19.5角的平分線

@?Jfejjn

1.會作一個角的平分線，能區別角的平分線與三角形的角平分線的異同點.

2.掌握角的平分線的性質和判定，會應用角的平分線的性質和判定解決相關問題.

3.通過作三角形的角平分線，了解三條角平分線交于一點的事實.

鄙如世棒＜8

知識點一作已知角的平分線

1.用尺規作已知角的平分線

已知：NAOB.求:ZAOB的平分線.

作法：如圖所示

(1)以點0為圓心，適當長為半徑畫弧，交0A于點M,交0B于點N

(2)分別以點M,N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩狐NAOB的內部相交于點C

2

⑶畫射線0C,射線0C即為所求.

2.作圖依據

構造△OMC名△ONC(SSS),根據全等三角形的對應角相等，找到角的平分線.

注意;

(1)畫“射線0C”不能敘述為“連接0C”因為角的平分線是一條射線，而不是線及

(2)兩弧的交點應在角的內部找，因為要作的是角的平分線

即學即練閱讀并填空.

已知：Z.AOB.

求作：乙/1。8的平分線.

作法：如圖所示，

A

①以點為圓心，適當長為半徑畫弧，交04于點M,交08于點N；

②分別以點,為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在乙40B內

部交于點C；

③畫射線.

射線0C即為所求.上述作圖用到了全等三角形的判定方法，這個方法是.

【答案】①0:②MN：MN0C：③SSS

【分析】根據角的平分線基本作圖步驟完成填空即可.

【詳解】解：①以點。為圓心，適當長為半徑畫弧，交0A于點M,交0B于點N;

②分別以點M,N為圓心，大于：MN的長為半徑畫弧，兩弧在NA0B內部交于點C;

③畫射線0C.

射線0C即為所求.上述作圖用到了全等三角形的判定方法，這個方法是SSS,

故答案為：0;M,N,-MN,0C;SSS.

2

【點暗】本題考查了角的平分線的基本作圖，熟練掌握角的平分娛的基本作圖是解題的關鍵.

知識點二角的平分線的性質

1.角的平分線的性質

角的平分線上的點到住的兩邊的距離相等

（這里的正再是法"點馴直儲的蹌離”，不是"兩點湎的蹌備”）

2.書寫格式

OEB

???OC平分ZAOB,PD±OA,PE1OB

：.PD=PE

提示■

(1)該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據，不需要再通過證全等三角形得到相

等線段；

(2)已失;角的平分線及其上一點到角一邊的垂線段，常添加輔助線由角平分線上的已知

點向另一邊作垂線段，即構造“角的平分線性質”的基本圖形，得到相等的兩條垂線段.

即學即練1如圖，在△4BC中，AD1BC,AD=BD,BF=AC,有下列結論；?△ADC三

△BDF；②BE14C；③連接。E,則4AED=135，其中正確的結論有.

【答案】①②③

【分析】①根據HL證明△ADCdBDF;②由△ADCBDF,得到角相等，從而推出BE1AC;

③連接DE,過點D作DG1BE,過點D作DH_LAC,根據角平分線的性質，即可判斷.

【詳解】解：???在RtaADC與Rtz^BDF中，AD=BD,BF=AC,

???內△ADCgRtaBDF(HL)故①正確：

/.NDAC=ZCRE,

VZDAC+ZACD=90°,

，，ZCBE+ZACD=90°,

/.ZBEC=90°,

ABE1AC故②正確；

如圖，連接DE,過點D作DG_LBE,過點D作DH_LAC,

RtAADC^RtABDF(HL),

??SAADC=S^BDF，

VSAADC=|ACDH,SABDF=|BF-DG,BF=AC,

ADG=DH,

VDG1BE,DH1AC,DG=DH,

???DE是NBEC的角平分線,

VZBEC=90°,

1?NBED=45°,

AZAED=900+45°=135°故③正確；

故答案為：①②③.

【點睛】本題考查幾何問題，涉及到角平分線的判定與性質、全等三角形的判定與性質等,

靈活運用所學知識是關鍵.

即學即練2如圖.AARC^J-ihAR,RC,C4長分別是20,加,40,其二條角平分線將AARC

分為三個三角形，則5"8。：5"。。：§立，。等于（）?

A.1:1:1B.1:2:3C.2:3:4D.3:4:5

【答案】C

【分析】過點0分別作AB,BC,CA的垂線，可得OD=OE=OF,從而可證S“BO：S^BCO：S/AO

=AB:BC:CA,即可求解.

【詳解】解：如圖,過點0分別作AB,BC,CA的垂線,垂足分別為點F,D,E,

由角平分線的性質定理得：OD=OE=OF,

???△ABC的三邊AB,BC,CA長分另I是20,30,40,

:

**,S&ABO：SABCOSACAO

111

=-乙AB-OF:-乙BC-OD:-乙CA-OE

=AB:BC:CA

=20:30:40

=2:3:4.

故選：C.

【點暗】本題考查了角平分線的性質定理，掌握定理是解題的關鍵.

知識點三角平分線性質定理的逆定理

1.逆定理

在一個角的內部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上

佝的平分我的判定的前提是:離應用的內部，且焦到佝兩邊的劣溝相拿

2.書寫格式

如圖所示，

■:PD1QA于點。,PE108于點、E,PD=PE

???點P在NAQB的角平分線上

即學即練1如圖，點8、C分別在〃的兩邊上，點。是〃內一點，DELAB.DFLAC,

垂足分別為E、F,且BE=C",8D=CD.求證：點。在48AC的平分線上.

【答案】見解析

【分析】證明RtZ\CDF紇RtZ\BDE(HL),得DE=DF,再根據角平分線的性質即可解決.

【詳解】證明：VDE1AB,DF1AC,

NDEB=ZDFC=90°,

VBE=CF,BD=CD,

???RtACDF^RtABDE(HL),

ADE=DF,

VDE1AB,DF1AC,

???點D在NBAC的平分線上：

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分發的性質，解題關鍵是得到

RtACDF^RtABDE(HL).

知識點四三角形角平分線的性質

三角形三條內角平分線相交于一點，這點到三角形三邊的距離相等

即學即練(2018秋?上海浦東新?八年級校聯考期末)已知：如圖，BP、CP分另U是AABC的

外角平分線，PM13AB于點M,PN0AC于點N.求證：PA平分(3MAN.

【答案】證明見解析.

【分析】作PD加C于點D,根據角平分線的性質得到PM=PD,PN=PD,得到PM=PN,根據

角平分線的判定定理證明即可.

團BP是團ABC的夕卜角平分線，PM0AB,PD0BC,

團PM=PD,

同理，PN=PD,

0PM=PN,又PM0AB,PN0AC,

團PA平分OMAN.

【點睛】考查的是角平分線的判定和性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是

解題的關鍵.

典甑分析

題型一利用角平分線的性質解決線段問題

例1如圖，A/IBC中，ZC=90°,AC=BC,4D是NB4c的平分線，DELABfE,若AB=

12cm,則△OBE的周長等于.

【答案】12cm

【分析】根據角平分線的性質得到DE=DC,AC=AE,根據三角形的周長公式計算即可.

【詳解】解：AD平分NBAC,ZC=90°,DEIAB,

???DE=DC,

VAD=AD

△ACD=△AED

AAC=AE

,:AC=BC,

???BC=AE,

???△DEB的周長=BD4-DE+BE=BC+BE=AE+BE=AB=12cm,

故答案為：12cm.

【點暗】本題考查的是角平分線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解

題的關鍵.

舉一反三1在△ABC中，點D在邊的延長線上，的平分線與NC8D的平分線交于點

F,4E與BC交于點H.

⑴如圖1,當/C=80。時，求ZE的度數.

⑵如圖2,連接CE,延長AC至點G,過點E作EF_L4),垂足為凡過點E作EMJ.HG,垂足

為M,求證：BC=CM+BF；

【答案】(1)40°

(2)見詳解

【分析】(1)根據角平分線的性質及三角形的外角定理即可；

(2)過點E作EI1BC于點I,再根據角平分線的性質與羽定，三角形的全等的判定與性質即

可.

【詳解】(1)解：???NBAC的平分線與NCBD的平分線交于點E,

:.ZCAB=2ZEAB,ZCBD=2ZEBD,

???ZCBD=ZCAB+NC①,ZEBD=ZEAB+NE②

②X2-①得，ZE=1zC=1x80°=40°,

故NE的度數為40°：

(2)證明：過點E作EI1BC于點I,

???NBAC的平分線與NCBD的平分線交千點E,EF1AD.EM1AG,

/.EF=EI,EF=EM,

???EI=EM,

???EI1BC,EM1AG,

.??CE平分NBCM,ZEIC=ZEMC=90°,

vCE=CE,

:.RtACIE三RtACME(HL),

CI=CM,

同理可證：BI=BF,

BC=CI+BI=CM+BF.

【點睛】本題考查了角平分線的性質與判定、三角形的外角定理、三角形的全等的判定與性

質等知識點，通過作輔助線得出全等三角形是解題的關健.

舉一反三2（2023春?上海浦東新區校考期末）如圖1,40是的角平分線，尸為4。上

任意一點，2”148于時：PN1AC^N.

圖1圖3

⑴垂線段PM、PN是否相等？請說明理由;

（2）如圖2,在△力中，40是的角平分線，DElAB^EtDFlACfFf若48=5,

AC=3,求震的值;

⑶如圖3,在△4BC中，力。是的外角平分線,AD交BC的延長于點當AB=5,AC=3

時，求BC與的數量關系.

【答案】（1）PM=PN;

(2)1:

⑶*

【分析】（1）根據角平分線的定義可知NMAP=NNAP,再證AAMP三△ANP（AAS）,由

全等三角形的性質即可；

⑵由⑴得：DE=DF,利用等面積即可求出洋駁=嗎=鈴吧，則可求出,=翌="

SAACD-CDh-ACDFCDAC3

（3）同（2）理可以求出黑='=*4噴號.

【詳解】（1）垂線段PM、PN相等，理由：

???AD是NBAC的角平分線，

，NMAP=ZNAP,

VPM1AB,PN1AC,

ZAMP=ZANP=90°,

VAP=AP,

???△AMP三△ANP(AAS),

APM=PN：

(2)VDE1AB,DF1AC,

???由(1)得：DE=DF,

設點A到BC得距離為h,

,SAABD二扣＞h=：ABDE

**SAACD-1CDh-iACDF*

則有皿=任=工

CDAC3'

（3）也口圖，過DEIAB交AB的延長線于E,DF1AC交AC的延長線于F,過A作AH1BC于H,

由（1）得：DE=DF

SAARD：

SAACD

則有黑若即BC+CD

CD

.BC2

?*CD-3*

【點睛】此題考查了全等三角照的判定和性質，三角形的面積公式，角平分線的性質，正確

地作出輔助線是解題的關鍵.

題型二利用角平分線的性質證明角之間的關系

例2(2023秋?北京海淀,八年級北京市師達中學校考開學考試)點。在△月8。內，且到三邊

的距離相等，若/力=56。，則48。。=.

【答案】118°/118度

【分析】根據到三邊的距離相等得到點0是角平分線的交點，即可得到N0BC+/0CB=

!(ZABC+ZACB),再利用三角形內角和進行角度計算即可.

【詳解】ZA=56°,

???ZACB+ZABC=180°-ZA=124°,

???點0到三邊的距離相等，

點0是角平分線的交點，

:.ZOBC+ZOCB=1(ZABC+ZACB)=62°,

:.ZB0C=180°-(ZOBC+ZOCB)=118°.

故答-案為：118°.

【點睛】本題考查角平分線的判定以及角平分線性質的運用；得到點0是三角形角平分線的

交點是解題關鍵.

舉一反三1如圖，已知DB1AE于點B,DC1AF于點C,且DR=DC/BAC=40°,^ADG=

130°,則.

【答案】150°/150度

【分析】先根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上得到AD是NBAC的平分線，求出

NCAD的應裁，再根據三用形的一個外角等干與它不相鄰的兩個內角的和即可求解.

【詳解】解：?.?BD1AE于B,DC1AF于C,且DC=DB,

，AD是NBAC的平分線，

VZBAC=40°,

,ZCAD=20,

AZDGF=ZCAD+ZADG=2004-130°=150°.

故答案為：150°.

【點睛】本題考查了角平分線的判定與三角形的一個外優等于與它不相鄰的兩個內角的和的

性質，仔細分析圖形是解題的關鍵.

舉一反三2在“圖形與幾何〃的學習中，我們遇到這樣一個題FI：“如圖，在四邊形力BCD中，

4c平分/BAO,=求證：/8+匕力。C=180。.”結合學過的知識，可以分析如下：

首先根據角平分線的性質構造相等線段，將其轉化為證明三角形全等，然后結合補角的知以

使問題得到解決.請根據上述的思路，完成題目的證明

【答案】見解析

【分析】分別過點C作CM1AB于點M,CN1AD的延長線于點N,根據角平分線的性質得

到CM=CN,利用HL證明RtZiBCMgRtZkDCN,可得NB=ZCDN,再根據NCDN+ZADC=

180°,等量代換可得結吳.

【詳解】解：證明：分別過點C作CM1AB于點M,CNJ.AD交AD的延長線于點N,

ACM=CN.

VBC=CD,

RtABCM且RtADCN(HL),

???NB=ZCDN,

ZCDN+ZADC=1809,

AZB+ZADC=180°.

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結

合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了全等三角形的判定

與性質和角平分線的性質.

題型三角平分線性質的實際應用

例3如圖，三條公路兩兩交叉，現計劃修建一個油庫，若要求油庫到三條公路的距離都相

等，則滿足條件的油庫的位置有()

A.1處B.2處C.3處D.4處

【答案】D

【分析】根據角平分的性質，即可得出油庫的位置在角二分線的交點處，依此畫出圖形，由

此即可得出結論.

【詳解】解：???三條公路對兩相交，要求油庫到這三條公路的距離都相等，

???油庫在角平分線的交點處，畫出油庫位置如圖所示.

故選D.

【點睛】本題考查了角平分線的性質，依照題意畫出圖形，利用數形結合解決問題是解題的

關鍵.

舉一反三1（2023春?四川成都?八年級校考期中）一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一

個涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應選在（）

A.三角形三條邊的垂直平分線的交點B.三角形三條角平分線的交點

C.三角形三條高所在直線的交點D.三角形三條中線的交點

【答案】B

【分析】根據題意，涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置在三角形三條角平分線的交點，

據此即可求解.

【詳解】解：???涼亭到草坪三邊的距離相等，

???涼亭的位置在三角形三條角平分線的交點，

故選：B.

【點睹】本題考在了三角形角平分線的性殖，熟練掌握審平分線的性質爰解題的關鍵.

舉一反三2如圖，三條公路把4,B,C三個村莊連成一個三角形區域，現決定在這個三

角形區域內修建一個集貿市場，要使集貿市場到三條公路的距離相等，則這個集貿市場應建

在（）

A.三角形三個內角的角平分線的交點B.三角形三條邊的垂直平分線的交點

C.三角形三條高的交點D.三角形三條中線的交點

【答案】A

【分析】根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等解答即可.

【詳解】解：根據角平分線的性質，集貿市場應建在三個角的角平分線的交點處.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，熟記性質是解題的

關鍵.

題型四角平分線的判定的應用

例4已知在△48c中，和N4CB的平分線交于點0,41=a.

⑴如圖①，若乙力=50。，求的度數.

A

8/\c

圖①

(2)如圖②，連接。4,求證：。力平分484c.

[J

圖②

⑶如圖③，若射線8。與Z4CB的外角平分線交于點P,求證：0C1PC.

圖③

【答案】⑴115。

⑵見解析

⑶見解析

【分析】(1)利用三角形的內角和先求出NABC與NACB的和，再根據角平分的定義求出

NOBC與NOCB的和即可解答：

(2)根據角平分線的性質定理，想到過點0作ODJ.BC,0E1AB,OF1AC,垂足分別為D,

E,F,證出0E=OF即可解答：

(3)根據角平分的定義求出NOCP=90°即可解答.

【詳解】(1)解：???NA=50°,

ZABC+ZACB=180°-NA=130°,

???NABC和NACB的平分線交于點0,

NOBC-NABC,NOCB-NACB,

22

???NOBC+NOCB=：/ABC+：NACB=65°,

22

ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=115°;

(2)證明：過點。作OD_LBC,OE1AB,0F1AC,垂足分別為D,E,F,

???NABC和NACB的平分線交于點0,ODJ.BC,OE1AB,OF1AC,

:.OD=OE,OD=OF,

:.OE=OF,

???OA平分NBAC;

（3）證明：?.?（）（：平分NACB,CP平分NACD,

???NACO=\NACB,NACP=\NACD,

???ZOCP=ZAC0+ZACP

11

=-ZACB+-ZACD

乙乙

1

=2/BCD

1

=-x180°

=90°,

:.OC1CP.

【點睛】本題考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線的定義和角平分線的性質定理是解

題的關鍵.

舉一反三1如圖，△力BC中，點。在邊8c延長線上，乙48=100°,4A8C的平分線交30

于點E,過點E作EH_L8D,垂足為〃，且/CEH=50。.

E

BCHD

⑴求乙4CE的度數;

⑵求證：4E平分乙。4尸；

⑶若AC+G9=14,AB=10,且S”。=21,求△48E的面積.

【答案】⑴40°

(2)見解析

⑶15

【分析】(1)根據鄰補角的定義和垂直的定義可得NACD=80°、ZCHE=90°,進而得

到NECH=40°,然后根據NACE=NACD-NECH即可解答；

(2)如圖：過E點分別作EM_LBF于M,EN1AC與N,根據角平分線的性質定理以及角平

分線的定義可得EM=EH、CE平分NACD、EN=EH,最后根據角平分線的判定定理即可解

答；

(3)根據SAACD=S“CE+SKED結合巳知條件可得EM=3,最后運用三角形的面積公式印

可解答.

【詳解】(1)解：???NACB=100°,

/.ZACD=180°-100°=80°,

VEH1BD,

AZCHE=90°,

VZCEH=50°,

AZECH=90°-50°=40°,

/.ZACE=ZACD-ZECH=80°-40°=40°.

(2)證明：如圖：過E點分別作EM1BF于M,EN1AC與N,

tBE平分NABC,

AEM=EH,

ZACE=ZECH=40°,

???CE平分NACD,

AEN=EH,

AEM=EN,

???AE平分NCAF.

解：

(3)VAC+CD=14,SAACD=21,EM=EN=EH,

ASAACD=S"CE+SACED=^AC-EN+|CD-EH=1(AC+CD)-EM=21,

即：x14?EM=21,解得EM=3,

VAB=10,

.,?SAABE=|ABEM=15.

【點睛】本題主要考查了鄰補角的性質、角平分線的性質與判定定理、三角形的面積等知識

點，靈活運用相關知識點成為解答本題的關鍵.

舉——反三2如圖，已知的角平分線8P、AP相交于點P,PM1BE,PN1BF,

垂足分別為M、N.現有四個結論：

①8平分416；

②乙BPC=^BACi

③4Ape=90。一

④SMPM+S&CPN>SMPC?

其中結論正確的是(填寫結論的編號)()

A.①②③B.①②③④C.②③④D.①③④

【答案】A

【分析】作PD_LAC于點D,根據角平分線的判定定理和性質定理，即可判斷①結論：根據

角平分線的定義和三角形外角的性質，即可判斷②結論：先根據四邊形內角和，得出

ZMPN=180°-ZABC,再證明Rt△AMP三Rt△ADP(HL),Rt△CDPRt△CNP(HL),

得到NAPD=gNMPD,ZCPD=|ZNPD,即可判斷③結論；根據全等三角形面積相等，

即可判斷④結論.

【詳解】解：①作PD1AC于點D,

???BP平分NABC,PM1BE,PN1BF,

???PM=PN

???AP平分NEAC,PM1BE,PD1AC

PM=PD,

:.PN=PD,

.?.點P在NACF的角平分線上，

.?.CP平分NACF,①結論正確：

②???BP平分NABC,CP平分NACF,

ZABC=2ZPBC,ZACF=2ZPCF,

vZACF=ZABC+ZBAC,ZPCF=NPBC+ZBPC,

:.ZABC+ZBAC=2(ZPBC+ZBPC),

???2ZPBC+ZBAC=2ZPBC+2ZBPC,

:，ZBAC=2ZBPC,

AZBPC=|ZBAC,②結論正確；

③???PM1AB,PN1BC,

???NAMP=ZCNP=90°,

???ZABC+ZCNP+ZMPN+NAMP=360°,

/.ZMPN=360°—90°-900-ZABC=180°一/ABC,

???PM=PN=PD,

在AMP和RtZkADP中,

(AP=AP

tPM=PD'

:.RtAAMP三RtAADP(HL),

同理可證，RtACDP^RtACNP(HL),

???ZAPD=ZAPM=\ZMPD,ZCPD=ZCPN=|NNPD,

???ZAPC=ZAPD+ZCPD=1(ZMPD+ZNPD)=|ZMPN=|(180°-ZABC)=90。

ZABC,故③結論正確：

④：Rt△AMP三Rt△ADP,Rt△CDP三Rt△CNP

二SAAMP=S^ADP，SACDP=S“NP，

,0,S"MP+SACNP=S.ADP+S^CDP=S.APC，故④結論不正確；

綜上所述，正確的結論是①②③，

故選：A.

【點睛】本題考查了角平分線的判定定理和性質定理，三角形外角的定義，四邊形內角和,

全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵.

題型五角平分線的性質在開放探究題型中的應用

例5J知中，BE工分■乙ABC,BE交AC于點E,CD平分匕ACB,交AB于點、D,BE與CD

交于點0.

⑴如圖1,求證：480c=900+3484c.

A

B

Ml

⑵如圖2,連接0月，求證：04平分4871c.

圖2

⑶如圖3,若乙8AC=60。，BD=4,CE=2,求段的值.

【答案】(1)見解析

⑵詳見解析

【分析】(1)由角平分線的性質得出NOBC=^NABC,ZOCB=-ZACB,由三角形的內

22

角和定理得出NABC+NACB=180°-ZBAC,ZB0C+Z0BC+Z0CB=180°,代入

即可得出結論；

(2)過點。作0N1BC于N,0乂1八8于乂，OK1ACTK,證明0M=0K,則點。在NBAC的

平分線上，即可得出結論；

(3)過點B作BH1CD交CD的延長線于點H,過點0作0F平分NB0C交BC于點F,過點0作

ONJ.BC于N,OMJ.AB于M,證明NB0F=NB0D,ZCOF=ZC0E,由角平分線的性質得

出N0BF=N0BD,ZOCF=Z0CE,由ASA證得△BOF三△BOD,BF=BD=4,由ASA證

得ACOF三aCOE,CF=CE=2,求出BC=6,由S^OD：S^BOC=gOD?BH^OC?BH二

OD:OC,SABOD：SABOC=^BD-OM:|BC-ON=BD:BC,進行計算即可得出結論.

【詳解】(1)證明：TBE平分/ABC,CD平分NACB,

ZOBC=|NABC,ZOCB=|ZACB,

???NABC+NACB+NBAC=180°,

???ZABC+ZACB=1800-ZBAC,

???ZBOC+ZOBC+ZOCB=180°,

ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)

=180°-G/ABC+^/ACB)

=180°-1(ZABC+ZACB)

=180°-1(180°-ZBAC)

1

=180°-900+-ZBAC

乙

=90°+1ZBAC:

(2)證明：如圖，過點。作ON_LBC于N,OMLAB'fM,OK1AC于K,

???BE平分NABC,CD平分NACB,

??.OM=ON,ON=OK,

:.OM=OK,

???點O在NBAC的平分線上，

???OA平分NBAC：

(3)解：如圖，過點B作BH_LCD交CD的延長線于點H,過點。作OF平分NBOC交BC于點F,

過點0作ON1BC于N,01\11人8于乂，

A

VZBAC=60°,

ZBOC=90°+1ZBAC=120°,

NBOD=NCOE=180,-ZBOC=180°-120°=60°,

???OF平分NBOC,

???ZBOF=ZCOF=ZBOC=60°,

AZBOF=ZBOD,ZCOF=ZCOE,

???BE平分NABC,CD平分NACB,

ZOBF=ZOBD,ZOCF=ZOCE,

在^BOF^ABOD中，

(ZOBF=ZOBD

<BO=BO,

(NBOF=ZBOD

BOF*BOD(ASA),

???BF=BD=4,

在ACOF和ACOE中，

(ZOCF=ZOCE

jCO=CO,

(ZCOF=ZCOE

COF=△COE(ASA),

CF=CE=2,

???BC=BF+CF=4+2=6,

V

SABOD-SABOC=：OD-BH:|OC-BH=OD:OC,SAB0D:SAB0C=1BD-OM:|BC-ON=

BD:BC,

:.-O-D-.B.D=—4=2—.

OCBC63

【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的判定與性

質、三角形內角和定理、三角形面積的計算等知識，熟練掌握角平分線的性質與判定以及全

等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

舉一反三1如圖（1）,點。、點。在直線匕上，點A、點8在直線％上，且川上，連接4C、

⑴請在圖（1）中，找出三對面積相等的三角形：；

（2）利用（1）中的結論解決下面兩個問題：

①將圖（1）中的△ABC、△4進行以下操作：

第一步,分別復制△ABC、hABD,粘貼,如圖（2）所示的A/liBiC、hA2B2D.

第二步，先將圖（2）中的△4BiC、AG%。的頂點。、。重合，再將△4多。繞點C旋轉

到如圖（3）所示位置.

若直線42々與41為相交于點E，連接CE.求證：CE平分匕&氏的.

②如圖（4）,折線型小路P-M-Q,將四邊形/18CD苗圃分成甲、乙兩塊，為了方便管理，

要將折線型小路尸-M-。改為經過點P的直線型小路，使得甲、乙的面積前后不發生改

變.請你在圖（4）中畫出直線型小路PN（不需要尺規作圖，但要規范，并簡單說明作圖的

關鍵步驟）.

【答案】0）△ABD和△ABC;△ACD^ABCD：△AOD和△BOC

⑵①見解析：②見解析

【分析】（1）根據兩條平行線之間的距離相等，即可可得出答案；

（2）①過點D分別作DG_LAiBi于G,DF1A2B2TF,根據題意可知A$i=A2B2，△AJBJC

的面積=△A2B2D的面積，根據面積公式可得DG=DF,即可得出結論；

②連接PQ,過點M做PQ的平行線交BC于點N,則PN為所求的直路，根據兩條平行線之間的

距離相等，可得S^PMQ=S^PNQ.

【詳解】(1)解：??1〃12，

?Fl、％間的距離相等，

設11、I2間的距離為，

1111

===

?,S.ABCaAB,h,S.ABDaAB,h,S“CD=3CD,h,SABCDaCD,h,

?'△ABC=S^ABD，S^ACD=SABCD，

?，?SAABC-SAAOB=S^ABD-SAAOB，

**SAAOD=SABOC，

故答案為：△ABD和△ABC;△ACD^ABCD：△AOD^ABOC.

(2)①證明：過點D分別作DGJ.AiBi于G,DF1A2B2i-F,如圖：

根據題意可知A]Bi=A2B2,△A1B1C的面積=△A2B2D的面積，

*.*△A1BiC的面積=1AiBi?DG,△A2B2D的面積=1A2B2?DF,

.,.1A1B1-DG=^A2B2-DF,

ADG=DF,

VDG1AjBi,DF1A2B2,

ACE^^ZAiEAz；

②解：步盜：連接PQ,過點M做PQ的平行線交BC于點N,則PN為所求的直路.

如圖：

證明：VPQ||MN,

△

?—PMQ=SAPNQ,

，S甲J四邊形ABQP—S^PMQ=0eg邊形ABQP一SAPNQ，S乙=S四邊形PQCD+SAPMQ

S曰邊取ABQP+S^PNQ，

，甲、乙的面積前后不發生改變.

【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形的面積公式，角平分線的判定，四邊形的面積,

解題的關鍵是掌握兩條平行線之間的距離相等，利用面織法求解.

舉一反三2在△A8C和&DEC中，AC=BC,DC=EC,LACB=zDCF=90°.

⑴如圖1,當點A,C,。在同一條直線上時，求證：AE=BD,AE1.BD；

(2)如圖2,當點A、C、。不在同一條直線上時,(1)中結論是否仍然成立，為什么;

⑶如圖3,在(2)的條件下，連接C尸并延長C尸交4D于點G,N4尸G的大小固定嗎？若是,

求出N4FG的度數；若不是，請說明理由.

【答案】(1)見解析

⑵成立，理由見解析

⑶是，ZAFG=45°

【分析】(1)證明AACE三ZkBCD,得到N1=N2,由對頂角相等得到N3=N4,所以

ZBFE=ZACE=90°,即可解答：

(2)證明△ACEw^BCD,得到N1=N2,又由N3=N4,得到NBFA=NBCA=90°,

即可解答；

(3)ZAFG=45°，如圖3,過點C作CM1BD,CN_LAE,垂足分別為M、N,由△ACEBCD,

得到S.ACE=S&BCD，AE=BD,證明得到CM=CN,得到CF平分NBFE,由AF_LBD,得到

ZBFE=90°,所以NEFC=45°,根據對頂角相等得到NAFG=45°.

【詳解】（1）解：證明：如圖1,

圖1

ACE^ABCD中，

AC=BC

???ZACB=ZECD=90°,

EC=DC

.*.△ACEBCD(SAS),

:.Z1=Z2,AE=BD,

???N3=N4,

ZBFE=/ACE=90°,

AE1BD;

(2)成立，證明：如圖2,

圖2

???ZACB=ZECD,

ZACB+ZACD=ZECD+ZACD,

???ZBCD=NACE,

在△ACE和△BCD中，

(AC=BC

ZACE=ZBCD,

(EC=DC

ACE=△BCD,

???Z1=N2,AE=BD,

vN3=N4,

???NBFA=ZBCA=90°,

???AF1BD.

(3)ZAFG=45°,

如圖3,過點C作CM1BD,CN1AE,垂足分別為M、N,

圖3

???△ACE=△BCD,

S“CE=SABCD，AE=BD,

???SAACE=|AE-CN,

SABCD=|BD-CM,

???CM=CN,

vCM1BD,CN1AE,

???CF平分NBFE,

???AF1BD,

???ZBFE=90°,

???NEFC=45°,

:.ZAFG=45°.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理與性質定理，角平分線的性質，解決本題的關鍵

是證明4ACE三ZkBCD,得到三角形的面積相等，對應邊相等.

一、單選題

1.（2022秋?上海?八年級上海市民辦上寶中學校考期中）①到角的兩邊距離相等的點在這

個角的平分線上；

②有兩條邊和第三條邊上的中線對應相等的兩個三角形全等；

③有兩條邊和第三條邊上的高對應相等的兩個三角形全等；

④線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩端點的距離相等.其中正確的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據角平分線的判定定理，垂直平分線的性質定理，全等三角形的判斷定理逐項判

斷即可.

【詳解】解：①角的內部到角的兩邊龍離相等的點在這個角的平分線上，故該項錯誤；

②有兩條邊和第三條邊上的中線對應相等的兩個三角形全等，故該說法正確；

③有兩條邊和第三條邊上的高對應相等的兩個三角形不一定全等，故該項錯誤；

④線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩端點的距離相等，故該項正確.

故選：B.

【點睛】此題主要考查角平分線的判定定理，垂直平分線的性質定理，全等三角形的判定定

理，正確理解判定定理是解題關鍵.

2.（2022秋?上海?八年級上海市民辦立達中學校考階段練習）如圖所示，點〃是。內

一點，要使點”到AB、AC的距離相等，且53“=5研修，點〃是（）

A.18AC的角平分線與AC邊上中線的交點

B.N84C的角平分線與A8邊上中線的交點

C.NA8C的角平分線與AC邊上中線的交點

D.NABC的角平分線與AC邊上中線的交點

【答案】A

【分析】根據點〃到AB、AC的距離相等可得點H在ZBAC的角平分線上，由S^ARH=5A8CH

可得AC邊上的中線上，即可求解.

【詳解】解：由點”到A8、AC的距離相等可得點〃在/84C的角平分線上，

由SAABH=S&BCH可得AC邊上的中線上，

則點H是ZBAC的南平分線與AC邊上中線的交點,

故選：A

【點睛】此題考查了角平分線的判定以及三角形中線的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基

礎性質.

3.（2022秋?上海長寧?八年級上海市西延安中學校考期中）如圖，已知Z4OB,按照以下

步驟作圖：

①以點。為圓心，以適當的長為半徑作弧，分別交NA03的兩邊于C、。兩點，連接CD；

②分別以點C、。為圓心，以大于線段OC的長為半徑作弧，兩弧在NA04內交于點E,

連接CE、DE；

③連接OE交CD于點M.

下列結論中錯誤的是（）

A.ZCEO=ZDEOB.CM=MD

C.OEA.CDD.ZOCD=ZECD.

【答案】D

【分析】利用基本作圖可知，OE為NAOB的平分線,義OC=OD,OE=OE,可得出

,從而可得出ZCEO=/DEO?，由OC=OD,EC=ED,得出OE垂直平分CD,

根據等腰三角形的性質可得出CM=MD：根據已知條件不能判斷ZOCD=AECD.

【詳解】解：由作圖步驟可得：OE是NAO8的角平分戰，則NCOE=/DOE,

又OC=OD,OE=OE,

AOCE^ODHSAS）,

AZCEO=ZDEOtEC=DE,故A正確；

OC=OD,EC=EDf

JOE垂直平分CD,則0EJLC7）,CM=MD,

故B,C選項正確，

沒有條件能得出4OCD=4ECD,

故選：D.

【點睛】本題考查了基本作圖-作已知角的角平分線，全等三角形的判定與性質以及等腰三

角形的性質，熟練掌握基本作圖的步驟是解題的關鍵.

二、填空題

4.（2021秋?上海青浦?八年級統考期中）如圖所示，在RtzXABC中，ZC=90,AO是NBAC

的角平分線，若3c=8cm,BD=5cm,則。點到A8的距離為cm.

【答案】3

【分析】過點D作。后工初于點E,根據角平分線的性質可得，。七=。。，根據AC=8cm,

BD=5cm,求得CD即可求解.

【詳解】解：如圖，過點D作。E_ZAB于點E,

,ZC=90°,A。是N8AC的角平分線，

/.DE=DC,

QBC=8cm,BD=5cm,

.?./>C=8C-CQ=8-5=3（cm）,

/.DE=3cm,

」Z）點到AB的距離為3cm,

故答案為：3.

【點晴】此題主要考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

5.（2022秋?上海?八年級專題練習）如圖，己知：A8C中，ZC=90°,AC=40,8。平分

/A8C交AC于。，AD:DC=5:3,則。點到AB的距離是________.

A

【分析】先求出。。的長，再根據角平分線的性質即可得出結論.

【詳解】解：VAC=40,AD:DC=5:3,

：.DC=40x3=15.

8

,/30平分NA8C交AC于D,

AD點到AB的距離是15.

故答案為：15.

【點暗】本邈考查的是免十分線的性質，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解

答此題的關鍵.

6.（2022秋?上海?八年級校考期中）如圖，在R&8C中，N84C=90,A8=3,M為邊BC

上的點，連接4M,如果將沿直線4M翻折后，點8恰好落在邊4c的中點處，那么

點M到AC的距離是_.

【答案】2

【分析】過點M作ME_LAC亍E,MF_LAB于F,先求出AC的長，根據角平分線的性質可證ME二MF,

然后利用面積法求解即可.

【詳解】解：設AC的中點為B',過點M作ME_LAC于E,MF_LAB于F,

???將△ABM沿直線AM翻折后，點B恰好落在邊AC的中點B'處,

AZBAM=ZCAM=45°,AB=AB'=3,

???點zr恰好落在邊AC的中點處，

，AC二6,

VZBAM=ZCAM=45°,ME±AC,MF±AB,

，ME二MF,

ASAABC^^AB.AC=y?(AB+AC)?ME,

?'ME-2,

所以點M到AC的距離是2,

故答案為為：2.

【點睛】本題考查了翻折變換，角平分線的性質，三角影的面積公式，利用面積法求ME的

長是本題的關鍵.

7.(2022秋?上海閔行?八年級上海市實驗學校西校校考期中)如圖，已知用ABC,NAC8的

平分線6交48十點。，DE"BC,且AC=8,如果點E是邊AC的中點，那么DE的長

為.

【答案】4

【分析】先根據角平分線的定義和平行線的性質得出NEDC=NACD,從而有DE=EC,

再利用線段中點即可得出答案.

【詳解】???CD平分NAC6,

:.ZACD=ZBCD.

DE//BC,

/./EDC=/BCD,

ZEDC=ZACD,

：.DE=EC.

??,點E為AC中點,AC=8,

:.EC=-AC=4,

2

.\DE=4.

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質，等腰三角形的判定，掌握角平分線

的定義，平行線的性質和等腰三角形的判定是解題的關鍵.

三、解答題

8.（2022秋?上海?八年級專題練習）如圖，回8=0090。，E是8C的中點，DE平分（MOC.求

證：AE是由D4B的平分線.

【答案】證明過程見詳解

【分析】依據角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質構造EFJ_AD,從而得出EC二EF.再

通過E是BC的中點，得出EF二EB,最終得出結論.

【詳解】證明：過點E作EF_LAD,垂足為F.

DC

VZB=ZC=90°,

.\BC±CD,CB±AB.

VDE平分NADC,

.\EC=EF.

VE為BC的中點.

/.EC=EB,

AEF=EB,

VEF±AD,CB±AB,

AAE平分NDAB.

【點睛】本題考查角平分線的性質及判定方法，能熟記并運用角平分線上的點到角兩邊的距

離相等，并以此判定角平分線是解題關鍵.

9.（2022秋?上海閔行?八年級統考期中）已知：如圖，在RtAAAC中，/BAC=90。，NABC

的平分線交4）于點石，交AC于點F,ADJ.BC,垂足為點。.

⑴求證：AE=AF；

⑵過點E作EG〃C。交AC于點G,過點尸作尸”J.8C,垂足為點”.

①請判斷"'與CG的數量關系，并說明理由；

②當AE=8E時，設即=x,試用含有x的式子表示GC的長.

【答案】（1）見解析

（2）①A尸=CG,理由見解析：②CG=1x.

2

【分析】（。根據ZAEF=/BED=90。-NCBF,ZAFB=90°-ZAI3F,得么FE=ZAEF,

從而

（2）①由角平分線的性質知4尸="7,由（1）^AF=AE,則AE=F"，再利用AAS證明

AAEGRAFHC,將AG=C尸,即可證明：

②由等腰三角形的性質可得/明石二乙該，可證AE=EF=4/=可得結論.

【詳解】（1）證明：???加?平分/A8C,

Z.ZABF=NCBF,

ADJ.BC,

ZA￡>￡?=90°,

ZAb?=乙BED=90u-ZCW,

,?ZAFB=90"ZABF,

，ZAFE=ZAEF,

AE=AF;

(2)解：?AF=CGt理由如下：

,；BF平分NABC,FAIAB,FHVBC,

/.AF=FH,

由(1)知A〃=AE,

/.AE=FH,

〈EG//CD,

：.ZAEG=ZFHC=90°,ZAGE=NC,

△AEG0△”C(AAS),

???AG=CF,

：.AF=CG\

②:AE=BE,

/.ZBAE=ZABE,

,/N8AC=90。，

JAEAF=ZEFA,

，AE=EF,

；?AE=EF=AF=BE,

，BF=2AF,

：,CG=AF=-x.

2

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，角平分線的性質等知識，

得到AAEG且NHC是解題的關鍵.

10.（2022秋?上海?八年級上海市民辦立達中學校考階段練習）已知乂BC,AO是一條角

平分線.

⑴【探究發現】如