4.4*數學歸納法第四章數列整體感知[學習目標]

1．借助教材實例了解數學歸納法的原理．(數學抽象)2．能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題．(邏輯推理)3．能歸納猜想，利用數學歸納法證明與正整數有關的數學問題．(數學運算、邏輯推理)(教師用書)中國過去有個習俗，子女從父親的姓氏，如父親姓王，其子女都姓王．假設我們知道一個男子姓王，假設他每一代后代都有男子，而且嚴格按照我國過去的習俗，那么他的兒子姓什么？孫子呢？玄孫呢？……如果他有32代孫，你能確定他的32代孫的姓嗎？如果他有無限代孫呢？為了保證各代孫輩都姓王，必須嚴格按照中國過去的習俗，否則無法遞推下去，也就是說要保證第n代孫姓王能推出第n＋1代孫也姓王，當然要求第1個人必須姓王了．思考：通過這個例子，你能得到什么啟示呢？[討論交流]問題1．數學歸納法的原理是什么？問題2．數學歸納法中的兩個步驟之間有什么關系？[自我感知]

經過認真的預習，結合對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．探究建構探究1數學歸納法的理解探究問題1如果你從袋子里拿出5個小球，發現全部都是綠色的，能否判斷袋子里面的小球都是綠色的？[提示]

不能．通過考察部分對象，得到一般的結論的方法，叫不完全歸納法．不完全歸納法得到的結論不一定正確．探究問題2在學校，我們經常會看到這樣一種現象：排成一排的自行車，如果一位同學不小心將第一輛自行車弄倒了，那么整排自行車就會倒下．試想要使整排自行車倒下，需要具備哪幾個條件？這種現象對你有何啟發？[提示]

需要具備的條件：(1)第一輛自行車倒下；(2)任意相鄰的兩輛自行車，前一輛倒下一定導致后一輛倒下．這種現象使我們想到一些與正整數n有關的數學問題．[新知生成]1．數學歸納法一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)歸納奠基：證明當n＝n0(n0∈N*)時命題成立；(2)歸納遞推：以“當n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當__________時命題也成立”．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立，這種證明方法稱為數學歸納法．n＝k＋12．數學歸納法的證明形式記P(n)是一個關于正整數n的命題，可以把用數學歸納法證明的形式改寫如下：條件：(1)P(n0)為真；(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)為真，則P(k＋1)也為真．結論：P(n)為真．3．數學歸納法的框圖表示【教用·微提醒】

初始值n0不一定是1，要結合具體的結論而定．

√②(1)D

(2)②

[(1)顯然當n＝1時，21＞12，而當n＝2時，22＝22，A錯誤；當n＝3時，23＜32，B錯誤；當n＝4時，24＝42，C錯誤；當n＝5時，25＞52，符合要求，D正確．(2)本題在由n＝k成立證明n＝k＋1成立時，應用了等比數列的求和公式，而未用歸納假設，這與數學歸納法的要求不符．]探究2用數學歸納法證明等式

分析：用數學歸納法證明時，第二步要證明的是一個以“當n＝k時，①式成立”為條件，得出“當n＝k＋1時，①式也成立”的命題，證明時必須用上上述條件．

反思領悟

用數學歸納法證明恒等式時應關注的三點(1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況；(2)弄清從n＝k到n＝k＋1，等式兩端增加了哪些項，減少了哪些項；(3)證明n＝k＋1時結論也成立，要設法將待證式與歸納假設建立聯系，并朝n＝k＋1證明目標的表達式變形．[學以致用]

2．用數學歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．證明：(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2×(2－3)＋3＝1，左邊＝右邊，所以等式成立．(2)假設當n＝k(k∈N*)時，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＝2k(2k－3)＋3.則當n＝k＋1時，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k+1[2(k＋1)－3]＋3，即當n＝k＋1時，等式也成立．由(1)(2)知，等式對任何n∈N*都成立．探究3用數學歸納法證明不等式【鏈接·教材例題】例4設x為實數，且x＞－1，x≠0，n為大于1的正整數，記數列x，x(1＋x)，x(1＋x)2，…，x(1＋x)n-1，…的前n項和為Sn，試比較Sn與nx的大小，并用數學歸納法證明你的結論．分析：該問題中涉及兩個字母，x是大于－1且不等于零的實數，n是大于1的正整數．一種思路是不求和，而直接通過n取特殊值比較Sn與nx的大小關系，并作出猜想；另一種思路是先由等比數列的求和公式求出Sn，再通過n取特殊值比較Sn與nx的大小關系后作出猜想．兩種做法都必須用數學歸納法證明得到的猜想．解法1：由已知可得Sn＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n-1.當n＝2時，S2＝x＋x(1＋x)＝x2＋2x，由x≠0，知x2＞0，可得S2＞2x；當n＝3時，S3＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＝x2(x＋3)＋3x，由x＞－1且x≠0，知x2(x＋3)＞0，可得S3＞3x.由此，我們猜想，當x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1時，Sn＞nx.下面用數學歸納法證明這個猜想．

(1)當n＝2時，由上述過程知，猜想成立．(2)假設當n＝k(k∈N*，且k≥2)時，不等式成立，即Sk＞kx，則Sk＋1＝Sk＋x(1＋x)k＞kx＋x(1＋x)k.①當x＞0時，因為k＞1，所以(1＋x)k＞1，所以x(1＋x)k＞x.②當－1＜x＜0時，0＜1＋x＜1，且x2＞0.又因為k＞1，所以(1＋x)k＜1＋x，可得x(1＋x)k＞x(1＋x)＝x＋x2＞x.綜合①②可得，當x＞－1且x≠0時，Sk＋1＞kx＋x(1＋x)k＞kx＋x＝(k＋1)x，所以，當n＝k＋1時，猜想也成立．由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx對任何大于1的正整數n都成立．

(1)當n＝2時，由上述過程知，猜想成立．(2)假設當n＝k(k∈N*，且k≥2)時，不等式Sk＞kx成立，即(1＋x)k－1＞kx，亦即(1＋x)k＞1＋kx.由x＞－1，得x＋1＞0.又因為k＞1，x≠0，所以kx2＞0.于是Sk＋1＝(1＋x)k+1－1＝(1＋x)k(1＋x)－1＞(1＋kx)(1＋x)－1＝kx2＋(k＋1)x＞(k＋1)x.所以，當n＝k＋1時，猜想也成立．由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx對任何大于1的正整數n都成立．

[思路引導]按照數學歸納法的步驟證明，由n＝k到n＝k＋1的推證過程可應用放縮技巧，使問題簡單化．

反思領悟

用數學歸納法證明不等式的關鍵點用數學歸納法證明不等式往往比證明恒等式難度更大一些，方法更靈活些，用數學歸納法證明的第二步，即已知f(k)＞g(k)，求證f(k＋1)＞g(k＋1)時應注意靈活運用證明不等式的一般方法(比較法、分析法、綜合法)．具體證明過程中要注意以下兩點：(1)先湊假設，作等價變換；(2)瞄準當n＝k＋1時的遞推目標，有目的地放縮、分析直到湊出結論．

探究4歸納—猜想—證明【鏈接·教材例題】例3已知數列{an}滿足a1＝0，2an＋1－anan＋1＝1(n∈N*)，試猜想數列{an}的通項公式，并用數學歸納法加以證明．

[典例講評]

3．數列{an}中，a1＝1，Sn為數列{an}的前n項和，且Sn，Sn＋1，2S1成等差數列．(1)計算S1，S2，S3的值；(2)根據以上計算結果猜測Sn的表達式，并用數學歸納法證明你的猜想．

反思領悟

“歸納—猜想—證明”的一般步驟

【教用·備選題】

(源自北師大版教材)用數學歸納法證明：x2n－y2n能被x＋y整除(n∈N*)．[證明]

(1)當n＝1時，x2－y2＝(x＋y)(x－y)．故x2－y2能被x＋y整除，命題成立．(2)假設當n＝k(k≥1)時，x2k－y2k能被x＋y整除．那么，當n＝k＋1時，x2k+2－y2k+2＝x2x2k－y2y2k. *把x2k＝(xk＋yk)(xk－yk)＋y2k，代入*得x2k+2－y2k+2＝x2(xk＋yk)·(xk－yk)＋x2y2k－y2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)，由假設知x2k－y2k能被x＋y整除，x2－y2能被x＋y整除，故x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．所以當n＝k＋1時，命題成立．綜上，對于n∈N*，原命題成立．

243題號1應用遷移√

C

[當n＝1時，左邊＝1＋a＋a1+1＝1＋a＋a2.]23題號14

√23題號14C

[根據等式左邊的特點，各數是先遞增再遞減，當n＝k時，左邊＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，①當n＝k＋1時，左邊＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，②所以②－①得，等式左邊應添加的式子是(k＋1)2＋k2.]23題號41√3．某個命題與自然數n有關，若n＝k(k∈N*)時命題成立，那么可推得當n＝k＋1時該命題也成立，現已知n＝5時，該命題不成立，那么可以推得(

)A．n＝6時該命題不成立

B．n＝6時該命題成立C．n＝4時該命題不成立

D．n＝4時該命題成立C

[假設n＝4時該命題成立，由題意可得n＝5時，該命題成立，而n