第二十二章四邊形(10大題型)(60道壓軸題專練)

壓軸題型一多邊形

1.(23-24七年級下?黑龍江哈爾濱?開學考試)(1)如圖1,這是一個五角星ABCDE,求++++

的度數.

(2)如圖2,如果點3向右移動到/C上，直接寫出/4+ND8E+/C+/D+/￡的度數.

(3)如圖3,當點3向右移動到ZC的另一側時，直接寫出N/+/D8E+/C+/D+/E的度數.

(4)如圖4,求44+NB+/C+/D+/E+/F的度數.

AAA

【答案】(1)180°(2)180°(3)180°(4)360°

【分析】本題考查的是三角形內角和定理及三角形內角與外角的關系，解答此類題目時利用三角形內角與

外角的關系把多個角劃到同一個三角形中，再利用三角形內角和定理解答即可.

(1)先根據三角形外角的性質得出NC+NE=4M7V,NB+ND=NANM,再由三角形內角和定理即可得出

結論；

(2)先根據三角形外角的性質得出NC+N8EC=N4ME,NB+ND=NAEM,再由三角形內角和定理即可得出

結論；

(3)延長班交NC于點N,再根據三角形外角的性質得出NC+NBEC=NMVE,ZB+ZD=ZANM,再由三

角形內角和定理即可得出結論；

(4)連接BC,利用三角形內角和定理結合四邊形內角和定理求解即可.

【詳解】解：(1)如圖，

ZAMN是ACEM的外角,

/.ZC+ZE=ZAMN.

???ZANM是ABDN的外角,

ZB+ZD=ZANM.

???NZ+ZAMN+ZANM=18CP,

:.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=18CP；

（2）如圖，

???ZAMB是ABDM的外角，

ADBM+ZADB=4AMB.

QN/5”是MCE的外角，

:.NC+NE=NABM.

???ZA+/ABM+ZAMB=180°,

.?Z+Z￡+NC+NO+ZDBE=180°；

（3）如圖，延長E5交/C于點N,

'/ZAMN是ABDM的外角，

ZDBE+ZD=ZAMN.

vZANM是KNE的夕卜角,

/C+ZE=ZANM,

-/+ZANM+ZAMN=18（F,

ZA+ZDBE+ZC+ZD+ZE=180°；

（4）如圖，連接5C,

D

貝l|NFBC+ZECB=ZE+ZF,

：.ZA+ZABF+ZDCE+ZD+ZE+ZF

=ZA+ZABF+ZDCE+ZD+ZFBC+ZECB

=ZA+ZABC+ZBCD+ZD

=360°.

2.(2023八年級下?浙江?專題練習)

(1)如圖1,設4=x,貝!]/1+/2=；

(2)把三角形紙片Z8C頂角N沿DE折疊，點/落到點4處，記N4DB為N1,ZA'EC為N2.

①如圖2,ZBN2與/N的數量關系是—；

②如圖3,請你寫出Nl,N2與//的數量關系，并說明理由.

(3)如圖4,把一個三角形紙片N3C的三個頂角分別向內折疊之后，3個頂點不重合，那么圖中

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=.

圖2C

圖1

A

BL----------------

圖3

圖4

【答案】(l)180°+x

(2)①Nl+/2=24,@Z1-Z2=2NZ,理由見詳解

(3)360°

【分析】（1）表示出N1=N/+//C2，N2=/4+ZABC,用三角形內角和定理即可求解；

（2）①由折疊可求得/1=180。-2N/OE,/2=180。-2//￡。，用三角形內角和定理即可求解；②由①可

求ZDFC=ZA+2ZADE和ZDFC=ZA+18O°-Z1,即可求解；

（3）由（2）得：Z1+Z2=2ZA,可同理求出/3+/4,Z5+Z6,即可求解.

【詳解】（1）解：由題意得：

N1=NA+NACB,Z2=ZA+ZABC,

Z1+Z2=ZA+ZACB+ZA+ZABC

=（ZA+NACB+ZABC）+NN

=180°+x.

故答案：180°+x.

（2）解：①如圖2,由折疊得：ZADE=ZA'DE,ZAED=ZA'ED,

，/1=180°-24?！?/2=180°-2//￡。，

Z1+Z2=180°-2ZADE+180°-2ZAED

=360°-2（ZADE+ZAED）,

NADE+ZAED=18（F-N/,

Zl+Z2=360°-2（1800-

=2ZA.

故答案：Z1+Z2=2Z^.

②如圖3,Nl-N2=2乙4,

圖3

理由如下：設4。與/C交于F，

ZDFE=Z2+ZA'

由①得：Zl=180°-2ZX￡>￡,N4=/A,

2N4DE=18O°-N1,

NDFE=N2+NA，

■：NDFC=18Q°-NDFE,

ZDFC=180°-ZA-Z2,

ZDFC=ZA+2ZADE,

ZDFC=Z^+180P-Z1,

+180°-Z1=180°-ZA-Z2,

Z1-Z2=2ZA.

(3)解：由(2)得：N1+N2=2NN,

同理可得：Z3+Z4=2Z5,Z5+Z6=2ZC,

Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6

=22/+2N8+2/C

=2(N/+/3+NC)

=360°.

故答案：360°.

【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形內角和定理，三角形外角與內角關系，四邊形的內角和，掌握相

關的性質及定理，正確進行整體代換是解題的關鍵.

3.(21-22八年級上?江西贛州?期中)如圖，四邊形4BCD,BE、。廠分別平分四邊形的外角/MBC和/NDC,

若NB4D=a,ZBCD=p.

(1)如圖1,若￡+尸=120。，求NM3C+NNDC的度數；

(2)如圖1,若8E與。下相交于點G,/BGD=30°,請求出a、￡所滿足的等量關系式;

(3)如圖2,若BE〃DF,請求出°、產所滿足的等量關系式.

【答案】(1)120。

(2)尸-a=60。，理由見解析

(3)a=/，理由見解析

【分析】此題考查了平行線的性質，角平分線，多邊形的內角和公式，平行線的性質，利用多邊形的內角

和公式是解題關鍵.

(1)^ABC+ZADC=360P-(a+P),再根據乙四。+乙\?。=180。一乙18。+180。一//。?？傻么鸢?；

(2)連接8。，由(1)知NMBC+NNDC=a+/3,利用角平分線和外角的性質可得

；(a+/7)+180°-77+30。=180°,整理可得結論；

(3)由(1)知，ZMBC+NNDC=a+。,由BE〃DE,得NCBE=NCHD,由/C8E+/CDH=；(</+?),

彳導NCHD+NCDH=；(a+m,根據三角形外角的性質則有尸=；(。+￡),進而可得結論.

【詳解】(1)解：由四邊形內角和得，

ZABC+ZADC=360P-(a+p),

ZMBC+ZNDC

=180°-/ABC+180°-ZADC

=360°-(NABC+ZADC)

=360?！?60。+。+p

=a+f3

=120°；

(2)解：如圖1,連接BQ,

由（1）得，ZMBC+ZNDC=a+/3,

-BE,。/分別平分四邊形的外角和/MX?,

ZCBG=-ZMBC,ZCDG=-ZNDC,

22

ZCBG+ZCDG=；ZMBC+1ZNDC=1（/MBC+ZNDC）=；（a+力）,

在中，NBDC+NCBD=\8b—/BCD=\8（r—0

在△MG中，AGBD+ZGDB+ABGD=180°,

/.ZCBG+ZCBD+ZCDG+ZBDC+ZBGD=180。，

/.(ZCBG+ACDG)+(/BDC+ZCBD)+Z.BGD=180°,

/.1(cr+/7)+180°-/7+30o=180°,

ft-a=60°；

由(1)得，ZMBC+ZNDC=a+/3,

-BE,。尸分別平分四邊形的外角NMBC和NNDC,

/.ZCBE=iZMBC,/CDH=-ZNDC,

22

ZCBE+ZCDH=；/MBC+；/NDC=+NNDC)=1(a+/3),

BE//DF,

/CBE=ZCHD,

ACHD+ZCDH=3(a+夕)，

/BCD=ZCDH+ZCHD,

4=5(0+/)，

:.a=，.

4.（23-24八年級上?山東威海?期末）在四邊形中，乙4=100。，25=120。，點E、尸分別是邊40,BC

上的點，點P是一動點，連接PE、PF,令NPED=Nl,ZPFC=Z2,ZEPF=Za.

初探:

(1)如圖①，若點P在線段。上運動，試探究/1+N2與/a之間的關系，并說明理由；

再探：

(2)如圖②，若點P在線段。C的延長線上運動，試探究/l,22,Na之間的關系，并說明理由；

(3)若點P運動到四邊形/BCD的內部，在備用圖中畫出此時的圖形，并直接寫出此時/a之間的關系

【答案】(1)N1+N2=4(T+Na,理由見解析

(2)Zl-Z2=Za+40°,理由見解析

(3)Z1+Z2=40°+Za

【分析】本題考查了多邊形內角和定理，三角形外角的性質，鄰補角等知識.熟練掌握多邊形內角和定理,

三角形外角的性質，鄰補角是解題的關鍵.

(1)由題意知，乙4+48+(180。一N2)+Na+(180。-21)=540。，進而可求/1+/2=40。+〃；

(2)如圖②，記PE、的交點為貝IJN8〃E=N2+Na,由//+/8+/9出+(180。一/1)=360。，可

MZl-Z2=Za+40°；

(3)如圖備用圖，同理(1)求解作答即可.

【詳解】(1)解：Z1+Z2=40°+Z￡Z,理由如下；

o

由題意知，Z^+ZJB+(180°-Z2)+Za+(180-Zl)=540°,

VZA=100°,ZB=120°,

Zl+Z2=40°+Za；

(2)解：Zl-Z2=Ztz+40°,理由如下;

如圖②，記PE、8C的交點為“，

B

F

ER

H

D

圖②

由題意知，NBHE=N2+Na,

,/ZA+ZB+NBHE+（180°-Zl）=360°,

100°+120°+Z2+Za+（180°-Zl）=360°,即N1-N2=Na+40°；

(3)解：如圖備用圖,

備用圖

由題意知，/4+/8+（180。一/2）+/￡+（180。一/1）=540。，

Zl+Z2=40°+Za,

故答案為：Zl+Z2=40°+Z?.

5.（22-23八年級上?浙江臺州?期末）如圖，在四邊形48co中，4=150°,"=80°.

(1)如圖1,若NB=/C,則/C=度；

(2)如圖2,若的平分線BE交DC于點E,且成〃4D,試求出/C的度數;

⑶①如圖3,若/4BC和/DC8的平分線交于點尸，試求出N8PC的度數;

②如圖4,P為五邊形4BCDE內一點;DP,CP分別平分/EDC,/BCD,試探究/尸與NN+N8+NE的數

量關系，并說明理由.

【答案】（1）65

（2）ZC=70°

⑶①/8PC=115°,②NP-士N；+NE_9o。,理由見解析

【分析】本題考查了多邊形的內角和定理、角平分線的定義，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的

關鍵.

（1）根據四邊形內角和為360。，結合已知條件求解即可；

（2）根據平行線的性質得到N/2E的度數，再根據角平分線的定義得到//BC的度數，進一步根據四邊

形內角和定理計算即可得出答案；

（3）①先根據四邊形的內角和定理得出ZABC+ZBCD=130。，由角平分線的定義得出ZPBC+ZPCB=65°,

再根據三角形內角和定理計算即可得出答案；②由五邊形的內角和定理得出

540+Zg

NEDC+ZBCD=540°-（/A+/B+NE）,由角平分線的定義得出ZPDC+ZPCD=°~）,

即可得出答案.

【詳解】（1）解：?.?Z/l+Z3+/C+Zr）=360°,ZA=15O°,ZD=80°,ZB=ZC,

3600-ZA-ZD360°-150°-80°i

??.^―———o5,

22

故答案為：65；

（2）解：BE//AD,

/.ZABE+ZA=1SO°,

：.ZABE=180°-=180°-150°=30°,

ZABC的平分線BE交DC于點、E,

：.ZABC=60°,

??./C=360°-（150°+80°+60°）=70°；

（3）解：①???四邊形中，44二150。，/。=80。

NABC+NBCD=360?！?50。+80°）=130。，

。和N5CZ）的平分線交于點尸，

.??ZPBC+ZPCB=65°,

：.Z5PC=180o-65°=115°；

②：五邊形/BCDE的內角和為180°義（5—2）=540°,

NEDC+NBCD=540°-(ZA+/B+NE),

VZEDC和ZBCD的平分線交于點P,

540°-(ZA+ZB+ZE]

..NPDC+ZPCD=--------------------------,

2

540°-(ZA+ZB+ZE}ZA+ZB+ZE

/尸=180°---------i------------------2=一乙。十"-90；

22

6.(23-24八年級上?河南駐馬店?期末)(1)已知：如圖1,^ABC.求證：Z^+ZJ8+ZC=180°

圖1圖2圖3

分析：方法①延長3c到。，過點C作射線CE〃以（圖2）,這樣就相當于把//移到了N1的位置，把

移到了N2位置.

方法②過點/作直線PQ〃BC（圖3）,把三個角“湊”到/處.

從上面選一種你喜歡的方法寫出證明過程.

解決問題：

（2）如圖4,一BC外一點、D,連接CD.求證：NBAD+NB+/BCD+ND=360°.

（3）如圖5,“3C外兩點。、E,連接/E、ED、CD.沿著九W折疊得到圖6,點E落在點?貝U

ZMAB+ZB+/BCD+ZD+ZDNM+ZNMA=_（答案直接寫在橫線上）.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）720°

【分析】本題考查三角形內角和定理的證明及應用，涉及四邊形內角和，五邊形內角和，折疊問題等，解

題的關鍵是掌握平行線的性質.

（1）方法①延長3C到D,過點C作射線CE〃氏4,結合平行線的性質與平角的定義可得結論；方法②過

點/作直線尸2〃8C,結合平行線的性質與平角的定義可得結論；

(2)由(1)的結論可得/A4C+/8+44cB=180。，ACAD+ZD+Z^C￡>=180°,再相加可得結論;

(3)連接AD,由(1)知，ZBAC+ZB+ZACB=180°,ZCAD+ZACD+ZADC=180°,由(2)知,

ADAM+NAMN+ZMND+ZADN=360°,再相加可得答案.

【詳解】證明：(1)方法①延長3c到。，過點C作射線C￡〃ZB,如圖：

/.ZA=Z1,ZB=Z2,

'：ZL4CS+Z1+Z2=18O°,

/.4+Z8+//C8=180°；

方法②過點A作直線PQ//BC,如圖:

NB=APAB,NC=AQAC,

?：ZPAB+ABAC+NCAQ=180°,

：.ZC+ZB+ZBAC=1800-

(2)由(1)知，ZBAC+Z5+Z^C5=180°,ZCAD+ZD+ZACD=180°,

：.ZBAC+NB+ZACB+ZCAD+ZD+NACD=360°,

：.(ZBAC+ZCAD)+NB+(ZACB+N4CD)+ND=360°,

即ABAD+ZB+NBCD+ND=360°；

(3)連接NO,如圖：

B

由（1）知，ZBAC+ZB+ZACB=180°,ACAD+AACD+ZADC=180°,

由（2）知，ZDAM+ZAMN+ZMND+ZADN=360°,

ABAC+ZB+ZACB+ZCAD+ZACD+ZADC+ZDAM+ZAMN+AMND+ZADN=180。+180°+360°

=720°,

/MAB++/BCD+ZD+ADNM+ANMA=720°.

壓軸題型二平行四邊形的判定與性質

7.（22-23八年級下?上海浦東新?期末）如圖,在平面直角坐標系xOy中，直線y=h+b經過點-4,0）,5（0,3）.

(1)求直線N5的函數表達式；

(2)點C在直線N8上，點。與點C關于〉軸對稱，如果以。，A,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形，求

點C的坐標.

【答案】(1)"1+3

⑵點C的坐標是1-2,0或12,

【分析】(1)由直線y=h+b經過點/(-4,0),5(0,3),再利用待定系數法求解解析式即可；

(2)設。與y軸相交于點“，證明證明4O=CD=4.①當點C在線段48上時，CH=2.如

圖，則點C的橫坐標是-2,②當點C在線段45的延長線上時，CH=2.如圖，則點C的橫坐標是2,再

利用函數的性質可得點的坐標.

【詳解】(1)解：由題意得，直線、=6+方經過點-4,0),5(0,3),

(a

,,［一4后+6=0,k=-

代入得入,解得4.

Ib=3'=3

.??直線48的的表達式是廣，+3.

4

(2),??點。與點。關于y軸對稱，設與歹軸相交于點H,

CH=DH,

?.?以。、/、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形,

A0=CD=4.

綜上所述，如果以。，/、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形，點C的坐標是,21］或

【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解一次函數的解析式，平行四邊形的性質與判定，軸對稱的性質，

利用數形結合的方法解題是關鍵.

8.(22-23八年級下?上海寶山?期末)平行四邊形48CD中，￡是邊上的動點，過點￡作EGL/3,垂足

為點G,尸是邊的中點，連接跖、FG.

(1)如圖甲，當E是邊8c的中點時，如果四邊形48CD的面積為10,求AEFG的面積;

(2)如圖乙，點E移動至點C處，試判斷AE『G形狀，并說明理由；

(3)如圖丙，如果N8=4D=2,ZB=60°,設BE=x,=y,求y與x的函數關系式，并寫出定義域.

【答案】(1g

(2)AEFG是等腰三角形，理由見解析

(3)y=-^-x2+^^-x(O<x<2)

88

【分析】(1)根據平行四邊形的性質和判定定理得出四邊形ABEF是平行四邊形，設平行四邊形ABEF邊EF

上的高為〃，根據面積之間的關系求解即可；

(2)取BC中點連接切與CG交于點P,根據平行線的性質及垂直平分線的判定和性質得出FG=FC,

即可得出結果；

(3)過點G作GN,3c于N,過點/作于根據含30度角的直角三角形的性質及勾股定理

11/?

得出3G=；尤，BN=-x,NG=—x,AM=43,結合圖形得出兀雙？=$梯形4的一尸G一18G上代入求解

244

即可.

【詳解】(1)解：?.?平行四邊形/BCD,

AB//CD,AF//BE,

是邊8c的中點時，尸是邊的中點，

EF//AB,

四邊形ABEF是平行四邊形，

設平行四邊形ABEF邊所上的高為〃，

,,S.EFG=QEF-A=-S平行四邊形HBEF=IS平行四邊形/BCD=彳；

(2)取BC中點X,連接尸〃與CG交于點尸，

EG1AB,

尸是CG中點，NFPG=NBGC=90。,

：.FH垂直平分CG,

：.FG=FC,

:.是等腰三角形；

(3)過點G作GN_L3C于N,過點4作力M_L5C于

JZBEG=30°,

：.BG=-BE=-x,

22

在必△BNG中，NBGN=30。,

：.BN=-BG=-x,

24

_______巧

：.NG=y/BG2-BN2=—x,

4

在R￡4BM中，

NBAM=30。,

：.BM=-AB=\,

2

,,AM=VAB2—BM2=>/3,

n

???點G到AD的距離為AM-NG=^--X,

4

y=S梯形45既一S^AFG-S^BGE

=—(x+l)xyj3-—6-------Xjx1-^—x-——X

2V72(4J24

=--x2+—A：(0<X<2).

88

【點睛】題目主要考查平行四邊形的判定和性質，勾股定理解三角形及含30度角的直角三角形的性質，線

段垂直平分線的判定和性質及確定函數解析式等，理解題意，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關

鍵.

3

9.(22-23八年級下?上海靜安?期末)如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=.x-6與x軸和y軸分別相

交于點/和點3,/OA4的平分線5尸交CM于點C,點。坐標（小,0）,點尸與點3關于點。對稱.

（2）求圖像經過點P的反比例函數解析式;

（3）已知點。是坐標平面內一點，如果四邊形408尸是平行四邊形，那么點。的坐標是..（請將點。

的坐標直接填寫在空格內）

【答案】（1）3

36

(2)y=—

X

(3)(2,-12)

【分析】（1）過點C作"±AB與點、M,證明得出△08C之AW3C,再根據邊長之間的關系利用勾股定理

即可得到答案;

（2）點尸與點2關于點C對稱，據此可求出尸（6,6）,代入反比例函數中即可求得解析式;

（3）根據題意求出平行四邊形四條邊長所在的直線方程，然后求直線8。和直線的交點坐標即可.

【詳解】（1）解：過點C作。/1AB與點、M,如圖所示:

.??令x=0得y=-6,

令V=0得x=8,

.?./(8,0),5(0,-6),

OB=6,OA=8,

根據AB=yJOB2+OA2=V82+62=10,

TBP是/O"的平分線，

.??/OBC=ZMBC,

在△QBC和△MBC中，

ZCOB=ZCMB=90°

</OBC=/MBC,

BC=BC

：.AOBC^AMBC(AAS),

OC=CM=m,OB=BM=6,

45=10,

???AM=AB-BM=\Q-6=^,AC=AO-OC=8-mf

.?.在中，得(8-加)2=療+42,

解得；m=3；

(2)解：由(1)可得C(3,0),

:點P與點2關于點C對稱，

二點P的橫坐標為2x3-0=6,縱坐標為2x0-(-6)=6,

二尸(6,6),

設反比例函數為>=七"為常數，D,

X

???圖像經過點P,

6=—,解得：左=36,

6

經過點P的反比例函數解析式為y=非；

（3）解：連接尸/,過點8作〃尸過點/作4D〃P3,RD與AD交于一點、D,連接5D,AD,如

圖所示：

由（1）（2）可得/（8,0）,3（0,-6）,尸（6,6）,

?.?四邊形ADBP是平行四邊形，

，設3尸所在的直線為:y=kxx+bx,

將點的坐標代入進去可得尢=2,4=-6,

BP//AD,

.?.設40所在的直線為：了=2尤+4，

將點/的坐標代入可得4=76,

，40所在的直線為：y=2x-16,

設AP所在的直線為：y=k2x+b3,

將點的坐標代入進去可得&=-3也=24,

,：AP//BD,兩直線斜率相同，

.?.設3。所在的直線為：y=-3x+b4,

將點B的坐標代入計算可得以=-6,

3Z）所在的直線為：y=_3x-6,

[y=2x-16fx=2

聯立廣.A得

[y=-3x-o[y=-12

.?.0（2,-12）.

【點睛】本題考查了角平分線的性質、勾股定理、反比例函數、平行四邊形的性質，準確找到邊長之間的

關系是解題的關鍵.

10.（22-23七年級上?上海青浦?期末）小明在學習了中心對稱圖形以后，想知道平行四邊形是否為中心對稱

圖形.于是將一張平行四邊形紙片平放在一張紙板上，在紙板上沿四邊畫出它的初始位置，并畫出平行四

邊形紙片的對角線，用大頭針釘住對角線的交點.將平行四邊形紙片繞著對角線的交點旋轉180。后，平行

四邊形紙片與初始位置的平行四邊形恰好重合.通過上述操作，小明驚喜地發現平行四邊形是中心對稱圖

形，對角線的交點就是對稱中心.

請你利用小明所發現的平行四邊形的這一特征完成下列問題:

圖①圖②圖③

（1）如圖①，四邊形NBCD是平行四邊形，過對角線交點O的直線/與邊AS、CD分別相交于點M、N,則四

邊形48cZ）與四邊形的面積之比的比值為______；

（2）如圖②，這個圖形是由平行四邊形48CD與平行四邊形ECG尸組成的，點E在邊上，且B、C、G在

同一直線上.

①請畫出一條直線把這個圖形分成面積相等的兩個部分（不要求寫出畫法，但請標注字母并寫出結論）；

②延長G廳與邊/￡）的延長線交于點K,延長FE與邊AB交于點、H.聯結EB、EK、BK,如圖③所示，當

四邊形N//ED的面積為18,四邊形CEFG的面積為4時，求三角形E8K的面積.

【答案】（1）2:1

（2）①見解析,S四邊形二S四邊形4MND+S四邊形慟H；②7

【分析】（1）由四邊形/BCD是平行四邊形，對角線4C、8。相交于點。，得AB〃CD,OA=OC,從而得

到/H4O=/NCO,即可證明出zJl"。g△NCO,同理可證明出△M3。名△M）。，KOB均AOD,因此得到

S&COB=S4AOD，SAMBO-SANDO,SAMAO=SANCO，又因為S四邊形+SA4OO+SAN°O,

S四邊形NBC。=S^AMO+S&CNO+S&MBO+S.ADO+SNNDO+S.COE，所以得到S四邊形4MM）=5s四邊形48co，從而即可得到答案;

（2）①根據（1）中的結論畫出圖并寫出相關結論即可;

②由四邊形48CD是平行四邊形得48〃CDAD//BC,由四邊形ECG廠為平行四邊形，得

EC//GF,EF//CG,從而可得/K〃8G,AB//GK,進而可得四邊形A8GK為平行四邊形，同理可得，四

邊形DEFK、四邊形ZffiCE均為平行四邊形，在根據平行四邊形的面積與三角形的面積關系，即可得到三

角形EBK的面積為.

【詳解】（1）解：???四邊形是平行四邊形，對角線/C、8。相交于點O,

AB//CD,OA=OC,

ZMAO=ZNCO,

在△跖1O和ANCO中

'/MAO=ZNCO

<ZAOM=ZCON,

AO=CO

△M4OdNCO（AAS）,

同理可得AMB。名ANDO,KOB均AOD,

?V—Vs二sV-V

-3cOB-^AAOD'Q&MBO3NDO'.UANCO，

S四邊形.NO^AMO+S./DO+S.M）。，S四邊形MC。=^AAMO+￡oVO+_1_2c（?，

.e=le

一口四邊形4M2VD—2°四邊的BCD，

即四邊形4BCD的面積與四邊形/MND的面積之比為2:1,

故答案為：2:1：

（2）①根據（1）中的結論畫出圖如圖所示，

圖②

平行四邊形/BCD的對角線/C、5。相交于點。，平行四邊形ECG廠的對角線EG、CF相交于點。，過

點。、。的直線/將圖形分為面積相等的兩個部分，直線/與N3相交于點M,直線/與GF相交于N,直線/

與C。相交于H，

其中§四邊形M8CH=§四邊形，S四邊形"CGN=§四邊形"EFN，

?**S四邊形NG8M=S四邊形M5C”+S四邊形"GCN~S四邊形ZMHO+'四邊形"EFN，

即S四邊形NG5M=S四邊形NMHD+S四邊形"EFN；

②???四邊形48C。是平行四邊形，

/.AB//CD,AD//BC,

???四邊形ECG廠為平行四邊形，

EC//GF,EF//CG,

/.AK//BG,AB//GK,

二?四邊形ZBGK為平行四邊形，

同理可得，四邊形。￡相、四邊形均為平行四邊形,

,S四邊形⑷=18,S四邊形CEFG=4,

，?

S四邊形45GK=S四邊形4〃即+S四邊形CMG+'四邊形":即十§四邊形尸長，

=18+4+S四邊形BCEH+S四邊形OEFK，

=22+S四邊形BCE4+S四邊形DEFK，

???SsGK=；Mq邊形，BGK

=5（22+S四邊形BCEH+S四邊形DEFK）

=11+萬S四邊形BCEH+5S四邊形DEFK，

,**S&BCE四邊形6CE//，S^EFK=四邊開外qK，

S&EBK=S.BGK-S-CE~AEFK-'四邊形田燈

=11+5S四邊形BCEH+萬S四邊形OEFK~萬四邊形8CEH~務S四邊形。底尸K-

二7,

???三角形EBK的面積為7.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質與判定的應用，熟練掌握平行四邊形的性質與判定是解決問題的關

鍵，難度較大，綜合性較強.

11.（21-22七年級上?上海金山?期末）如圖，已知正方形/BCD,點M是線段C8延長線上一點，連接

（1）將線段沿著射線方向平移，使得點/與點。重合.用代數式表示線段掃過的平面部分的

面積.

（2）將三角形繞著點A旋轉,使得AB與AD重合,點M落在點N,連接跖V.用代數式表示三角形

的面積.

（3）將三角形順時針旋轉，使旋轉后的三角形有一邊與正方形的一邊完全重合（第（2）小題的情況除

外）.請在下圖中畫出符合條件的3種情況，并寫出相應的旋轉中心和旋轉角.

⑵工1+"

22

(3)見解析

【分析】（1）首先得到線段掃過的平面部分為平行四邊形然后根據平行四邊形的面積公式求

解即可；

（2）根據題意利用國AMN=‘VAMB+*^WABCD~ADN-MNC求解即可；

（3）根據旋轉的性質求解即可.

【詳解】（1）解：如圖所示，線段掃過的平面部分為平行四邊形㈤

:.線段AM掃過的平面部分的面積為ABAD=〃;

(2)解：由題意可得，

SyAMN=S%AMB.S'MNC

ABCDADN

——ab+/——ab—-(tz+6)(。-b)

(3)解：如圖所示:

旋轉中心為邊的中點。，旋轉角405=180。；

旋轉中心為ZC中點。，旋轉角乙4。。二180。；

旋轉中心為點5,旋轉角乙4BC=90。；

N

旋轉中心為NC中點。，旋轉角N/OD=90。；

旋轉中心為/C中點。，旋轉角為360。-4408=270。.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，關鍵是根據旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應

點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角解答.

12.(2022八年級下?上海?專題練習)如圖，在直角坐標系xQy中，點”(2,0)和點8(-2,0),直線與V軸

正半軸交于點。(0力)，過點A作ND垂足為。，聯結OD.

⑴求0。的長；

(2)當/。。/=30。時，求點C的坐標;

(3)在(2)的條件下，已知點￡在直角坐標平面內，如果以A、C、D、￡為頂點的四邊形是平行四邊形，請

直接寫出點￡的坐標.

【答案】(1)2

(2)C(0,2V3).

⑶耳(3,9，^(-3,373),￡,3(l,-V3)

【分析】(1)根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出答案；

(2)根據含30。角的直角三角形△48。及3=03=0?？汕蟪黾啊?CO及邊長，即可求出答案;

(3)根據題意作圖，結合直角三角形，角度，勾股定理，即可求出答案.

【詳解】(1)解：如圖所示，

VAD1BC,

：.ZADB=90°,

?.?/(2,0),5(-2,0),

?：OA=OB=2,即點。是的中點，在RMABD,

：.OD=-AB=2.

2

(2)解：ZODA=30°,OD=OA,

：.ZODA=ZOAD=30°,

：.NOBD=60°,

在歷AOBC中，OC=OB.tan600=2C，

AC(0,2V3).

故點C的坐標是：(0,26).

(3)解：如圖1所示，過點A作/E"/DC,

丁四邊形NOC&是平行四邊形，由(2)可知AD=Cr>=；8C=；x4=2,

AEl=DC=2,且ZE"ADC,過點用作用M，無軸于M,AMAEX=60°,

.?.瓦（3,現

如圖2所示，聯結/C,過點。作DE?/"。，

?；四邊形ACDE2是平行四邊形，過點用作芻〃，x軸于//,

.?.當（1,-百）.

如圖3所示，聯結NC,過點。作。&/"。，

?.?四邊形NC&。是平行四邊形，

同理得自卜3,36），

故點E的坐標是：（3,6）,（-3,373）,（1,-V3）.

圖3

【點睛】本題主要考查的是平行四邊形的性質，結合平面直角坐標系，直角三角形，勾股定理考查坐標點

的確定，理解和掌握平行四邊形的性質，解直角三角形的知識是解題的關鍵.

壓軸題型三矩形的判定與性質

13.(22-23八年級下?上海徐匯?階段練習)己知矩形Z8CD中，48=8,點M在邊BC上，且8河=6,點P

在邊/?；駾C上，連接4W、AP、MP,設40=尤.

(1)如圖1,當S4ABM-S四迦加=3.7時,求X的值；

(2)如圖2,當x=8時，如果為等腰三角形，求的面積；

(3)直接寫出使得A/龍。為等腰三角形的點P最多有幾個？并指出使得點尸個數最多時x的取值范圍.

【答案】⑴x=10

25-

⑵彳或14

(3)使得A/MP為等腰三角形的點P最多有4個，此時12<x<16

【分析】(1)根據題意得到四邊切研=3：10,然后分別求出工/府、S四邊/B8的面積，從而建立方程

求解即可；

(2)當點P在上時，△4所不可能是等腰三角形，再分圖2-1和圖2-2兩種情況，利用勾股定理求出

DP、C尸的長，進而根據=S矩形4BCO—-S△尸CM-S△皿)求出對應的面積即可；

(3)根據題意畫出對應的示意圖，確定點尸個數最多時的情況，再求出對應的臨界情況下X的值即可得到

答案.

【詳解】(1)解：SZ\ABM-S四邊形4OCN=3:7,

??S^ABM,S四邊形45CD=3.10,

???四邊形是矩形，

??￡)8=90，S矩形Z8CD=AB-AD=8x

：

.SI/.\A.DRMM.=-2AB-BM2=-x8x6=24,

???24:8x=3:10,

x=10；

(2)解：如圖2,過點刊作于凡連接則四邊形力團團是矩形,

MH=AB=8,

*.*AD=BC=x=8,

:?CM=BC—BM=2,

在RtAA/CD中，由勾股定理得DM=VcAf2+CD2=2JF7，

在Rt中，由勾股定理得AM=dAB?+BM?=10，

...當點尸在上時，AD^MH<PM<AM,

又：當?■=M"=8時，AH<AD=S,

...當點尸在上時，△4所不可能是等腰三角形；

如圖2-1所示，當點P在C。上，且=時，

設。尸=x,貝!]CP=CD-DP=8-x,

由勾股定理得PA2=AD2+DP2,PM2=CM2+CP2，

/.X2+82=22+(8-X)2,

解得x

4

131

：.DP=-CP=—

4f4f

S^^APM=$矩形Z8CD-‘叢ABM~$APCM~~^ADP

l,?l.3111

=8ox8o——x6x8x2x---------x8ox—

22424

25

4

圖2“

如圖2-2所示，當4P=/M=10時,

DP=』AP。-AD?=6，

：.CP=2,

??^AAPM=S矩膝（8CD-S/^BM-S/VPCM-^AADP

=8x8——x6x8-—x6x8--x2x2

222

=14；

25

綜上所述，當為等腰三角形時，的面積為二或14

4

(3)解：如圖所示，當滿足/〃'=/尸2=〃^=〃^=10,/4=孫時，^AMR、AAMP2,2MP3、MMP4

都是等腰三角形，此時點尸的個數最多，

,使得為等腰三角形的點P最多有4個，

,必須要保證A在4D上，R在CD上,

過點M作于"，則四邊形48MH是矩形，

AH=BM=6,

：.Afi,=2AH=12,

當心恰好與點。重合時，此時4D=3C=16,

12<x<16；

綜上所述，使得ANMP為等腰三角形的點P最多有4個，此時12<xW16.

【點睛】本題主要考查了矩形的現在，勾股定理，等腰三角形的定義，利用分類討論和數形結合的思想求

解是解題的關鍵.

14.（22-23八年級下?上海浦東新?期末）如圖，在矩形N3CD中，AB=2,40=3,點尸在邊AD上，連接

8尸，點/關于直線5尸為對稱點為4,

--------------1。

--------------1。

（備用圖）

（1）點4落在8C邊上，求/P的長

（2）點4落在線段PC上，求4P的長；

（3）點4到直線CD的距離等于4B的長，求4P的長.

【答案】⑴2

⑵3M

⑶4-26

【分析】（1）依據軸對稱的性質及矩形的性質即可求得/尸的長.

（2）由勾股定理先求得?C的長，再在中利用勾股定理列出方程，求解x即可（見圖）.

（3）過?作8C的垂線，構造多個矩形與直角三角形，然后將所求的量與已知的量集中在同一個直角三角

形&即可求解.（見圖）

【詳解】（1）點4落在3c邊上，如下圖所示.

?.?點N與點4關于8P對稱，

ZABP=ZA'BP.

由4D〃BC得，ZA'BP=ZAPB,

：.ZABP=ZAPB.

：.AP=AB=2.

(2)點4落在線段尸c上，如下圖.

根據矩形的對邊相等可得：AD=BC=3,CD=AB=2.

設4P=x.貝i]DP=4D-4P=3-x.

?.?點/與點4關于3P對稱，

ZBA'P=ZBAP=90P,則ABAC=90°.

在直角ABA'C中，A'C=yjBC2-A'B2=V32-22=卡■

在直角△尸CD中，由勾股定理得：

PC2=PD2+CD2,BP(PA'+A'C)2=PD2+CD2

：.(x+V5)2=(3-X)2+22,

解得：x=3-45-

(3)點4到直線CD的距離等于45的長，自點/，作4HLCD,垂足為X,則依題意知，A'H=A'B.自

點4作的垂線交于點M、交BC于點、N,垂足為點N.則因/D〃8C,

：.MN1BC,垂足為點N.

?點/與點4關于AP對稱，

/.AB=A'B=A'H=2,并設/尸=4P=x.

又四邊形4HW、四邊形4NCH、四邊形CDMN均有三個角為直角，故均是矩形.

:.MD=AH=NC=2,DH=M4AN=HGMN=CL.

在直角A/'3N中，BN=BC-NC=BC-A'H=BC-AB=3-2=1,

A'N=yjA'B1-BN2=V22-I2.

貝|JW=AGV-4N=/8-4N=2-g.

PM=AD-AP-MD=3-x-2=1-x.

在直角中，HM=2-日PM=\-x,A'P=x,

由勾股定理得：X2=（2-V3）2+（1-X）2.

解得：x=4-2A/3.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質應用、矩形的性質應用、勾股定理的應用等知識點，解題的關鍵將已知

條件與待求結果集中在同一個直角三角形內即可求解.

15.（22-23八年級下?上海普陀?期中）如圖，現有矩形/BCD和一個含30。內角的直角三角形2跖按圖1所

示位置放置（45和■重合），其中NB=25,4D=48.將尸繞點3順時針旋轉&。（0<</<90）,在旋轉過程

中，直線好與邊4D交于點G,如圖2所示.

（1）求證：AG=EG；

（2）連接CE、DE,當DE=CE時，求出此時。的度數;

(3)如圖3,以NB為邊的矩形內部作正方形九W,直角邊EF所在直線交線段跖V于點P,交BC于點0.設

AG=x,PN=y,寫出了關于x的函數解析式.

【答案】(1)見解析

(2)60°

,、、50x

⑶“石石

【分析】(1)連接8G,根據矩形的性質與旋轉的性質得出RMA4G絲RtABEG(HL),即可得證；

(2)當DE=CE時，可知點E在CD的垂直平分線上，過點E作，8C于點H,E0LDC于點。，可

得四邊形E8C0是矩形，根據等腰三角形的性質得出根據矩形的性質得出E8=m，取BE

125125

的中點M,則8A/=