和空氣阻力，乒乓球自起跳到最高點的過程中，下列說法中正確的是(

)A．起跳時，兩球在豎直方向的速度相同B．球1的飛行時間大于球2的飛行時間C．起跳時，球1與球2速度大小相等D．起跳時，球1的速度大于球2的速度1√題號92453867101112131415

1題號92453867101112131415二、實驗題(共2小題)11．“頻閃攝影”是攝像機每隔一定時間就對運動物體拍攝一次，因此拍攝到物體的圖像是不連續的，但從這些不連續的圖像中可發現物體運動的規律。小明利用如圖甲所示的裝置和頻閃攝影探究平拋運動的特點。1題號92453867101112131415(1)現有以下材質的小球，實驗中A、B球應當選用________。A．乒乓球B．塑料球C．鋼球(2)按順序進行實驗操作：①將A、B球放置實驗裝置甲上②調整頻閃攝像機位置，將頻閃攝像機正對實驗裝置甲所在的位置③打開攝像機，開始攝像④敲擊彈片，讓A、B球同時開始運動⑤小球落在實驗臺上時停止攝像其中步驟①中________(選填“需要”或“不需要”)將兩球重心調整至同一水平線。1C需要題號92453867101112131415(3)實驗中，A球沿水平方向拋出，同時B球自由落下，圖乙為某次實驗的頻閃照片，分析該照片，可得出的實驗結論是________。A．僅可判斷A球豎直方向做自由落體運動B．僅可判斷A球水平方向做勻速直線運動C．可判斷A球豎直方向做自由落體運動，水平方向做勻速直線運動(4)測得乙圖中A球連續3個位置的距離如圖丙所示，已知物體的實際大小與照片上物體影像大小的比值為k，重力加速度為g,則A球平拋的初速度表達式v0＝__________。1C

題號92453867101112131415(5)若A球從距實驗臺高度為0.8m處水平飛出，攝像機每秒頻閃20次，重力加速度g取10m/s2，則最多可以得到A球在空中運動的________個位置。18題號92453867101112131415[解析]

(1)為了減小空氣阻力的影響，實驗中A、B球應當選用鋼球。故選C。(2)為了保證A、B球運動的初位置高度相同，需要將兩球重心調整至同一水平線。(3)實驗中，A球沿水平方向拋出，同時B球自由落下，題圖乙為某次實驗的頻閃照片，從照片可以看出兩球在豎直方向具有相同的運動情境，即A球豎直方向做自由落體運動；從照片可以看出A球在相同時間內通過的水平位移相等，則A球水平方向做勻速直線運動。故選C。1題號92453867101112131415

1題號92453867101112131415

1題號9245386710111213141512．在“研究平拋運動”實驗中：(1)為描出鋼球做平拋運動的軌跡，要將鋼球在軌道上合適位置由靜止釋放，每次釋放鋼球的位置應________(選填“相同”或“不同”)。(2)如圖是橫擋條卡住平拋小球，用鉛筆標注小球最高點，確定平拋運動軌跡的方法，坐標原點應選小球在斜槽末端點時的________。1A．球心B．球的上端C．

球的下端相同B題號92453867101112131415(3)如圖是利用實驗裝置拍攝小球做平拋運動的頻閃照片，由照片可判斷實驗操作錯誤的是________。A．釋放小球時初速度不為0B．釋放小球的初始位置不同C．斜槽末端切線不水平1C題號92453867101112131415(4)如圖是利用穩定的細水柱顯示平