PAGE1-課時20事務之間的關系與運算學問點一事務的運算1.擲一個質地勻稱的正方體骰子，事務E＝{向上的點數為1}，事務F＝{向上的點數為5}，事務G＝{向上的點數為1或5}，則有()A．E?F B．G?FC．E＋F＝G D．EF＝G答案C解析依據事務之間的關系，知E?G，F?G，事務E，F之間不具有包含關系，故解除A，B；因為事務E與事務F不會同時發生，所以EF＝?，故解除D；事務G發生當且僅當事務E發生或事務F發生，所以E＋F＝G.故選C.2．盒子里有6個紅球，4個白球，現從中任取3個球，設事務A＝{3個球中有1個紅球，2個白球}，事務B＝{3個球中有2個紅球，1個白球}，事務C＝{3個球中至少有1個紅球}，事務D＝{3個球中既有紅球又有白球}．(1)事務D與A，B是什么樣的運算關系？(2)事務C與A的積事務是什么？解(1)對于事務D，可能的結果為“1個紅球，2個白球，或2個紅球，1個白球”，故D＝A＋B.(2)對于事務C，可能的結果為“1個紅球，2個白球，或2個紅球，1個白球，或3個均為紅球”，故CA＝A.學問點二事務關系的推斷3.從1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個數字中任取兩個數，分別有下列事務：①恰有一個是奇數和恰有一個是偶數；②至少有一個是奇數和兩個數都是奇數；③至少有一個是奇數和兩個數都是偶數；④至少有一個是奇數和至少有一個是偶數．其中，為互斥事務的是()A．① B．②④C．③ D．①③答案C解析①“恰有一個是奇數”和“恰有一個是偶數”是相等事務，故①不是互斥事務；②“至少有一個是奇數”包含“兩個數都是奇數”的狀況，故②不是互斥事務；③“至少有一個是奇數”和“兩個數都是偶數”不能同時發生，故③是互斥事務；④“至少有一個是奇數”和“至少有一個是偶數”可以同時發生，故④不是互斥事務．故選C.4．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參與演講競賽．推斷下列每對事務是不是互斥事務，假如是，再推斷它們是不是對立事務．(1)恰有1名男生與2名全是男生；(2)至少有1名男生與全是男生；(3)至少有1名男生與全是女生；(4)至少有1名男生與至少有1名女生．解(1)因為“恰有1名男生”與“2名全是男生”不行能同時發生，所以它們是互斥事務；當2名都是女生時它們都不發生，所以它們不是對立事務．(2)因為“2名全是男生”發生時“至少有1名男生”也同時發生，所以它們不是互斥事務．(3)因為“至少有1名男生”與“全是女生”不行能同時發生，所以它們互斥；由于它們必有一個發生，所以它們對立．(4)由于選出的是“1名男生1名女生”時，“至少有1名男生”與“至少有1名女生”同時發生，所以它們不是互斥事務．學問點三互斥事務的概率5.盒子里裝有6個紅球，4個白球，從中任取3個球．設事務A表示“3個球中有1個紅球，2個白球”，事務B表示“3個球中有2個紅球，1個白球”．已知P(A)＝eq\f(3,10)，P(B)＝eq\f(1,2)，則這3個球中既有紅球又有白球的概率是________．答案eq\f(4,5)解析記事務C為“3個球中既有紅球又有白球”，則它包含事務A“3個球中有1個紅球，2個白球”和事務B“3個球中有2個紅球，1個白球”，而且事務A與事務B是互斥的，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,10)＋eq\f(1,2)＝eq\f(4,5).6．在某超市的一個收銀臺等候的人數及相應的概率如下表所示：等候人數01234大于等于5概率0.050.140.350.300.100.06求：(1)等候人數不超過2的概率；(2)等候人數大于等于3的概率．解設A，B，C，D，E，F分別表示等候人數為0,1,2,3,4，大于等于5的事務，則易知A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)設M表示事務“等候人數不超過2”，則M＝A＋B＋C，故P(M)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.05＋0.14＋0.35＝0.54，即等候人數不超過2的概率為0.54.(2)設N表示事務“等候人數大于等于3”，則N＝D＋E＋F，故P(N)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.30＋0.10＋0.06＝0.46，即等候人數大于等于3的概率為0.46.學問點四對立事務的概率7.從一箱產品中隨機地抽取一件，設事務A＝{抽到一等品}，事務B＝{抽到二等品}，事務C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.則事務“抽到的不是一等品”的概率為()A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.3答案C解析由對立事務的概率知抽到的不是一等品的概率為P＝1－0.65＝0.35.8．某射擊手平常的射擊成果統計如下表所示：環數7環以下78910命中概率0.13ab0.250.24已知他命中7環及7環以下的概率為0.29.(1)求a和b的值；(2)求命中10環或9環的概率；(3)求命中環數不足9環的概率．解(1)因為他命中7環及7環以下的概率為0.29，所以a＝0.29－0.13＝0.16，b＝1－(0.29＋0.25＋0.24)＝0.22.(2)命中10環或9環的概率為0.24＋0.25＝0.49.(3)命中環數不足9環的概率為1－0.49＝0.51.易錯點不能區分事務是否互斥而錯用加法公式9.擲一個質地勻稱的骰子，向上的一面出現1點、2點、3點、4點、5點、6點的概率都是eq\f(1,6)，記事務A為“出現奇數”，事務B為“向上的點數不超過3”，求P(A＋B)．易錯分析由于忽視了“和事務”概率公式應用的前提條件，由于“朝上一面的數是奇數”與“朝上一面的數不超過3”這二者不是互斥事務，即出現1或3時，事務A，B同時發生，所以不能應用公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)求解，而致誤．正解記事務“出現1點”“出現2點”“出現3點”“出現5點”分別為A1，A2，A3，A4，由題意知這四個事務彼此互斥．則A＋B＝A1＋A2＋A3＋A4.故P(A＋B)＝P(A1＋A2＋A3＋A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).一、選擇題1．對空中飛行的飛機連續射擊兩次，每次放射一枚炮彈，設A＝{兩彈都擊中飛機}，B＝{兩彈都沒擊中飛機}，C＝{恰有一彈擊中飛機}，D＝{至少有一彈擊中飛機}，下列說法不正確的是()A．A?D B．BD＝?C．A＋C＝D D．A＋C＝B＋D答案D解析由于至少有一彈擊中飛機包括兩種狀況：兩彈都擊中飛機，只有一彈擊中飛機，故有A?D，故A正確．由于事務B，D是互斥事務，故BD＝?，故B正確．再由A＋C＝D成立可得C正確．A＋C＝D＝{至少有一彈擊中飛機}，不是必定事務，而B＋D為必定事務，故D不正確．故選D.2．下列說法正確的是()A．對立事務肯定是互斥事務，互斥事務不肯定是對立事務B．A，B同時發生的概率肯定比A，B中恰有一個發生的概率小C．若P(A)＋P(B)＝1，則事務A與B是對立事務D．事務A，B中至少有一個發生的概率肯定比A，B中恰有一個發生的概率大答案A解析依據對立事務和互斥事務的概念，得到對立事務肯定是互斥事務，互斥事務不肯定是對立事務，故A正確．對于兩個不行能事務來說，同時發生的概率與恰有一個發生的概率相等，且均為零，故B錯誤．若P(A)＋P(B)＝1，且AB＝?時，事務A與B是對立事務，故C錯誤．事務A，B中至少有一個發生包括事務A發生B不發生，A不發生B發生，A，B都發生；A，B中恰有一個發生包括A發生B不發生，A不發生B發生；當事務A，B互斥時，事務A，B至少有一個發生的概率等于事務A，B恰有一個發生的概率，故D錯誤．3．從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，若事務A＝“至少有1個白球”，則事務A的對立事務是()A．1個白球2個紅球 B．2個白球1個紅球C．3個都是紅球 D．至少有一個紅球答案C解析從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，若事務A＝“至少有1個白球”，則事務A的對立事務是所取的3個球中沒有白球，∴事務A的對立事務是3個都是紅球．故選C.4．一個袋子里有4個紅球，2個白球，6個黑球，若隨機地摸出一個球，記A＝{摸出黑球}，B＝{摸出紅球}，C＝{摸出白球}，則事務A＋B及B＋C的概率分別為()A.eq\f(5,6)，eq\f(1,2) B.eq\f(1,6)，eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)，eq\f(5,6) D.eq\f(1,3)，eq\f(1,2)答案A解析P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,6).因為事務A，B，C兩兩互斥，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(5,6).P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(1,2).5．在一次隨機試驗中，三個事務A1，A2，A3的概率分別是0.2,0.3,0.5，則下列說法正確的個數是()①A1＋A2與A3是互斥事務，也是對立事務；②A1＋A2＋A3是必定事務；③P(A2＋A3)＝0.8；④P(A1＋A2)≤0.5.A．0 B．1C．2 D．3答案B解析由題意知，A1，A2，A3不肯定是互斥事務，所以P(A1＋A2)≤0.5，P(A2＋A3)≤0.8，P(A1＋A3)≤0.7，所以，只有④正確，所以說法正確的個數為1.選B.二、填空題6．某人在打靶時，連續射擊2次，事務“至少有1次不中靶”的對立事務是________．答案2次都中靶解析事務“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”，其對立事務是“2次都中靶”．7．從一副撲克牌(52張，無大小王)中隨機抽取1張，事務A為“抽得紅桃K”，事務B為“抽得黑桃”，則P(A＋B)＝________.答案eq\f(7,26)解析事務A，B為互斥事務，可知P(A)＝eq\f(1,52)，P(B)＝eq\f(13,52)＝eq\f(1,4)，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,52)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,26).8．在擲一個骰子的試驗中，事務A表示“出現不大于4的偶數點”，事務B表示“出現小于5的點數”，則事務A＋eq\o(B,\s\up6(－))發生的概率為________．(eq\o(B,\s\up6(－))表示B的對立事務)答案eq\f(2,3)解析隨機擲一個骰子一次共有六種不同的結果，其中事務A“出現不大于4的偶數點”包括2,4兩種結果，P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).事務B“出現小于5的點數”包括1,2,3,4四種結果，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3).且事務A和事務eq\o(B,\s\up6(－))是互斥事務，∴P(A＋eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).三、解答題9．擲一個骰子，下列事務：A＝{出現奇數點}，B＝{出現偶數點}，C＝{出現點數小于3}，D＝{出現點數大于2}，E＝{出現點數是3的倍數}．求：(1)AB，BC；(2)A＋B，B＋C；(3)記eq\o(H,\s\up6(－))是事務H的對立事務，求eq\o(D,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))C，eq\o(B,\s\up6(－))＋C，eq\o(D,\s\up6(－))＋eq\o(E,\s\up6(－)).解(1)AB＝?，BC＝{出現2點}．(2)A＋B＝{出現1,2,3,4,5或6點}，B＋C＝{出現1,2,4或6點}．(3)eq\o(D,\s\up6(－))＝{出現點數小于或等于2}＝{出現1或2點}，eq\o(A,\s\up6(－))C＝BC＝{出現2點}，eq\o(B,\s\up6(－))＋C＝A＋C＝{出現1,2,3或5點}，eq\o(D,\s\up6(－))＋eq\o(E,\s\up6(－))＝{出現1,2,4或5點}．10．某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事務分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．解(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設“1張獎券中獎”為事務M，則M＝A＋B