PAGE2-第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.4生活中的優(yōu)生問題舉例A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．正三棱柱體積為V，則其表面積最小時(shí)，底面邊長為()A.eq\r(3,V) B.eq\r(3,2V) C．2eq\r(3,V) D.eq\r(3,4V)解析：設(shè)底面邊長為a，高為h，則V＝Sh＝eq\f(\r(3),4)a2h，所以h＝eq\f(4V,\r(3)a2)＝eq\f(4\r(3)V,3a2)，則表面積為S＝3ah＋2×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(4\r(3)V,a)則S′＝eq\r(3)a－eq\f(4\r(3)V,a2)，令S′＝eq\r(3)a－eq\f(4\r(3)V,a2)＝0，可得eq\r(3)a＝eq\f(4\r(3)V,a2)，即a＝eq\r(3,4V).答案：D2．若一個(gè)球的半徑為r，則內(nèi)接于球的圓柱的側(cè)面積最大為()A．2πr2 B．πr2 C．4πr2 D.eq\f(1,2)πr2解析：如圖，設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為R，母線長為l，側(cè)面積為S.則R＝rcosθ，l＝2rsinθ，所以S＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πr2sinθcosθ，S′＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝4πr2cos2θ，令S′＝0，得θ＝eq\f(π,4).當(dāng)θ＝eq\f(π,4)，即R＝eq\f(\r(2),2)r時(shí)，S最大且Smax＝2πr2.答案：A3．某出版社出版一讀物，一頁紙上所印文字占去150cm2，上、下要留1.5cm空白，左、右要留1cm空白，出版商為節(jié)約紙張，應(yīng)選用的尺寸為()A．左右長12cm，上下長18cmB．左右長12cm，上下長19cmC．左右長11cm，上下長18cmD．左右長13cm，上下長17cm解析：設(shè)所印文字區(qū)域的左右長為xcm，則上下長為eq\f(150,x)cm，所以紙張的左右長為(x＋2)cm，上下長為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(150,x)＋3))cm，所以紙張的面積S＝(x＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(150,x)＋3))＝3x＋eq\f(300,x)＋156.所以S′＝3－eq\f(300,x2)，令S′＝0，解得x＝10.當(dāng)x>10時(shí)，S單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<10時(shí)，S單調(diào)遞減．所以當(dāng)x＝10時(shí)，Smin＝216(cm2)，此時(shí)紙張的左右長為12cm，上下長為18cm.故當(dāng)紙張的邊長分別為12cm，18cm時(shí)最節(jié)約．答案：A4．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，,90090，x>390，))則當(dāng)總利潤最大時(shí)，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是()A．150B．200C．250D．300解析：由題意得，總利潤P(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，,70090－100x，x>390，))令P′(x)＝0，得x＝300，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)x＝300時(shí)總利潤最大，故選D.答案：D5．要制作一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高為()A.eq\f(\r(3),3)cm B.eq\f(10\r(3),3)cmC.eq\f(16\r(3),3)cm D.eq\f(20\r(3),3)cm解析：設(shè)圓錐的高為x，則底面半徑為eq\r(202－x2)，其體積為V＝eq\f(1,3)πx(400－x2)，0<x<20，V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝eq\f(20\r(3),3).當(dāng)0<x<eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V′＞0；當(dāng)eq\f(20\r(3),3)<x<20時(shí)，V′<0，所以當(dāng)x＝eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V取最大值．答案：D二、填空題6．電動自行車的耗電量y與速度x之間的關(guān)系為y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x>0)，為使耗電量最小，則其速度應(yīng)定為________．解析：由題設(shè)知y′＝x2－39x－40，令y′>0，解得x>40或x<－1，故函數(shù)y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x>0)在[40，＋∞]上遞增，在(0，40)上遞減．所以當(dāng)x＝40時(shí)，y取得最小值．由此得為使耗電量最小，則其速度應(yīng)定為40.答案：407．做一個(gè)無蓋的圓柱體水桶，若要使其體積是27π，且用料最省，則圓柱的底面半徑為________．解析：設(shè)圓柱的底面半徑為R，母線長為L，則V＝πR2L＝27π，所以L＝eq\f(27,R2)，要運(yùn)用料最省，只需使圓柱表面積最小，因?yàn)镾表＝πR2＋2πRL＝πR2＋πeq\f(54,R)(R>0)，所以S表′(R)＝2πR－eq\f(54π,R2)，令S表′(R)＝0，得R＝3，所以當(dāng)R＝3時(shí)，S表最小．答案：38．某公司一年購買某種貨物400噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲費(fèi)為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)之和最小，則x＝________．解析：設(shè)該公司一年內(nèi)總共購買n次貨物，則n＝eq\f(400,x)，所以總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)之和(單位：萬元)f(x)＝4n＋4x＝eq\f(1600,x)＋4x，f′(x)＝4－eq\f(1600,x2)，令f′(x)＝0，解得x＝20(－20舍去)，當(dāng)0<x<20時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)20<x≤400時(shí)，f′(x)>0.所以x＝20是函數(shù)f(x)的微小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，故當(dāng)x＝20時(shí)，運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)之和最小．答案：20三、解答題9.如圖所示，有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于始終線海岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在海的同側(cè)，乙廠位于離海岸40km的B處，乙廠到海岸的垂足D與A相距50km.兩廠要在此岸邊A，D之間合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，則供水站C建在何處才能使水管費(fèi)用最省？解：設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)xkm，則AC＝50－x(km)，所以BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(x2＋402)(km)．又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，依題意，得y＝3a(50－x)＋5aeq\r(x2＋402)(0<x<50)．y′＝－3a＋eq\f(5ax,\r(x2＋402)).令y′＝0，解得x＝30.在(0，50)上，y只有一個(gè)微小值點(diǎn)，依據(jù)問題的實(shí)際意義，函數(shù)在x＝30km處取得最小值，此時(shí)AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最省．10.一個(gè)帳篷，它下部的形態(tài)是高為1m的正六棱柱，上部的形態(tài)是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如圖)．問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O究竟面中心O1的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？解：設(shè)OO1為xm(1＜x＜4)，底面正六邊形的面積為Sm2，帳篷的體積為Vm3.則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為eq\r(32－（x－1）2)＝eq\r(82＋2x－x2)(m)，于是底面正六邊形的面積為S＝6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(m2)，所以帳篷的體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(x－1)＋eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（x－1）＋1))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)(m3)，求導(dǎo)數(shù)，得V′＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.當(dāng)1<x<2時(shí)，V′＞0；當(dāng)2<x<4時(shí)，V′<0.所以當(dāng)x＝2時(shí)，V最大．即當(dāng)OO1為2m時(shí)，帳篷的體積最大．B級實(shí)力提升1．某廠要圍建一個(gè)面積為512m2的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊要砌新墻，當(dāng)砌新墻所用的材料最省時(shí)，堆料場的長和寬分別為()A．32m，16m B．30m，15mC．40m，20m D．36m，18m解析：設(shè)建堆料場與原墻平行的一邊邊長為xm，其他兩邊邊長為ym，則xy＝512，堆料場的周長l＝x＋2y＝eq\f(512,y)＋2y(y>0)，令l′＝－eq\f(512,y2)＋2＝0，解得y＝16(另一負(fù)根舍去)，當(dāng)0<y<16時(shí)，l′<0；當(dāng)y>16時(shí)，l′>0，所以當(dāng)y＝16時(shí)，函數(shù)取得微小值，也就是最小值，此時(shí)x＝eq\f(512,16)＝32.答案：A2．如圖，內(nèi)接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線上運(yùn)動，C，D在x軸上運(yùn)動，則此矩形的面積的最大值是________．解析：設(shè)CD＝x，則點(diǎn)C坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，點(diǎn)B坐標(biāo)為(eq\f(x,2)，1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(2))，所以矩形ACBD的面積S＝f(x)＝x·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))\s\up12(2)))＝－eq\f(x3,4)＋x，x∈(0，2)．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2\r(3),3)(舍)，x2＝eq\f(2\r(3),3)，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))時(shí)，f′(x)>0，f(x)是遞增的，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2))時(shí)，f′(x)<0，f(x)是遞減的，所以當(dāng)x＝eq\f(2\r(3),3)時(shí)，f(x)取最大值eq\f(4\r(3),9).答案：eq\f(4\r(3),9)3．時(shí)下，網(wǎng)校教學(xué)越來越受到廣高校生的寵愛，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位：千套)與銷售價(jià)格x(單位：元/套)滿意的關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，其中2<x<6，m為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套．(1)求m的值；(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等全部開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù))，試確定銷售價(jià)格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大(保留1位小數(shù))．解：(1)因?yàn)閤＝4時(shí)，y＝21，代入關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，得eq\f(m,2)＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套題每日的銷售量y＝eq\f(10,x－2)＋4(x－6)2，所以每日銷售套題所獲得的利潤f(x)＝(x－2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(10,x－2)＋4（x－6）2))＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2<x<6)，從而f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2<x<6)．令f′(x)＝