第1章有理數（單元測試·培優卷）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1．中國是最早采用正負數表示相反意義的量，并進行負數運算的國家．若零上2℃記作+2℃，則零下14℃

可記作()

A．14℃B．14C．-14℃D．-14

2．下列是數的分類，正確的是（）

A．B．C．D．

3．下列四個數軸的畫法中，規范的是()

A．B．

C．D．

4．實數a在數軸上的位置如圖所示，若a>2，則下列說法不正確的是（）

A．a的相反數大于2B．-a<2

C．a-2=2-aD．a<-2

5．在數軸上，點A，B在原點O的兩側，分別表示數a，2，將點A向右平移2個單位長度，得到點

C．若點C到A、B兩個點的距離相等，則a的值為（）

A．0B．-1C．-2D．1

6．有理數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，則下列各式正確的是（）

A．a>bB．-ab<0C．|a|<|b|D．a+b<0

7．下列說法正確的是（）

A．最小的正整數是0B．-a是負數

C．符號不同的兩個數互為相反數D．-a的相反數是a

8．如圖，將實數a、b表示在數軸上，則下列等式成立的是（）

第１頁共17頁.

A．a=aB．b=-bC．b-a=b-aD．a+b=a+b

9．“坎寧安數”是以英國數學家坎寧安的名字命名的，能寫成an±1形式的數字，2024是一個坎寧安數，因

為2024=452-1．下列各數中均含有“2024”，其中最小的是（）

11

A．2024B．-2024C．D．-

20242024

10．如圖，數軸上順次有A、B、D、E、P、C六個點，且任意相鄰兩點之間的距離都相等，點A、B、C

對應的數分別為a、b、c，下列說法：①若a+b+c=0，則D是原點；②若c>a>b，則原點在B、D

之間；③若c-b=8，則a-b=-2；④若原點在D、E之間，則|a+b|<2c，其中正確的結論有（）

A．①②③B．①③C．③④D．①③④

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11．綿陽冬季某日的最高氣溫是3℃，最低氣溫為-1℃，那么當天的溫差是℃．

1

12．在-4，-1，0，-3.2，-0.5，5，-1，2.4中，若負數共有M個，正數共有N個，則M-N=．

2

13．a+2和b-3互為相反數，那么a+b=．

14．a,b兩數在數軸上的位置如圖所示，則b-a（用“<”“>”“=”填空）．

15．數軸上A，B兩點的距離為6，且A，B所表示的數互為相反數，B在A的右側，則點B所表示的數

為．

16．已知在數軸上有三點A，B，C，點A表示的數為a，點B表示的數為b，且a、b滿足

2

a+3+b-1=0．沿A，B，C三點中的一點折疊數軸，若另外兩點互相重合，則點C表示的數是．

17．善于反思的小聰在學習了有理數及其運算后，進行了如下總結與反思請你仔細閱讀并補全小聰的探究

過程．

[典例再現]|3|＝3，|﹣3|＝3，22＝4，（﹣2）2＝4；

[總結歸納]

（1）觀察上述例題，發現結論：

①互為相反數的兩個數的絕對值；

②；

[知識應用]

第２頁共17頁.

（2）已知|x|＝7，y2＝9，則x＝，y＝，若x＜y，則x﹣y＝．

18．如圖，數軸上點A和點B表示的數分別是3和-6，動點P從B點出發，以每秒1個單位長度的速度向

左勻速移動，動點Q同時從A點出發，以每秒2個單位長度的速度向左勻速移動．設移動時間為t秒，當

動點Q到點B的距離等于動點P到點B的距離時，t的值為．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19．（8分）把下列各數填在相應的集合中：

31320

8，-1，-0.4，，0，，，-(-5)，--．

5377

正數集合{…}；負數集合{…}；

整數集合{…}；分數集合{…}；

非負有理數集合{…}．

20．（8分）把下列各數表示在數軸上，然后把這些數按從大到小的順序用“>”連接起來．

13?1?

0，1，-3，--0.5，--，+?-4÷．

24è3?

21．（10分）有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示．

（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：

a+b______0，c-a______0，b+2______0．

（2）化簡：a+b+2c-a-b+2．

第３頁共17頁.

22．（10分）如圖，數軸上A、B兩點表示的數分別是-1和3，將這兩點在數軸上以相同的速度同時相向

運動，若A、B分別到達M、N兩點，且滿足MN=kAB（k為正整數），我們稱A、B兩點完成了一次“準

相向運動”．

（1）A、B兩點之間的距離為

（2）若A、B兩點完成了一次“準相向運動”．

①當k=2時，M、N兩點表示的數分別為，；

②當k為任意正整數時，求M、N兩點表示的數（用含字母k的式子表示）．

23．（10分）“數形結合”是一種非常重要的數學思想，它可以把抽象的數量關系與直觀的幾何圖形結合起

來解決問題．

探究：方程x-1=2，可以用兩種方法求解，將探究過程補充完整．

方法一、當x-1>0時，x-1=x-1=2；

當x-1￡0時，

x-1=___________=2．

方法二、x-1=2的意義是數軸上表示x的點與表示___________的點之間的距離是2．

上述兩種方法，都可以求得方程x-1=2的解是___________．

應用：根據探究中的方法，求得方程x-1+x+3=9的解是__________．

1

拓展：方程x-1--x-3=的解是___________．

2

第４頁共17頁.

24．（12分）數軸是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形完美結合．通過研究數軸，我們發

現了許多重要的規律，比如：數軸上點A和點B表示的數為a，b，則A，B兩點之間的距離AB=a-b，

若a>b，則可化簡為AB=a-b．若a<b，則可化簡為AB=b-a，請你利用數軸解決以下問題：

（1）已知點P為數軸上任一動點，點P對應的數記為m，若點P與表示有理數-2的點的距離是2.5個單

位長度，則m的值為______；

（2）已知點P為數軸上任一動點，點P對應的數記為m，若數軸上點P位于表示-5的點與表示2的點之

間，則m-2+m+5=______；

（3）已知點A，B，C，D在數軸上分別表示數a，b，c，d，四個點在數軸上的位置如圖所示，若

a-d=12，b-d=7，a-c=9，則b-c等于______．

（4）已知點A，B，C，D，E在數軸上分別表示數分別為：-3，-4，9，-16，25，一動點Q從原點O

出發，沿數軸以每秒鐘2個單位長度的速度來回移動，其移動方式是先向右移動1個單位長度，再向左移

動2個單位長度，又向右移動3個單位長度，再向左移動4個單位長度，又向右移動5個單位長度……

①求Q點運動多少秒鐘后所處的位置到點A、B、C、D、E各點距離之和最短？

②動點Q能不能在運動過程中同時經過這5個點A、B、C、D、E，若能求出從出發到都經過這5個點的

最短時間，若不能說明理由．

第５頁共17頁.

參考答案：

1．C

【分析】本題考查正數和負數，正數和負數是一組具有相反意義的量，據此即可求得答案．

【詳解】解：零上2°C記作+2°C，則零下14°C可記作-14°C，

故選：C．

2．A

【分析】按照有理數、整數、分數的概念進行判斷即可得出答案．

【詳解】解：有理數可分為整數和分數，故A選項正確，符合題意；

整數可分為：正整數，0，負整數，故B選項錯誤，不符合題意；

分數可分為：正分數，負分數，故C選項錯誤，不符合題意；

有理數可分為整數和分數，故D選項錯誤，不符合題意；

故選：A．

【點撥】本題考查了有理數和無理數的定義，以及有理數的分類，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識．

3．C

【分析】根據數軸的三要素判斷即可．

【詳解】解：數軸是規定了原點、正方向、單位長度的直線，

選項A的數軸單位長度不一致，因此選項A不正確；

選項B的數軸無原點，因此選項B不正確；

選項C符合數軸的意義，正確；

選項D的數軸沒有正方向，因此選項D不正確；

故選：C．

【點撥】此題主要考查數軸的意義，掌握數軸的三要素是正確判斷的前提．

4．B

【分析】本題考查數軸上點表示的數，解題的關鍵是數形結合，得到a<-2．

由圖得a<0，且a>2，可知a<-2，然后逐項判斷即可．

【詳解】解：由圖得a<0，且a>2，

∴a<-2，D正確，不符合題意；

∴a的相反數大于2，故A正確，不符合題意；

a的相反數大于2即是-a>2，故B不正確，符合題意；

第６頁共17頁.

∵a<-2，

∴a-2<0，

∴a-2=2-a，故C正確，不符合題意；

故選：B．

5．C

【分析】此題考查了數軸上點的移動，由題意得點A表示數為a，點B表示數為2，點C表示數為a+2，熟

知數軸上兩點間的距離公式是解題的關鍵．

【詳解】解：由題意得點C表示的數為a+2，

∵點C到A、B兩個點的距離相等，

a+2

∴=a+2，

2

解得：a=-2，

故選：C．

6．D

【分析】本題考查了數軸上表示有理數以及根據點在數軸的位置判斷式子的正負，越在數軸的右邊的數越

大，據此逐項分析，即可作答．

【詳解】解：根據圖示，可得：-2<a<-1，0<b<1，

\a<b，

Qa<b，

\選項A不符合題意；

Qa<0，b>0，

\-ab>0，

\選項B不符合題意；

Q-2<a<-1，0<b<1，

\1<|a|<2，0<|b|<1，

\|a|>|b|，

\選項C不符合題意；

Q-2<a<-1，0<b<1，

\a+b<0，

第７頁共17頁.

\選項D符合題意．

故選：D．

7．D

【分析】根據有理數、相反數的性質逐項分析判斷即可．

【詳解】解：A、最小的正整數是1，故該選項說法錯誤，不符合題意；

B、-a不一定是負數，例如：-(-5)=5，是正數，故該選項說法錯誤，不符合題意；

C、只有符號不同的兩個數互為相反數，故該選項說法錯誤，不符合題意；

D、-a的相反數是-(-a)=a，故該選項說法正確，符合題意．

故選：D．

【點撥】本題主要考查了有理數、相反數等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵．

8．C

【分析】本題考查數軸上點的特點；熟練掌握絕對值的意義和數軸上點的特征是解題的關鍵．

a＜0，b＞0，a>b,則b-a>0，a+b＜0，；結合選項即可求解.

【詳解】解：從圖可知a＜0，b＞0，a>b

∴b-a>0，a+b＜0，a=-a，b=b,故A、B錯誤；

∴b-a=b-a,a+b=-a-b，故C正確，D錯誤，

故選C．

9．D

【詳解】此題考查的是有理數的比較大小及絕對值的概念，熟練掌握有理數大小比較方法是解題的關鍵；

根據有理數的比較大小，即可找出最小的數.

11

解：∵-2024=2014，>0，-<0，

20242024

11

\-<<2014=-2024

20242024

1

\最小的數是-.

2024

故選：D.

10．B

【分析】設相鄰兩點之間的距離為x，則b=a+x，c=a+5x，①原式變形可得a+2x=0，①正確；②由

數軸知，c>0，a<0，若b>0，則原點在B、A之間；故②錯誤；③若c-b=8，則x=2，③正確；④

第８頁共17頁.

若原點在D、E之間，則a<b<0，可得-3x<a<-2x，|a+b|-2c=-(a+b)-2c=-4a-11x，可判斷

-3x<-4a-11x<x.即|a+b|-2c=-(a+b)-2c取值不一定小于0，故④錯誤；

【詳解】解：設相鄰兩點之間的距離為x，則b=a+x，c=a+5x，

①若a+b+c=0，則a+a+x+a+5x=0，

∴a+2x=0，即點D是原點，①正確；

②若c>a>b，由數軸知，c>b>a，

∴c>0，a<0，

若b>0，則原點在B、A之間；故②錯誤；

③若c-b=8，則a+5x-(a+x)=8，x=2，

∴a-b=a-(a+x)=-x=-2，故③正確；

④若原點在D、E之間，則a<b<0，

a+2x<0，a+3x>0

∴-3x<a<-2x.

∴|a+b|-2c=-(a+b)-2c=-(a+a+x)-2(a+5x)=-4a-11x

∴-3x<-4a-11x<x.可知|a+b|-2c=-(a+b)-2c取值不一定小于0，

∴|a+b|<2c不一定成立，故④錯誤；

故選：B．

【點撥】本題主要考查數軸比較實數大小，數軸表示數，絕對值的化簡，不等式的性質，運用數形結合思

想是解題的關鍵．

11．4

【分析】求該日的溫差就是作減法，用最高氣溫減去最低氣溫，列式計算．

【詳解】解：3-（-1）=4（℃）

答：當天的溫差是4℃．

故答案為4．

【點撥】本題主要考查了有理數的減法的應用，注意符號不要搞錯．

12．3

【分析】根據大于0的數是正數，小于零的數是負數，可得答案．

11

【詳解】解：在-4，-1，0，-3.2，-0.5，5，-1，2.4中，正數有5，2.4共2個，負數有-4，-1，

22

第９頁共17頁.

-3.2，-0.5，-1共5個，

\M=5，N=2，

\M-N=5-2=3．

故答案為：3．

【點撥】本題考查了正數和負數，小于0的數是負數，注意帶負號的數不一定是負數，注意，0不是正數，

也不是負數．

13．1

【分析】根據互為相反數的兩個數的和等于0列式計算即可得解．

【詳解】解：由題意得：a+2+b-3=0，

∴a+b=1，

故答案為：1．

【點撥】本題考查了相反數的定義，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵．

14．>

【分析】本題主要考查數軸上比較大小，熟練掌握數軸的性質是解題的關鍵．根據數軸上比較大小即可得

到答案．

【詳解】解：根據在數軸的位置可知，b>-a，

故答案為：>．

15．3

【分析】本題考查了相反數定義和數軸，掌握相反數對應的點在數軸的兩側，到原點的距離相等是解題的

關鍵．

數軸上互為相反數的兩點在原點的兩側，并且到原點的距離相等，以及B在A的右側，即可求解．

【詳解】Q點表示互為相反數的兩個數，B在A的右側，并且這兩點的距離為6，

\這兩個數一個為3，另一個則為-3，

QB在A的右側，

\點B表示的數為3．

故答案為：3．

16．-7或-1或5

【分析】本題考查了數軸上的兩點之間的距離，偶次方和絕對值的非負性，熟練掌握相關概念是解題的關

鍵．先根據偶次方和絕對值的非負性，可得a和b的值，再按照三種情況分類討論：①若沿點A折疊，點B

第１０頁共17頁.

與點C重合，②若沿點B折疊，點A與點C重合，③若沿點C折疊，點B與點A重合，分別求得點C表示

的數即可．

2

【詳解】解：∵a+32+b-1=0，且a+330，b-130，

∴a+3=0，b-1=0，

∴a=-3，b=1；

①若沿點A折疊，點B與點C重合，

∵AB=1--3=4，

∴點C表示的數為：-3-4=-7；

②若沿點B折疊，點A與點C重合，

∵AB=4，

∴點C表示的數為：1+4=5；

③若沿點C折疊，點B與點A重合，

∵AB=4，

∴AC=BC=2，

點C表示的數為：1-2=-1；

故答案為：-7或-1或5．

17．（1）①相等；②互為相反數的兩個數的平方相等；（2）±7，±3，-10或-4

【分析】（1）①根據絕對值的運算性質即可判斷；

②根據運算的規律，觀察得出相應結論；

（2）根據（1）中的總結歸納及分類討論的思想即可求解．

【詳解】解：（1）①相等；

理由：正數的絕對值是本身，負數的絕對值是其相反數，0的絕對值是本身；

②互為相反數的兩個數的平方相等；

理由：根據平方的非負性即可得出結論；

故答案為：相等，互為相反數的兩個數的平方相等；

（2）Q|x|=7，

由（1）知：|-7|=7,|7|=7，

\x=±7；

第１１頁共17頁.

2

Qy=9，

由（1）知：32=9,(-3)2=9，

\y=±3，

若x<y，

當x=-7,y=-3，

x-y=-7-(-3)=-4，

當x=-7,y=3，

x-y=-7-3=-10，

故答案為：±7，±3，-10或-4．

【點撥】本題考查了絕對值、平方、相反數，解題的關鍵是讀懂材料信息，利用分類討論的思想進行求解．

18．3或9/9或3

【分析】此題考查了數軸上動點問題，數軸上兩點之間的距離，一元一次方程的應用，正確理解數軸上兩

點之間的距離是解題的關鍵．點P表示的數為-6-t，點Q表示的數為3-2t，可得點Q到點B的距離為

3-2t--6=9-2t，點P到點B的距離為t，列方程即可解答．

【詳解】解：根據題意，點P表示的數為-6-t，點Q表示的數為3-2t，

QB表示的數是-6，

\點Q到點B的距離為3-2t--6=9-2t，點P到點B的距離為t，

\9-2t=t，

解得：t=9或t=3，

故答案為：3或9．

3132031320

19．8，，，，-(-5)；-1，-0.4，--；8，-1，0，-(-5)；-0.4，，，，--；

53775377

313

8，，0，，，-(-5)；

537

【分析】本題考查有理數的分類，根據有理數的定義直接逐個分類即可得到答案；

【詳解】解：由題意可得，

313

正數集合{8，，，，-(-5)}；

537

20

負數集合{-1，-0.4，--}；

7

整數集合{8，-1，0，-(-5)}；

第１２頁共17頁.

31320

分數集合{-0.4，，，，--}；

5377

313

非負有理數集合{8，，0，，，-(-5)}．

537

13?1?

20．1>--0.5>0>-->-3>+?-4÷，數軸見解析

24è3?

【分析】此題綜合考查了數軸上的有理數，利用數軸比較有理數的大小，化簡多重符號，用幾何方法借助

數軸來求解，非常直觀，且不容易遺漏，體現了數形結合的優點，首先把這幾個數在數軸上表示出來，再

根據數軸上的數右邊的數總是大于左邊的數，即可從大到小的順序用“>”號連接起來．

33?1?1

【詳解】解：--0.5=0.5，--=-，+?-4÷=-4，

44è3?3

數軸，如圖所示：

根據數軸的特點把這些數按從大到小的順序用“>”連接起來為：

13?1?

1>--0.5>0>-->-3>+?-4÷．

24è3?

21．(1)>，<，>

(2)3a-2c-2

【分析】本題主要考查了利用數軸確定代數式的正負、絕對值的化簡等知識點，掌握利用數軸確定代數式

的正負成為解題的關鍵．

（1）先根據數軸取得a、b、c的大小關系，然后再確定所求代數式的正負即可；

（2）根據（1）所的代數式的正負取絕對值，然后再合并同類項即可．

【詳解】（1）解：由數軸可得：-2<b<c<0<2<a，

則a+b>0,c-a<0,b+2>0．

故答案為：>，<，>．

（2）解：∵a+b>0,c-a<0,b+2>0，

∴a+b+2c-a-b+2

=a+b-2c-a-b+2

=a+b-2c+2a-b-2

=3a-2c-2．

第１３頁共17頁.

22．(1)4；

(2)①5，-3；②2k+1，1-2k．

【分析】本題考查了數軸上兩點之間的距離公式，數軸上的點表示有理數，根據題意得出BM=AN是解題

關鍵．

（1）根據數軸上兩點之間的距離公式即可求解；

（2）①由題意可知，MN=8，再根據兩點間距離公式，得出BM=AN=MN-AB?2=2，即可得出答

案；

②同①理可得，BM=AN=MN-AB?2，進而得出BM=AN=2k-2，即可得出答案．

【詳解】（1）解：QA、B兩點表示的數分別是-1和3，

\AB之間的距離為3--1=4，

故答案為：4；

（2）解：①QMN=kAB

\當k=2時，MN=2′4=8，

Q兩點在數軸上以相同的速度同時相向運動，

\AM=BN，

QAM=AB+BM，BN=AB+AN，

\BM=AN，

\BM=AN=MN-AB?2=2，

\M表示的數為3+2=5，N表示的數為-1-2=-3，

故答案為：5；-3；

②同①理可得，BM=AN=MN-AB?2，

QMN=kAB=4k，

\BM=AN=4k-4?2=2k-2，

\M點表示的數為3+2k-2=2k+1，N點表示的數為-1-2k-2=1-2k．

5

23．探究：1-x、1、x=3或x=-1；應用：x=-5.5或x=3.5；拓展：x=-

4

【分析】本題考查了絕對值的意義，解絕對值方程，數軸上兩點之間的距離．熟練掌握絕對值的意義，解

第１４頁共17頁.

絕對值方程，數軸上兩點之間的距離是解題的關鍵．

探究：根據題意化簡絕對值，利用絕對值的意義進行作答即可；

應用：由x-1+x+3=9的意義是數軸上表示x的點與表示1和-3兩點之間的距離和為9，表示1和-3兩點

之間的距離為4，可知表示x的點在-3左側，或在1右側；分當x<-3時，當x>1時，解絕對值方程即可；

11

拓展：由題意知，x-1--x-3=，整理得x-1-x+3=，分當x+3<0時，當x-1>0時，當

22

0￡x+3，x-1￡0時，三種情況解絕對值方程即可．

【詳解】探究：解：由題意知，當x-1>0時，x-1=x-1=2，

解得，x=3；

當x-1￡0時，x-1=1-x=2，

解得，x=-1；

x-1=2的意義是數軸上表示x的點與表示1的點之間的距離是2，

上述兩種方法，都可以求得方程x-1=2的解是x=3或x=-1；

故答案為：1-x、1、x=3或x=-1．

應用：解：x-1+x+3=9的意義是數軸上表示x的點與表示1和-3兩點之間的距離和為9，

∵表示1和-3兩點之間的距離為4，

∴表示x的點在-3左側，或在1右側；

當x<-3時，x-1+x+3=1-x-x-3=9，

解得，x=-5.5；

當x>1時，x-1+x+3=x-1+x+3=9，

解得，x=3.5；

綜上所述，x=-5.5或x=3.5；

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拓展：解：x-1--x-3=，

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∴x-1-x+3=，

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當x+3<0時，x-1-x+3=1-x+x+3=41，無解；

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當x-1>0時，x-1-x+3=x-1-x-3=-41，無解；

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當0￡x+3，x-1￡0時，x-1-x+3=1-x-x-3=，