第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《二次函數與線段周長問題》專項測試卷（附帶答案）學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交點C．(1)求拋物線與直線的解析式；(2)若點P是直線上方拋物線上的一動點，過點P作軸于點F，交直線于點D，求線段的最大值；(3)點M為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點Q，使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與坐標軸交于，兩點，直線：交軸于點．點為直線下方拋物線上一動點，過點作軸的垂線，垂足為，分別交直線，于點，．(1)求拋物線的表達式；(2)當時，求的面積；(3)①是軸上一點，當四邊形是平行四邊形時，求點的坐標；②在①的條件下，第一象限有一動點，滿足，求周長的最小值．3．在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B（再點A在B的右側），與y軸交于點C，且．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1所示，在直線上方的拋物線上有一動點P，且軸交于點Q，交于點G，當的周長取得最大值時，求點P的坐標及周長的最大值．(3)將原拋物線y豎直向下平移2個單位、水平向左平移2個單位長度得到新拋物線，新拋物線與y軸交于點N，在新拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得，若存在，請直接寫出點M的坐標．4．已知拋物線)交x軸于點和點，交y軸于點C．(1)求拋物線的解析式和頂點坐標；(2)如圖，點P是拋物線上位于直線上方的動點，過點P分別作x軸，y軸的平行線，交直線于點D，當取最大值時，求點P的坐標；(3)點P是拋物線上位于直線上方的動點，是以為腰的等腰三角形，求出P點坐標．5．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于點A、B，交y軸于點C，連接，且，點G為線段的中點．(1)求拋物線的表達式；(2)點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作于點H，點E、F是線段上兩動點（點E在F的右側），且，連接、．當取最大值時，求出此時點P的坐標及的最小值；(3)如圖2，連接，將該拋物線沿射線方向平移5個單位得新拋物線，點Q為新拋物線上的一個動點，直線與線段交于點N，與y軸交于點M，當是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標．6．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點，與軸交于兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸是直線．(1)求拋物線的表達式(2)點是直線上方拋物線上的一動點，過點作軸，交于點，點是軸上的一動點，連接，當線段長度取得最大值時，求周長的最小值；(3)點E坐標為，將原拋物線沿射線方向平移個單位長度，得到新拋物線，在拋物線是否存在點，滿足，若存在，直接寫出點的坐標，若不存在請說明理由．7．如圖：已知拋物線：，平移后的拋物線經過點O0,0和點．設點P為拋物線上一動點，橫坐標為m．(1)拋物線的表達式為________．(2)若，為點P在上的對應點，過點P作x軸的垂線與交于點Q．①當時，求m的值．②當四邊形中有一組對邊平行時，求m的值．(3)點A在原拋物線的對應點為，過點A和作直線，過點P作x軸的垂線與直線交于點E，點P關于y軸的對稱點為，以和為鄰邊作矩形，若拋物線在矩形內（包含邊界）的最高點和最低點的差為2，直接寫出m的值．8．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，已知，，．

(1)求拋物線的解析式；(2)在線段上有一動點，過點作交拋物線于點，過點作軸的平行線交于點．求的最大值，以及此時點的坐標；(3)如圖，將該拋物線沿軸向下平移個單位長度得到新拋物線，若點為新拋物線上一點，且滿足，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．9．如圖，二次函數的圖象交軸于點，點與點關于該二次函數圖象的對稱軸對稱，已知一次函數的圖象經過該二次函數圖象上的點及點．(1)求二次函數與一次函數的解析式、(2)點P是該拋物線上一動點，點從點沿拋物線向點運動（點不與、重合），過點作軸，交直線AB于點．請求出點在運動的過程中，線段的長度的最大值以及此時點的坐標：(3)拋物線上是否存在點，使，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．10．如圖1，拋物線與坐標軸交于A、B、C三點，連接．直線分別與拋物線、、x軸交于D、E、F三點，連接、、、．(1)用m來表示的長；(2)當為等腰三角形時，求m的值；(3)如圖2，直線l經過的中點且與拋物線交于M、N兩點，直線分別與l、x軸交于G、Q兩點，當平分的面積時，求l的解析式．11．已知拋物線與直線交于A，B兩點（A在B左）．(1)求A，B兩點的坐標及的長；(2)如圖1，點是直線上B點右側一動點，過點P作直線與拋物線有唯一公共點M，若，求點P的坐標；(3)若拋物線向右平移1個單位，向上平移2個單位后所得的拋物線交軸于D、E，點P是第二象限內新拋物線上一動點，過點P作軸，垂足為H，的外接圓與相交于點K．試問：線段的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．12．如圖所示，在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線與軸交于點A、B兩點，與軸的正半軸交于點．已知點A?2,0，點，連接BC．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點為拋物線第一象限內的一點，過點作于點，求的最大值及此時點的坐標；(3)如圖2，點是線段的中點，將拋物線沿著射線的方向平移個單位得到新拋物線，點在新拋物線上，是否存在點使?若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．13．如圖，在平面直角坐標系中，點、B0,3在拋物線上，該拋物線的頂點為C，與x軸的另一個交點為D，點P為該拋物線上一點，其橫坐標為m．(1)求該拋物線的解析式；(2)點M是拋物線上一點，且M在第二象限，使得，交y軸于點F，求點M的坐標；(3)當時，設該拋物線在點B與點P之間（包含點B和點P）的部分的最高點和最低點到x軸的距離分別為d、n，設．①直接寫出F關于m的函數解析式，并注明自變量的取值范圍；②當時，直接寫出m的取值范圍．14．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，交軸于點，拋物線的對稱軸是直線．

(1)求拋物線的解析式；(2)點是直線上方對稱軸左側拋物線上一動點，過點作軸交拋物線于點，作軸交直線于點，求的最大值及此時點的坐標；(3)將拋物線向右平移3個單位，再向上平移1個單位，得到新的拋物線，在取得最大值的條件下，點為點平移后的對應點，點為點平移后的對應點，連接，點為平移后的拋物線上一點，若為以為直角邊的直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．15．如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，經過A、C兩點的拋物線與x軸的另一交點為．(1)求該拋物線的函數表達式；(2)點P是該拋物線上的動點，過點P作軸于點D，交于點E，設點P的橫坐標為．①當時，求點P的坐標；②求面積S與t的函數表達式，并求S的最大值；③當為以為腰的等腰三角形時，直接寫出滿足條件的t的值．16．如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線經過兩點，與x軸交于點B．(1)若直線經過B，C兩點，求直線解析式；(2)在拋物線的對稱軸上找一點M，使的值最小，求點M的坐標；(3)設P為對稱軸上的一個動點，直接寫出為直角三角形的點P的坐標．17．如圖，拋物線分別交軸于點，交軸于點，頂點為．(1)求該二次函數的解析式；(2)如圖①，點是軸上一動點，連接，是否存在一點，使得的周長最小，若存在，請求出點的坐標及此時的周長，若不存在，請說明理由；(3)如圖②，點是軸上方拋物線上的一個動點，連接，若直線將四邊形的面積分為的兩部分，求直線的解析式．18．已知拋物線與軸交于點，點，與軸交于點．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖，若直線下方的拋物線上有一動點，過點作軸平行線交于，過點作的垂線，垂足為，求周長的最大值；(3)若點在拋物線的對稱軸上，點在軸上，是否存在以為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由；參考答案1．(1)；；(2)；(3)，，，．【分析】本題主要考查了待定系數法求解析式、二次函數的圖象及性質、平行四邊形的性質扥知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵．（1）利用待定系數法即可求得拋物線與直線的函數解析式即可；（2）設點，則，再得出，然后利用二次函數的性質求最值即可；（3）分平行于x軸和不平行于x軸兩種情況，分別根據平行四邊形的判定定理求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數的圖象與x軸交于，兩點，∴，解得：，∴這個二次函數的解析式為；∵二次函數與y軸交于點C，∴點C的坐標為0,2設直線的解析式為，∵直線經過點∴，解得：，∴直線的解析式為．（2）解：由（1）得，設點，則，∴∴當時，最大，最大值是．（3）解：存在點Q，使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形．假設存在點Q，使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形．①若平行于x軸，如圖所示，有符合要求的兩個點，，此時．∵軸，∴點M、點關于對稱軸對稱，∴，∴，由，得到，；②若不平行于x軸，如圖：過點M作軸于G，∵，∴，∴，，即，設，則有，解得：，又∵，∴，∴，．綜上所述，存在點Q，使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形．Q點坐標為：，，，．2．(1)(2)(3)①；②【分析】（1）利用待定系數法求解即可．（2）先求出直線的表達式為，再求得，可得出，，最后用三角形面積公式求解即可；（3）①過點作于，證明，推出，，由，可得，由題意直線的解析式為，設，，根據，構建方程求解，可得結論；②因為的周長為，所以要使得的周長最小，只要的值最小，因為，所以當點在上時，的值最小．【詳解】（1）解：拋物線過，兩點，，解得，；（2）解：設直線的解析式為，代入得，，直線的表達式為，當時，，解得，，當，，，，；（3）解：①如圖1中，過點作于，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，當x=2時，，，，，，，，，；②如圖2中，∵，，∴，∴，，的周長為，要使得的周長最小，只要的值最小，，當點在上時，的值最小，當x=0時，，∴，，，的周長的最小值為．【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的性質，一次函數的性質，全等三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會尋找全等三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．3．(1)(2)，周長的最大值為(3)或【分析】（1）先求出，，再由可得點B的坐標，將點B的坐標代入可得出b的值，即可得拋物線的解析式；（2）由，得直線解析式為，證明是等腰直角三角形，知，設，，則，根據二次函數性質可得答案；（3）先由拋物線y的解析式得到新拋物線的解析式，再得出新拋物線的對稱軸和點N的坐標，再由已知得，進而得，畫出滿足條件的點M，分兩種情況，分別求出點M的坐標即可．【詳解】（1）解：令x=0，則，∴，，∵，∴，將，代入得，，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：∵，∴，∵軸，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴周長，∴當取最大值時，的周長取最大值，設直線的解析式為，把，代入得，，解得，∴直線的解析式為，設，，∴，當時，有最大值，為2，此時，，∴當時，的周長有最大值，為；（3）解：∵，∴將拋物線y豎直向下平移2個單位、水平向左平移2個單位長度得到新拋物線的解析式為，∴對稱軸為直線，當時，，即，∴，令，解得，，∴，∵，，∴，∴，如圖，分以下兩種情況：當時，，∴，∴；當時，和y軸交于點F，，∴，設，則，在中，，∴，解得：，∴，設直線的解析式為，將，代入得，，解得，直線的解析式為，當時，，∴．綜上，點M的坐標為或?3,2．【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，涉及函數圖象上點坐標的特征，全等三角形的性質及應用等知識，解題的關鍵是用含字母的代數式表示相關點坐標和相關線段的長度．4．(1)；(2)(3)或【分析】（1）將點，坐標代入拋物線解析式中，解方程組即可得出結論；（2）先求出，進而得出，進而判斷出，即可得出當的長度最大時，取最大值，設出點坐標，表示出點坐標，建立，即可得出結論；（3）根據，，表示出，，再根據或列方程求解即可．【詳解】（1）解：拋物線經過點，，，解得，，拋物線的解析式為．，拋物線的解析式為，頂點坐標為．（2）解：令得，，，．，，，．平行于軸，平行于軸，，，，，，，當的長度最大時，取最大值．設直線的函數關系式為，把，代入，得，解得，，直線解析式為，設，則，．，當時，最大，此時取最大值，，；（3）解：∵是以為腰的等腰三角形，∴或，由（2）可得，，，，∴，，當時，，∴，即整理得，∵∴，此時；當時，，∵，∴∴，此時；綜上所述，是以為腰的等腰三角形時，P點坐標為或．【點睛】此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法確定函數解析式，解一元二次方程，等腰三角形的定義，勾股定理的應用，二次函數的性質，清晰的分類討論是解本題的關鍵.5．(1)(2)點P的坐標為，的最小值為(3)或【分析】（1）先求出A、C的坐標，再利用待定系數法求解即可；（2）先求出直線的解析式為，過點作直線，分析可知當取最大值時，此時直線與拋物線恰好只有唯一公共點，聯立直線與拋物線的解析式，利用求出直線的解析式和此時點P的坐標；在直線上截取（在左側），連接、，可推出四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的性質將的最小值轉化為的最小值，利用兩點之間線段最短性質可得的最小值為的長，即可解答；（3）先求出B的坐標，再利用二次函數的平移得到新拋物線的解析式，設，，得出直線的解析式，結合是以為腰的等腰三角形，分兩種情況①；②，利用勾股定理和一元二次方程求出、的值，再聯立直線和拋物線的解析式求出點Q的坐標即可．【詳解】（1）解：，，，代入，得，，解得：，拋物線的表達式為．（2）解：設直線的解析式為，代入，得，解得：，直線的解析式為，過點作直線，設直線的解析式為，，，是直線與直線的距離，當取最大值時，此時直線與拋物線恰好只有唯一公共點，聯立，消去整理得：，直線與拋物線恰好只有唯一公共點，方程有兩個相等的實數根，，解得：，即直線的解析式為，此時方程為，解得，代入，則，；在直線上截取（在左側），連接、，，，四邊形是平行四邊形，，設，則，解得：，（舍去），，點G為線段的中點，，，，，，，的最小值為；綜上所述，此時點P的坐標為，的最小值為．（3）解：對于，令，則，解得：，，，，，又將拋物線沿射線方向平移5個單位得新拋物線，點通過平移恰好落在點上，拋物線向上平移4個單位，向右平移3個單位可以得到新拋物線，，；由（2）中的結論得，直線的解析式為，設，，設直線的解析式為，代入，得，解得：，直線的解析式為，在直線上，，整理得：，是以為腰的等腰三角形，或，①若，則，，整理得：，，解得：（舍去），，此時直線的解析式為，令，解得，，；②若，則，，整理得：，，解得：（舍去），，此時直線的解析式為，令，解得，，；綜上所述，點Q的坐標為或．【點睛】本題主要考查了二次函數與幾何綜合、最短路徑問題、等腰三角形的性質、一元二次方程、二次函數的平移、待定系數法求函數解析式、勾股定理，熟練掌握以上知識點，學會利用點的坐標表示線段長度是解題的關鍵，本題屬于二次函數綜合題，同時涉及較大的運算量，需要較強的數形結合和運算能力，適合有能力解決難題的學生．6．(1)拋物線的表達式為；(2)周長的最小值為；(3)點的坐標為或．【分析】（）利用待定系數法解答即可；（）利用拋物線的解析式求得點，，的坐標，利用待定系數法求得直線的解析式，設，則，表示的長并配方，利用二次函數的性質求得的最大值為；取點關于軸的對稱點，連接，交軸于點，連接，由軸對稱可知此時最小，，再利用勾股定理解答即可得出結論；（）求得的坐標，利用待定系數法求得平移后的拋物線的解析式，利用分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：當在的上方時，如圖,設交軸于，當在的下方時，如圖，分別解答即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經過點，拋物線的對稱軸是直線，∴，解得：∴拋物線的表達式為；（2）解：令，則，∴或，∴A?2,0，B令，則，∴，設直線的解析式為，∴∴，∴直線的解析式為，設，∵軸，∴，∴，∵，∴當時，取得最大值，此時，，∴，取點關于軸的對稱點，連接，交軸于點，連接，如圖，∵點是軸上的一動點，∴此時最小，，∴，∵，，∴，∴周長的最小值為；（3）解：由，∵B4,0，，∴。∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵將原拋物線沿射線方向平移個單位長度，得到新拋物線，就是將原拋物線向下平移個單位，再向右平移個單位，∴，分兩種情況：當在的上方時，如圖,設交軸于，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，設，則，由勾股定理得：，∴，∴，∴，同理得：的解析式為，∴，解得：（舍去），，∴點的坐標為；當在的下方時，如圖，∵，∴，當時，，解得：（舍去），，∴點的坐標為；綜上，點的坐標為或．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，拋物線上點的坐標的特征，待定系數法，軸對稱的最短路徑問題，勾股定理，全等三角形的性質和判定等知識，分類討論的思想方法，掌握知識點的應用是解題的關鍵．7．(1)(2)①；②(3)12或或【分析】（1）根據平移的性質可設拋物線的表達式為，由拋物線經過點O0,0和點，可得，將點代入，建立方程求解即可；（2）由（1）可得拋物線向右平移2個單位，再向下平移2個單位后，得到拋物線，根據題意得，則，，①根據，即可求出m的值；②分，兩種情況討論，利用點坐標的特征建立方程求解即可；（3）同理（2）可得，求出直線的解析式為，進而求出，作矩形，由題意得時，點重合，不能構成矩形，時，點重合，不能構成矩形，則時，當與拋物線有兩個交點時，設拋物線對稱軸左側交于點N，可得拋物線在矩形內，點P的為最高點，點N為最低點，進而得解；當與拋物線只有一個交點或沒有交點時，可得拋物線在矩形內，點P的為最高點，拋物線的頂點為最低點，進而得解；同理時，畫出示意圖，即可解答．【詳解】（1）解：根據題意：設拋物線的表達式為，∵拋物線經過點O0,0和點，∴，將點代入，則解得：∴拋物線的表達式為；（2）解：∵，∴，由（1）可得拋物線向右平移2個單位，再向下平移2個單位后，得到拋物線，則，，①∵，∴點在點的上方，∴，即，∴；②當時，∵軸，∴軸，∵，∴，∴；當時，過點作于點G，設與x軸交于點E，則，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，解得：或（舍去）；當時，點重合，不能構成四邊形，綜上，當四邊形中有一組對邊平行時，m的值為；（3）解：同理（2）得，設直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，∵，∴，如圖，作矩形，時，點重合，不能構成矩形，時，點重合，不能構成矩形，當時，當與拋物線有兩個交點時，設拋物線對稱軸左側交于點N時，∵點P關于y軸的對稱點為，∴軸，則拋物線在矩形內，點P的為最高點，點N為最低點，∴點N的縱坐標為，∴，即，∴或（舍去）；如圖，當與拋物線只有一個交點或沒有交點時，則拋物線在矩形內，點P的為最高點，拋物線的頂點為最低點，∵拋物線：，∴拋物線的頂點坐標為，∴，即，∴（舍去）或（舍去）；當時，如圖，當與拋物線有兩個交點時，設與拋物線的左交點為N，與拋物線的左交點為Q，則拋物線在矩形內，點N的為最高點，點Q為最低點，∵點N的縱坐標為，點Q的縱坐標為，∴，即，∴或（舍去）；當時，如圖，當與拋物線有交點時，設設與拋物線的交點為N，同理，，即，∴（舍去）或（舍去）；如圖，當與拋物線有交點時，設設與拋物線的交點為N，∵，點與點P關于y軸對稱，∴，∴，則拋物線在矩形內，點N的為最高點，點P為最低點，∴，即，∴；如圖，當時，拋物線在矩形內沒有圖像，綜上，m的值為12或或．【點睛】本題考查了二次函數的綜合應用．涉及待定系數法求解析式，矩形的性質，解一元二次方程，相似三角形的判定和性質，理解題意，結合函數圖象，綜合運用這些知識點是解題關鍵．8．(1)(2)的最大值為，(3)或【分析】（）利用三角函數求出點坐標，再利用待定系數法解答即可求解；（）延長交軸于點，可得為等腰直角三角形，得到，即得，設，則，得到，再利用二次函數的性質解答即可求解；（）由平移可得新拋物線的解析式為，再分兩種情況解答即可求解；本題考查了二次函數的幾何應用，三角函數，二次函數的平移，掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，，∴，即，∴，∴，∴，C0,?3，把、、C0,?3代入y=ax2，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：如圖，延長交軸于點，

∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，設直線的解析式為，把、C0,?3代入得，，解得，∴直線的解析式為，設，則，∴，∴，∵，∴當時，的值最大，最大值為，此時；（3）∵，將該拋物線沿軸向下平移個單位長度得到新拋物線，則，當軸時，如圖，有，此時點的縱坐標為，把代入得，，解得，舍去，∴；

作線段的垂直平分線DE，交軸于點，連接CD交拋物線于點，可知，∴，設，∵，∴，解得，∴，設直線CD的解析式為，把C0,?3、代入得，，解得，∴直線CD的解析式為，由，解得舍去，，∴；

綜上，點的坐標為或．9．(1)，(2)最大值為，點(3)或；或或【分析】（1）將點A代入拋物線解析即可確定二次函數解析式；再確定點C的坐標，然后由拋物線的對稱性得出點，利用待定系數法求一次函數解析式即可；（2）根據題意設點，則點，表示出長度的函數解析式，然后根據二次函數的基本性質求解即可；（3）分兩種情況討論：①當點在AB上方時，②當點在AB下方時，作出，然后利用平行線間的距離距離相等，分別先求出直線的解析式，然后求直線與拋物線的交點即為點的坐標．【詳解】（1）解：∵二次函數經過點，∴，解得：，∴二次函數的解析式為：，當x=0時，，∴，拋物線的對稱軸為：，∴，設直線AB的解析式為，將點，代入得：，解得：，∴一次函數的解析式為：；（2）解：如圖所示，過點作軸，點從點沿拋物線向點運動（點不與、重合），設點，則點，∴，∵，∴當時，最大值為，當時，，∴點；（3）解：∵，，∴，∵，∴點Q到AB的距離為，①當點在AB上方時，作，如圖所示，交y軸于點，過點F作，使得，過點作軸，設AB與y軸交于點，則，∴，當點與點重合時，∴，∴，不符合題意；∴點一定在軸正半軸上，∵，，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，設直線的解析式為：，將點F代入得：，聯立二次函數與一次函數得：解得：或，此時點或；②當點在AB下方時，作，如圖所示，交軸于點，過點作，交AB于點，使得，過點作軸，設AB與軸交于點，則，∴，∴，，∴，，∴為等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴點，設直線的解析式為：，將點M代入得：，聯立二次函數與一次函數得：解得：或，此時點或；綜上所述，或；或或．【點睛】題目主要考查二次函數與一次函數的綜合問題，包括待定系數法求解析式，線段最值問題及面積問題，直線平行等，理解題意，作出相應圖象，綜合運用這些知識點是解題關鍵．10．(1)(2)(3)直線l的解析式為【分析】（1）根據題意先求出點A、B、C的坐標，再利用待定系數法求得直線的解析式，用含m的代數式表示即可；（2）先證明和是等腰直角三角形，根據為等腰三角形可得，建立方程求解即可得出答案；（3）設H是的中點，先得出，設直線l的解析式為，與拋物線解析式聯立得，運用根與系數關系可得，再由題意可得的中點G的橫坐標為2，建立方程求解即可得出答案．【詳解】（1）解：在拋物線中，令，得，，令，得，解得：，，設直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，∵直線分別與拋物線、、x軸交于D、E、F三點，∴，，，∴；（2）解：由（1）可知：，，∴是等腰直角三角形，，，，，為等腰三角形，，∵是等腰直角三角形，，，解得：或，，∴；（3）解：設H是的中點，如圖，，設直線l的解析式為，聯立得，整理得：，∴，∵直線平分的面積，的中點G的橫坐標為2，∴，即，解得：，∴直線l的解析式為．【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法，二次函數的圖象和性質，一次函數的性質，等腰三角形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，三角形面積，一元二次方程根與系數關系的應用等，熟練掌握相關知識是解題關鍵．11．(1)，，的長為；(2)點P的坐標為；(3)線段的長為定值1．【分析】（1）聯立拋物線與直線的解析式求出A，B兩點的坐標，進而求出的長；（2）利用三角形的面積公式，結合得出點M的坐標，代入得出，再聯立直線與拋物線，利用求出的值，得出直線的解析式，代入即可求出點P的坐標；（3）由題意得，平移后的新拋物線解析式為，可得出D、E兩點的坐標，設的外接圓的圓心為，作交于點，軸交軸于點，連接、，設點P坐標為，且，再設點K坐標為，利用垂徑定理證出點、G分別是、的中點，從而表示出、G的坐標，再利用勾股定理求出和，利用列出等式，化簡求出的值，即可得出結論．【詳解】（1）解：聯立，解得：或，在B左，，，．綜上所述，，，的長為．（2）如圖，連接、，點P作直線與拋物線有唯一公共點M，，，由（1）得，，，，，對于，令，則，解得：，，，，代入到得，，，，聯立，消去整理得：，點P作直線與拋物線有唯一公共點M，方程有兩個相等的實數根，，解得：，，，對于，令，則，解得：，點P的坐標為．（3）拋物線向右平移1個單位，向上平移2個單位，新拋物線的解析式為，對于，令，則，解得：，，，；設的外接圓的圓心為，作交于點，軸交軸于點，連接、，如圖所示：點P是第二象限內新拋物線上一動點，設點P坐標為，且，軸，，的外接圓與相交于點K，設點K坐標為，，，是的中點，同理可得，為的中點，由中點坐標公式可得，點F坐標為，點G坐標為，，，，軸，，，即點Q坐標為，，，在中，，在中，，，，，整理得：，又，，．線段的長為定值1．【點睛】本題考查了二次函數與幾何綜合、中點坐標、垂徑定理，熟練掌握二次函數的圖象與性質，二次函數與軸的交點，待定系數法求函數解析式，中點坐標公式，學會利用垂徑定理證明中點，并且利用勾股定理表示出線段的長度是解題的關鍵，本題是二次函數綜合題，需要較強的數形結合和推理能力，適合有能力解決難題的學生．12．(1)(2)的最大值為16，此時點的坐標為(3)或【分析】（1）代入A?2,0，到拋物線，求出a、b的值即可；（2）作軸交軸于G，交直線于E，利用等腰和等腰的性質，轉化的最大值為的最大值，再利用拋物線的頂點坐標公式求出點的坐標即可；（3）先求出平移后的拋物線解析式為，由得，作出二次函數的圖象，記圖象與軸交點為，頂點為，易得，，連接、，作交于點，軸交于點，然后通過相似三角形的判定、全等三角形的判定證明、分別為符合題意的點即可．【詳解】（1）解：代入A?2,0，得，解得：，拋物線的解析式為．（2）如圖，作軸交軸于G，交直線于E，令，則，即C0,6，，C0,6，，又，，軸，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，設，則，當時，有最大值8，即，此時，，，的最大值為16，此時點的坐標為．（3），，拋物線沿著射線的方向平移個單位，，拋物線向右平移2個單位，再向下平移2個單位，新拋物線的解析式為：，由（2）中的結論得，，即，，；如圖，作出二次函數的圖象，記圖象與軸交點為，頂點為，連接、，作交于點，軸交x軸于點，令，則，即，當時，有最大值6，即頂點坐標為；點是線段的中點，，，，，，，即，，又，是等腰直角三角形，，；，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，又，，，，即，，，是符合題意的一個點；軸，，，，又，，，，又，，；，，，，，，又，，是符合題意的另一個點；綜上所述，的坐標為或．【點睛】本題考查了二次函數與幾何綜合，等腰三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，熟練掌握二次函數的圖象與性質，二次函數的平移規律，學會通過作垂線構造直角三角形，能夠利用等腰直角三角形的性質轉化線段關系，能夠利用直角邊的比例證明相似三角形是解題的關鍵，本題屬于二次函數綜合題，需要較強的數形結合和推理能力，適合有能力解決難題的學生．13．(1)；(2)；(3)①；②或．【分析】（1）把點、B0,3代入，利用待定系數法求解；（2）先證，求出點F的坐標，用待定系數法求出直線的解析式，與拋物線解析式聯立，解方程即可求出點M的坐標；（3）①分，，，四種情況，分別求解；②分，，三種情況，令，解方程即可．【詳解】（1）解：把點、B0,3代入得：，解得：，∴該拋物線的解析式為；（2）解：當時，或3，∴D點坐標為，∴.又∵，，∴，∴，∴F點坐標為0,1，設直線的解析式為，則，解得，，即，解方程組，得或，即M點坐標為．（3）解：由（1）知，，∴點C為1,4．P點坐標為．過點B作軸交拋物線于點E，此時點E與點B關于對稱軸對稱，∴E點坐標為（2，3），如圖所示：①（i）當點P在點B和點C之間時，即時，，，．（ii）②當點P在點C和點E之間時，即時，，，；（ⅲ）當點P在第一象限且在點E下方時，即時，，，．（iv）當點P在x軸及第四象限時，即時，，.．綜合得：．②當時，，解得（舍去）；當時，都符合題意；當時，，解得（舍去）或（舍去）；當時，，解得（舍去）或．綜上所述，m的取值范圍為或．【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查二次函數的圖象和性質，二次函數與一次函數圖象交點問題，全等三角形的判定和性質，解一元二次方程等知識點，注意數形結合及分類討論是解題的關鍵．14．(1)；(2)的最大值7．此時(3)或【分析】（1）利用待定系數法即可求解；（2）設，求得直線的解析式，用含的式子表示出和，利用二次函數的性質求解即可；（3）利用平移的性質求得平移后的拋物線的解析式，以及，，分兩種情況討論即可求解．【詳解】（1）解：由題知，解得，；（2）解：設，令，得，．，令，得，，設直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，軸交拋物線于點，拋物線的對稱軸是直線，，軸交直線于點，

，，，當時，取得最大值7，此時；（3）解：或平移后的拋物線的解析式為：，整理得，∵，∴，∵，∴，，∴，，同理，直線的解析式為：，當點為直角頂點時，如圖，交軸于點，直線交軸于點，交軸于點，

則，，∴，，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴，同理，直線的解析式為：，聯立，，解得，．．當為直角頂點時，同理，直線的解析式為：．聯立，，解得，．．或．【點睛】本題屬于二次函數的綜合題，難度很大，考查了待定系數法，二次函數的性質，相似三角形的判定和性質，關鍵是做出合適的輔助線進行轉化，清晰的分類討論是解本題的關鍵．15．(1)(2)①；②，最大值6；③或【分析】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，等腰三角形的性質，分類討論是解題的關鍵．（1）設，將點代入即可求解；（2）①由，則，求出，，代入解答即可；②再由即可求解；③分兩種情況討論：當時，；當時，過點作交于，則為的中點，分別求出的值即可．【詳解】（1）解：直線與軸，軸的交點坐標分別為、，拋物線與軸的另一交點為，設所求拋物線的函數表達式為，把點代入，得，解得，所求拋物線的函數表達式為，即；（2）解：①，則，，，當時，，解得：或（與重合，舍去），當時，，故；②，，，，，當時，有最大值6；③，，以為腰，分兩種情況討論：當時，，解得或（舍；當時，過點作交于，則為的中點，如圖1，，解得或（舍）；綜上所述：滿足條件的的值為或．16．(1)，(2)(3)點P的坐標為或或或【分析】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數的性質、直角三角形的性質、點的對稱性等；（1）用待定系數法即可求解；（2）設直線與對稱軸的交點為M，根據軸對稱性質可知，由此可知，即最小時的值最小，進而求解；（3）分點B為直角頂點、點C為直角頂點、P為直角頂點三種情況，利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸為直線，且拋物線經過，∴，設拋物線的表達式為，將代入上式得：，解得，∴拋物線的解析式為：；把，代入得：，解得，∴直線的解析式為；（2）設直線與對稱軸的交點為M，則此時的值最小，把代入直線得，故，即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為；（3）設，∵，，∴，若點B為直角頂點時，則，即，解得；若點C為直角頂點時，則，即解得，若P為直角頂點時，則，∴，解得，綜上，點P的坐標為或或或．17．(1)二次函數的解析式為(2)存在的周長最小時，點的