第二十五講圓的認識1.(2024·湖南)如圖,AB,AC為☉O的兩條弦,連接OB,OC,若∠A=45°,則∠BOC的度數(shù)為(C)A.60° B.75° C.90° D.135°2.(2024·宜賓)如圖,AB是☉O的直徑,若∠CDB=60°,則∠ABC的度數(shù)等于(A)A.30° B.45° C.60° D.90°3.(2024·濟寧)如圖,分別延長圓內(nèi)接四邊形ABCD的兩組對邊,延長線相交于點E,F.若∠E=54°41',∠F=43°19',則∠A的度數(shù)為(C)A.42° B.41°20' C.41° D.40°20'4.(2024·蘇州)如圖,△ABC是☉O的內(nèi)接三角形,若∠OBC=28°,則∠A=62°.

5.如圖,☉O的直徑AB經(jīng)過弦CD的中點H,若cos∠CDB=45,BD=5,則☉O的半徑為

2566.如圖,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,☉O是△ABC的外接圓,點A,B,O在格點上,則cos∠ACB的值是

213137.如圖,將一個量角器與一把無刻度直尺水平擺放,直尺的長邊與量角器的外弧分別交于點A,B,C,D,連接AB,則∠BAD的度數(shù)為52.5°.

8.如圖,A,B,C是☉O上的三點,且四邊形OABC是菱形.若點D是圓上異于A,B,C的另一點,則∠ADC的度數(shù)是60°或120°.

9.已知△ABC,以AB為直徑的☉O分別交AC于點D,BC于E,連接ED.若ED=EC.(1)求證:AB=AC.(2)若AB=4,BC=23,求CD的長.【解析】(1)∵ED=EC,∴∠C=∠EDC.又∵∠B+∠ADE=180°,∠EDC+∠ADE=180°,∴∠B=∠EDC=∠C,∴AB=AC.(2)連接AE.∵AB是直徑,∴∠AEB=90°,∴CE=12BC=3由(1)知AB=AC,∠B=∠EDC,又∵∠C=∠C,∴△ECD∽△ACB.∴CDBC=CEAC,∴CD23=34,10.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,AC,BD為對角線,BD經(jīng)過圓心O.若∠BAC=40°,則∠DBC的度數(shù)為(B)A.40° B.50°C.60° D.70°11.如圖,AB切☉O于點B,連接OA交☉O于點C,BD∥OA交☉O于點D,連接CD,若∠OCD=25°,則∠A的度數(shù)為(C)A.25° B.35° C.40° D.45°12.(2024·宜賓)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,BC為☉O的直徑,AD平分∠BAC交☉O于D,則AB+ACADA.2 B.3 C.22 D.2313.如圖所示,點A,B,C是☉O上不同的三點,點O在△ABC的內(nèi)部,連接BO,CO,并延長線段BO交線段AC于點D.若∠A=60°,∠OCD=40°,則∠ODC=80°.

14.如圖,∠DCE是☉O內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角,若∠DCE=72°,那么∠BOD的度數(shù)為144°.

15.(2024·安徽)如圖,☉O是△ABC的外接圓,D是直徑AB上一點,∠ACD的平分線交AB于點E,交☉O于另一點F,FA=FE.(1)求證:CD⊥AB;(2)設(shè)FM⊥AB,垂足為M,若OM=OE=1,求AC的長.【解析】(1)∵FA=FE,∴∠FAE=∠AEF.∵∠FAE與∠BCE都是BF所對的圓周角,∴∠FAE=∠BCE.∵∠AEF=∠CEB,∴∠CEB=∠BCE.∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.∵AB是直徑,∴∠ACB=90°,∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°,∴∠CDE=90°,∴CD⊥AB.(2)由(1)知,∠BEC=∠BCE,∴BE=BC.∵AF=EF,FM⊥AB,∴MA=ME=2,AE=4,∴圓的半徑OA=OB=AE-OE=3,∴BC=BE=OB-OE=2.在△ABC中,AB=6,BC=2,∠ACB=90°,∴AC=AB2-BC16.如圖,點E是△ABC的內(nèi)心,AE的延長線與邊BC相交于點F,與△ABC的外接圓交于點D.(1)求證:S△ABF∶S△ACF=AB∶AC;(2)求證:AB∶AC=BF∶CF;(3)求證:AF2=AB·AC-BF·CF;(4)猜想:線段DF,DE,DA三者之間存在的等量關(guān)系.(直接寫出,不需要證明.)【解析】(1)過點F作FH⊥AC,FG⊥AB,垂足分別為H,G,如圖,∵點E是△ABC的內(nèi)心,∴AD是∠BAC的平分線,∵FH⊥AC,FG⊥AB,∴FG=FH,∵S△ABF=12·AB·FG,S△ACF=12·AC·∴S△ABF∶S△ACF=AB∶AC;(2)過點A作AM⊥BC于點M,如圖,∵S△ABF=12BF·AM,S△ACF=12FC·∴S△ABF∶S△ACF=BF∶FC,由(1)可得S△ABF∶S△ACF=AB∶AC.∴AB∶AC=BF∶FC;(3)連接DB,DC,如圖,∵AB=AB,DC=DC,∴∠ACF=∠BDF,∠FAC=∠FBD,∴△BFD∽△AFC,∴BF·CF=AF·DF,∵AC=AC,∴∠FBA=∠ADC,又∠BAD=∠DAC,∴△ABF∽△ADC,∴ABAD=AF∴AB·AC=AD·AF,∴AB·AC=(AF+DF)·AF=AF2+AF·DF,∴AF2=AB·AC-BF·CF;(4)連接BE,如圖,∵點E是△ABC的內(nèi)心,∴BE是∠ABC的平分線,∴∠ABE=∠FBE,∵∠DBC=∠CAD=∠BAD,∠ADB=∠BDF,∴△AB