集合與常用邏輯用語

一、單選題

1.（2024?全國1卷）已知集合2=伸-5<》3<5},8={-3,-1,0,2,3},則/p|8=（）

A.{—1,0}B.{2,3}C.{一3,-1,0}D.{-1,0,2）

2.（2024?全國2卷）已知命題p：Vx￡R,|x+11>1；命題q：>0>x3=x,則（）

A.p和q都是真命題B.r7和夕都是真命題

c.2和「0都是真命題D.r7和都是真命題

3.（2024?全國甲卷文）集合/={1,2,3,4,5,9},B={x\x+\^A\,則/口3=（）

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{1,2,9）

4.（2024?全國甲卷理）集合2={1,2,3,4,5,9},5=卜2€小則Q（/c3）=（）

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

5.（2024?全國甲卷理）已知向量“=（x+l,x）,B=（x,2）,則（）

A.“x=-3”是“力的必要條件B.“x=-3”是“￡/斤的必要條件

C.“x=0”是“￡一”的充分條件D.“x=-l+G”是“￡//尸的充分條件

6.（2024?北京）已知集合屈={刈-N="|一1<x<3},則MuN=（）

A.{x|-4<%<3jB.（x|-l<x<1}

C.（0,1,2}D.{x|-l<^<4}

7.（2024?北京）已知向量Z，b，則“（1+研）-石）=0”是=B或H”的（）條件.

A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

8.（2024?天津）集合4={1,2,3,4},3={2,3,4,5},則/口8=（）

A.{123,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{1}

9.（2024?天津）設。,6eR,則“C=廬，，是"3“=3"”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題

10.（2024?上海）設全集。={1,2,3,4,5},集合4={2,4},則）=.

參考答案:

1.A

【分析】化簡集合A,由交集的概念即可得解.

【解析】因為/=卜|一正＜彳＜正},8={-3,-1,0,2,3},且注意到1〈為＜2,

從而/n8={T,。}.

故選：A.

2.B

【分析】對于兩個命題而言，可分別取x=-1、x=l,再結合命題及其否定的真假性相反即

可得解.

【解析】對于夕而言，取X=-1,則有卜+1|=0＜1,故夕是假命題，”是真命題，

對于而言，取％=1,則有x3=13=1=%，故9是真命題，「夕是假命題，

綜上，r7和9都是真命題.

故選：B.

3.A

【分析】根據集合5的定義先算出具體含有的元素，然后根據交集的定義計算.

【解析】依題意得，對于集合8中的元素x,滿足x+l=l,2,3,4,5,9,

則x可能的取值為0,L2,3,4,8,即8={0,1,2,3,4,8},

于是/c5={l,2,3,4}.

故選：A

4.D

【分析】由集合5的定義求出5,結合交集與補集運算即可求解.

【解析】因為“={1,2,3,4,5,9},8=卜|?€可，所以3={1,4,9,16,25,81},

則4門3={1,4,9},5(/。8)={2,3,5}

故選：D

5.C

【分析】根據向量垂直和平行的坐標表示即可得到方程，解出即可.

【解析】對人，當力坂時，則￡4=0，

所以x-(x+l)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A錯誤；

對C,當x=0時，￡=(1,0)》=(0,2),故￡4=0，

所以即充分性成立，故C正確；

對B,當￡/后時，則2(x+l)=f,解得X=1土百，即必要性不成立，故B錯誤；

對D,當x=-l+G時，不滿足2(x+l)=/,所以￡/后不成立，即充分性不立，故D錯誤.

故選：C.

6.A

【分析】直接根據并集含義即可得到答案.

【解析】由題意得MUN=(-4,3),

故選：A.

7.A

【分析】根據向量數量積分析可知(3+后＞(，-3)=0等價于同=歸|,結合充分、必要條件分

析判斷.

【解析】因為何+孫,一彼)=/一小=0,可得7=片，即同=同，

可知(1+孫"3)=0等價于同=問，

若3=3或￡=/,可得同=問，即-彼)=0,可知必要性成立；

若(1+3件弓=0,即同第，無法得出L或n,

例如3=(1,0)石=(0,1),滿足同=問，但￡片］且Z片工，可知充分性不成立；

綜上所述，”心+孫,工)=0”是“a^b^-a^-b”的必要不充分條件.

故選：A.

8.B

【分析】根據集合交集的概念直接求解即可.

【解析】因為集合4={1,2,3,4},5={2,3,4,5},

所以4口5={2,3,4},

故選：B

9.C

【分析】說明二者與同一個命題等價，再得到二者等價，即是充分必要條件.

【解析】根據立方的性質和指數函數的性質，。3=63和3。=3人都當且僅當。=6,所以二者

互為充要條件.

故選：C.

10.{1,3,5}

【分析】根據補集的定義可求7.

【解析】由題設有7={1,3,5},

故答案為：{1,3,5}

不等式與不等關系

一、單選題

1.(2024?全國1卷)己知函數為/(x)的定義域為R,/(x)>/(x-l)+/(x-2),且當x<3時

/(x)=x,則下列結論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

c./(10)<1000D./(20)<10000

—X2—2ax—a^x<0

2.(2024?全國1卷)已知函數為/(')='一；八，在R上單調遞增，則。取值的

[e+ln(x+l),x>0

范圍是()

A.(—叫0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+與

3.(2024?全國2卷)已知命題pVXGR,|X+1|>1；命題g3x>0,x3=x,則()

A.p和q都是真命題B.R和q都是真命題

C.p和「9都是真命題D.r7和1夕都是真命題

4.(2024?全國2卷)設函數/(x)=a+Q)ln(x+b),若/(x)>0,則/+〃的最小值為()

,111

A.-B.-C.-D.1

842

4x-3y-3>0

5.(202牛全國甲卷文)若實數^^滿足約束條件卜-2了-240，貝”=x-5歹的最小值為()

2x+6y-9<0

A.5B.gC.—2D.—

22

6.(2024?北京)已知集合出={x|-4<xVl},N={x\-l<x<3},則MuN=()

A.3-4cx<3}B.{x|-l<x<1}

C.{0,1,2}D.{x|-l<x<4}

c_1

7.(2024?北京)記水的質量為d=-----,并且d越大，水質量越好.若S不變，且4=2」，

"2=2.2,則々與%的關系為（）

A.nx<n2

B.勺

C.若S<1,貝|〃a〃2；若S>1,則勺>%；

D.若S<1,則4〉巧；若S〉l,則々<%;

8.（2024?北京）已知（m,用）,（々，%）是函數歹=2、圖象上不同的兩點，則下列正確的是（）

y+yx+xy,+yx,+x

A.loglL>i1B.log2;2

222222

C.log>x+xD.陶可<x+x

22t2t2

03

9.（2024?天津）若。=4.2嗎b=4.2,c=log420.2,則a,b,c的大小關系為（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

二、填空題

10.（2024?上海）已知xeR,則不等式x2-2x-3<0的解集為

三、解答題

11.（2024?全國甲卷文）已知函數/（x）=a（x-l）-lnx+l.

⑴求“X）的單調區間；

（2）若aV2時，證明：當x>l時，恒成立.

12.（2024?全國甲卷理）已知函數/（x）=（l-ax）ln（l+x）-x.

⑴當a=-2時，求的極值；

（2）當尤20時，恒成立，求。的取值范圍.

參考答案：

1.B

【分析】代入得到/⑴=1J⑵=2,再利用函數性質和不等式的性質，逐漸遞推即可判斷.

【解析】因為當x<3時/'(尤)=尤，所以〃1)=1J(2)=2,

又因為〃x)>/(x-l)+〃x-2),

則/(3)>/(2)+/(I)=3,/(4)>/⑶+/(2)>5,

/(5)>f(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(H)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233](13)>/(12)+/(II)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,則依次下去可知420)>1000,則B正確；

且無證據表明ACD一定正確.

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用=〃2)=2,再利用題目所給的函數性質

〃x)>/(x-l)+f(x-2),代入函數值再結合不等式同向可加性，不斷遞推即可.

2.B

【分析】根據二次函數的性質和分界點的大小關系即可得到不等式組，解出即可.

【解析】因為/(尤)在R上單調遞增，且xNO時，/(x)=e'+ln(x+l)單調遞增，

——>0

則需滿足2x(-1),解得TVaVO,

-d!<e°+In1

即。的范圍是[TO].

故選：B.

3.B

【分析】對于兩個命題而言，可分別取x=-1、x=l,再結合命題及其否定的真假性相反即

可得解.

【解析】對于夕而言，取x=-1,則有卜+1|=0<1,故夕是假命題，”是真命題，

對于而言，取％=則有/=]3=1=%，故9是真命題，r1是假命題，

綜上，r7和夕都是真命題.

故選：B.

4.C

【分析】解法一：由題意可知："X)的定義域為(-4+”),分類討論與-4的大小關

系，結合符號分析判斷，即可得6=。+1,代入可得最值；解法二：根據對數函數的性質分

析ln(x+b)的符號，進而可得x+a的符號，即可得b=a+l,代入可得最值.

【解析】解法一：由題意可知："X)的定義域為(-8+”),

令x+4=0解得工=-〃；令ln(x+b)=0解得了=1-6；

若一〃(一6,當了￡(—6,1—6)時，可知x+〃〉0,ln(x+b)<0,

此時〃x)v0,不合題意；

若一b<-a<\—b,當X￡(—a,l—b)時，可知X+Q>0/n(x+Z))<0,

此時/(x)<0,不合題意；

若一4=1一6,當工￡(一"1一勾時，可知x+〃<0,ln(x+Z?)<0,此時/(x)〉0；

當XE[1—6,+8)時，可知x+Q20,ln(x+6)20,此時/(x)20；

可知若-q=l-b,符合題意；

若一a>l-b,當工￡(1一6,—〃)時，可知1+a<0,ln(x+610,

此時/(x)<0,不合題意；

綜上所述：一。=1一6,即6=4+1,

貝1」“2+/=Q2+(Q+])2=21〃+J_]+J->J-,當且僅當4=一工,6=工時，等號成立，

v7{2J2222

所以/+〃的最小值為g；

解法二：由題意可知：八工)的定義域為(-仇+8),

令X+4=0解得x=-〃；令ln(x+6)=0解得x=l—b；

則當工￡(一仇1-6)時,ln(x+6)<0,故x+aWO,所以1-b+aWO；

x￡(l—Z),+8)時，ln(x+6)>0,故工+〃20,所以1—6+〃20；

故1-6+〃=0,則/+〃=/+(4+])2=2(q+J_],

當且僅當。=-1,6=］時，等號成立，

22

所以的最小值為

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：分別求x+a=O、ln(x+b)=o的根，以根和函數定義域為臨界，比較

大小分類討論，結合符號性分析判斷.

5.D

【分析】畫出可行域后，利用z的幾何意義計算即可得.

4x-3j^-3>0

【解析】實數X/滿足尤-2y-2W0,作出可行域如圖:

2x+6y-9<0

即Z的幾何意義為y=的截距的

則該直線截距取最大值時，z有最小值，

此時直線過點A,

4%-3》一3=0

聯立

2x+6y-9=0

37

則Zmin=--5xl=---

故選：D.

6.A

【分析】直接根據并集含義即可得到答案.

【解析】由題意得MUN=(-4,3),

故選：A.

7.C

5-1

〃-e~2A

【分析】根據題意分析可得Is「討論S與1的大小關系，結合指數函數單調性分析

判斷

【解析】由題意可得

5-1

~22

I-.,.S—1S—1—,s-is-i

若S>1,貝（I2]>22，可r/F得e五>e五，n即n4>%；

若S=l,則三=三=0,可得

若S<1,則言可得e3<e即叫<%；

結合選項可知C正確，ABD錯誤；

故選：C.

8.A

【分析】根據指數函數和對數函數的單調性結合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即

可.

【解析】由題意不妨設再<%，因為函數y=2、是增函數，所以0<23<2,2,即。<弘<%,

2

對于選項AB：可得/十'>82必=22,即21±里〉2>0,

22

.%!+x2.

根據函數V=log2X是增函數，所以log?"產>log22M=幺黃，故A正確，B錯誤；

對于選項C：例如占=0,%=1,則必=L%=2,

可得log?之三=log?ge(0,1),即斐g?"<1=占+超,故C錯誤；

對于選項D：例如占=-I,%=-2,則

可得(-2,-1),即斐g?%>_3=%+/,故D錯誤，

故選：A.

9.B

【分析】利用指數函數和對數函數的單調性分析判斷即可.

【解析】因為》=4.2、在R上遞增，且-0.3<0<0.3,

所以0<4.2心<4,2°<4.2%

所以0<4.2?3<1<4.2%即0<°<1<6,

因為y=log4.2尤在(0,+8)上遞增，且0<0.2<1,

所以Iog4,202<log4.21=0,即c<0,

所以6>4>C,

故選：B

10.{x|-l<x<3}

【分析】求出方程一-2x-3=0的解后可求不等式的解集.

【解析】方程Y-2x-3=0的解為x=-l或x=3,

故不等式一一2x-3<0的解集為{x|T<x<3},

故答案為：{x~l<x<3}.

11.(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)求導，含參分類討論得出導函數的符號，從而得出原函數的單調性;

(2)先根據題設條件將問題可轉化成證明當x>l時，ei-2x+l+lnx>0即可.

【解析】(1)/⑴定義域為(0,+勾，f\x)=a--=—

XX

當時，=故/(x)在(0,E)上單調遞減；

X

當a>0時，xeQ,+oo^gj-,f\x)>0,/(X)單調遞增，

當時，f\x)<Q,/(x)單調遞減.

綜上所述，當“40時，/(%)在(0,+8)上單調遞減；

a>0時，/(X)在［j+s］上單調遞增，在［o,/］上單調遞減.

(2)a<2,且x〉l時，ex-1-f(x)=ex-1-a(x-1)+Inx-1>ex-1-2x+1+Inx,

令g(x)=e"T-2x+l+lnx(x>1),下證g(x)>0即可.

g'(x)=ei-2+L再令Mx)=g'(x),貝1J"(x)=e*T-二,

XX

顯然h'(x)在(L+8)上遞增，貝I]〃'(尤)>/z,(l)=e°-l=o,

即g'(x)=〃(尤)在(1,+8)上遞增，

故g'(x)>g,(l)=e°-2+l=0,即g(x)在(l,+oo)上單調遞增,

故g(x)>g(l)=e°-2+l+lnl=0,問題得證

12.(1)極小值為0,無極大值.

⑵a

【分析】(1)求出函數的導數，根據導數的單調性和零點可求函數的極值.

(2)求出函數的二階導數，就。4-工、_1<?<0,a20分類討論后可得參數的取值范圍.

22

【解析】(1)當“=—2時，f(x)=(1+2x)ln(l+x)—x,

故八)x=21n(l+x)+^^-l=21n(l+x)-一—+1,

1+x1+x

因為y=21n(l+x)/=—J—+1在(一1,+8)上為增函數，

故/(x)在(T+句上為增函數，而八0)=0,

故當一1<%<0時，/r(x)<0,當％>0時，/r(x)>0,

故/(x)在x=0處取極小值且極小值為/⑼=0,無極大值.

(2)/r(x)=-aln(l+x)+^ax-]_=_aIn(1+x)一(a+l]x

——

1+x

(。+1bQO

設s(X)=—aIn(1+x)-,X7u，

1+x

(a+1)_〃(X+1)+Q+1_ax+2a+l

貝MH=搭一2

(1+x「(1+x(l+x)2

當aV」時，s'/(x)>0,故s(x)在(0,+功上為增函數,

2

故s(x)〉s(0)=0,即/1x)>0,

所以了(%)在［0,+動上為增函數,故/(%"/(o)=o.

當一L<a<0時，當0<%〈-2"I時,5r(x)<0,

2a

故s(x)在［o,-寧)上為減函數，故在平)上s(x)<s(o),

即在［o,-一—j±r(x)<o即/(%)為減函數，

故在平］上/(x)</(O)=O,不合題意，舍.

當aNO,此時s'(x)<0在(O,+s)上恒成立，

同理可得在(0,+8)上/(尤)</⑼=0恒成立，不合題意，舍；

綜上，aM—.

2

【點睛】思路點睛：導數背景下不等式恒成立問題，往往需要利用導數判斷函數單調性，有

時還需要對導數進一步利用導數研究其符號特征，處理此類問題時注意利用范圍端點的性質

來確定如何分類.

復數和平面向量

一、單選題

z

1.(2024?全國)若上=l+i,貝|z=()

z-1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

2.(2024?全國)已知向量2=(0,1),B=(2,X),若5_L(B-43),則X=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.(2024?全國)已知z=—l—i,貝!］目=()

A.0B.1C.V2D.2

4.(2024?全國)已知向量海滿足同=1,2+23=2,且倡-2Z)±b,則*()

V2V3

A.\RrD.1

22

5.(2024?全國)設2=0i，則z?5=()

A.-iB.1C.-1D.2

6.(2024?全國)設z=5+i,則i(z+z)=()

A.10iB.2iC.10D.-2

7.(2024?全國)已知向量Q=(x+l,x),B=(x,2),則()

A."》=-3”是“力力的必要條件B.“x=-3”是“Z/符的必要條件

C.“x=0”是“力5”的充分條件D.“x=-1+行”是叮/萬的充分條件

z

8.（2024?北京）已知丁=i-l,則z；=（

1

A.1-iB.-iC.-1-iD.1

9.（2024?北京）已知向量3，則“（2+研之-可=0”是“13或￡=-尸的（）條件.

A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題

10.（2024?天津）已知i是虛數單位，復數（石+i）?（正-2i）=.

II.（2024?天津）在邊長為1的正方形/BCD中，點E為線段的三等分點，

Iuuruuruur

CE=-DE,BE=^BA+pBC,則為+〃=；若尸為線段BE上的動點，G為小'中點,

則N.詼的最小值為.

12.（2024?上海）已知左eR,1=（2,5）,3=（6,后），且,〃石，則上的值為.

2

13.（2024?上海）已知虛數z,其實部為1,且z+—=7H（m￡R）,則實數加為

z

參考答案:

1.c

【分析】由復數四則運算法則直接運算即可求解.

—14-111

【解析】因為一z-=-z~-=1+—;=l+i，所以z=l+L「i.

z-1z-1z-11

故選：C.

2.D

【分析】根據向量垂直的坐標運算可求x的值.

【解析】因為皿否-甸，所以研3-0）=0,

所以7_4￡*=0即4+X2-4X=0,故X=2,

故選：D.

3.C

【分析】由復數模的計算公式直接計算即可.

【解析】若Z=-l-i,則忖=J（一廳+（一/=6.

故選：C.

4.B

【分析】由（石-2。）避得7=2鼠心結合忖=小+2*2,得1+元％+店=1+6r=4,

由此即可得解.

【解析】因為（B-2Z）",所以（5-2之"=0,即片=27小

又因為同=巾+2+2,

所以1+40%+43=1+6^=4,

從而w=孝.

故選：B.

5.D

【分析】先根據共軟復數的定義寫出口然后根據復數的乘法計算.

【解析】依題意得，z=-V2i，故￡=-2/=2.

故選：D

6.A

【分析】結合共軌復數與復數的基本運算直接求解.

【解析】由z=5+im5-i,z+z=10,貝Iji（彳+z）=10i.

故選：A

7.C

【分析】根據向量垂直和平行的坐標表示即可得到方程，解出即可.

【解析】對A,當力否時，則￡4=0，

所以x-（x+l）+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A錯誤；

對C,當x=0時，a=（1,0）1=（0,2）,故鼠刃=0，

所以即充分性成立，故c正確；

對B,當￡//5時，則2（x+l）=/,解得X=1土百，即必要性不成立，故B錯誤；

對D,當x=-l+G時，不滿足2（x+l）=/,所以￡/R不成立，即充分性不立，故D錯誤.

故選：C.

8.C

【分析】直接根據復數乘法即可得到答案.

【解析】由題意得z=i（i-=

故選：C.

9.A

【分析】根據向量數量積分析可知（3+很》（，-3）=0等價于同=忖，結合充分、必要條件分

析判斷.

【解析】因為但+孫,一彼卜》一覺二。，可得/=片，即同=跖

可知（a+孫k_B）=o等價于同=問，

若3=3或￡=可得同=W，gp（5+ft）.（5-ft）=0,可知必要性成立；

若（布）."）=0,即同=W，無法得出￡=B或n，

例如。=（1,0）石=（0,1）,滿足同=問，但且￡片工，可知充分性不成立；

綜上所述，“k+B）G-B）=o”是“力B且2~產的必要不充分條件.

故選：A.

10.7-V5i

【分析】借助復數的乘法運算法則計算即可得.

[解析]（若+i）?（君一2i）=5+&-2圾+2=7-6.

故答案為：1-5.

45

11.

318

【分析】解法一：以｛第，四｝為基底向量，根據向量的線性運算求而，即可得2+〃，設

numL1U1UUULUULL

BF=kBE，求“ROG,結合數量積的運算律求力?麗的最小值；解法二：建系標點，根

,、1UUUUULL

據向量的坐標運算求赤，即可得幾+〃，設/-3a),ae--,0,求結合數量積

的坐標運算求力.麗的最小值.

1uur2uuruuruuoruuriuuruuor

【解析】解法一：因為。￡=—^CE=-BA,則BEuBC+CEn—54+BC,

233

I4

可得4=1,所以％+4=§;

由題意可知：I前|=|第1=1,函?前=0,

因為尸為線段8E上的動點，T^BF=kBE=^kBA+kBC,k^[O,l],

貝Ij萬=在+而=在+左礪=j|k-[]BA+kBC,

則麗=百+而=_而+；/1聲+1.,

又因為G為相中點,

又因為左e[0,l],可知：當左=1時，萬.礪取到最小值-[；

解法二：以8為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示,

則/(-I,O),3(O,O),C(O,I),DH，I)E\-11j,

可得第=(T,o),元=(O,l),礪

_2=_1

因為BE==(—%,〃)，貝！J<3,所以％+〃=—；

^^13

因為點尸在線段B￡：y=-3x,xe-1,0上，設尸(a,-3a),ae-1,0

且G為"'中點，則GFI，-'!。)，

可得/=(a+l,_3a),麗=(等,-|

且ae-1,0,所以當時，萬.方4取到最小值為二；

_3J318

、45

故答案為：—；■.

318

12.15

【分析】根據向量平行的坐標表示得到方程，解出即可.

【解析】?:d11彼，：.2k=5x6,解得左=15.

故答案為：15.

13.2

【分析】設z=l+bi,直接根據復數的除法運算，再根據復數分類即可得到答案.

【解析】設z=l+bi,Z?ER且Z?w0.

22仔2+3、(b3-by

則z+—=1+^+：^^

z1+Z?i

方+3

------F二m

,/mGR,，解得冽=2,

b-b八

故答案為：2.

數列

一、單選題

1.（2024?全國）等差數列｛%｝的前〃項和為，，若及=1,%+%=（）

A.—2B.—C.1D.—

39

2.（2024?全國）等差數列｛4｝的前〃項和為S”，若色=九，%=1，則%=（）

7

A.-2B.-C.1D.2

3

二、填空題

3.（2024?全國）記S.為等差數列｛。"｝的前”項和，若%+%=7,3%+%=5,則幾=.

4.（2024?北京）已知河=物|%=4｝,an,”不為常數列且各項均不相同，下列正確的

是.

①%,2均為等差數列，則M中最多一個元素；

②%,?均為等比數列，則”中最多三個元素；

③%為等差數列，?為等比數列，則M中最多三個元素；

④%單調遞增，4單調遞減，則M中最多一個元素.

5.（2024?上海）無窮等比數列｛（｝滿足首項%>0,q>1,記/"=｛x-小,ye[%,aJ，a?+i]）>

若對任意正整數n集合/“是閉區間，則鄉的取值范圍是.

三、解答題

6.（2024?全國）設共為正整數,數列4,電，〃”+2是公差不為0的等差數列，若從中刪去

兩項%和%（z<j）后剩余的4m項可被平均分為m組，且每組的4個數都能構成等差數列，

則稱數列％,出，…,。4M+2是&））-可分數列.

⑴寫出所有的億力，1口</46,使數列%”，…，必是億/）-可分數列；

⑵當加23時，證明：數列可，出，…，&川是(2,13)-可分數列；

⑶從1,2,...,4%+2中一次任取兩個數i和/?＜/),記數列%…，42是化力-可分數列的

概率為匕，證明：匕〉

O

7.(2024?全國)已知雙曲線C:3-^=m(加＞0),點耳(5,4)在C上,后為常數，0＜。＜1.按

照如下方式依次構造點P,,(?=2,3,...),過匕-作斜率為k的直線與C的左支交于點2-，令P?

為2-關于了軸的對稱點，記Pn的坐標為(％/“).

⑴若次=—,求%,%;

(2)證明：數歹式乙一％｝是公比為學的等比數列；

(3)設S“為△匕￡+￡+2的面積，證明：對任意的正整數〃，Sn=Sn+l.

8.(2024?全國)已知等比數列｛與｝的前〃項和為S”，且2S“=3%+「3.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)求數列電｝的通項公式.

9.(2024?全國)記5“為數列｛為｝的前〃項和，且4s“=3%+4.

(1)求｛4｝的通項公式；

⑵設4=(-1)"”,求數列｛〃｝的前n項和為北.

10.(2024?北京)設集合M=｛(i,/,sj)卜e｛l,2｝,/e｛3,4｝,se｛5,6｝,fw｛7,8｝,2/+/+s+f)｝.對

于給定有窮數列4：｛。“｝(14〃＜8),及序列。:外,如…，牡，佻=色，，鳳山)eM,定義變

換T：將數列A的第力,九s3項加1,得到數列刀⑷;將數列1⑷的第%，為詼山列加1，

得到數列碇;⑷…；重復上述操作，得到數列(…《［(㈤，記為。(/).

⑴給定數列/：L3,2,4,6,3,1,9和序列。:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),寫出。(/)；

⑵是否存在序列。，使得。(4)為q+2,%+6,。3+4,&+2,生+8,&+2,。7+4,。8+4,若存在，

寫出一個符合條件的。；若不存在，請說明理由;

(3)若數列A的各項均為正整數，且％+/+%+%為偶數，證明：“存在序列。，使得。(/)

為常數列''的充要條件為“％+%=%+&=%+&=%+。8'，

11.(2024?天津汨知數列｛叫是公比大于0的等比數列.其前〃項和為S“.若％=1,S?=/T.

(1)求數列｛%｝前〃項和S”;

⑵設“J\k,n?=a,—

4=1,其中左是大于1的正整數.

(i)當"=ak+l時，求證：6"_]>ak-bn.

s

(ii)求功n.

Z=1

參考答案:

1.D

【分析】可以根據等差數列的基本量，即將題目條件全轉化成4和d來處理，亦可用等差數

列的性質進行處理，或者特殊值法處理.

【解析】方法一：利用等差數列的基本量

由89=1,根據等差數列的求和公式，S=9%+^d=l=9%+36d=1,

22

%+%=%+2d+%+6d—2%+8d—~(9%+36d)——.

故選：D

方法二：利用等差數列的性質

根據等差數列的性質，芻+@9=@3+%，由及=1,根據等差數列的求和公式,

,故…V

故選：D

方法三：特殊值法

一12

不妨取等差數列公差d=0,貝1JS9=1=9%n%=3,則%+的=？%=§.

故選：D

2.B

【分析】由S5=do結合等差中項的性質可得%=0,即可計算出公差，即可得外的值.

【解析1由Eo—S5=&+。7+“8+。9+"10=5。8=0,則“8二。，

則等差數列｛%｝的公差"==-1,故%=%-4d=1-4x]-；J=g.

故選：B.

3.95

【分析】利用等差數列通項公式得到方程組，解出再利用等差數列的求和公式節即可

得到答案.

【解析】因為數列%為等差數列,則由題意得1+d)+；+4L5,解得匕=3'

10x9

貝iJEo=104+^—d=10x(-4)+45x3=95.

故答案為：95.

4.①③④

【分析】利用兩類數列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結合

通項公式的特征及反證法可判斷③的正誤.

【解析】對于①，因為｛。”｝,｛。｝均為等差數列，故它們的散點圖分布在直線上，

而兩條直線至多有一個公共點，故M中至多一個元素，故①正確.

對于②，取。"=2"7也=-(-2)",則｛七｝,但｝均為等比數列，

但當〃為偶數時，有%=2"T=4=_(_2)i,此時必中有無窮多個元素，

故②錯誤.

對于③，設6”=*0應*±1),%=初+6(后片0),

若M中至少四個元素，則關于"的方程Nq"=初+方至少有4個不同的正數解，

若q>0,#l,則由y=和y=+b的散點圖可得關于〃的方程Zq"=?+方至多有兩個

不同的解，矛盾；

若4<0,q*±1,考慮關于n的方程Aq"=kn+b奇數解的個數和偶數解的個數，

當幽"=kn+b有偶數解，此方程即為4|同"=kn+b,

方程至多有兩個偶數解，且有兩個偶數解時“左InM>0,

否則Ak\n\q\<0,因y=咖"/=加+6單調性相反,

方程川同"=kn+b至多一個偶數解，

當/q"=kn+b有奇數解，此方程即為=kn+b,

方程至多有兩個奇數解，且有兩個奇數解時-/hn|q|>0即4左111同<0

否則Ak\n\q\>0,因y=-/同",y=協+6單調性相反，

方程川同"=kn+b至多一個奇數解，

因為/左皿可>0,N8n@<0不可能同時成立，

故//=切+6不可能有4個不同的正數解，故③正確.

對于④，因為｛%｝為單調遞增，｛"｝為遞減數列，前者散點圖呈上升趨勢，

后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.

故答案為：①③④

【點睛】思路點睛：對于等差數列和等比數列的性質的討論，可以利用兩者散點圖的特征來

分析，注意討論兩者性質關系時，等比數列的公比可能為負，此時要注意合理轉化.

5.qN2

【分析】當〃22時，不妨設無2丁,則x-ye[O,⑥一％]11[。"一%％+1-%川[0,%+1-。"],結

合/“為閉區間可得q-22-4工對任意的〃z2恒成立，故可求q的取值范圍.

q

【解析】由題設有因為%>0應>1,故。故]。”,。“+1]=[。”"\[7[,

當”=1時，x,ye[a[,a2],故x-ye[q-g，。2-4]，此時人為閉區間，

當時，不妨設xNy,若?[弓,4]，貝!Ix-y€[0,%，

若ye[4,出]，x?[4，%+』，則x—ye[冊一出，%+i-4]，

若x,ye[%,4+J,則x-ye[0,a“+[-6],

綜上,x-y&\Q,a2-a^][an-a2,an+l-?)]U[0,an+1-an],

又In為閉區間等價于[0,七一aJ口[%-%，％用一4]口[°，4用一對]為閉區間，

aa

而n+i-i>%+i一%>。2一%，故??+1-??吊火,一。2對任意〃22恒成立,

n2

故。,+1-2冊+出20即axq^(^―2)+a2>0,故q"^(^-2)+1>0,

故-一上■對任意的恒成立，因g>i,

q-

故當〃f+oo時，一一^-->0,故g-220即qN2.

q

故答案為：q>2.

【點睛】思路點睛：與等比數列性質有關的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立為轉為

關于與公比有關的不等式恒成立，必要時可利用參變分離來處理.

6.(1)(1,2),(1,6),(5,6)

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】（1）直接根據化/）-可分數列的定義即可；

（2）根據億/）-可分數列的定義即可驗證結論；

（3）證明使得原數列是億/）-可分數列的億/）至少有（加+咪-加個，再使用概率的定義.

【解析】（1）首先，我們設數列%，出，…，。4,"+2的公差為d，則"WO.

由于一個數列同時加上一個數或者乘以一個非零數后是等差數列，當且僅當該數列是等差數

列，

故我們可以對該數列進行適當的變形4=%亍幺+1（左=1,2,...,4%+2）,

得到新數列4=左（左=1,2,...,4加+2）,然后對多河，…,0+2進行相應的討論即可.

換言之，我們可以不妨設6=左（左=1,2,...,4機+2）,此后的討論均建立在該假設下進行.

回到原題，第1小問相當于從123,4,5,6中取出兩個數i和/（，</）,使得剩下四個數是等差

數列.

那么剩下四個數只可能是1,2,3,4,或2,3,4,5,或3,4,5,6.

所以所有可能的（M）就是。,2）,（1,6）,（5,6）.

（2）由于從數列1,2,…,4m+2