第三部分函數

專題06平面直角坐標系（4大考點）

核心考點一平面直角坐標系中點的坐標特征

核心考點二函數及其自變量的取值范圍

核心考點

核心考點三實際問題中分析、判斷函數圖象

核心考點四幾何問題中分析、判斷函數圖象

新題速遞

核心考點一平面直角坐標系中點的坐標特征

例1（2022·江蘇蘇州·統考中考真題）如圖，點A的坐標為0,2，點B是x軸正半軸上的一點，將線段

AB繞點A按逆時針方向旋轉60°得到線段AC．若點C的坐標為m,3，則m的值為（）

4322153421

A．B．C．D．

3333

【答案】C

【分析】過C作CD⊥x軸于D，CE⊥y軸于E，根據將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉60°得到線段AC，

可得△ABC是等邊三角形，又A（0，2），C（m，3），即得ACm21BCAB，可得

53

BDBC2CD2m28，OBAB2OA2m23，從而m23m28m，即可解得m．

3

【詳解】解：過C作CD⊥x軸于D，CE⊥y軸于E，如圖所示：

第1頁共69頁.

∵CD⊥x軸，CE⊥y軸，

∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，

∴四邊形EODC是矩形，

∵將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉60°得到線段AC，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC，

∵A（0，2），C（m，3），

∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，

∴AE＝OE?OA＝CD?OA＝1，

∴ACAE2CE2m21BCAB，

在Rt△BCD中，BDBC2CD2m28，

在Rt△AOB中，OBAB2OA2m23，

∵OB＋BD＝OD＝m，

∴m23m28m，

化簡變形得：3m4?22m2?25＝0，

5353

解得：m或m（舍去），

33

53

∴m，故C正確．

3

故選：C．

【點睛】本題考查直角坐標系中的旋轉變換，解題的關鍵是熟練應用勾股定理，用含m的代數式表示相關

第2頁共69頁.

線段的長度．

例2（2022·湖北荊門·統考中考真題）如圖，過原點的兩條直線分別為l1：y＝2x，l2：y＝﹣x，過點A（1，

0）作x軸的垂線與l1交于點A1，過點A1作y軸的垂線與l2交于點A2，過點A2作x軸的垂線與l1交于點A3，

過點A3作y軸的垂線與l2交于點A4，過點A4作x軸的垂線與l1交于點A5，?，依次進行下去，則點A20的

坐標為_____．

【答案】（210，﹣210）

【分析】首先把x＝1代入l1：y＝2x，可得點A1的坐標為（1，2），把y=2代入l2：y＝﹣x，可得點A2的坐

標為（﹣2，2），據此即可求得A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9的坐標，即可找到規律，據此即可求得．

【詳解】解：當x＝1時，y＝2，

∴點A1的坐標為（1，2）；

當y＝﹣x＝2時，x＝﹣2，

∴點A2的坐標為（﹣2，2）；

同理可得：A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），A6（﹣8，8），A7（﹣8，﹣16），A8（16，﹣16），

A9（16，32），…，

22+12+12+1

∴A4n+1（2n，2n），A4n+2（﹣2n，2n），

2+12+22+22+2

A4n+3（﹣2n，﹣2n），A4n+4（2n，﹣2n）（n為自然數）．

∵20＝4×4+4，

2×4+22×4+21010

∴點A20的坐標為（2，﹣2），即（2，﹣2）．

故答案為：（210，﹣210）．

【點睛】本題考查了坐標與圖形，坐標的規律，根據函數圖象找到坐標規律是解決本題的關鍵．

第3頁共69頁.

例3（2022·廣西桂林·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，形如英文字母“V”的圖形三個端點的

坐標分別是A(2，3)，B(1，0)，C(0，3)．

(1)畫出“V”字圖形向左平移2個單位后的圖形；

(2)畫出原“V”字圖形關于x軸對稱的圖形；

(3)所得圖形與原圖形結合起來，你能從中看出什么英文字母？（任意答一個即可）

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)圖1是W，圖2是X

【分析】（1）根據要求直接平移即可；

（2）在第四象限畫出關于x軸對稱的圖形；

（3）觀察圖形可得結論．

（1）

解：如圖所示，將點A(2，3)，B(1，0)，C(0，3)得A(0,3)，B(1,0)，C(2,3)，

第4頁共69頁.

（2）

解：如圖所示，

（3）

解：圖1是W，圖2是X．

【點睛】本題考查了對稱的性質和平移，解題關鍵是牢固掌握關于坐標軸對稱的點的坐標的特征并能靈活

運用．

知識點：平面直角坐標系中點的坐標特征

1、各象限內點的坐標特征

第5頁共69頁.

點P(x,y)在第一象限x0,y0

點P(x,y)在第二象限x0,y0

點P(x,y)在第三象限x0,y0

點P(x,y)在第四象限x0,y0

2、坐標軸上的點的特征

點P(x,y)在x軸上縱坐標為0，即y0

點P(x,y)在y軸上橫坐標為0，即x0

點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上原點（0，0）

5、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征

點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上橫縱坐標相等，即（xy）

點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上橫縱坐標互為相反數，即（xy）

注意：坐標軸上的點不屬于任何象限。

6、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征

位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同。

位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。

7、點到坐標軸及原點的距離

（1）點P(a,b)到x軸的距離等于b

（2）點P(a,b)到y軸的距離等于a

（3）點P(a,b)到原點的距離等于a2b2

8、關于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特征

點P（a，b）與關于x軸對稱點的坐標為（a，-b）

點P（a，b）與關于y軸對稱點的坐標為（-a，b）

點P（a，b）與關于原點對稱點的坐標為（-a，-b）

口訣：關于誰對稱，誰不變，另一個變號，關于原點對稱都變號

9、點的平移

第6頁共69頁.

點P（a，b）沿x軸向右（或向左）平移m個單位后對應點的坐標是am,b；

點P（a，b）沿y軸向上（或向下）平移n個單位后對應點的坐標是a,bn.

口訣：橫坐標右加左減，縱坐標上加下減.

10、兩點間的距離：

在x軸或平行于x軸的直線上的兩點P1(x1,y)，P2(x2,y)間的距離為x1x2

在y軸或平行于y軸的直線上的兩點P1(x,y1)，P2(x,y2)間的距離為y1y2

xxyy

任意兩點P(x,y)，P(x,y)，則線段PP的中點坐標為12,12

1112221222

22

任意兩點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，則線段P1P2x1x2y1y2

【變式1】（2022·山西·山西實驗中學校考模擬預測）如圖，A，B兩點的坐標分別為2,0，3,0，點C在

y軸正半軸上，且ACB45，則點C的坐標為（）

A．0,7B．0,210C．0,6D．0,35

【答案】C

【分析】在x軸的上方作等腰直角ABF，FBFA，BAF90，以F為圓心，FA為半徑作圓O交y

15

軸于M，利用圓周角定理得出點C即為點M，再由等腰三角形的性質及坐標與圖形得出F,，根據余

22

52

弦函數確定FAFBFCcos45AB，最后由點的坐標及勾股定理求解即可．

2

【詳解】解：在x軸的上方作等腰直角ABF，FBFA，BFA90，以F為圓心，FA為半徑作圓O

第7頁共69頁.

交y軸于M，

1

∵ACBAFB45，

2

∴點C即為點M，

∵A2,0，B3,0，ABF是等腰直角三角形，

∴AB5，

551

∴點F的縱坐標為y，橫坐標為x2，

F2F22

15

∴F,，

22

52

∴FAFBFCcos45AB，

2

設C0，m，

2

22

則1552，

m

222

解得m6或1（舍棄），

∴C0,6，

故選：C．

【點睛】本題考查圓周角定理，坐標與圖形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用輔助圓解決問題，屬于

中考常考題型．

【變式2】（2022·天津紅橋·統考三模）如圖，將正方形ABCD放在平面直角坐標系中，O是坐標原點，頂

點C，D在第一象限，若點A0,2，點B3,0，則點C的坐標為（）．

第8頁共69頁.

A．（2，3）B．（2，5）C．（5，2）D．（5，3）

【答案】D

【分析】過點C作CE⊥x軸，垂足為E，證明AOB≌BEC，得到BE=AO，EC=OB，計算OE的長即可．

【詳解】如圖，過點C作CE⊥x軸，垂足為E△．△

∵四邊形ABCD是正方形，點A（0，2），B（3，0），

∴AB=BC，∠ABC=90°，AO=2，OB=3，

∴∠AOB=∠BEC=90°，∠ABO=∠BCE=90°-∠CBE，

∴AOB≌BEC，

∴B△E=AO=2△，EC=OB=3，

∴OE=OB+BE=2+3=5，

∴點C（5，3），

故選：D．

【點睛】本題考查了正方形的性質，三角形全等的判定和性質，線段與坐標的關系，熟練掌握正方形的性

質，準確理解線段與坐標的關系是解題的關鍵．

【變式3】（2022·新疆烏魯木齊·統考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知A(2,1)，B(1,4)，C(1,1)，

將ABC先向右平移3個單位長度得到△A1B1C1（點A，B，C的對應點分別是A1，B1，C1)，再繞C1順時

針方向旋轉90得到△A2B2C1，則A2的坐標是___．

第9頁共69頁.

【答案】(2,2)

【分析】根據題意，畫出圖形，可得結論．

【詳解】解：如圖，觀察圖象可知A2(2,2)．

故答案為：(2,2)．

【點睛】本題考查坐標與圖形變化-旋轉，平移等知識，解題的關鍵是正確作出圖形，屬于中考常考題型．

【變式4】（2022·貴州遵義·校考三模）在平面直角坐標系中，若干個邊長為1個單位長度的等邊三角形，

按下圖中的規律擺放．點P從原點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿著等邊三角形的邊

“OA1A1A2A2A3A3A4A4A5……”的路線運動．設第n秒運動到點Pn（n為正整數），則點P2023的坐

標是_______________．

第10頁共69頁.

3

【答案】1011.5,

2

333135

【分析】每6個點的縱坐標規律：，0，，0，，0，點的橫坐標規律：，1，，2，，

222222

n

3，…，，即可求解．

2

【詳解】解：如圖，過A1作A1Hx軸于H，則OA1H30，而OA11，

2

1

∴OH，213，

A1H1

222

333

∴每6秒的縱坐標規律：，0，，0，，0，

222

∵20236337余1，

3

∴點P2023的縱坐標為，

2

135n

由題意可知動點P每秒的橫坐標規律：，1，，2，，3，…，，

2222

∴點P2023的橫坐標為1011.5，

3

∴點的坐標，

P20231011.5,

2

第11頁共69頁.

3

故答案為1011.5,．

2

【點睛】本題考查點的規律；理解題意，根據所給圖形的特點，結合平面直角坐標系中點的特點及正三角

形邊的特點，確定點的坐標規律是解題的關鍵．

【變式5】（2022·浙江舟山·校聯考三模）在85的網格中建立如圖的平面直角坐標系，平行四邊形ABCD的

頂點坐標分別為O0,0，A3,4，C5,0．解答下列問題：

(1)點B坐標為；

(2)僅用無刻度的直尺在給定網格中按下列步驟完成畫圖，

①將線段CB繞點C逆時針旋轉90°，畫出對應線段CD；

②在線段AB上畫點E，使BCE45．（保留畫圖過程的痕跡）

【答案】(1)8,4

(2)①見解析；②見解析

【分析】（1）利用第一象限點的坐標特征寫出B點坐標；

（2）①利用網格特點和旋轉的性質，畫出B點的對應點D即可；

②連接BD，則BCD90，CBCD，再取格點G、F，連接GF交BD于P，則P點為BD的中點，所以

CP平分BCD，延長CP交AB于E點，則E點滿足條件．

【詳解】（1）解：（1）點B的坐標為8,4,

故答案為：8,4

（2）解：①如圖，CD為所作；

第12頁共69頁.

②如圖，E點為所作．

【點睛】本題考查了作圖﹣旋轉變換、平行四邊形性質、等腰三角形判定與性質、矩形的性質、三線合一

等知識，熟練掌握圖形的旋轉特征是解題關鍵．

核心考點二函數及其自變量的取值范圍

x1

例1（2022·湖北黃石·統考中考真題）函數y的自變量x的取值范圍是（）

x3x1

A．x3且x1B．x3且x1C．x3D．x3且x1

【答案】B

【分析】直接利用二次根式有意義的條件、分式有意義的條件分析得出答案．

x30

【詳解】解：依題意，

x10

∴x3且x1

故選B

【點睛】此題主要考查了函數自變量的取值范圍，正確掌握二次根式與分式有意義的條件是解題關鍵．

1

例2（2021·四川巴中·統考中考真題）函數y2x中自變量x的取值范圍是___________．

x3

【答案】x≤2且x≠?3

【分析】根據被開方數大于等于0，分母不等于0列式計算即可得解．

【詳解】解：由題意得，2?x≥0且x＋3≠0，

解得x≤2且x≠?3．

故答案為：x≤2且x≠?3．

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【點睛】本題考查了函數自變量的范圍，一般從三個方面考慮：（1）當函數表達式是整式時，自變量可取

全體實數；（2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數表達式是二次根式時，被開

方數非負．

例3（2020·重慶·統考中考真題）探究函數性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數圖象，觀察分

12

析圖象特征，概括函數性質的過程．結合已有的學習經驗，請畫出函數y的圖象并探究該函數的

x22

性質．

x?-4-3-2-101234?

??

y2a-2-4b-4-2122

3113

（1）列表，寫出表中a，b的值：a=____，b=．

描點、連線，在所給的平面直角坐標系中畫出該函數的圖象．

（2）觀察函數圖象，判斷下列關于函數性質的結論是否正確（在答題卡相應位置正確的用“√”作答，錯誤

的用“×”作答）：

12

①函數y的圖象關于y軸對稱；

x22

12

②當x=0時，函數y有最小值，最小值為-6；

x22

③在自變量的取值范圍內函數y的值隨自變量x的增大而減小．

21012210

（3）已知函數yx的圖象如圖所示，結合你所畫的函數圖象，直接寫出不等式x的

33x2233

解集．

12

【答案】（1），6，作圖見解析；（2）①√；②√；③×；（3）x＜-4或-2＜x＜1．

11

第14頁共69頁.

【分析】（1）把對應的x的值代入即可求出a和b的值，通過描點，用平滑的曲線連接，即可作出圖象；

（2）觀察圖象即可判斷；

12210

（3）找出函數y的圖象比函數yx的圖象低時對應的x的范圍即可．

x2233

121212

【詳解】（1）當x3時，a；當x0時，b6；

322112

12

∴a，b6，

11

12

故答案為：，6．

11

所畫圖象，如圖所示．

12

（2）①觀察圖象可知函數y的圖象關于y軸對稱，故該說法正確；

x22

12

②觀察圖象可知，當x=0時，函數y有最小值，最小值為6，故該說法正確；

x22

③觀察圖象可知，當x0時，y隨x的增大而減小，當x0時，y隨x的增大而增大，故該項題干說法錯

誤．

1221012210

（3）不等式x表現在圖象上面即函數y的圖象比函數yx的圖象低，因

x2233x2233

12210

此觀察圖象，即可得到x的解集為：x＜-4或-2＜x＜1．

x2233

【點睛】本題主要考查一次函數的圖象和性質，一次函數與一元一次不等式，會用描點法畫出函數圖象，

利用數形結合的思想得到函數的性質是解題的關鍵．

知識點：函數

第15頁共69頁.

1、常量和變量

在一個變化過程中，我們稱數值發生變化的量為，數值始終不變的量為．

【注意】

①變量和常量是相對而言的，變化過程不同，它們可能發生改變，判斷的前提條件是“在同一

個變化過程中”，當變化過程改變時，同一個量的身份也可能隨之改變．例如，在s=t中，當

s一定時，v、t為變量，s為常量；當t一定時，s、v為變量，而t為常量．

②“常量”是已知數，是指在整個變化過程中保持不變的量，不能認為式中出現的字母就是變

量，如在一個勻速運動中的速度v就是一個常量．

③變量、常量與字母的指數沒有關系，如S=πr2中，變量是“S”和“r”，常量是“π”．

④判斷一個量是不是變量，關鍵是看其數值是否發生變化．

2、函數的定義

一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有

的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數．

例如：在s=60t中，有兩個變量；s與t，當t變化時，s也隨之發生變化，并且對于t在其

取值范圍內的每一個值，s都有唯一確定的值與之對應，我們就稱t是自變量，s是t的函數．

對函數定義的理解，主要抓住以下三點：

①有兩個變量．

②函數不是數，函數的本質是對應，函數關系就是變量之間的對應關系，且是一種特殊的對應

關系，一個變量的數值隨著另一個變量數值的變化而變化．

③函數的定義中包括了對應值的存在性和唯一性兩重意思，即對自變量的每一個確定的值，函

數有且只有一個值與之對應，對自變量x的不同取值，y的值可以相同，如：函數y=x2，當x=1

和x=-1時，y的對應值都是1．

④在某個變化過程中處于主導地位的變量即為自變量，隨之變化且對應值有唯一確定性的另一

個變量即為該自變量的函數.

3、函數取值范圍的確定

使函數有意義的自變量的取值的全體叫做自變量的取值范圍，函數自變量的取值范圍的確定必

須考慮兩個方面：

①不同類型的函數關系式中自變量取值范圍的求解方法；

②當用函數關系式表示實際問題時，自變量的取值不但要使函數關系式有意義，而且還必須使

第16頁共69頁.

實際問題有意義．

函數解析式形式自變量取值范圍

a

含有分式，如yx0

x

含有二次根式，如yxx0

含有零次冪或負整數次冪，如yx0或yx1x0

注：在實際問題中，

x

yx0

x自變量的取值范圍

含有分式與a應使該問題具有實

yx0

二次根式x際意義

a

ya0x0

x

分別求出它們的取值范圍，

含以上兩種或兩種以上形式

再取公共部分

4、函數解析式及函數值

函數解析式：用關于自變量的數學式子表示函數與自變量之間的關系，是描述函數的常用方法，

這種式子叫做函數的解析式．

①函數解析式是等式．

②函數解析式中指明了哪個是自變量，哪個是函數，通常等式右邊的代數式中的變量是自變量，

等式左邊的變量表示函數．

③書寫函數的解析式是有順序的．y=2x-1表示y是x的函數，若x=2y-1，則表示x是y的函

數，即求y關于x的函數解析式時，必須用含x的代數式表示y，也就是等式左邊是一個變量

y，右邊是一個含x的代數式．

④用數學式子表示函數的方法叫做解析式法．

函數值：對于自變量x在取值范圍內的某個確定的值a，函數y所對應的值為b，即當x=a，

y=b時，b叫做自變量x的值為a時的函數值．

第17頁共69頁.

【變式1】（2022·內蒙古鄂爾多斯·統考二模）下列說法正確的個數是（）

①對角線相等的四邊形是矩形

x1

②在函數y中，自變量x的取值范圍是x1

2x3

③菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形

22

④若平均數相同的甲、乙兩組數據，S甲0.3，S乙0.02，則乙組數據更穩定

⑤16的算術平方根是4

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】B

【分析】根據矩形的判定，函數自變量的取值范圍，菱形的性質，方差，算術平方根解答即可．

【詳解】解：①對角線相等的平行四邊形是矩形，原說法錯誤；

x13

②在函數y中，自變量x的取值范圍是x1且x，原說法錯誤；

2x32

③菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，說法正確；

22

④若平均數相同的甲、乙兩組數據，S甲0.3，S乙0.02，則乙組數據更穩定，說法正確；

⑤164，4的算術平方根是2，原說法錯誤；

綜上，正確的有③④，共2個，

故選：B．

【點睛】本題考查了矩形的判定，函數自變量的取值范圍，菱形的性質，方差，算術平方根，熟練掌握各

知識點是解題的關鍵．

2

【變式2】（2021·河南周口·統考二模）已知函數y，其中f(a)表示xa時的函數值，則

1x

111

ffff1f2f2020f2021的值為（）

202120202

A．2020B．2021C．4040D．4041

【答案】D

122

f(a)f()2

【分析】根據題意可得：1，利用這種規律即可求解．

a1a1

a

第18頁共69頁.

122

f(a)f()2

【詳解】解：有題意可得：1，

a1a1

a

111

ffff1f2f2020f2021

202120202

220211

4041

故選：D．

【點睛】本題考查函數值求和問題，解題的關鍵是：通過題意找到多項函數值中兩項之和為常數，然后兩

兩分為一組求和．

1229

【變式3】（2022·廣東佛山·?？既＃┮阎?a1，且滿足[a][a][a]18([x]表示不超

303030

過x的最大整數），則[60a]的值可以為__．

【答案】36或37

1229

【分析】首先理解x表示的含義，再結合0a1得出[a][a][a]中有多少個1，多少個0，

303030

然后求出a的取值范圍，即可求解；

1229

【詳解】0a1，0aaa2，

303030

1229

[a]，[a]，，[a]等于0或1，

303030

1229

[a][a][a]18，

303030

其中有18個1，

1211121329

[a][a][a]0，[a][a][a]1，

303030303030

1112

0[a]1，1?[a]2，

3030

18?30a19，

36?60a38，

[60a]的值可以是36或37，

故答案為：36或37．

【點睛】本題主要考查取整函數的知識點，能夠準確理解題意，得出一定的規律是解題的關鍵．

第19頁共69頁.

x5

【變式4】（2022·江蘇徐州·模擬預測）在函數y中，自變量x的取值范圍是______．

x4

【答案】x≥5

【分析】根據分母不為零和二次根式的非負性計算即可；

【詳解】根據題意可得：x50且x40，

∴x≥5；

故答案是：x≥5．

【點睛】本題主要考查了函數自變量取值范圍，準確計算是解題的關鍵．

【變式5】（2021·甘肅·模擬預測）通過課本上對函數的學習，我們積累了一定的經驗，以下是探究函數y＝

2x3﹣2的圖象和性質的部分過程，請按要求完成下列各題．

x…﹣2﹣10123456…

y…00.831.462.472.903.293.664.00…

(1)函數y＝2x3﹣2中自變量x的取值范圍是；當x＝1時，y＝；

(2)在平面直角坐標系xOy中，根據表中數值（x，y）畫出該函數的圖象；

(3)觀察畫出的圖象，寫出該函數的一條性質：．

【答案】(1)x≥-3；2

(2)圖象見解析

(3)當x≥-3時，y隨x的增大而增大（答案不唯一，合理即可）．

【分析】（1）根據二次根式的非負性可知x取值范圍；把x＝1代入函數解析式可得結論；

（2）根據描點，連線，可得函數圖象；

（3）根據圖象得出一條性質，合理即可，一般從增減性，對稱性入手．

（1）

解：由解析式y＝2x3﹣2，根據二次根式的雙重非負性可知：x+3≥0，

∴x≥-3，

第20頁共69頁.

將x=1帶入解析式y＝2x3﹣2得：y＝213﹣2=2，

故答案為：x≥-3；2

（2）

表中數值（x，y）先描出各點，再順次連接可得出該函數圖像，如圖所示：

（3）

有圖象可知，當x≥-3時，y隨x的增大而增大（答案不唯一，合理即可）．

【點睛】本題主要考查函數的圖象和性質，熟練掌握描點作圖，由圖象得出函數圖象性質是解題的關鍵．

核心考點三實際問題中分析、判斷函數圖象

例1（2022·四川攀枝花·統考中考真題）中國人逢山開路，遇水架橋，靠自己勤勞的雙手創造了世界奇跡．雅

西高速是連接雅安和西昌的高速公路，被國內外專家學者公認為全世界自然環境最惡劣、工程難度最大、

科技含量最高的山區高速公路之一，全長240km．一輛貨車和一輛轎車先后從西昌出發駛向雅安，如圖，

線段OM表示貨車離西昌距離y1(km)與時間x(h)之間的函數關系：折線OABN表示轎車離西昌距離y2(km)

與時間x(h)之間的函數關系，則以下結論錯誤的是（）

第21頁共69頁.

A．貨車出發1.8小時后與轎車相遇

B．貨車從西昌到雅安的速度為60km/h

C．轎車從西昌到雅安的速度為110km/h

D．轎車到雅安20分鐘后，貨車離雅安還有60km

【答案】D

【分析】結合函數圖象，根據時間、速度、路程之間的關系逐項判斷，即可得出答案．

【詳解】解：由題意可知，

貨車從西昌到雅安的速度為：140460(km/h)，故選項B不合題意；

轎車從西昌到雅安的速度為：(24075)(31.5)110(km/h)，故選項C不合題意；

2

轎車從西昌到雅安所用時間為：2401102（小時），

11

299

32（小時），即A點表示h，

111111

設貨車出發x小時后與轎車相遇，根據題意得：

9

60x110x，解得x1.8，

11

貨車出發1.8小時后與轎車相遇，故選項A不合題意；

6020

轎車到雅安20分鐘后，貨車離雅安的距離為：60=40km，故選項D錯誤，符合題意．

60

故選D．

【點睛】本題考查一次函數的實際應用，解題的關鍵是理解題意，能夠從函數圖象中獲取相關信息．

例2（2022·內蒙古赤峰·統考中考真題）已知王強家、體育場、學校在同一直線上，下面的圖像反映的過

程是：某天早晨，王強從家跑步去體育場鍛煉，鍛煉結束后，步行回家吃早餐，飯后騎自行車到學校．圖

中x表示時間，y表示王強離家的距離．則下列結論正確的是_________．（填寫所有正確結論的序號）

①體育場離王強家2.5km

②王強在體育場鍛煉了30min

第22頁共69頁.

③王強吃早餐用了20min

④王強騎自行車的平均速度是0.2km/min

【答案】①③④

【分析】利用圖象信息解決問題即可．

【詳解】解：體育場離張強家2.5km，①正確；

王強在體育場鍛煉了301515min，②錯誤；

王強吃早餐用了876720min，③正確；

3

王強騎自行車的平均速度是0.2km/min，④正確．

10287

故答案為：①③④．

【點睛】此題考查函數的應用，解題的關鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題．

例3（2022·江蘇南通·統考中考真題）某水果店購進甲、乙兩種蘋果的進價分別為8元/kg、12元/kg，

這兩種蘋果的銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的關系如圖所示．

(1)寫出圖中點B表示的實際意義；

(2)分別求甲、乙兩種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數解析式，并寫出x的取

值范圍；

第23頁共69頁.

(3)若不計損耗等因素，當甲、乙兩種蘋果的銷售量均為akg時，它們的利潤和為1500元．求a的值．

【答案】(1)當銷售量為60kg時，甲、乙兩種蘋果的銷售額相等

25x0x30

(2)y20x0x120，y

15x30030＜x120

(3)80

【分析】（1）結合圖象可知：B點表示的意義為：當銷售量為60kg時，甲、乙兩種蘋果的銷售額相等；

（2）利用待定系數法求函數解析式即可；

（3）分別表示出甲的利潤，乙的利潤，再根據甲、乙兩種蘋果的銷售量均為akg時，它們的利潤和為1500

元建立方程求解即可．

【詳解】（1）解：由圖可知：

B表示的實際意義：當銷售量為60kg時，甲、乙兩種蘋果的銷售額相等．

（2）解：由圖可知：ykxb過0,0，60,1200，

設甲種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數解析式為：ykx，

∴60k1200，解得：k20，

∴甲種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數解析式為：y20x0x120；

當0x30時，乙函數圖象過0,0，30,750，

設乙兩種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數解析式為：ymx，利用待定系數

法得：30m750，解得：m25，

∴y25x；

當30＜x120時，乙函數圖象過60,1200，30,750，

設乙兩種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數解析式為：yaxc，利用待定系

30ac750a15

數法得：，解得：，

60ac1200c300

∴y15x300；

綜上所述：乙兩種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數解析式為

25x0x30

y；

15x30030＜x120

第24頁共69頁.

（3）解：甲的利潤為：20x8x12x，

25x12x13x0x30

乙的利潤為：

15x30012x3x30030＜x120

∴當0a30時，

甲乙的利潤和為：12a13a1500，解得a60（舍去）；

當30＜a120時，

甲乙的利潤和為：3a30012a1500，解得a80；

∴當甲、乙兩種蘋果的銷售量均為80kg時，它們的利潤和為1500元．

【點睛】本題考查一次函數圖象的實際應用，解題的關鍵是掌握待定系數法求解析式，結合圖象獲取有用

信息．

知識點、函數的圖象及其畫法

一般地，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐

標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象．

畫函數的圖象，可以運用描點法，其一般步驟如下：

①列表：表中列舉一些自變量的值及其對應的函數值，自變量的取值不應使函數值太大或太小，

以便于描點，點數一般以5到7個為宜．

②描點：在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值

對應的各點．描點時，要注意橫、縱坐標的符號與點所在的象限（或坐標軸）之間的關系，描

出的點大小要適中，位置要準確．

③連線：按照橫坐標由小到大的順序，把所描出的各點用平滑曲線連接起來．

函數的表示方法

函數的表示方法一般有三種：解析式法、列表法和圖象法，表示函數關系時，要根據具體情況

選擇適當的方法，有時為了全面地認識問題，需要幾種方法同時使用．

實際問題中分析、判斷函數的圖象，關鍵在于要結合函數圖象點的實際含義來理解；

第25頁共69頁.

【變式1】（2021·江蘇宿遷·一模）快車從甲地駛往乙地，慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發并且在同一

條公路上勻速行駛．圖中折線表示快、慢兩車之間的路程y（km）與它們的行駛時間x（h）之間的函數關

系．小欣同學結合圖象得出如下結論：①快車途中停留了1.6h；②快車速度比慢車速度多20km/h；③圖中

a＝340．其中正確的是（）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

【答案】D

【分析】根據函數圖像與路程的關系即可求出各車的時間與路程的關系，依次判斷．

【詳解】解：當t=2h時，表示兩車相遇，

880

2-2.5h表示兩車都在休息，沒有前進，2.5-3.6時，其中一車行駛，其速度為=80km/h，

3.62.5

設另一車的速度為x,

依題意得2（x+80）=360,

解得x=100km/h,

故快車途中停留了3.6-2=1.6h，①正確；

快車速度比慢車速度多20km/h，②正確；

t=5h時，慢車行駛的路程為（5-0.5）×80=360km，即慢車到達目的地；

t=5h時，快車行駛的路程為（5-1.6）×100=340km，

故兩車相距340m，即a=340，故③正確；

故選：D．

【點睛】此題主要考查一次函數的應用，解題的關鍵是根據函數圖像得到路程與時間的關系．

【變式2】（2022·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？既＃┬￠_家、加油站和濕地公園依次在同一直線上，端

午節期間，小開一家從家出發開車前往濕地公園游玩，經過加油站時，加滿油后繼續駛往目的地，汽車行

駛路程y（千米）與汽車行駛時間x（分鐘）之間的關系如圖所示，下列說法錯誤的是（）

第26頁共69頁.

A．汽車經過30分鐘到達加油站B．汽車加油時長為10分鐘

C．汽車加油后的速度比加油前快D．小開家距離濕地公園45千米

【答案】C

【分析】觀察圖象，從圖象中獲取對應時間的路程和時間，再依次進行判斷即可．

【詳解】解：由圖象可知，汽車經過30分鐘到達加油站，故A正確；

由圖象可知，汽車加油時長為40-30=10分鐘，故B正確；

5

由圖象可知，汽車加油后的速度為：（45-25）÷（80-40）=0.5千米/分，加油前速度為：25÷30=