第九章因式分解七下數學JJ9.2提公因式法1.了解公因式及提公因式的方法，并能正確確定公因式.2.能熟練運用提公因式法進行因式分解,提升運算能力.3.進一步理解因式分解的意義,強化代數推理的意識,感受整體思想的應用.把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，叫作多項式的因式分解，也叫作將多項式分解因式.x2-1(x+1)(x-1)因式分解整式乘法x2-1=(x+1)(x-1)分解因式：等式的特征：左邊是多項式，右邊是幾個整式的乘積.復習：

什么叫作因式分解？問題1：多項式ma+mb+mc有哪幾項？問題2：每一項的因式都分別有哪些？問題3：這些項中有沒有相同的因式，若有，相同的因式是什么？ma,mb,mc依次為m,a和m,b和m,c有，為m問題4：請說出多項式ab2-2a2b中各項的相同的因式.

ab相同因式p這個多項式有什么特點？pa+pb+pc一般地，多項式的各項都含有的因式，叫作這個多項式各項的公因式，簡稱多項式的公因式.

知識點1確定公式因例1

找

3x2–6xy

的公因式.系數：最大公約數3字母：相同的字母x

公因式是3x.指數：相同字母的最低次冪1

知識點1確定公式因

正確找出多項式各項公因式的關鍵1.定系數：公因式的系數是多項式各項系數的最大公約數.

2.定字母：字母取多項式各項中都含有的相同的字母.

3.定指數：相同字母的指數取各項中最小的一個，即字母最低次冪.

知識點1確定公式因

例2

寫出下列多項式的公因式.(1)6x－9x2；(2)abc＋2a；(3)abc－ab2＋2ab；(4)2x2y＋4xy2－6xy.3x

a

ab

2xy

知識點1確定公式因問題：ma+mb+mc=m()

ab2-2a2b=ab()

(提示，逆用乘法分配律）

逆用乘法對加法的分配律，可以把公因式提到括號外邊作為積的一個因式，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.這種將多項式分解因式的方法，叫作提公因式法.

a+b+cb-2a

知識點2提公因式法分解因式思考：以下是三名同學對多項式2x2+4x分解因式的結果：

（1）2x2+4x=2(x2+2x)；（2）2x2+4x=x(2x+4)；（3）2x2+4x=2x(x+2).

第幾位同學的結果是正確的？用提公因式法分解因式應注意哪些問題呢？

知識點2提公因式法分解因式（3）是正確的.(1)8a3b2+12ab3c；例3

把下列各式分解因式分析：提公因式法步驟（分兩步）

第一步:找出公因式；

第二步:提取公因式

，即將多項式化為兩個因式的乘積.(2)2a(b+c)-3(b+c).公因式既可以是一個單項式的形式，也可以是一個多項式的形式.

知識點2提公因式法分解因式解：（1）

8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).如果提出公因式4ab,另一個因式是否還有公因式？另一個因式將是2a2b+3b2c,它還有公因式b.（2）2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).如何檢查因式分解是否正確？做整式乘法運算.

知識點2提公因式法分解因式整體思想是數學中一種重要而且常用的思想方法.把12x2y+18xy2分解因式.解：原式=3xy(4x+6y).

錯誤公因式沒有提盡，還可以提出公因式2.注意：公因式要提盡.正解：原式=6xy(2x+3y).小明的解法有誤嗎？

知識點2提公因式法分解因式當多項式的某一項和公因式相同時，提公因式后剩余的項是1.錯誤注意：某項提出勿漏1.解：原式

=x(3x-6y).把3x2-6xy+x分解因式.正解：原式=3x·x-6y·x+1·x=x(3x-6y+1).小亮的解法有誤嗎？

知識點2提公因式法分解因式提出負號時括號里的項沒變號.錯誤把

-x2+xy-xz分解因式.解：原式=

-x(x+y-z).注意：首項有負常提負.正解：原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z).小華的解法有誤嗎？

知識點2提公因式法分解因式例4

把下列多項式分解因式：(1)3a3b+9a2b2-3a2b；

(2)-3x2+6xy-3xz.解：(1)3a3b+9a2b2-3a2b=3a2b·a+3a2b·3b-3a2b·1=3a2b(a+3b-1).

知識點2提公因式法分解因式

(2)-3x2+6xy-3xz=(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z=-3x·(x-2y+z).

例5

分解因式：3x(a-b)+2(b-a).解:

3x(a-b)+2(b-a)

=3x(a-b)-2(a-b)=(a-b)(3x-2).

知識點2提公因式法分解因式例6

計算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.25＋72×20.25＋13×20.25－20.25×14.(2)原式＝20.25×(29＋72＋13－14)＝2025.＝13×20＝260.解：(1)原式＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)方法總結：在計算求值時，若式子各項都含有公因式，用提取公因式的方法可使運算簡便．

知識點2提公因式法分解因式例7

已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.解：∵a＋b＝7，ab＝4，方法總結：含a±b，ab的求值題，通常要將所求代數式進行因式分解，將其變形為能用a±b和ab表示的式子，然后將a±b，ab的值整體帶入即可.

知識點2提公因式法分解因式1.多項式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（）A．5mnB．5m2n2C．5m2nD．5mn2

2.把多項式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（）A．x+1B．2xC．x+2D．x+33.下列多項式的分解因式，正確的是（）A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z）D．a2b+5ab-b=b（a2+5a）

B

C

D4.把下列各式分解因式：(1)8

m2n+2mn=_____________；(2)12xyz-9x2y2=_____________；(3)p(a2+b2)-q(a2+b2)=_____________；

(4)-x3y3-x2y2-xy=_______________；2mn(4m+1)3xy(4z-3xy)(a2+b2)(p-q)-xy(x2y2+xy+1)(5)(x-y)2+y(y-x)=_____________.(y-x)(2y-x)5.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，則M等于_____________.3a(x－y)2

6.簡便計算：(1)1.992+1.99×0.01;

(2)20242+2024-20252;(3)(-2)101+(-2)100.(2)原式=2024×(2024+1)-20252=2024×2025-20252

=2025×(2024-2025)=-2025．解：(1)原式=1.99×(1.99+0.01)=3.98.(3)原式=(-2)100×(-2+1)=2100×(-1)=-2100.解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12.(2)原式=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]=(2x+1)(2x+1-2x+1)=2(2x+1).7.(1)已知:2x+y=4,xy=3,求代數式2x2y+xy2的值.

(2)化簡求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其