數(shù)值分析NumericalAnalysis機(jī)械與汽車工程學(xué)院主講人：孔勝利kongsl@2012-09-01數(shù)值分析第7章非線性方程求根求根的基本問題及分析方法

迭代法Newton法弦截法與拋物線法數(shù)值分析7.1求根的基本問題及分析方法

方程的求根大致包括3個基本問題：根的存在性

方程有沒有根？有的話，有幾個？根的隔離

求出幾個互不相交的區(qū)間，使每個區(qū)間中只有一個根。根的精確化

在求出精度不高的近似根的基礎(chǔ)上，逐步將根精確化，直到滿足預(yù)先要求的精度為止。基本方法：分析法搜索法二分法數(shù)值分析求根的基本問題及分析方法

例對之根進(jìn)行隔離。解顯然，，由得駐點。因故分別為極大值和極小值。從而內(nèi)各有一個實根。由y=f(x)的草圖可以直觀地看到這點。又顯然有因而，三個根的更好的隔離區(qū)間為y=f(x)

的草圖數(shù)值分析求根的基本問題及分析方法

2、搜索法如果我們判定方程f(x)=0的某一個根的大致范圍，則可用搜索法加以縮小，使根進(jìn)一步精確化。設(shè)，且，則可判定。不妨設(shè)，且。我們從左端開始，按預(yù)先選定的步長h，一步一步地向右邊走，每走一步檢查一下終點的函數(shù)值是否取正號。如果，則表明根。如果精度不夠，可將看成[a,b]再次進(jìn)行搜索，并從左端點開始向右搜索，直到滿足精度為止。在具體實施中，步長的選擇是個關(guān)鍵，步長較小時精度高，但搜索次數(shù)增加。數(shù)值分析求根的基本問題及分析方法

例題試求方程的唯一正根，要求誤差不超過0.1。解從x=0開始，取步長h=1,則有故根。再去h=0.2，因，故根從而取近似根為2.1，即即可滿足精度要求。注意：搜索法的實施是很靈活的，哪怕沒有給出根的存在范圍，也可進(jìn)行搜索。數(shù)值分析求根的基本問題及分析方法

3、二分法把搜索的步長取為含有根區(qū)間[a,b]的1/2，便得到二分法。例題用二分法將在（2,3）內(nèi)的根精確到小數(shù)點后第二位。解kakbkxkf(xk)的符號0232.5+122.52.25+222.252.215+322.1252.0625-42.06252.1252.09375-52.093752.1252.109375+62.093752.1093752.1015625+72.093752.10156252.09765625數(shù)值分析求解方程的問題，可將方程變形寫成的形式。顯然，前者的根必滿足后者，即。反之亦然。這表明：求方程的根，可轉(zhuǎn)化為求方程的根。為此，可選定某個初值，按迭代格式進(jìn)行迭代運算。（*）稱為求方程之根的迭代格式。在中，稱為函數(shù)的一個不動點。從而，求方程之根，即求函數(shù)的零點，又等價于求迭代函數(shù)的不動點。7.2迭代法

數(shù)值分析例題1 求方程在0.4附近的有五位有效數(shù)字的近似根。解 將方程變形為則迭代格式為取初始值為0.4，可算得各次近似根為

數(shù)值分析

收斂迭代格式的建立例題求方程在1.5附近的近似值。解將方程變?yōu)椋⒌袷角罢呤鞘諗康模笳呤前l(fā)散的。后者與前者的最大不同點在于后者的導(dǎo)數(shù)，而前者的。這表明：迭代格式的收斂性，與迭代函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的大小有關(guān)。數(shù)值分析

定理設(shè)迭代函數(shù)，且滿足（1）任給，總有（2）存在正數(shù)q<1，使則對于任意初值，當(dāng)時，迭代格式所得的數(shù)列收斂于[a,b]內(nèi)唯一的實根，并有估計式注意：定理中在函數(shù)的整個定義區(qū)間上滿足的條件是相當(dāng)苛刻的，實際應(yīng)用中局部收斂即可。數(shù)值分析

例題求方程的一個正根，精度為10-3。迭代格式的收斂速度迭代加速公式數(shù)值分析7.3Newton法Newton迭代法的基本思想將曲線的問題轉(zhuǎn)化為直線來解決，即將非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程來求解。Newton迭代格式由于它是基于切線方程而得到的，因而也叫切線法。數(shù)值分析例題 用Newton法求方程在0.5附近的根。解 因為，故迭代格式為取初值，經(jīng)迭代演算，得到前四次的近似根為數(shù)值分析Newton法的應(yīng)用對于給定的正數(shù)C，應(yīng)用Newton法解二次方程因為故得求的近似值的迭代格式例題計算解凡是迭代算法，初值的選取都會影響到收斂速度。取，利用上面的迭代格式計算4次的結(jié)果為數(shù)值分析習(xí)題應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求立方根的迭代公式。數(shù)值分析簡化Newton法迭代公式為Newton下山法迭代公式為數(shù)值分析7.4弦割法與拋物線法Newton法具有收斂快的優(yōu)點，但也有要計算導(dǎo)數(shù)的缺點，這對求導(dǎo)比較麻煩的函數(shù)，牛頓迭代格式用起來是不方便的。為避開計算導(dǎo)數(shù)，取2個初值點，過作割線，則得到割線的斜率為一般地，用割線的斜率代替牛頓法中切線的斜率，即用則得新的迭代格式用（*）式求近似根稱為雙點弦割法。數(shù)值分析

在用雙點弦割法中計算次近似值時，要用到前面兩點的信息，公式啟動時要提供兩個初值。單步迭代法和多步迭代法凡是計算次近似只用到前面一點的信息的迭代法稱為單步迭代法，而要用到前面兩點或兩點以上的信息的迭代法則稱為多步迭代法。有時為了簡化雙步迭代法，可用固定的點代替得迭代格式如下所示，稱為單點弦割法數(shù)值分析

習(xí)題用雙點弦割法計算在附近的根。根的精確值要求計算結(jié)果有四位有效數(shù)字。計算時取。數(shù)值分析

拋物線法設(shè)已知方程的三個近似根，我們以這三點為節(jié)點構(gòu)造二次插值多項式，并適當(dāng)選取的一個零點作為新的近似根，這樣確定的迭代過程稱為拋物線法。基本思想是用拋物線與x軸的交點作為所求根的近似值。數(shù)值分析

插值多項式有兩個零點：式中注意：根式前正負(fù)號的取舍