湖南省長沙市望城區第二中學2024-2025學年高一上學期12月

期末數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

l+logn|x|,x<-l

1.已知函數"x)=/、2，方程/(月-1=0有兩解，則。的取值范圍是()

(x+1)+2,ct,x>—1

A.(1,1)B.(0,1)C.(0,1)D.(l,+oo)

2.已知函數/(月=1112-'-》3,則不等式/(3-/)>〃205)的解集為()

A.(-4,2)B.(一叫2)

C.(-00,-2)o(2,+00)D.(-00,-4)0(2,+00)

3.已知函數/(x)=asinx+6cosx,其中a^R,6GR,如果對任意％wR,者B有/(x)w2,

那么在下列不等式中一定成立的是()

A.-4<a+b<4B.-4<。-6<4C.a2+b2<2D.a2-^-b1<4

4.已知角9的頂點在坐標原點，始邊與無軸的非負半軸重合，終邊經過點尸

則()

A.cos20>0B.cos23<0C.sin23>0D.sin23<0

5.下列函數是奇函數且在區間(0,1)上是增函數的是()

A.y=sinxB.y=3~x

21

C.y=x2D.y=—

x

6.已知集合/={-1,1,2,3,4,5},5={xeJV|(x-l)(x-5)<0},則自3=()

A.{3}B.{2,3}C.{2,3,5}D.{-1,1,5}

7.已知銳角0滿足6sinp-cosp=l.若要得到函數〃x)=；-sin2(x+/)的圖象，則可以

將函數V=；sin2尤的圖象().

試卷第1頁，共4頁

A.向左平移曾個單位長度B.向左平移二個單位長度

12

C.向右平移一7兀個單位長度D.向右平移己個單位長度

12

8.“x<l”是“爐-4工+3>0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不

充分也不必要條件

二、多選題

9.已知/'(x)是定義在R上不恒為0的函數，/(尤-1)的圖象關于直線x=l對稱，且函數

>=下的圖象的對稱中心也是/'(x)圖象的一個對稱中心，則()

A.點(-2,0)是/(x)的圖象的一個對稱中心

B./(尤)為周期函數，且4是/(無)的一個周期

C./(4-x)為偶函數

D./(31)+/(35)=2

10.已知定義在R上的函數/'(x)滿足：對VdPeRJ(a+p)+/3-￡)=2/0)/0),

且=,則以下結論正確的為()

A./Q=0B./⑺=0

C./(-x)=/(x)D./(x+7t)=/(x)

11.已知函數/'(x)=J^cos21■-sin|'cos!',貝!]()

A.函數/(x)的最小正周期為47r

B.點-丁，方-是函數“可圖象的一個對稱中心

I32)

C.將函數/(X)圖象向左平移;個單位長度，所得到的函數圖象關于V軸對稱

D.函數/(x)在區間上單調遞減

12.下列說法正確的是()

試卷第2頁，共4頁

A.是的充分不必要條件

ab

B.=0,是/=0的必要不充分條件

C.若a,b,ceR,則“ac?>獷”的充要條件是“a>b”

D.若a,6eR,則“/十尸為”是“同+1上0”的充要條件

三、填空題

13.已知sinar-0cosa=,貝Utana的值是.

a

14.角6的終邊經過點尸(4/),且sinO=-1,貝ijtane=.

15.已知/(x)是定義在R,且滿足知(x+2)=/(x-2),當xe［0,4)時,/(x)=|x2-4x+3|

若函數y=/(x)-正在區間［-4,6］上有10個不同零點，則實數機的取值范圍是.

四、解答題

16.已知函數/(x)=l°g5(-，+2〃+l)的定義域為0,g(x)==A

4x+1

(1)若4=求函數/(x)的值域；

⑵若。=(九〃)，且g(叫之《io,求實數2的取值范圍.

17.如圖為函數〃x)=2cos(0x+/)(0>O,冏的部分圖象，且|。必=%

(2)將/'(x)的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的3倍(縱坐標不變)，再向右平移?個單

位長度，得到函數g(x)的圖象，討論函數〉=g(x)-。在區間-兀微的零點個數.

18.已知函數/(x)=2sinx(由cosx-sinx)+l,XGR.

試卷第3頁，共4頁

(1)求曲線y=f(x)的對稱中心；

(2)在銳角三角形48c中，。，6,。分別是內角A,B,C的對邊，且/(弓］=2.若6+cV切

恒成立，求實數上的最小值.

19.請解答以下問題，要求解決兩個問題的方法不同.

(1)如圖1,要在一個半徑為1米的半圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形48cD,如何

截取？并求出這個最大矩形的面積.

圖1

(2)如圖2,要在一個長半軸為2米，短半軸為1米的半個橢圓鐵板中截取一塊面積最大

的矩形N2CD,如何截取？并求出這個最大矩形的面積.

AOB

圖2

20.某地自2014年至2019年每年年初統計所得的人口數量如下表所示:

年份201420152016201720182019

人數/千人208221352203227623392385

(1)根據表中的數據計算2014年至2018年每年該地人口的增長數量，并描述該地人口數量的

變化趨勢；

⑵研究人員用函數尸(。=2000+4487K554-1擬合該地的人口數量，其中/的單位是

年,2014年初對應時刻"0,P")的單位是千人，設尸⑴的反函數為T(x),求7(2400)的值

(精確到0.1),并解釋其實際意義.

21.在/4BC中，角4民。的對邊分別是瓦。，且43,C成等差數列.

______3L

(1)若4B,BC=—3，b—V3,求的值；

(2)求2sin4-sinC的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案BDDDADAAACACD

題號1112

答案BCDBD

1.B

【分析】根據已知條件對。進行分類討論：。>1,然后分別考慮每段函數的單調

性以及取值范圍，確定出方程/(x)-l=O有兩解時。所滿足的不等式，由此求解出。的取值

范圍.

,、l+loga|x|,x<-l

【詳解】因為/X=,、2，所以。>0且OR1,

(x+1)+2a,x>-l

當0<a<l時，/(x)在時單調遞增,所以/(x)1mx=

又/(x)在女(-1,+8)時單調遞增,M/(x)>/(-l)=2a,

因為方程/卜)-1=0有兩解，所以2a<1,所以

當0>1時，/(力在時單調遞減，/(x)^=/(-1)=1；

又/(x)在久e(-1,+oo)時單調遞增,/(%)>/(-1)=2a,

因為方程=0要有兩解，所以2a<1,此時不成立.

綜上可得ae(0,￡|,

故選：B.

【點睛】方法點睛：根據方程解的個數求解參數范圍的常見方法：

方法(1):將方程解的個數問題轉化為函數的圖象的交點個數問題，通過圖象直觀解答問題;

方法(2)：若方程中有指、對數式且底數為未知數，則需要對底數進行分類討論，然后分析

/(x)的單調性并求解出其值域，由此列出關于參數的不等式，求解出參數范圍.

2.D

【分析】先判斷出原函數的單調性，進而解出不等式即可.

【詳解】由題意，xeR,/(x)=-xln2-x3,易知函數［(x)在R上單調遞減(減+減)，而

/(3-x2)>f(2x-5),所以3(2x_5n(尤_2)(x+4))0nxe.

答案第1頁，共11頁

故選：D.

3.D

【分析】根據題意分“=0和。w0求解函數的最值進行判斷即可.

【詳解】當。=0時，f(x)=bcosx,

因為對任意xeR,都有/(x)22,

所以同<2,所以一2<6<2,

所以一2<a+b<2,—2<〃一6<2,/+/<4，

當。力0時，/(%)=°sinx+6cos+&sin(x.)，其中tan9=「，

因為對任意xeR,都有/(x)w2,

所以<2,所以/+加<4，

綜上，只有/+/<4成立，

故選：D

4.D

【分析】根據三角函數的定義求出cos6、sin6,結合二倍角的正弦、余弦公式計算即可判斷

選項.

【詳解】由題意知，設坐標原點為O,則=,z>0,

由三角函數的定義，得cose=2=7『，sine=W

OP正JOP

_2/7

所以sin26=2sin6cose=-------<0,

t+\

cos20=cos2^-sin20=---,

t+\

當0<I<1時,cos2。<0；當％21時，cos26。0.

故選：D.

5.A

【詳解】根據題意依次分析選項中函數的奇偶性和單調性即可得答案.

【解答】對于A：>=sinx是正弦函數且為奇函數，且在區間(0,1)上是增函數，故A符合

題意；

答案第2頁，共11頁

對于B：了=3一、是指數函數不是奇函數，故B不符合題意；

對于C：y=x?是二次函數，且為偶函數不是奇函數，故C不符合題意；

對于D：v=-是反比例函數且是奇函數，但在區間(0」)上是減函數，故D不符合題意.

X

故選：A.

6.D

【解析】求出集合8,利用補集的定義可求得集合立5.

r

【詳解】?.-JB={xeA|(x-l)(x-5)<0)={ref<x<5)=?,3,4},4={-1,1,2,3,4,5},

因此，^={-1,1,5}.

故選：D.

【點睛】本題考查補集的計算，同時也考查了一元二次不等式的求解，考查計算能力，屬于

基礎題.

7.A

【解析】由6sin夕-cosp=l可得"=(,代入〃尤)化簡得/(x)=；sin(2x+%,即可知如

何平移V=gsin2尤得到了(尤).

【詳解】由V^sin。—cos。=1知：2sin(^>——)=1,BP——)=—,

662

‘銳角夕=g,故/'(x)=；-Sil?(x+e)=J-sin?(x+=；cos(2x+,

J乙乙)乙J

1_2乃、1._TC、1._77r、

乂—cos(z2xH——)———sin(z2x+——sinz(2xH——),

.?./(x)=：sin(2x+4,故/(x)是將了=1sin2x向左平移二個單位長度得到，

26212

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：由輔助角公式化簡已知條件求銳角。，根據/(無)的函數式，應用二

倍角、誘導公式將〃x)化為正弦型函數，即可判斷圖象的平移方式.

8.A

【分析】先解一元二次不等式，然后根據集合的包含關系可得.

【詳解】解不等式/一4x+3>0得尤>3或x<l,

記4=(-8,1)3(3,+°°),3=(-8,1)，

答案第3頁，共11頁

因為/B,所以“x<l”是“--以+3>0”的充分不必要條件.

故選：A

9.AC

【分析】根據給定條件，借助平移變換分析函數的性質，再逐項推理判斷得解.

【詳解】由/(X-1)的圖象關于直線尤=1對稱，得函數/(無)關于V對稱，即/(X)為偶函數,

/(-X)=/(X),

顯然函數>=工圖象的對稱中心為原點，則函數>的圖象的對稱中心為(2,0),即

Xx-2

f(2+x)+f(2-x)=0f

對于A,/(-2+x)+/(-2-x)=/(2-x)+/(2+x)=0,則于2,0)是圖象的一個對稱中

心，A正確；

對于B,由〃2+x)+/(2-x)=0,#/(4+x)+/(-x)=0,即/(x+4)=-/(x),

/(x+8)=-/(x+4)=/(x),〃x)是周期函數，8是該函數的一個周期，

若4是“X)的一個周期，則〃x+4)=/(x),而/(x+4)=-/(x),從而是x)=0與已知矛盾,

B錯誤；

對于C/(4-x)=/[-8+(4-x)]=/(-4-x)=f(4+x),因此〃4一x)為偶函數，C正確；

對于D,由f(2+x)+/(2-x)=0,得〃3)+〃1)=0,

則/(3D+/(35)=/(8x4-l)+/(8x4+3)=/(-1)+州3)=/(1)+/(3)=0,D錯誤.

故選：AC

10.ACD

【分析】根據題意，利用賦值法進行運算，逐項判斷.

【詳解】因為定義域為R的函數/(x),有/>+0+/>-夕)=2〃0〃￡),

令a=B=g貝丫用+/(。)=2上同，又〃。)=4升一1,

所以/t1=0,故A正確；

令&=/=則/(兀)+/(o)=2,

所以;■(兀)=1,故B錯誤；

令a=0,則/(0+/(-￡)=2/(0)/(0,

答案第4頁，共11頁

得到/(-￡)=/(￡)，/eR,

所以/'(無)是偶函數，C正確;

取TTt~?。=&+7了T-"=7U"

兀71兀

則u+/(%)=/x+4+小小=0

444

所以d+;71

=-/(%),則/(x+兀)=-/X+-=/1),D正確.

故選：ACD.

11.BCD

【分析】先將/(x)=Gcos2t-Si*cos5化簡為〃x)=cos(x+工)+",再結合余弦函數

22262

的性質判斷4個選項即可.

【詳解】

1+cosxsinxcos.-1smx皿=c°s(xEa

f(x)=V3COS2--sin—cos—=A/-3

2~2P2262

故最小正周期為2%,A錯誤;

{g)=c°s(-/公+3=丁點］-是一個對稱中心，

B正確;

向左平移詈個單位長度得到/(x)=cos(x+p*+,=-cosx+*關于了軸對稱，C

正確；

xe^—―,0^,x+—6^0,—^,/(X)單調遞減，D正確.

故選：BCD.

12.BD

【分析】根據充分必要條件的定義判斷即可得解.

【詳解】A選項：當。=2,6=-2時，滿足工＞!,但是不能推出。＜6；

ab

反之當。=-2,6=2時，滿足。＜6,但是不能推出!＞；,所以兩者既不充分也不必要，故

ab

A錯誤;

B選項：當么={1}，B={2},NcB=0,但是不能推出力=0

當4=0時，4cB=0,故B正確；

C選項：當c=0時，不能由推出＞立2,故C錯誤；

答案第5頁，共11頁

D選項：/+〃。0等價于〃wo,6。0等價于問+同。0,故D正確;

故選：BD.

13.一匹

2

【分析】結合輔助角公式即可求出sin(a-0)=1,其中tan0=也，再根據正弦函數值域用°

表示a,代入tana利用誘導公式即可求值.

【詳解】Vsina-V2cosa=y/isin(a一夕)=G,其中tan9=V2.

sin(a-9)=l,a-(p=——F2k7i(JiGZ),a=(p-\-----1-2kn(kGZ),

1_y/2

故tana=tan夕+一

tancp2

故答案為一f

3

14.——

4

【分析】由題意利用任意角的三角函數的定義，求得tan。的值.

/、?八3y

【詳解】解：角。的終邊經過點尸(4,歹)，且sm6=-J"；,

/.y——3,則tan。————,

44

3

故答案為-了.

4

【點睛】本題主要考查任意角的三角函數的定義，屬于基礎題.

15.0<m<l

【分析】由/(x+2)=f(x-2)可知函數/■(》)的周期為4,再數形結合得出結果.

【詳解】由/(x+2)=/(x-2)得/(x+4)=〃x),

所以函數/(x)的周期為4,

先作出夕=/(》)在區間［-4,6］上圖像：

答案第6頁，共11頁

又/（0）=3,/⑵=1,

則實數m的取值范圍為0（加<1.

故答案為：0<〃?<1.

16.（1）（-叫2]

⑵卜3,3]

【分析】（1）當彳=a:時，先求內層函數/n—f+Q3X+l的值域，進而再求函數/（X）的值域

即可；

（2）由對數函數定義域可知方程--+2Xx+i=o的兩根分別為九〃，利用韋達定理可得

m+n=2A,mn=-1,代入[g(m)-g(〃)『V10化簡即可求角軍.

【詳解】（1）當2時，由-X?+]X+1=（-尤+2）（x+/

>om--<x<2

2

^t=-x2+-x+i,當丫_5_3時t取最大值+3x3+1=竺,

22^1)-4⑷2416

所以IJo,從而/(x)的值域為(-*2].

(2)由于。=(刃,〃)，JELA=4A2+4>0?

所以方程-_?+2人+1=0的兩根分別為%”,且〃z+〃=2/l,mn=-\,

又[g（W-g（〃）『410，即（與三-容彳]VI。，

將加+“=2%,mn=-1代入整理得

\(m-nn-m\1mii+m-ri-n-nin+ni-n+m1(m-n]

41/+lA?2+1J4------440

4(m—n)

從而(m+〃)2-4mn<40,

所以；P—9W0=—3?八3

答案第7頁，共11頁

即實數2的取值范圍為

71

17.⑴q=2,(p=—

(2)答案見解析

【分析】(1)由周期求出。，根據-2］求出外

(2)首先求出g(x)的解析式，函數〉=g(x)-a在區間-兀的零點個數即為函數g(x)的

圖象與直線＞=。在-兀上的交點個數，由*的取值范圍，求出|x-g的取值范圍，再

結合余弦函數的圖象即可得解.

【詳解】(1)根據題意得，故7=兀，。=1=2,故/(x)=2cos(2x+。).

將/［If，-2］代入，得2x］-1|j+p=-兀+2E(0Z),解得9=q+2foi億eZ),

又陷＜］，故夕=一/?

(2)依題意，g(x)=2cos^x-^-=2cos^-.

7TIT

函數y=g(尤)-“在區間-匹］的零點個數即為函數g(x)的圖象與直線y=。在-兀,萬上

的交點個數.

當xe-匹5jr時，-2x-2y冗e-4y7r，-^71,結合余弦函數圖象可知，

當xe-71,時，g(x)單調遞減，當時，g(x)單調遞增，

且g(-兀)=-1，gg|=l，8(_?=_2，

作出函數g(x)在-陽'上的大致圖象如圖所示.

71X

觀察可知，當。=-2或時，＞=g(x)-。有1個零點;

答案第8頁，共11頁

當一2<時，>=g(x)—。有2個零點;

當。〈一2或〃〉1時，V=g(%)-。有0個零點.

18.(1)(-歷十了，。)，keZj；(2)2.

【分析】(1)根據三角恒等變換化簡函數解析式，由正弦函數的性質求解即可；

(2)由=2求出A,利用正弦定理得出與=2sind，由Ce僅，號結合正弦函

數的性質得出實數左的最小值.

【詳解】(1)由題意，得了(x)=273sinxcosx-2sin2x+1=6sin2x+cos2x=2sin^2x+^.

_71,_/口兀ku,_

令A2xH—=ku,k1eZ,付x=-----1-----,keZ

6122

???曲線y=/(x)的對稱中心為[4+g,oj,keZ.

(2)/^=2sin^+^=2,gpsin^+^J=l

?.T是銳角三角形/3C的內角，.??/+3=W，=

623

由正弦定理得"￡=sing+smC=(sin5+smC)

asin/3

=^^[sin(N+C)+sinC]

=x—sinC+cosC=2sin[C+q].

3(22JI6；

0<C<-

71兀

在銳角三角形力5C中，。解得

八2兀「兀652

0<------C<—

132

A+f

得竺￡(2,.?.左22,即實數上的最小值為2.

a

【點睛】本題考查三角函數的圖象與性質及利用正弦定理解三角形，屬于中檔題.

19.(1)0A=—,面積最大為1(2)OB=E，BC=—,面積最大值為2

22

【分析】(1)通過設出N3OC=a,進而用a表示出。2,BC；最后表示出S利用三角函數即

可求解;

(2)通過設出點。的坐標(冽，n),進而表示出。5=加，BC=n,S=2mn；再利用點。為

答案第9頁，共11頁

橢圓上的點，即滿足其方程利用基本不等式求解即可;

JT

【詳解】（1）設（0Va<5）；

OB=cosa,BC=sina；

■:S=2OB?BC,

S=2sinacosa=sinla；

.?.當時，即。/=交時，矩形面積最大為1；

42

2

（2）依題意可得：橢圓方程為：?+/=1,320）；

設：點C坐標為（加，〃）即：OB=m,BC=n；

：.S=2OB?BC=2nm；

:點C為橢圓上的點；

2I~~2

..m2、。加2

?---\-n>2.---n=mn;

4V4

~mj

：.mn<l,當且僅當丁=〃=彳時取等號；

.1.S<2；即矩形面積最大為2；當OB=C，即BC=日時取等號；

【點睛】本題考查了基本不等式的運用，考查了學生的發散性思維，屬于中檔題.

20.（1）見解析，（2