三角形綜合

知識梳理

1.三角形

兩邊之差〈第三條邊〈兩邊之和；三角形內(nèi)角和等于180°.

2.全等三角形的判定

全等三角形的判定方法列表如表5-1所示.

表5-1

一般三角形直角三角形

邊角邊(SAS)、角邊角(ASA)、角角邊(AAS)、具備一般三角形的判定方法斜邊和一條直角邊對

判定

邊邊邊(SSS)應相等(HL)

對應邊相等.對應角相等；

對應中線、對應高、對應角平分線相等；

對應周長、面積相等

3.等腰三角形的性質(zhì)

(1)在同一個三角形中，等邊對等角，等角對等邊.

(2)等腰三角形三線合一.

4.等邊三角形的性質(zhì)

(1)每個角等于60°.

(2)三條邊相等.

5.直角三角形的性質(zhì)

⑴直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.(斜中線定理)

(2)如果用字母a,b和c分別表示直角三角形的兩條直角邊和斜邊，那么a?+/=,2.(勾股定理)

典型例題

例1

已知:a,b,c為AABC三邊,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,試判斷△ABC的形狀.

分析由三角形三邊的數(shù)量關系來判斷三角形是不是直角三角形，或用來構(gòu)造直角三角形，還可用來證明兩直

線垂直，一般與勾股定理和代數(shù)式、方程相結(jié)合，綜合運用.特別是由一個等式求三角形的三邊長時，往往把等式

化為A2+B2+C2=0的形式，再由.4=0,B=0,C=0,求得三角形三邊的長.

解因為a?+b?+/+50=6a+8b+10c,

月斤以ci2-6a+9+b?—86+16+c2-10c+25=0,

所以(a-3)2+(b-4)2+(c-5￥=0,

所以a-3=0,b-4=0,c-5=0,

所以a=3,b=4,c=5,所以a2+b2=c2,

所以△ABC為直角三角形.

例2

如圖5-1所示,已知:AB=CD,AC=BD,試證明/A=ND分析若把/A、ZD放在△AOB與△COD中，不能直接證

明全等，若連接BC,這樣已知的兩邊與公共邊BC構(gòu)成△ABC和4DCB根據(jù)條件兩個三角形全等.

解連接BC

在4ABC與ADBC中ZK/A

因為AB=CD/

AC=BD[/

BC=BCBc

所以△ABCgADCB(SSS),所以/A=/D(全等三角形對應角相等).圖5-1

例3k

如圖5-2所示，在△ABE中,AB=AE,AD=AC,/BAD=/EAC,BC,DE交于點O.//\\

求證：/2\

(1)AABC^AAED;

(2)OB=OE.B

圖5-2

分析在證明兩條邊相等時，除了“全等三角形對應邊相等”這一方法，“在同一個三角形中，等角對等邊”也是

常用的方法.

解(1)因為/BAD=/EAC

所以NBAC=/EAD

在小ABC和4AED中

-AB=AE

ABAC=LEAD

、AC=AD

所以△ABC絲△AED(SAS)

(2)由(1)知/ABC=NAED

因為AB=AE

所以/ABE=NAEB

所以/OBE=NOEB

所以OB=OE

例4

如圖5-3所示,△ABC中,NBAC=9(T,AB=AC,BD是/ABC的平分線，BD的延長線垂直于過點C的直線于

E,直線CE交BA的延長線于F.求證:BD=2CE.

分析由已知條件，根據(jù)等腰三角形三線合一這一性質(zhì)，CE：二FE,再證明△ABD之AACF,證得BD=CF,從而證

得

BD=2CE.F

解因為BE平分/FBC,BE_LCF,A

所以BF=BC,

所以CE=EF,

BC

圖5-3

所以CF=2CE,

因為/.BAC=90。,且AB=AC,

所以."AC=乙BAC=90°,^ABC=乙4cB=45°,

所以NFBE=/CBE=22.5。，

所以ZF=乙ADB=67.5°,

在4ABD和4ACF中，

因為NF=/ADB

AFAC=ADAB=90°

AB=AC

所以△ABD之△ACF(AAS),

所以BD=CF,

所以BD=2CE.

雙基訓練

1.一個三角形的三條角平分線的交點在（）.

A.三角形內(nèi)B.三角形外

C.三角形的某邊上D.以上三種情形都有可能

2.若一個三角形的兩邊長是9和4,且周長是偶數(shù)，則第三邊長是（）.

A.5B.7C.8D.13

3.如圖5-4所示,△ABC中,AB=AC,點D在AC邊上且BD=BC=AD,則NA的度數(shù)為（

A.30°B.36°

C.45°D.70°

4.下列軸對稱圖形中，對稱軸條數(shù)最多的是（）.

A.線段B.角C.等腰三角形D.等邊三角形

5.下列判斷正確的是（）.

A.頂角相等的兩個等腰三角形全等

B.腰相等的兩個等腰三角形全等

C.有一邊及一銳角相等的兩個直角三角形全等

D.頂角和底邊分別相等的兩個等腰三角形全等

6.如圖5-5所示，在△ABD中,ND=9（T,C為AD上一點廁x可能是（）.

A.10°B.20°C.30°D.40°

7.如圖5-6所示,有兩個長度相同的滑梯（即BC=EF）,左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相

等，則/ABC+NDFE的度數(shù)為().

A.60°B.90°C.120°D不確定

圖5-5圖5-6

8.等腰三角形的兩邊長分別為2厘米和5厘米，則它的周長為一厘米.

9.已知,RtAABC中,CD是斜邊AB上的高若/ACD=35。,那么NDBC=.

10.等腰三角形的腰長為2V3,,底角等于30°,那么底邊長為—.

11.如圖5-7所示，某地有兩所大學M,N和兩條交叉的公路AO,BO,現(xiàn)計劃建一個體育館，希望體育館到

兩所大學的距離相同，到兩條公路的距離也相同，則體育館應建在何處？

12.如圖5-8所示，等腰三角形ABC的頂角為1120。,腰長為10，則底邊上的高AD=

13.如圖5-9所示,△ABC中,NC=90°,AB的垂直平分線交AB于E,交AC于D,AD=8,/A=30。,求CD的長

14.如圖5-10所示，已知DO_LAB,OA=OD,OB=OC,求乙OCE+NB的度數(shù).

15.如圖5-11所示,B,E,F,C四點在同一條直線上"AB=DC,BE=CF,ZB=NC.求證:OA=OD.

圖5-11

16.如圖5-12所示,AE,BC交于點M,點F在AM上,BE\\CF,BE=CF..求證:AM是△ABC的中線.

18.如圖5-14所示，在△ABC中,AB=AC,Z.BAC=40°,,分別以AB,AC為邊作兩個等腰直角三角形ABD和

ACE，使/.BAD=/.CAE=90°.

(1)求/DBC的度數(shù)；

(2)求證:BD=CE.

圖5-14

能力提升

19.如圖5-15所示,D,E分別是△ABC的邊BC,AC上的點，若乙B="，乙4DE=NAEDj^().

A.當/B為定值時,/CDE為定值B.當/a為定值時,NCDE為定值

C.當NB為定值時,NCDE為定值D.當/丫為定值時,/CDE為定值

圖5-15圖5-16

20.如圖5-16所示，已知△ABD和小ACE都是等邊三角形，那么△ADC=△4BE的依據(jù)是().

A.邊邊邊B.邊角邊C角邊角D角角邊

21.如圖5-17所示,四邊形ABCD是正方形,△ADE旋轉(zhuǎn)后能與△力BF重合，那么

△AEF是____二角形.

圖5-17圖5-18

22.如圖5-18所示，一塊等邊三角形木板ABC的邊長為1,現(xiàn)將木板沿水平線翻轉(zhuǎn)(繞一個點旋轉(zhuǎn)),那么點A

從開始到結(jié)束所走的路徑長度為.

23.等腰三角形的兩外角之比為5：2,則該等腰三角形的底角為一.

24.如圖5-19所示,已知:在等邊三角形ABC中.D,E分別在AB和AC上,且AD=CE,BE和CD相交于點P.

(1)證明△ACD^ACEB.

(2)求NBPC的度數(shù).

圖5-19

25.如圖5-20所示,D是等邊△ABC內(nèi)一點,AD=BD"BP=ADBC,MBP=BA,求NP的度數(shù).

圖5-20

26.如圖5-21所示，在△4BC中,CD14B,,垂足為點D,S(CD2=AD?BD,求證：△ABC為直角三角形.

ADB

圖5-21

27.如圖5-22所示,D是等邊△ABC的邊AB上的一動點以CD為一邊向上作等邊△EDC,連接AE，找出圖中

的一組全等三角形，并說明理由.

圖5-22

拓展資源

28.如圖5-23所示，點Ai是面積為3的等邊△ABC的兩條中線的交點，以BAX為一邊，構(gòu)造等邊△B&Ci,稱

為第一次構(gòu)造；點A2是4BA】Ci的兩條中線的交點，再以B&為一邊，構(gòu)造等邊△BA2C2,稱為第二次構(gòu)

造；依此類推，當?shù)趎次構(gòu)造出的等邊4BA,C,的邊BC,與等邊.ACB4的邊AB第一次在同一直線上時，構(gòu)

造停止.則構(gòu)造出的最后一個三角形的面積是.

29.如圖5-24所示,一根長2a的木棍(AB),斜靠在與地面(OM)垂直的墻(ON)上，設木棍的中點為P,若木棍A端

沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行.

⑴請判斷木棍滑動的過程中，點P到點0的距離是否變化，并簡述理由.

(2)在木棍滑動的過程中，當滑動到什么位置時，△力。B的面積最大?簡述理由，并求出面積的最大值.

30.如圖5-25所示，在△ABC和^DCB中,AB=DC,AC=DB,AC與DB交于點M.

(1)求證:AABC=ADCB;

⑵過點C作過點B作BN〃AC,CN與BN交于點N,試判斷線段BN與CN的數(shù)量關系，并證明你的

結(jié)論.

圖5-25

31.如圖5-26所示，4B=AC,4。1BC于點D,AD=AE,,AB平分NZME交DE于點F,請你寫出圖中三對全等

三角形，并選取其中一對加以證明.

32.已知:如圖5-27所示,DC〃AB,且DC=AE,E為AB的中點.

(1)求證:△AED=AEBC.

(2)觀察圖形，在不添加輔助線的情況下，除△EBC外，請再寫出幾個與的面積相等的三角形.(直接寫

出結(jié)果，不要求證明)

A

圖5-27

1.A2.B3.B4.D5.D6.B

7.B8.129.35°10.6

H.如答圖5-1所示，作/AOB的平分線和線段MN的垂直平分線，交于點Q,體育館應建在Q點處.

12.513.414.180°

15.因為AB=DC,BE=CF,/B=/C

所以△ABF^ADCE(SAS)

所以/AFB=ZDEC,AF=DE

所以OE=OF

所以OA=OD

16.因為BE/7CF

所以NE=NCFM,NEBM=NFCM

因為BE=CF

所以△BEM^ACFM

所以BM=CM

所以AM是4ABC的中線.

17.證明:⑴在丁ABF和ACDE中.圖=馀

所以△ABF^ACDE(HL).

所以AF=CE.

(2)由(1)知/ACD=NCAB,

所以AB〃CD.

18.(1)因為△ABC中,AB=AC,NBAC=40。,所以NABC=NACB=70SBAD為等腰RtA，/BAD=90。,所以/A

BD=45。,所以/DBC=/ABD+/ABC=450+70°=115°

(2)在RtAABD和RtAACE中,AB=AD=AC=AE,又/BAD=/CAE=90。,所以RtAABD^RtAACE,

所以BD=CE

19.B20.B21.等腰直角22.y23.30°

24.(1)提示:因為△ABC為等邊三角形，所以AB=BC=AC,ZA=ZABC=ZACB=60°(2)120°

25.ZP=30°

26.因為CDXAB,

所以AD2+DC2=AC2,DB2+DC2=BC2

所以.AC2+BC2=AD2+DB2+ZDC?,因為DC2=AD-DB,

所以AC2+BC2=AD2+DB2+2AD-DB=(AD+DB)2=AB2.

所以△ABC為直角三角形.

27.△BDC經(jīng)△AEC.理由如下：

因為△ABC,AEDC均為等邊三角形，

所以BC=AC,DC=EC,ZBCA=ZECD=60°.

從而/BCD=/ACE.

所以△BDC^AAEC(SAS)

28.-

27

29.(1)不變.理由：在直角三角形中，因為斜邊AB的長不變，由性質(zhì)有斜邊中線OP長不變.

(2)當4AOB的斜邊AB上的