無窮小與無窮大一、無窮小對無窮小的認識問題可以遠溯到古希臘.那時，阿基米德就曾用無限小量方法得到許多重要的數(shù)學結果，但他認為無限小量方法存在著不合理的地方.直到1821年，柯西在他的《分析教程》中才對無限小(即這里所說的無窮小)這概念給出了明確的回答.而有關無窮小的理論就是在柯西理論的基礎上發(fā)展起來的.一、無窮小定義11一、無窮小(1)根據(jù)無窮小的定義，無窮小本質(zhì)上是這樣一個變量(函數(shù))，在某一過程(如x→x0或x→∞)中，該變量的絕對值能小于任意給定的正數(shù)ε.無窮小不能與很小的數(shù)(如千萬分之一)混淆.但零是可以作為無窮小的唯一的常數(shù).(2)無窮小是相對于x的某個變化過程而言的.例如，當x→∞時，1x是無窮小；當x→2時，1x不是無窮小.無窮小與函數(shù)極限有著密切的關系.注一、無窮小定理14limx→x0f(x)=A的充分必要條件是f(x)=A+α，其中，α是當x→x0時的無窮小.

證必要性.設limx→x0f(x)=A，則對于ε>0，vδ>0，使得當0<x－x0<δ時，恒有f(x)－A<ε,

令α=f(x)－A，則α是當x→x0時的無窮小，且f(x)=A+α.

一、無窮小充分性.設f(x)=A+α，其中A為常數(shù)，α是當x→x0時的無窮小，于是f(x)－A=α,

因為α是當x→x0時的無窮小，故對于ε>0，vδ>0，使得當0<x－x0<δ時，恒有α<ε,

即f(x)－A<ε,

從而limx→x0f(x)=A.一、無窮小定理14對x→∞等其他情形也成立(讀者可自行證明).注一、無窮小

定理14的結論在今后的學習中有重要的應用，尤其是在理論推導或證明中.它將函數(shù)的極限運算問題轉化為常數(shù)與無窮小的代數(shù)運算問題.二、無窮小的運算性質(zhì)在下面討論無窮小的性質(zhì)中，僅證明x→x0的情形，至于x→∞等其他情形，證明完全類似.

二、無窮小的運算性質(zhì)定理15有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.

證這里只證兩個無窮小的和的情形，有限個無窮小的和的情形可以類似證明.

設α及β是當x→x0時的兩個無窮小，則對于ε>0，一方面，vδ1>0，使得當0<x－x0<δ1時，恒有二、無窮小的運算性質(zhì)注二、無窮小的運算性質(zhì)定理16有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

證設函數(shù)u在0<x－x0<δ1內(nèi)有界，則M>0，使得當0<x－x0<δ1時，恒有u≤M.

再設α是當x→x0時的無窮小，則對于ε>0，vδ2>0，使得當0<x－x0<δ2時，恒有二、無窮小的運算性質(zhì)推論1

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.二、無窮小的運算性質(zhì)推論2

有限個無窮小的乘積也是無窮小.三、無窮大若當x→x0(或x→∞)時,函數(shù)f(x)的絕對值無限增大(即大于預先給定的任意正數(shù))，則稱函數(shù)f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮大.下面給出精確的定義.三、無窮大定義12設函數(shù)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義(或|x|大于某一正數(shù)時有定義).若對于任意給定的正數(shù)M(不論它多么大)，總存在正數(shù)δ(或正數(shù)X)使得滿足不等式0<x－x0<δ(或x>X)的一切x所對應的函數(shù)值f(x)總滿足不等式f(x)>M,

則稱函數(shù)f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮大，記為

三、無窮大按通常意義來說，當x→x0(或x→∞)時為無窮大的函數(shù)f(x)，其極限是不存在的.但為了方便敘述函數(shù)的這一性態(tài)，也說“函數(shù)的極限是無窮大”.若在無窮大的定義中，把f(x)>M換為f(x)>M［或f(x)<－M］，則稱函數(shù)f(x)為當x→x0(或x→∞)時的正無窮大(或負無窮大)，記為注三、無窮大無窮大一定是無界變量.反之，無界變量不一定是無窮大.注四、無窮小與無窮大的關系定理17在自變量的