福建省南平市水源中學高三數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數f(x)=asin3x+bx3+4,其中a，b∈R，f'(x)為f(x)的導函數，則f(2014)+f(-2014)+f'(2015)-f'(-2015)=A.0 B. 2014 C. 8 D. 2015參考答案：C為奇函數，所以，即．又為偶函數，所以，故．2.已知，，且，則(

)A．

B．

C．或

D．參考答案：設，∴，∴或，所以選C.3.下列函數，其中既是偶函數又在區間上單調遞減的函數為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B4.如果一個點是一個指數函數和一個對數函數的圖像的交點，那么稱這個點為"好點"．下列四個點中，"好點"有（

）個 A．1

B．2

C．3

D．4

參考答案：B5.在梯形中，，已知，，若，則（A）

（B） （C）

（D）參考答案：A如圖，作AE∥DC，交BC于E，則ADEC為平行四邊形，＝，又＝，所以，，故－3。6.已知集合A=則A．（1，2） B．[0，2] C．{0，1，2} D．{1，2}參考答案：D集合A=，所以{1，2}。7.已知a，b是兩條不同的直線，α是平面，且b?α，那么“a∥α”是“a∥b”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：D【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據線面平行的判定定理以及充分必要條件的定義判斷即可．【解答】解：由a∥α推不出a∥b，由a∥b也推不出a∥α，如a在α內，故a∥α”是“a∥b”既不充分也不必要條件，故選：D．8.數學名著《九章算術》中有如下問題：“今有芻甍（méng），下廣三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體，下底面寬3丈，長4丈；上棱長2丈，高1丈，問它的體積是多少？”．現將該楔體的三視圖給出，其中網格紙上小正方形的邊長為1丈，則該楔體的體積為（單位：立方丈）（

）A．5.5 B．5 C．6 D．6.5參考答案：B根據三視圖知，該幾何體是三棱柱，截去兩個三棱錐，如圖所示：結合圖中數據，計算該幾何體的體積為（立方丈）．9.若函數f（x）=,若f（a）>f（―a）,則實數a的取值范圍是

（

）

A．（1，0）∪（0，1）

B．（∞，1）∪（1，+∞）

C．（1，0）∪（1，+∞）

D．（∞，1）∪（0，1）參考答案：C10.設向量，滿足，，則=（）A．2 B．4 C． D．參考答案：C【考點】平面向量數量積的運算；向量的模；平面向量數量積的性質及其運算律．【分析】利用題中的條件可得=2，=0，化簡可得=1，=4，再根據=，運算求得結果．【解答】解：由可得=3，即=2．再由可得=0，故有=1，=4．∴===2，故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面四邊形中，已知，，點分別在邊上，且，，若向量與的夾角為，則的值為

.參考答案：7略12.若復數（i為虛數單位），則|z|=______.參考答案：略13.在（x﹣3）7的展開式中，x5的系數是

（結果用數值表示）．參考答案：189【考點】二項式系數的性質．【分析】利用二項式定理展開式的通項公式，使得x的次數為5，然后求出x5項的系數．【解答】解：因為（x﹣3）7的展開式的通項公式為：Tr+1=C7rx7﹣r（﹣3）r，當r=2時，T3=C72x5（﹣3）2=189x5．所以（x﹣3）7的展開式中，x5項的系數為：189．故答案為：189．14.已知函數的定義域為Ｍ，的定義域為Ｎ，則＝．參考答案：15. 若正實數x,y滿足x+y=2，且.恒成立，則M的最大值為____參考答案：略16.已知的展開式中的系數為，則常數的值為______.參考答案：略17.平行四邊形ABCD中，已知AB=4，AD=3，∠BAD=60°，點E，F分別滿足=2，=，則?=．參考答案：﹣6【考點】平面向量數量積的運算．【分析】利用平行四邊形法則，將分別利用平行四邊形的相鄰兩邊表示，然后利用已知計算向量的數量積．【解答】解：如圖所示，由平行四邊形可得：．∵，∴，，∴==3×4×cos120°+﹣+×3×4×cos60°=﹣6．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，平面平面，四邊形為矩形，．為的中點，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值．參考答案：（Ⅰ）證明：連結，因，是的中點，故．

又因平面平面，故平面，

…………2分于是．

又，所以平面，

所以， …………4分又因，故平面，所以． …………6分（Ⅱ）解法一：由（I），得．不妨設，．

…………7分因為直線與平面所成的角，故，所以，為等邊三角形．

…………9分設，則，分別為，的中點，也是等邊三角形．取的中點，連結，，則，，所以為二面角的平面角．

…………12分在中，，，

…………13分故，即二面角的余弦值為．

…………14分

解法二：取的中點，以為原點，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系．不妨設，，則，，，，

…………8分從而，.

設平面的法向量為，由，得，可取．

…………10分同理，可取平面的一個法向量為

．

………12分于是，

……13分易見二面角的平面角與互補，所以二面角的余弦值為．

…………14分

略19.(本題滿分l2分)某校從參加市聯考的甲、乙兩班數學成績110分以上的同學中各隨機抽取8人，將這l6人的數學成績編成莖葉圖，如圖所示．

(I)莖葉圖中有一個數據污損不清(用△表示)，若甲班抽出來的同學平均成績為l22分，試推算這個污損的數據是多少?

(Ⅱ)現要從成績在130分以上的5位同學中選2位作數學學習方法介紹，請將所有可能的結果列舉出來，并求選出的兩位同學不在同一個班的概率．參考答案：20.已知橢圓C：(a＞b＞0)過點P(－1，－1)，c為橢圓的半焦距，且c＝b．過點P作兩條互相垂直的直線l1，l2與橢圓C分別交于另兩點M，N．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l1的斜率為－1，求△PMN的面積；（3）若線段MN的中點在x軸上，求直線MN的方程．參考答案：

兩種情況分類討論：當時，再利用，可轉化為，進一步確定出兩點的坐

（3）設，則

因為，所以，得．21.（本小題滿分13分）已知函數．（Ⅰ）用五點作圖法列表，作出函數在上的圖象簡圖．（Ⅱ）若，，求的值．參考答案：【知識點】二倍角公式；函數的圖像及性質.C4C5C6C7答案（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）====

（Ⅱ）【思路點撥】（Ⅰ）先利用三角公式對原函數化簡，然后列表再化出圖像；（Ⅱ）先由原函數求出，再利用二倍角公式結合兩角差的正弦公式即可。22.如圖，為對某失事客輪AB進行有效援助，現分別在河岸MN選擇兩處C、D用強光柱進行輔助照明，其中A、B、C、D在同一平面內．現測得CD長為100米，∠ADN=105°，∠BDM=30°，∠ACN=45°，∠BCM=60°．（1）求△BCD的面積；（2）求船AB的長．參考答案：【考點】解三角形的實際應用．【專題】解三角形．【分析】（1）根據題意求得∠CBD，進而求得BC，BD，進而根據三角形面積公式求得答案．（2）利用正弦定理求得AD，進而利