第三節合情推理與演繹推理總綱目錄教材研讀1.合情推理考點突破2.演繹推理考點二歸納推理

考點一類比推理

考點三演繹推理教材研讀1.合情推理類型定義特點歸納推理根據一類事物的①

部分

對象具有某種性質,推出這類事物的②

全部

對象都具有這種性質的推理由③

部分

到④

整體

、由⑤

個別

到⑥

一般

類比推理根據兩類事物之間具有某些類似(一致)性,推測一類事物具有另一類事物類似(或相同)的性質的推理由⑦

特殊

到⑧

特殊

2.演繹推理(1)定義:從一般性的原理出發,推出某個特殊情況下的結論的推理稱為

演繹推理.簡言之,演繹推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段論”是演繹推理的一般模式,包括:(i)大前提——已知的一般原理;(ii)小前提——所研究的特殊情況;(iii)結論——根據一般原理,對特殊情況作出的判斷.1.下面幾種推理是合情推理的是

()①由圓的性質類比出球的有關性質;②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內角和是180°,歸納出所

有三角形的內角和都是180°;③某次考試張軍成績是100分,由此推出全班同學成績都是100分;④三角形的內角和是180°,四邊形的內角和是360°,五邊形的內角和是540°,由此得出凸多邊形的內角和是(n-2)·180°.A.①②

B.①③

C.①②④

D.②④C答案

C①是類比推理,②④是歸納推理,③是非合情推理.2.“因為指數函數y=ax(a>0且a≠1)是增函數(大前提),又y=

是指數函數(小前提),所以函數y=

是增函數(結論)”,上面推理的錯誤在于

()A.大前提錯誤導致結論錯B.小前提錯誤導致結論錯C.推理形式錯誤導致結論錯D.大前提和小前提錯誤導致結論錯A答案

A當a>1時,y=ax為增函數;當0<a<1時,y=ax為減函數,故大前提

錯誤.B3.(2017北京朝陽期末,8)某校高三(1)班32名學生全部參加跳遠和擲實

心球兩項體育測試,跳遠和擲實心球兩項測試成績合格的分別為26人和

23人,這兩項成績都不合格的有3人,則這兩項成績都合格的人數是

()A.23

B.20

C.21

D.19B答案

B設跳遠和擲實心球測試都合格的為x人,則26+23-x+3=32,解

得x=20,所以選B.B4.(2017北京東城二模,8)據統計,某超市兩種蔬菜A和B連續n天的價格分

別為a1,a2,a3,…,an和b1,b2,b3,…,bn,令M={m|am<bm,m=1,2,…,n},若M中的元

素個數大于

n,則稱蔬菜A在這n天的價格低于蔬菜B的價格,記作A?B,現有三種蔬菜A,B,C,下列說法正確的是

()A.若A?B,B?C,則A?CB.若A?B,B?C同時不成立,則A?C不成立C.A?B,B?A可同時不成立D.A?B,B?A可同時成立C答案

C若M中的元素個數大于

n且小于

n,則A?B,B?A可同時不成立.故選C.B5.觀察下列不等式:1+

<

,1+

+

<

,1+

+

+

<

,……照此規律,第五個不等式為1+

+

+

+

+

<

.答案1+

+

+

+

+

<

解析先觀察左邊,第一個不等式為2項相加,第二個不等式為3項相加,

第三個不等式為4項相加,則第五個不等式應為6項相加,右邊分子為分

母的2倍減1,分母即為所對應項數,故應填1+

+

+

+

+

<

.考點一類比推理考點突破典例1(1)給出下面類比推理命題(其中Q為有理數集,R為實數集,C為

復數集):①由“若a,b∈R,則a-b=0?a=b”類比推出“若a,b∈C,則a-b=0?a=b”;②由“若a,b,c,d∈R,則復數a+bi=c+di?a=c,b=d”類比推出“若a,b,c,d

∈Q,則a+b

=c+d

?a=c,b=d”;③由“若a,b∈R,則a-b>0?a>b”類比推出“若a,b∈C,則a-b>0?a>b”;④由“若x∈R,則|x|<1?-1<x<1”類比推出“若z∈C,則|z|<1?-1<z<1”.其中類比結論正確的個數是

()A.1

B.2

C.3

D.4(2)在平面幾何中,△ABC的∠C的平分線CE分AB所成的線段的比為

=

(如圖1).把這個結論類比到空間,在三棱錐A-BCD中(如圖2),面DEC平分二面角A-CD-B且與AB相交于E,則類比得到的結論是

.

答案(1)B(2)

=

解析(1)類比結論正確的只有①②.(2)由平面中線段的比類比空間中面積的比可得

=

.易錯警示在進行類比推理時,不僅要注意形式的類比,還要注意方法的類比,且要

注意以下兩點:(1)找兩類對象的對應元素,如:三角形對應三棱錐,圓對應

球,面積對應體積;(2)找對應元素的對應關系,如:兩條邊(直線)垂直對應

線面垂直或面面垂直,邊相等對應面積相等.1-1把一個直角三角形以兩直角邊為鄰邊補成一個矩形,則矩形的對

角線長即為直角三角形外接圓直徑,以此可求得外接圓半徑r=

(其中a,b為直角三角形兩直角邊長).類比此方法可得三條側棱長分別為

a,b,c且兩兩垂直的三棱錐的外接球半徑R=

.答案

解析由平面類比到空間,把矩形類比為長方體,從而可得出外接球半

徑.考點二歸納推理命題方向一與數字有關的推理典例2觀察下列等式:1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此規律,第n個等式為

.

n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2

答案

n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2

解析由前4個等式可知,第n個等式的左邊第一個數為n,且連續2n-1個

整數相加,右邊為(2n-1)2,故第n個等式為n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.命題方向二與式子有關的推理典例3觀察下列等式:

+

=

×1×2;

+

+

+

=

×2×3;

+

+

+…+

=

×3×4;

+

+

+…+

=

×4×5;……照此規律,

+

+

+…+

=

n(n+1)

.答案

n(n+1)解析通過觀察已給出等式的特點,可知等式右邊的

是個固定數,

后面第一個數是等式左邊最后一個括號內分數的分子中π的系數的一半,

后面第二個數是第一個數的下一個自然數,所以所求結果為

·n·(n+1),即

n(n+1).命題方向三與圖形變化有關的推理典例4蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師,單個蜂巢可以近似地

看作一個正六邊形,如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢,

第二個圖有7個蜂巢,第三個圖有19個蜂巢,按此規律,以f(n)表示第n個圖

蜂巢總數.

則f(4)=

37

,f(n)=3n2-3n+1

.答案37;3n2-3n+1解析因為f(1)=1,f(2)=7=1+6,f(3)=19=1+6+12,所以f(4)=1+6+12+18=37,所以f(n)=1+6+12+18+…+6(n-1)=3n2-3n+1.規律總結(1)歸納推理的一般步驟:①通過對某些個體的觀察、分析和比較,發現它們的相同性質或變化規

律;②由發現的相同性質或變化規律推出一個明確表達的一般性命題.(2)歸納是依據特殊現象推出一般現象,因而由歸納所得的結論超越了

前提所包含的范圍.(3)歸納推理所得結論未必正確,有待進一步證明,但對數學結論和科學

的發現很有用.2-1有一個奇數組成的數陣排列如下:1371321

…591523

…

…111725

…

…

…1927

…

…

…

…29

…

…

…

…

……

…

…

…

…

…則第30行從左到右第3個數是1051

.答案1051解析觀察每一行的第一個數,由歸納推理可得第30行的第1個數是1+

4+6+8+10+…+60=

-1=929.又第n行從左到右的第2個數比第1個數大2n,第3個數比第2個數大2n+2,所以第30行從左到右的第2個數比

第1個數大60,第3個數比第2個數大62,故第30行從左到右第3個數是929+60+62=1051.2-2已知x∈(0,+∞),觀察下列各式:x+

≥2,x+

=

+

+

≥3,x+

=

+

+

+

≥4,……,歸納得x+

≥n+1(n∈N*),則a=

.答案

nn

解析第一個式子是n=1的情況,此時a=11=1;第二個式子是n=2的情況,

此時a=22=4;第三個式子是n=3的情況,此時a=33=27,歸納可知a=nn.nnB考點三演繹推理典例5數列{an}的前n項和記為Sn,已知a1=1,an+1=

Sn(n=1,2,3,…).求證:(1)數列

是等比數列;(2)Sn+1=4an.證明(1)因為an+1=Sn+1-Sn,an+1=

Sn,所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).整理得nSn+1=2(n+1)Sn,所以

=2·

,又∵

≠0,∴

≠0,∴

÷

=2.

(小前提)故

是以2為公比的等比數列.

(結論)(2)由(1)知

=4·

(n≥2),于是Sn+1=4(n+1)·

=4·

·Sn-1=4an(n≥2).又a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4=4a1.因此對于任意正整數n≥1,都有Sn+1=4an.方法技巧(1)演繹推理是從一般到特殊的推理,其一般形式是三段論,應用三段論

解決問題時,應當首先明確什么是大前提和小前提,如果大前提是顯然

的,則可以省略,本題中,等比數列的定義在解題中是大前提,由于它是顯

然的,因此省略不寫.(2)在推理論證過程中,一些稍復雜一點的證明題常常要利用幾個三段

論才能完成.3-1已知函數f(x)=

(x∈R).(1)判斷函數f(x)的奇偶性;(2)判斷