專題21平面解析幾何（選填壓軸題）

目錄

①離心率問題........................................................1

②范圍（最值）問題..................................................3

③軌跡問題..........................................................4

④相切問題..........................................................6

⑤新定義新文化題....................................................7

①離心率問題

22

1.（2023春?陜西西安?高二西安市鐵一中學校考期末）設橢圓+的焦點為用小尸為

ab

橢圓C上的任意一點，尸耳?尸區的最小值取值范圍為其中4=廿+02,則橢圓C的離心率為（）

-i11r1夜］「11］「右后

A-B.5萬］C./川口?］芋§

22

2.（2023秋.天津北辰.高二校考期末）若雙曲線C:］-*?=l（a>0,b>0）的一條漸近線被圓d+（y-2）2=4

所截得的弦長為26,則C的離心率為（）

A.2B.9C.述D.4—

333

3.（2023春?內蒙古赤峰?高二赤峰二中校考階段練習）已知雙曲線「-與=1（〃>0,6>0）的左、右焦點分別

ab

27r

為4,F2,過點6的直線分別交雙曲線的左、右兩支于A,B兩點，且|/山|=2仙團，若/耳Ag=W，則

雙曲線離心率為（）

A.近B.76C.75D.2

22

4.（2023?江西南昌?南昌市八一中學校考三模）已知雙曲線C:=-1=l（a>0,6>0）的左、右焦點分別為

ab

4,F2,若在C上存在點P（不是頂點），使得/尸名月則C的離心率的取值范圍為（）

A.（0,2）B.（出,+可

c.(1,73]D.。典

22

5.（2023?福建福州?福州四中校考模擬預測）已知雙曲線C:j-4=l（a>0,10）,尸為左焦點，4，&分別

ab

為左、左頂點，P為C右支上的點，且|。刊=|。尸|（。為坐標原點）.若直線PE與以線段44為直徑的圓相交，

則C的離心率的取值范圍為（）

A.（1,73）B.（6,+qC.（君,+s）D.（1,A/5）

6.（2023春,湖南長沙?高二長沙市明德中學校考階段練習）雙曲線工一二=1和橢圓=+《=1有共同

m~2n~2m'n~

的焦點，則橢圓的離心率是（）

A.3B.巫C.逅D.叵

2346

2

7.（2023秋?江蘇南通?高三統考階段練習）過點（2,2）能作雙曲線/一當=i的兩條切線，則該雙曲線離心

a

率e的取值范圍為.

22

8.（2023秋?湖北?高三校聯考階段練習）已知雙曲線C：=-匕=1的左右焦點分別為耳，F2,點A為雙

a22一

曲線C右支上一點，直線交雙曲線的左支于點8,若且原點。到直線曲的距離為1,則C

的離心率為.

22

9.（2023?全國?高二課堂例題）若橢圓5+多=l（a>6>0）上存在一點使得//鳴=90°（月,居分

cib

別為橢圓的左、右焦點），則橢圓的離心率e的取值范圍為.

22

10.（2023春?江蘇宿遷?高二校考階段練習）已知橢圓C:=+與=l（a>6>0）,A8是長軸的左、右端點，

ab

動點M滿足MB_LAB,連接A",交橢圓于點P,且。尸為常數，則橢圓離心率為.

22

11.（2023?江西贛州,統考模擬預測）己知雙曲線C：三一2=1（°>0/>0）,過其右焦點P作直線/交雙

曲線C的漸近線于A,8兩點，其中點A在第一象限，點8在第四象限.設。為坐標原點，若△O4F的面積

為O8F面積的2倍，且加用=乎4,則雙曲線C的離心率為.

22

12.（2023?福建寧德?校考模擬預測）已知橢圓C:]+}=l（a>b>0）的右焦點是/，直線、=區交橢圓

\OAIAFI

于A,8兩點，直線AT與橢圓的另一個交點為C,若片=《島=1，則橢圓的離心率為_________.

\OF2|CF|

②范圍（最值）問題

22

1.（2023?江蘇徐州?校考模擬預測）已知橢圓C：3+1_=1的右焦點為尸，。為坐標原點，點P,Q為橢

圓C上的兩點，且4%/。+3=0,R為尸。中點，則|我用的最小值為（）

A.芋B.1C.6TD.V2-1

2.（2023?重慶?統考模擬預測）設a,b為正數，若直線方-勿+1=0被圓/+9+4*_2丫+1=0截得弦長

為4,則空稼的最小值為（）

ab

A.6B.7C.8D.9

3.（2023?山東?山東師范大學附中校考模擬預測）在平面直角坐標系尤0y中，點4（0,3）,直線/：、=2尤-4.設

圓C的半徑為1,圓心在/上.若圓C上存在點M,使|K4|=2|MO|,則圓心C的橫坐標”的取值范圍為（）

4.（2023?北京?校考模擬預測）已知橢圓G:>+V=1.過點的0）作圓尤②+y2=1的切線/交橢圓G于A3兩

點.將表示為機的函數，則|AB|的最大值是（）

A.1B.2C.3D.4

22

5.（2023?四川?校聯考模擬預測）已知雙曲線C：T-==l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為月,區,離心率

ab

為2,焦點到漸近線的距離為次.過工作直線/交雙曲線C的右支于AB兩點，若H,G分別為耳&與

△8月瑞的內心，貝U|8G|的取值范圍為（）

A.[20,4]B.[73,2），?卜明20,半）

6.（2023?云南昆明?昆明一中校考模擬預測）已知直線/是圓C：x2+y2=1的切線，且I與橢圓E：+y2=1

交于A,B兩點,則的最大值為（）

A.2B.73C.&D.1

22

7.（2023?江蘇蘇州?校聯考三模）已知雙曲線C:^-匕=l（a>0）,過其右焦點尸的直線/與雙曲線C交于

cr12V7

A、8兩點，已知|AB|=16,若這樣的直線/有4條，則實數。的取值范圍是.

8.（2023?吉林長春?統考模擬預測）已知圓C的圓心在拋物線%2=2^（/7>0）上運動，且圓C過定點A（0,p）,

圓C被X軸所截得的弦為MN,設|AM|=〃z,\AN\=n,則'的取值范圍是.

nm

9.（2023,黑龍江大慶?統考三模）古希臘數學家阿波羅尼奧斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他的著作《圓

錐曲線論》是古代數學光輝的科學成果.他發現“平面內到兩個定點A,B的距離之比為定值4（X>0且2W1）

的點的軌跡是圓"，人們將這樣的圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系中，已知4（0,1）,

3（0,2）,4-忘,2）,。為拋物線V=40x上的動點，點。在直線》=一五上的射影為H,M為圓

1+0丫+丁=2上的動點，若點尸的軌跡是到A,8兩點的距離之比為日的阿氏圓，則

^~\MC\+\QH\+\QM\的最小值為.

22

10.（2023?四川成都?四川省成都市玉林中學校考模擬預測）已知雙曲線的左、右焦

ab

點分別為"，鳥，過片且垂直于X軸的直線與該雙曲線的左支交于A,3兩點,AF2,分別交了軸于P,

*

。兩點，若PQK的周長為16,則乙的最大值為.

。+1

11.（2023?四川綿陽?統考模擬預測）已知尸為拋物線：y2=4尤的焦點，過直線/：x=-2上任一點尸向拋物

線引切線，切點分別為A,B,若點“（4,0）在直線上的射影為H,則但引的取值范圍為.

③軌跡問題

1.（2023秋?廣東陽江?高三統考開學考試）已知圓C1：（x-K『+y2=產（0<r<4）與圓

C2：（x+@2+y2=（4一?■）2交點的軌跡為V,過平面內的點尸作軌跡〃的兩條互相垂直的切線，則點尸的

軌跡方程為（）

A.x2+y2=5B.x2+y2=4

C.x2+y2=3D.x2+/=|

2.（2023?貴州黔西?校考一模）在正方體A。中，點M為平面A期A內的一動點，4是點加到平面血已人

的距離，&是點M到直線BC的距離，且4=彳4（4>0）（4為常數），則點M的軌跡不可能是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

3.（2023?全國?高二專題練習）已知動點尸會可滿足也2+（y一2）2+62+（>+2）2="+■|（。為大于零的

常數），則動點尸的軌跡是（）

A.線段B.圓C.橢圓D.直線

4.（2023春?江蘇南京?高二南京航空航天大學附屬高級中學校考期中）已知圓Y+y2-4后y=0的圓心為S,

過點T（0,-2代）的直線加交圓S于C、。兩點，過點T作SC的平行線，交直線SD于點則點〃的軌跡

為（）

A.拋物線B.雙曲線C.橢圓D.雙曲線一支

5.（2023?高二課時練習）已知大瑪。,0）,動點尸滿足||尸耳|一|尸聞=2。（a為常數），則下列說

法中錯誤的是（）

A.^^^（^九點2的軌跡是丫軸B.a=1時，點P的軌跡是一條直線

C.“<0或a>1時，點尸的軌跡不存在D.0<。<1時，點尸的軌跡是雙曲線

6.（2023?江蘇南通?統考模擬預測）已知圓C的方程為爐+產=16,直線/為圓C的切線，記A（-2,0）,3（2,0）

兩點到直線/的距離分別為4,4，動點尸滿足|削=4，\PB\=d2,則動點尸的軌跡方程為（）

B.U=1

A.x2+y2=4-c—二1D.y2=4x

1612<12

7.（2023?高二課時練習）在,ABC中,已知A(-l,0),C(L。)，若a>b>c,且滿足2sinB=sinA+sinC,則

頂點5的軌跡方程是（）

2222

A.土+匕=l(x<0)B.-+—=l(x<0)

43v734v7

2222

C.^+Z_=l(x>0)D.:|-+^-=l(x>0)

8.（2023?全國—■課堂例題）如圖所不，已知定圓月：尤?+y-+10x+24=0,定圓F?：尤?+-10x+9=0,

動圓M與定圓X，F?都外切，則動圓圓心M的軌跡方程為.

9.（2023?全國?高三對口高考）已知動圓尸過點N（—2,0）,且與圓M:（x-2p+V=8外切，則動圓尸圓心

P（x,y）的軌跡方程為.

10.（2023?全國?高三專題練習）已知平面上一定點C（2,0）和直線/：x=8,P為該平面上一動點，作PQ，/,

垂足為。，且（尸C+；PQ）.（PC-gpQ）=0.則動點尸的軌跡方程為；

11.（2023?全國?高三專題練習）在平面直角坐標系X。〉中，已知△必W的周長是18,M,N是x軸上關

于原點對稱的兩點，若|MN26,動點G滿足670+3'+3打=0.則動點6的軌跡方程為；

12.（2023春嚀夏銀川?高二銀川唐徐回民中學校考期中）一個動圓與圓+（y+3）2=l外切，與圓

C2:，+（y-3）=81內切，則這個動圓圓心的軌跡方程為.

13.（2023?全國?高二課堂例題）已知點A（0,2）,5（0,-2）,C（3,2）,若動點M（x,y）滿足|M41+1AC|=|+1BC|,

則點M的軌跡方程為.

14.（2023?全國,高三專題練習）已知動圓M與直線＞=2相切，且與定圓C:f+（y+3）2=l外切，則動圓圓

心M的軌跡方程為.

④相切問題

?21

1.（2023?全國?高三對口高考）已知實數無，y滿足：丁+\V=1,則的最大值為（）

A.舊B.2C.75D.5

2.（2023秋?江西宜春?高二江西省宜豐中學校考期末）我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀,

形少數時難入微”.事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決.如：與&i）a+（—）2相關的

代數問題可以轉化為點A（x,y）與點網區為之間距離的幾何問題.結合上述觀點，若實數滿足

Jx1+y~+4x+4+Jx2+y~—4x+4=4A/2,則^—的取值范圍是（）

x-3

A.[0,6]B.[3,6]C.[0,12]D.[3,12]

3.（2023?全國?高三專題練習）已知點尸為函數/（無）=，的圖象上任意一點，點。為圓（尤-1）2+尸=1上任

意一點，則線段P。長度的最小值為（）

A.72-1B.1C.y/2D.G-1

4.（2022?寧夏銀川?銀川一中校考二模）已知實數滿足小卜?=1,則|后一廠6|的取值范圍是（）

A.16-6,3）B.16-新,6）

C.L3—2,3JD.L3—2,6J

5.（2023?江西?校聯考模擬預測）已知實數x，y滿足x|x|-y|y|=l,則x-y的取值范圍是（）

A.[-忘,0）B.[-2應,0）c.（0,V2]D.（0,2形]

6.（2023,河南?統考模擬預測）若直線/：y=-3x+〃，與曲線C：包+f=1有兩個公共點，則實數機的

2164

取值范圍為（）

A.（-2A/2,0）（0,2A/2）B.（0,272）

C.(-2,0)50,2)D.(0,2)

22

7.（2。22.高二單元測試）橢圓乎土1上的點到直線x+2y-必。的最大距離是一一

⑤新定義新文化題

1.（2023?江蘇?高二假期作業）阿基米德是古希臘著名的數學家、物理學家，他利用"逼近法”得到橢圓的面

22

積除以圓周率n等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：—+4=1

4b

（a>b>0）的面積為2扃，兩焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形，則橢圓C的標準方程是（）

2.（2023春?云南紅河?高二開遠市第一中學校校考階段練習）公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯結

合前人的研究成果，寫出了經典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關于平面

軌跡的問題，例如:平面內到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿

波羅尼斯圓.已知平面內有兩點A（T,0）和頹2,1）,且該平面內的點尸滿足|24|=0|尸耳，若點P的軌跡關于

直線〃a+沖-2=0（九〃>0）對稱，則二+一的最小值是（）

mn

A.10B.20C.30D.40

3.（2023?全國?高三專題練習）閔氏距離（Minkowskidistance）是衡量數值點之間距離的一種非常常見的

方法，設點A、B坐標分別為（孫珀，（％無），則閔氏距離與（43）=佃-司"+麗-討）%（。€?^.若

點A、8分別在y=e'和y=x-l的圖像上，則與（4,3）的最小值為（）

A.21/pB.2PC.e1/pD.ep

4.（多選）（2023春?廣東廣州,高二統考期末）費馬原理是幾何光學中的一條重要原理，可以推導出雙曲

線具有如下光學性質：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙

曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.已知月、尼分別是

以為漸近線且過點A（40,3）的雙曲線C的左、右焦點，在雙曲線C右支上一點

尸（%，%）（1>4,%>。）處的切線/交x軸于點。，則（）

A.雙曲線C的離心率為五B.雙曲線C的方程為<=1

4169

C.過點片作GK，P。，垂足為K,貝1OK|=8D.點0的坐標為

5.（2023春?江西贛州?高二校考階段練習）我國后漢時期的數學家趙爽利用弦圖證明了勾股定理，這種利

用面積出入相補證明勾股定理的方法巧妙又簡便，對于勾股定理我國歷史上有多位數學家創造了不同的面

積政法，如三國時期的劉徽、清代的梅文鼎、華蔚芳等.下圖為華衡芳證明勾股定理時構造的圖形，若圖

中CB=1,G4=2,ABC=90,以點C為原點，C8為尤軸正方向.C4為y軸正方向，建立平面直角坐

標系，以A8的中點。為圓心作圓。，使得圖中三個正方形的所有頂點恰有2個頂點在圓。外部，則圓。

的一個標準方程為.（寫出一個即可）

6.（2023?福建三明?統考三模）古希臘數學家托勒密在他的名著《數學匯編》，里給出了托勒密定理，即

任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于等于兩組對邊的乘積之和，當且僅當凸四邊形的四個頂點同在一

22

個圓上時等號成立.已知雙曲線C:*-±=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為6，F2,雙曲線C上關于原

ab

點對稱的兩點A,B滿足1/RIM閭=|A￡H陷|+|四|?怛團，若NAFH=2,則雙曲線C的離心率.

7.（2023?全國?高三專題練習）畫法幾何的創始人一一法國數學家加斯帕爾?蒙日發現：與橢圓相切的兩條

垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓

0：提+*1（。>人>0）的蒙日圓方程為丁+f="+〃，橢圓C的離心率為白，M為蒙日圓上一個動點,

過點/作橢圓C的兩條切線，與蒙日圓分別交于尸、。兩點，則MQ面積的最大值為.（用含b的代

數式表示）

8.（2023?江蘇?校聯考模擬預測）在平面直角坐標系中，兩點片（西,乂），￡（%,%）間的"曼哈頓距離"定義

為忸助=|為一百+回-%|,則平面內與兩定點耳（-1,0）和笈（1,0）的"曼哈頓距離”之和等于4的點的軌跡圍成

的面積為.

專題21平面解析幾何(選填壓軸題)

目錄

①離心率問題........................................................1

②范圍(最值)問題..................................................3

③軌跡問題..........................................................4

④相切問題..........................................................6

⑤新定義新文化題....................................................7

①離心率問題

22

1.(2023春?陜西西安?高二西安市鐵一中學校考期末)設橢圓C:=+4=l(a>b>0)的焦點為用，工，尸為

ab

橢圓C上的任意一點，的最小值取值范圍為[c:3c]，其中/=/+°2,則橢圓C的離心率為()

'111[1&]「11]「近7T

A'B_fC.D.芋§

【答案】D

【詳解】由題意可知，耳(-c,0),瑪(c,0),設尸(x,y),

因為《+/=1，所以3伊一')(_1

f<y<b^

abb2、

又尸耳=(-c-x,-y),PFX=(c-x,-y),

所以尸耳?尸巴=/一/+丁=a(1:y)_

因為一6Vy〈b,則04y24b2,

當好=從時，斯.此取得最小值4-2c2,^c2<a2-2c2<3c2

即yfic<a<,

所以心欄川

即橢圓C的離心率為.

故選：D.

22

2.（2023秋?天津北辰?高二校考期末）若雙曲線C:與-二=1（°>0,6>0）的一條漸近線被圓尤?+（y-2）2=4

ab

所截得的弦長為26，則C的離心率為（）

A.2B.氈c.逑D.43

333

【答案】B

【詳解】雙曲線C的漸近線方程為y=±蕓,直線y=±.被圓x?+（y-2）;4所得截得的弦長為2石,

則圓心（0,2）到直線y=±^x的距離為d=彳可=1，

則名;

由點到直線的距離公式可得

因此，雙曲線c的離心率為

故選：B.

22

3.（2023春?內蒙古赤峰?高二赤峰二中校考階段練習）已知雙曲線a-卓=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別

Ojr

為耳,F2,過點4的直線分別交雙曲線的左、右兩支于A,B兩點，且|AB|=2|A￡|,若/耳4耳=手，則

雙曲線離心率為（）

A.不B.nC.75D.2

【答案】A

【詳解】令IA耳口,>]|AB|=2t,\BFX|=?)t,\BF21=?>t-2a,\AF2\^t+2a,

jrjr

在AAB月中，ZBAF2=-,由余弦定理得|8月F=|AB『+|AgF-2|AB”Ag|cos§,

即⑶一2a)2=4d+0+2a)2-2?f+2a),解得r=2a,于是|A罵|=2a,|Ag|=4a,

27r

在AA耳與中，令雙曲線半焦距為c,由余弦定理得：(2a)2+(4a)2-2x2tzx4ocosy=(2c)2,解得,=億，

所以雙曲線離心率e=￡=V7.

a

故選：A

22

4.(2023?江西南昌?南昌市八一中學校考三模)己知雙曲線C:二-當=1(。>0,6>0)的左、右焦點分別為

ab

Ft,F2,若在C上存在點P(不是頂點)，使得/尸乙片=3NP￡尸，則C的離心率的取值范圍為()

A.(V2.2)B.(后+8)

C.(1,拘D.(1,V2]

【答案】A

【詳解】設尸耳與y軸交于。點，連接QB，則。￡=。鳥,，/。￡8=/。8片,

因為NP4月=3/尸月尸，故尸點在雙曲線右支上，且NP&Q=NP。工=2/尸耳耳,

故IPQRPBI，而IP用-1尸耳1=2°,

故I尸片I-1尸鳥|=|尸片I-1尸。1=1。用=2a,

在Rt.。。居中,|QFX|>|OFX|,即2a>c,

故9=￡<2,

a

由/尸乙片=3/尸片鳥，且三角形內角和為180,

故NPKB<—=45°，則cosNPFE=方言>cos45°,

41241

即￡>受，即e=￡>g,

2a2a

所以C的離心率的取值范圍為（3,2）,

故選：A

一一一22

5.（2023?福建福州?福州四中校考模擬預測）已知雙曲線C:0r-2V=1（a>0/>0）,尸為左焦點，4,4分別

ab

為左、左頂點，尸為c右支上的點，且QH=|o尸|（0為坐標原點）.若直線尸尸與以線段44為直徑的圓相交，

則c的離心率的取值范圍為（）

A.（1,73）B.（右,+8）C.（底+@D.（1,A/5）

【答案】D

【詳解】設雙曲線的右焦點為耳,則|。尸|=|叫=1。耳1,

則N尸尸4=90,

P為C右支上的點，取尸廠的中點為2,連接。8,則08JLPE,

設|0例=乙則|《居|=2/,則|PF|=2a+2f,

在Rt△尸尸片中，（2a+2^+⑵）？=（2c『，

即2t2+2at+a2-c2=0,

又直線尸產與以線段44為直徑的圓相交，故。

設/（0=2/+2at+a2-c2,貝ljf（0）=a2-c2<0,

貝!J需使/（。）=2。2+24+。2一。2>0,解得

a

即雙曲線離心率的范圍為l<e（君，

即C的離心率的取值范圍為（1,司，

故選：D

2222

6.（2023春?湖南長沙?高二長沙市明德中學校考階段練習）雙曲線二一士句和橢圓J+多=1有共同

m2n2mn

的焦點，則橢圓的離心率是（）

A73RV15「新NA/30

2346

【答案】D

22

【詳解】對于雙曲線9=1,

m2n

設右焦點為（q,o）,

所以。:="+2〃2,

尤2v2

對于橢圓--7+-Z-=1,

2m2n2

設右焦點為“2,0）,

所以靖=2m2-n2,

因為有共同的焦點，

22

所以=加2+2〃2=Q2=2m-n,

所以加=3后

22

所以橢圓的離心率是0=二三V2m-n_7^7_恒—叵

VW\l2m212mlV6〃-6

故選：D.

2

7.（2023秋?江蘇南通?高三統考階段練習）過點（2,2）能作雙曲線f-與=1的兩條切線，則該雙曲線離心

Q

率e的取值范圍為

【答案】（1,0）72,

【詳解】當過點（2,2）的直線的斜率不存在時，直線的方程為x=2,

x=2

x=22

由，2y2可得<,故直線x=2與雙曲線--5=1相交，不合乎題意;

%一-2=1y=±y/3\a\

a

當過點（2,2）的直線的斜率存在時，設直線方程為y-2=k（x-2）,即>=履+（2-2人）,

丁："：（2,2左）可得（左2—。2）彳2_4左（4_1）彳+4（1—4y+q2=0,

聯立

ax—y—ci

2

因為過點（2,2）能作雙曲線X2-4=1的兩條切線,

a

上之一〃2。0

A=16fc2（^-l）2-4（^2-a2）[4（l-）t）2+a2]=0可得3左2—8左+4+<?=0,

由題意可知，關于左的二次方程次2一8左+4+1=0有兩個不等的實數根,

所以，/\'=64-12（4+/）>0,可得0</<g,

又因為左2。,即4w±〃，因此，關于k的方程女2一8左+4+/=0沒有k=±a的實根,

所以，4a2_8。+4。0且4a2+8a+4w0,解得QW±1,BPa2^l,

當0</<1時，e="+a?e"）,

/

當l<q2<d時，e=Jl+le近，

3.

綜上所述，該雙曲線的離心率的取值范圍是（1,亞〉.V2,

故答案為：（1,3）N2,

22

8.（2023秋?湖北?高三校聯考階段練習）己知雙曲線C：，-乙=1的左右焦點分別為k，F?,點A為雙

a22

曲線C右支上一點，直線州交雙曲線的左支于點8,若=且原點。到直線A片的距離為1,則C

的離心率為.

【答案】V7

【詳解】點A為雙曲線C右支上一點，

\AF\-\AF^=2a,

yL\AB\=\AF2\,:.\AF\-\AF^=\AF\-\A^=\BF\=2a,

???點8為雙曲線C左支上一點，

.?.忸可—忸制=2a即\BF2\=2a+1BF[\=2a-^-2a=4a,

過。，旦作直線A耳的垂線，垂足分別為M,N,

,可得F、N=2OM=2,

2

在直角三角形BNF2中BN=飛BF；-HF；=716a-4=244/-1,

222

在直角三角形片”中F,N+F2N=FtF2,

2

(2,4a2-1+2“)+4=4',

4(4(I2-1)+8a"，-1+4/+4=4(/+2),

1—2/=aJ4a2-1，平方可得。？=~，

??.c的離心率為77.

故答案為：幣.

22

9.(2023?全國?高二課堂例題)若橢圓A+為nigAb〉。)上存在一點使得/隼*=90°(可，工分

別為橢圓的左、右焦點)，則橢圓的離心率e的取值范圍為.

【答案】商

【詳解】方法一：設點M的坐標是(4,%),則同<。.

?.?耳(一c,0),瑪(c,0),.?.麗=(一一吃,一％),MF2=(c-x0,-y0).

■;/月訝=90。，二“4.坐=一?+1)(0_%)+4=0,即x：+y：=c2.

又點M在橢圓上，即￥=/-與看，

a

2

「?焉+y：=/+三片￡忖,〃2),gpC2G[/?2,6Z2),

1

c2>b2=a2-c2,即1」，

a22

又0<e<l,「

2

故橢圓的離心率e的取值范圍是[曰

方法二：設點M的坐標是(%,%),

’22

由方法一可得，券條"I'消去%,得片=,卜："2),

4+￥=。2，/

匕也。①

由②得°?一62<°2,此式恒成立.

由①得c'NZA即c22a2-c?,二2c2,則

a2

又0<e<l,「.ee例?

綜上所述，橢圓的離心率e的取值范圍是

方法三：設橢圓的一個短軸端點為P,

???橢圓上存在一點M,使/月5=90。，

???/可產"290。，則c2%,（NF時最大時,M為短軸端點）

c21

?c2>b2=a2-c~,即二2人,

a2

又0<e<l,二—<e<l,

2

故橢圓的離心率e的取值范圍為

故答案為:

10.（2023春?江蘇宿遷?高二校考階段練習）已知橢圓C:5+4=l（a>b>0）,AB是長軸的左、右端點,

ab

動點M滿足"4,AB,連接AM,交橢圓于點尸，且OPOM為常數，則橢圓離心率為.

【答案】

22

【詳解】由題意設尸（如先）,拉（即）?/0）,

因為A—三點共線,所以年T5得"第？

因為毛+%/(〃一九o)(〃+/)

=1,所以￥=

ab

所以OP?OM—CLXQ+ty^—CLXQH-------

x0+a

2

2ab(a—x0)(a+x0)

=UXQH----------------------------------

a+x0a

=%+2〃("-x。)

a

,2a2-2b2

=2及+------x

a0

因為OPOAf為常數，所以"-262=0,

所以。2=2戶=2(/一。2),得〃=202,

所以“二夜,’所以離心率，=5=美=殍'

y2

11.（2023?江西贛州?統考模擬預測）已知雙曲線C：=1（。>0*>0）,過其右焦點尸作直線/交雙

曲線C的漸近線于42兩點，其中點A在第一象限，點B在第四象限.設。為坐標原點，若的面積

為08戶面積的2倍，且|A刊=?“，則雙曲線C的離心率為

4

【答案】j

b

【詳解】雙曲線的焦點為/（G。），漸近線方程為y=±：x,

依題意可知直線I的斜率存在，設直線I的方程為y=k（x-c）,