/專題02函數（九大題型）TOC\o"1-1"\h\u題型01證明函數的單調性、奇偶性 1題型02函數的值域、最值問題 2題型03函數中的解不等式、比較大小問題 2題型04恒成立問題 3題型05有解問題 5題型06零點、實數根等問題 5題型07函數與數列 5題型08函數的其他應用 6題型09函數的實際應用 6【解題規律·提分快招】1、確定函數單調性的四種方法：(1)定義法；(2)導數法；(3)圖象法；(4)性質法．2、判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件(1)定義域關于原點對稱，否則即為非奇非偶函數．(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數))是否成立．3、利用指數函數的性質比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量．4、求解與指數、對數函數有關的復合函數問題，要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷．5、求解函數零點個數的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個解，則f(x)有多少個零點；(2)定理法：利用定理時往往還要結合函數的單調性、奇偶性等；(3)圖象法：一般是把函數拆分為兩個簡單函數，依據兩函數圖象的交點個數得出函數的零點個數．題型01證明函數的單調性、奇偶性【典例1-1】．（2024·上海·三模）已知，函數是定義在上的奇函數，且.(1)求的解析式；(2)判斷的單調性，并用函數單調性的定義加以證明.【變式1-1】．（23-24高三上·上海楊浦·期中）已知為實數，設.(1)若，求函數，的最小值；(2)判斷函數，的奇偶性，并說明理由.【變式1-2】．（2022·上海浦東新·一模）已知函數，.(1)判斷函數的奇偶性，并說明理由；(2)若函數，寫出函數的單調遞增區間并用定義證明.【變式1-3】．（2021·上海徐匯·二模）已知函數．（1）若，求函數f（x）的零點；（2）針對實數a的不同取值，討論函數f（x）的奇偶性．題型02函數的值域、最值問題【典例2-1】．（22-23高三上·上海楊浦·階段練習）已知函數f(x)是定義在區間上的奇函數，當時，.(1)求時f(x)的解析式；(2)求函數的值域.【變式2-1】．（21-22高三上·上海黃浦·階段練習）已知二次函數的值域為．（1）若此函數在上是單調減函數，求實數a的取值范圍；（2）求在上的最小值，并求的值域．【變式2-2】．（24-25高三上·上海金山·期末）已知常數，函數的表達式為(1)證明：函數是奇函數；(2)若函數在區間上的最大值為2，求實數a的值．【變式2-3】．（21-22高三上·上海徐匯·開學考試）已知函數.(1)求的取值范圍，使在閉區間上是單調函數；(2)當時，函數的最小值是關于的函數.求的最大值及其相應的值.題型03函數中的解不等式、比較大小問題【典例3-1】．（24-25高三上·上海·階段練習）設函數，且.(1)求的值；(2)判斷函數的奇偶性和單調性（不用說明理由），并據此求解關于的不等式【典例3-2】．（24-25高三上·上海·階段練習）已知函數.(1)證明函數在上嚴格增；(2)若函數在定義域上為奇函數，求不等式的解集.【變式3-1】．（21-22高三上·上海浦東新·階段練習）設函數（為實數）.（1）若，解不等式；（2）若當時，關于的不等式成立，求的取值范圍.【變式3-2】．（20-21高三上·上海奉賢·期中）已知（1）若函數在的最大值為，求的值；（2）若，求不等式的解集.【變式3-3】．（23-24高三上·上海長寧·期中）已知函數，其中常數且.(1)判斷上述函數在區間上的單調性，并用函數單調性定義證明你的結論；(2)若，利用上述函數在區間上的單調性，討論和的大小關系，并述理由.題型04恒成立問題【典例4-1】．（2022·上海徐匯·三模）已知為實數，函數，．(1)當時，求函數的單調遞增區間；(2)若對任意，恒成立，求的取值范圍．【典例4-2】．（24-25高三上·上海·階段練習）已知函數是定義在上的奇函數.(1)求的解析式；(2)存在，使得成立，求實數的取值范圍.【變式4-1】．（24-25高三上·上海楊浦·期中）已知函數為奇函數．(1)求的值并直接寫出的單調性（無需說明理由）；(2)若存在實數，使得成立，求實數的取值范圍．【變式4-2】．（23-24高三上·上海浦東新·期末）已知函數，其中．(1)是否存在實數，使函數是奇函數？若存在，請寫出證明．(2)當時，若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍．【變式4-3】．（24-25高三上·上海·階段練習）已知函數，，(1)求的單調區間和值域；(2)若對于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍．【變式4-4】．（23-24高三上·上海·期中）已知函數（，）．(1)若時，判斷函數在上的單調性，并說明理由．(2)若對于定義域內一切x，恒成立，求實數m的值．【變式4-5】．（2021·上海黃浦·三模）已知函數為實常數.（1）討論函數的奇偶性，并說明理由；（2）當為奇函數時，對任意，不等式恒成立，求實數的最大值.【變式4-6】．（22-23高三下·上海·階段練習）已知，其中．(1)判斷函數的奇偶性，并說明理由；(2)當時，對任意非零實數c，不等式均成立，求實數t的取值范圍．【變式4-7】．（22-23高三下·上海寶山·階段練習）已知（實數為常數）．(1)當時，求函數的定義域，判斷奇偶性，并說明理由；(2)若不等式當時均成立，求實數的取值范圍．【變式4-8】．（20-21高三下·上海閔行·開學考試）已知關于的方程在復數集內有兩個根，且滿足，(1)求實數的值；(2)若，存在實數，使得不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍.【變式4-9】．（2022·上海虹口·二模）已知函數是定義域為的奇函數.(1)求實數的值，并證明在上單調遞增；(2)已知且，若對于任意的、，都有恒成立，求實數的取值范圍.題型05有解問題【典例5-1】．（24-25高三上·上海·期中）已知函數是定義域為R的偶函數.(1)求實數a的值；(2)已知關于x的方程在上有解，求實數k的取值范圍.【變式5-1】．（2024·上海徐匯·二模）已知函數，其中.(1)求證：是奇函數；(2)若關于的方程在區間上有解，求實數的取值范圍.題型06零點、實數根等問題【典例6-1】．（2023·上海·模擬預測）函數，且.(1)判斷在上的單調性，并利用單調性的定義證明；(2)，且在上有零點，求的取值范圍.【典例6-2】．（2021·上海閔行·二模）已知函數.（1）證明在區間上是增函數；（2）若函數在區間上存在零點，求實數m的取值范圍.【變式6-1】．（2021·上海松江·二模）已知函數(為常數，).（1）討論函數的奇偶性；（2）當為偶函數時，若方程在上有實根，求實數的取值范圍.【變式6-2】．（21-22高三上·上海浦東新·階段練習）已知函數，其中.（1）判斷函數的奇偶性；（2）解關于x的不等式：；（3）若函數有三個不等實根，求實數a的取值范圍.【變式6-3】．（21-22高三上·上海虹口·階段練習）已知函數，其中，且．(1)當時，若，求實數的取值范圍；(2)若存在實數使得方程有兩個實根，求實數的取值范圍．題型07函數與數列【典例7-1】．（24-25高二上·上海·階段練習）已知函數，數列是正項等比數列，且，(1)計算的值；(2)用書本上推導等差數列前n項和的方法，求的值.【變式7-1】．（2024·上海·模擬預測）若．(1)過，求的解集；(2)存在使得成等差數列，求的取值范圍．題型08函數的其他應用【典例8-1】．（24-25高三上·上海·開學考試）已知為常數.(1)若為偶函數，求的值；(2)設，若函數為減函數，求實數的取值范圍.【變式8-1】．（20-21高三上·上海閔行·階段練習）已知函數.（1）當時，求函數的單調遞增區間；（2）對任意，當函數的圖像恒在函數圖像的下方時，求實數的取值范圍.【變式8-2】．（21-22高三上·上海浦東新·階段練習）設常數，已知函數．(1)判斷函數在區間上的單調性，并說明理由；(2)證明：不存在負實數使得．題型09函數的實際應用【典例9-1】．（2021·上海嘉定·一模）提高隧道的車輛通行能力可改善附近路段高峰期間的交通狀況．一般情況下，隧道內的車流速度（單位：千米/小時）和車流密度（單位：輛/千米）滿足關系式：研究表明，當隧道內的車流密度達到120輛/千米時會造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時．(1)若車流速度不小于40千米/小時，求車流密度的取值范圍；(2)隧道內的車流量（單位時間內通過隧道的車輛數，單位：輛/小時）滿足．求隧道內車流量的最大值（精確到1輛/小時）及隧道內車流量達到最大時的車流密度（精確到1輛/千米）．（參考數據：）【變式9-1】．（2022·上海金山·二模）經過市場調研發現，某公司生產的某種時令商品在未來一個月（30天）內的日銷售量（百件）與時間第天的關系如下表所示：第天131030日銷售量（百件）23未來30天內，受市場因素影響，前15天此商品每天每件的利潤（元）與時間第天的函數關系式為，且為整數，而后15天此商品每天每件的利潤元與時間第天的函數關系式為（，且為整數）.(1)現給出以下兩類函數模型：①（為常數）；②為常數，且.分析表格中的數據，請說明哪類函數模型更合適，并求出該函數解析式；(2)若這30天內該公司此商品的日銷售利潤始終不能超過4萬元，則考慮轉型.請判斷該公司是否需要轉型？并說明理由.【變式9-2】．（2022·上海奉賢·一模）圖1是某會展中心航拍平面圖，由展覽場館?通道等組成，可以假設抽象成圖2，圖2中的大正方形是由四個相等的小正方形（如）和寬度相等的矩形通道組成.展覽館可以根據實際需要進行重新布局成展覽區域和休閑區域，展覽區域由四部分組成，每部分是八邊形，且它們互相全等.圖2中的八邊形EFTSHQMG是小正方形中的展覽區域，小正方形中的四個全等的直角三角形是休閑區域，四個八邊形是整個的展覽區域，16個全等的直角三角形是整個的休閑區域.設的邊長為300米，的周長為180米.(1)設，求的面積關于的函數關系式；(2)問取多少時，使得整個的休閑區域面積最大.(，長度精確到1米，利用精確后的長度計算面積，面積精確到1平方米)一、解答題1．（2023·上海楊浦·一模）設函數，.(1)求方程的實數解；(2)若不等式對于一切都成立，求實數的取值范圍.2．（2021·上海浦東新·三模）已知.（1）解不等式：；（2）若在區間上的最小值為，求實數a的值.3．（2021·上海金山·一模）已知定義域為的函數.（1）試判斷函數在上的單調性，并用函數單調性的定義證明；（2）若對于任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.4．（2021·上海虹口·二模）設且，，已知函數.（1）當時，求不等式的解；（2）若函數在區間上有零點，求的取值范圍.5．（2023·上海·模擬預測）函數(1)當時，是否存在實數c，使得為奇函數；(2)若函數過點，且函數圖像與軸負半軸有兩個不同交點，求實數a的取值范圍.6．（2023·上海青浦·一模）上海各中學都定期進行緊急疏散演習：當警報響起，建筑物內師生馬上有組織、盡快地疏散撤離．對于一個特定的建筑物，管理人員關心房間內所有人疏散完畢（房間最后一個人到達安全出口處）所用時間．數學建模小組準備對某教學樓第一層樓兩間相同的教室展開研究．為此，他們提出如下模型假設：1.疏散時所有人員有秩序地撤離建筑物；2.所有人員排成單列行進撤離；3.隊列中人員的間隔是均勻的；4.隊列勻速地撤離建筑物．(1)上述模型假設是否合理，請任選兩個模型假設說明理由；(2)如圖，設第一間教室（圖中右）的人數為，第二間教室（圖中左）的人數為，每間教室的長度為，其中，都是正整數，，忽略教室門的寬度及忽略教室內人群到教室門口的時間．請再引入適當的變量，建立兩個教室內的人員完全撤離所用時間的數學模型．

專題02函數（九大題型）TOC\o"1-1"\h\u題型01證明函數的單調性、奇偶性 1題型02函數的值域、最值問題 4題型03函數中的解不等式、比較大小問題 8題型04恒成立問題 12題型05有解問題 22題型06零點、實數根等問題 23題型07函數與數列 28題型08函數的其他應用 29題型09函數的實際應用 31【解題規律·提分快招】1、確定函數單調性的四種方法：(1)定義法；(2)導數法；(3)圖象法；(4)性質法．2、判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件(1)定義域關于原點對稱，否則即為非奇非偶函數．(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數))是否成立．3、利用指數函數的性質比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量．4、求解與指數、對數函數有關的復合函數問題，要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷．5、求解函數零點個數的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個解，則f(x)有多少個零點；(2)定理法：利用定理時往往還要結合函數的單調性、奇偶性等；(3)圖象法：一般是把函數拆分為兩個簡單函數，依據兩函數圖象的交點個數得出函數的零點個數．題型01證明函數的單調性、奇偶性【典例1-1】．（2024·上海·三模）已知，函數是定義在上的奇函數，且.(1)求的解析式；(2)判斷的單調性，并用函數單調性的定義加以證明.【答案】(1)(2)在區間上為嚴格增函數，證明見解析【分析】（1）根據題意，由奇函數的性質可得，求出的值，結合函數的解析式求出的值，計算可得答案；（2）根據題意，根據單調性的定義，結合作差法證明可得答案．【解析】（1）根據題意，是定義在上的奇函數，則有，解得，又由，解得，所以，定義域為，且，所以；（2）在區間上為嚴格增函數．證明如下：設任意，則，由，得，即，，，所以，即，故在區間上為嚴格增函數．【變式1-1】．（23-24高三上·上海楊浦·期中）已知為實數，設.(1)若，求函數，的最小值；(2)判斷函數，的奇偶性，并說明理由.【答案】(1)(2)當時為偶函數，當時為非奇非偶函數.【分析】（1）首先得到的解析式，將其寫成分段函數，再分段利用函數的單調性分別求出函數的最小值，即可得解；（2）分別判斷、的奇偶性，即可得解.【解析】（1）當時，當時，函數在上單調遞增，則，當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，綜上可得.（2）因為定義域為，又為偶函數，為偶函數，所以當時為偶函數，當時關于對稱，此時為非奇非偶函數，所以為非奇非偶函數，綜上可得：當時為偶函數，當時為非奇非偶函數.【變式1-2】．（2022·上海浦東新·一模）已知函數，.(1)判斷函數的奇偶性，并說明理由；(2)若函數，寫出函數的單調遞增區間并用定義證明.【答案】(1)答案見解析(2)，證明見解析【分析】（1）分、兩種情況，利用函數奇偶性的定義判斷出結果；（2）求得，可以確定的單調遞增區間為，之后利用函數單調性證明即可.【解析】（1）當時，，定義域為，任選，都有，所以時函數為偶函數；當，則；時函數既非奇函數又非偶函數；（2）函數的單調遞增區間為.證明：，任取且，，由于，則；由于，則；所以，即.

函數的單調遞增區間為.【變式1-3】．（2021·上海徐匯·二模）已知函數．（1）若，求函數f（x）的零點；（2）針對實數a的不同取值，討論函數f（x）的奇偶性．【答案】（1）；（2）當a＝0時，函數f（x）為偶函數，當a≠0時，函數f（x）為非奇非偶函數．【分析】（1）根據解析式，求得定義域，當時，令，解得∈[﹣1，1]，所以零點為.（2）若f（x）為奇函數，則必有f（﹣1）+f（1）＝0，代入求得a不存在，若函數f（x）為偶函數，由f（﹣1）＝f（1），解得a=0，經檢驗符合題意，即可得答案.【解析】（1）根據題意，函數，則有1﹣x2≥0，解可得﹣1≤x≤1，即函數f（x）的定義域為[﹣1，1]，由，得，化簡得，即，則∈[﹣1，1]，所以，函數f（x）的零點為；（2）函數f（x）的定義域為[﹣1，1]，若函數f（x）為奇函數，則必有f（﹣1）+f（1）＝0；代入得|a+1|+|a﹣1|＝0于是無解，所以函數f（x）不能為奇函數，若函數f（x）為偶函數，由f（﹣1）＝f（1）得|﹣1+a|＝|1+a|解得a＝0；又當a＝0時，，則；對任意x∈[﹣1，1]都成立，綜上，當a＝0時，函數f（x）為偶函數，當a≠0時，函數f（x）為非奇非偶函數．題型02函數的值域、最值問題【典例2-1】．（22-23高三上·上海楊浦·階段練習）已知函數f(x)是定義在區間上的奇函數，當時，.(1)求時f(x)的解析式；(2)求函數的值域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用奇函數性質求f(x)的解析式；（2）由（1）得，應用基本不等式、函數單調性求在對應區間上的值域，即可得答案.【解析】（1）令，則，故，而，所以，則.（2）由（1）知：，當，，當且僅當時等號成立，此時；當，單調遞增，則；綜上，函數值域為.【變式2-1】．（21-22高三上·上海黃浦·階段練習）已知二次函數的值域為．（1）若此函數在上是單調減函數，求實數a的取值范圍；（2）求在上的最小值，并求的值域．【答案】（1）；（2），.【分析】（1）結合二次函數的值域可得開口向上，且在對稱軸處取得最小值0，進而求出且，然后根據單調性得出，進而可以求出結果；（2）根據對稱軸的位置分別討論和，進而求出，然后結合分段函數的單調性即可求出值域.【解析】（1）由題意可知數開口向上，且在對稱軸處取得最小值0，所以，且，即，因此，因為函數在上是單調減函數，所以，所以，故實數a的取值范圍為；（2）若，即，所以在上單調遞增，所以；若，即，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，因為函數在上單調遞增，且，因此的值域為.【變式2-2】．（24-25高三上·上海金山·期末）已知常數，函數的表達式為(1)證明：函數是奇函數；(2)若函數在區間上的最大值為2，求實數a的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）求出定義域，利用奇函數的定義判斷可得答案；（2）判斷出函數在區間上的單調性，根據單調性求出最值可得答案.【解析】（1）由得，所以函數的定義域為，關于原點對稱，，所以函數是奇函數；（2），令，則在上單調遞增，又為增函數，所以在上單調遞增，其最大值為，解得.【變式2-3】．（21-22高三上·上海徐匯·開學考試）已知函數.(1)求的取值范圍，使在閉區間上是單調函數；(2)當時，函數的最小值是關于的函數.求的最大值及其相應的值.【答案】(1)或(2)當時，有最大值4【分析】(1)利用二次函數的圖象性質結合單調性求解；(2)分類討論二次函數在給定區間的最大值，再分段討論的最大值即可求解.【解析】（1）函數圖象的對稱軸為.因為在閉區間上是單調函數，所以或.故或.（2）當時，；當時，；當時，.所以，當時，；當時，,對稱軸為，所以，當時，.所以當時，有最大值4.題型03函數中的解不等式、比較大小問題【典例3-1】．（24-25高三上·上海·階段練習）設函數，且.(1)求的值；(2)判斷函數的奇偶性和單調性（不用說明理由），并據此求解關于的不等式【答案】(1)2；(2)偶函數，在上單調遞減，在上單調遞增，解集為.【分析】（1）根據化簡求解即可；（2）根據奇偶性定義和單調性定義即可判斷奇偶性和單調性，結合單調性和奇偶性將函數符號去掉，轉化為一元二次不等式求解可得.【解析】（1）由題知，，因為，所以，解得.（2）由（1）知，，定義域為R，又，所以為偶函數.，且，則，因為，所以，所以，即，所以在上單調遞減，又因為為偶函數，所以在上單調遞增，因為，所以，所以，因為為偶函數，且在上單調遞減，所以，即，解得，又，所以不等式解集為.【典例3-2】．（24-25高三上·上海·階段練習）已知函數.(1)證明函數在上嚴格增；(2)若函數在定義域上為奇函數，求不等式的解集.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用函數的單調性定義證明即得；（2）根據函數的奇偶性求出值，再求出方程的解，分別利用函數在和上的單調性即可求得不等式的解集.【解析】（1）因，任取，且，由，因，則，，故，即.故函數在上嚴格增；（2）因為函數在定義域上為奇函數，則，所以．所以，即，所以，由得：，即，所以或，解得或，所以不等式的解集為.【變式3-1】．（21-22高三上·上海浦東新·階段練習）設函數（為實數）.（1）若，解不等式；（2）若當時，關于的不等式成立，求的取值范圍.【答案】（1）或

（2）【分析】（1）分打開絕對值，解不等式即可；（2）由可得，再由，可得，結合，即為，分，討論，即得解【解析】（1）由于，不等式可得，即或解不等式得：或（2）由，解得由，可得當時，該不等式即為，即當時，符合題設條件；當時，，由題意得解得綜上，實數的取值范圍是【變式3-2】．（20-21高三上·上海奉賢·期中）已知（1）若函數在的最大值為，求的值；（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函數在上是增函數且，故根據題意得函數的最大值為，再根據函數單調性即可得，解得.（2）根據題意得，進而分或兩種情況求解即可得答案.【解析】解：（1）因為函數在上是增函數，所以，因為函數在的最大值為，所以函數的最大值為，由于函數是增函數，所以，解得：.（2）當時，，所以或，解得或.故若，求不等式的解集為【點睛】本題考查分段函數與對數函數的性質，考查分類討論思想與運算求解能力，是中檔題.本題第一問解題的關鍵在于注意到函數在上是增函數且，進而將問題轉化為函數的最大值為求解，第二問的解題核心是分類討論.【變式3-3】．（23-24高三上·上海長寧·期中）已知函數，其中常數且.(1)判斷上述函數在區間上的單調性，并用函數單調性定義證明你的結論；(2)若，利用上述函數在區間上的單調性，討論和的大小關系，并述理由.【答案】(1)函數在區間上的單調遞減，證明見解析；(2)當時，，當且時，.【分析】（1）利用定義法結合對數函數單調性即可得到其單調性；（2）利用（1）中的結論即可得到大小關系.【解析】（1）在區間上單調遞減，證明：當時，任取，則，因為，則，所以，即，即，所以此時在區間上單調遞減，當時，任取，因為，則，所以，即，即，所以此時在區間上單調遞減，綜上所述，在區間上單調遞減，（2）當時，時，函數在上單調遞增，當時，函數在上單調遞增，由（1）在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，，當時，，，，，即，，當時，，，，且，所以，綜上，當時，，當且時，.題型04恒成立問題【典例4-1】．（2022·上海徐匯·三模）已知為實數，函數，．(1)當時，求函數的單調遞增區間；(2)若對任意，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)和(2)【分析】（1）當時，化簡函數的解析式，利用二次函數的基本性質可得出函數的增區間；（2）由已知可得，推導出，可得出，利用參變量分離法可求得實數的取值范圍.【解析】（1）解：當時，，當時，，此時函數的單調遞增區間為；當x<2時，，此時函數的單調遞增區間為.綜上所述，當時，函數的增區間為和.（2）解：當時，由可得，即，所以，，所以，，整理得對任意的恒成立，因為，則，所以，不等式對任意的恒成立，只需考慮不等式對任意的恒成立，當時，，令，，由雙勾函數的單調性可知，函數在上單調遞增，當時，，因此，.【典例4-2】．（24-25高三上·上海·階段練習）已知函數是定義在上的奇函數.(1)求的解析式；(2)存在，使得成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據奇函數性質求得，再驗證是否滿足題設，即可得解析式；（2）令，問題化為能成立求參數范圍.【解析】（1）由題設，故，所以，又，滿足題設，所以且；（2）由題設在上能成立，令，則，即，又在上遞增，則，所以.【變式4-1】．（24-25高三上·上海楊浦·期中）已知函數為奇函數．(1)求的值并直接寫出的單調性（無需說明理由）；(2)若存在實數，使得成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)單調遞減(2)【分析】（1）根據奇函數的含義可求得的值，根據函數單調性的定義法可求得單調性；（2）根據單調性以及奇函數性質可得，從而得到不等式，求解即可.【解析】（1）因為函數為奇函數，定義域為R，則，所以，即，此時，滿足，即為奇函數，，定義域為R，對，且，則，因為，所以，，，所以，即函數在R上單調遞減；（2）由，則，又因為為奇函數，所以，又因為函數在R上單調遞減，所以，因為存在實數，使得，所以，解得，所以的取值范圍為.【變式4-2】．（23-24高三上·上海浦東新·期末）已知函數，其中．(1)是否存在實數，使函數是奇函數？若存在，請寫出證明．(2)當時，若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)，證明見解析(2)【分析】（1）是奇函數，利用解出并檢驗即可．（2）利用基本不等式求的最小值解決恒成立問題.【解析】（1）函數定義域為R，若是奇函數，則，解得，此時，，符合題意，故.（2）當時，，由，則，當且僅當，即時等號成立，所以，又不等式恒成立，得，則實數的取值范圍為.【變式4-3】．（24-25高三上·上海·階段練習）已知函數，，(1)求的單調區間和值域；(2)若對于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍．【答案】(1)遞減區間為，遞增區間為；值域為(2)【分析】（1）根據題意，利用二次函數的圖象與性質，即可求解；（2）化簡函數，利用換元法和單調性，求得的值域為，根據題意，轉化為，結合二次函數的性質，列出不等式組，即可求解.【解析】（1）解：由函數，其圖象對應的拋物線開口向上，且對稱軸為，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，函數取最小值，最小值為，所以函數的值域為.（2）解：由函數，當時，令，可得且，則在為單調遞減函數，所以，所以函數的值域為，對于任意，總存在，使得成立，可得函數的值域為函數的值域的子集，即，由，可得，當時，即時，顯然不成立；當時，即，根據拋物線的對稱性，可得，顯然不成立；所以要使得，則，解得，所以實數的取值范圍為.【變式4-4】．（23-24高三上·上海·期中）已知函數（，）．(1)若時，判斷函數在上的單調性，并說明理由．(2)若對于定義域內一切x，恒成立，求實數m的值．【答案】(1)當時，在上單調遞減當時，在上單調遞增(2)【分析】（1）按單調性的定義即可證明.（2）按題意列方程即可求解.【解析】（1）時，記，任取，故，在上單調遞減當時，在上單調遞減當時，在上單調遞增（2）由恒成立可得化簡得，解得時，，而，無意義符合題意故.【變式4-5】．（2021·上海黃浦·三模）已知函數為實常數.（1）討論函數的奇偶性，并說明理由；（2）當為奇函數時，對任意，不等式恒成立，求實數的最大值.【答案】（1）函數是奇函數，理由見解析；（2）.【分析】（1）若函數為奇函數，由奇函數的定義可求得的值；又當時，且，函數是非奇非偶函數；（2）對任意，不等式恒成立，化簡不等式參變分離，構造新函數，利用換元法和對勾函數的單調性求出最值，代入得出實數u的最大值．【解析】解：（1）當時，即；故此時函數是奇函數；因當時，，故，且于是此時函數既不是偶函數，也不是奇函數；（2）因是奇函數，故由（1）知，從而；由不等式，得，令因，故由于函數在單調遞增，所以；因此，當不等式在上恒成立時，【點睛】方法點睛：已知不等式能恒成立求參數值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數法：討論參數范圍，借助函數單調性求解；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域或最值問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解．【變式4-6】．（22-23高三下·上海·階段練習）已知，其中．(1)判斷函數的奇偶性，并說明理由；(2)當時，對任意非零實數c，不等式均成立，求實數t的取值范圍．【答案】(1)判斷見解析．(2)【分析】（1）先求定義域，當時，判斷奇偶性，當時，利用奇偶性的定義判斷與的關系即可判斷；（2）根據基本不等式有，再利用三角不等式取等號條件即可得出結果.【解析】（1）函數的定義域為，當時，，任取，則，所以函數為偶函數；當時，由，，得，且，為非奇非偶函數．（2）對于任意非零實數，根據基本不等式有，所以，即，因為，所以，由三角不等式可得，當且僅當時取等號，實數t的取值范圍為．【變式4-7】．（22-23高三下·上海寶山·階段練習）已知（實數為常數）．(1)當時，求函數的定義域，判斷奇偶性，并說明理由；(2)若不等式當時均成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)，不具有奇偶性；(2)【分析】（1）利用對數型函數的定義域、函數的奇偶性求法計算即可；（2）分離參數結合換元法求函數值域即可.【解析】（1）當時，，則或，解之得或，即，顯然定義域不關于原點對稱，故不具有奇偶性；（2）當時，，為單調遞增函數，故，令，則，故，由對勾函數的性質可知在上單調遞減，故，所以，即的取值范圍為.【變式4-8】．（20-21高三下·上海閔行·開學考試）已知關于的方程在復數集內有兩個根，且滿足，(1)求實數的值；(2)若，存在實數，使得不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)或(2)【分析】（1）分有兩個實根和有兩個共軛虛根兩種情況討論，根據題意結合韋達定理分析運算；（2）根據題意分析可得，先根據對數函數單調性分析可得對任意恒成立，再根據恒成立問題分析運算.【解析】（1）①當方程有兩個實根時，則，即，可得，，∵，解得；②當方程有兩個共軛虛根時，則，即，設，則，可得，，所以，，解得或，即方程兩根分別為，，則；綜上所述：或.（2）若，由（1）得，由存在實數，使得不等式，則，∵，且在定義域內為增函數，則∴，則對任意恒成立，設，則，解得，故實數的取值范圍為.【變式4-9】．（2022·上海虹口·二模）已知函數是定義域為的奇函數.(1)求實數的值，并證明在上單調遞增；(2)已知且，若對于任意的、，都有恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)，證明見解析(2)【分析】（1）由奇函數的性質可得出，求出，利用函數奇偶性的定義可驗證函數為奇函數，再利用函數單調性的定義可證得結論成立；（2）由題意可得，可得出，求得，分、，根據已知條件可得出關于的不等式，綜合可得出實數的取值范圍.【解析】（1）解：因為函數是定義域為的奇函數，則，解得，此時，對任意的，，即函數的定義域為，，即函數為奇函數，合乎題意，任取、且，則，所以，，則，所以，函數在上單調遞增.（2）解：由（1）可知，函數在上為增函數，對于任意的、，都有，則，，因為，則.當時，則有，解得；當時，則有，此時.綜上所述，實數的取值范圍是.題型05有解問題【典例5-1】．（24-25高三上·上海·期中）已知函數是定義域為R的偶函數.(1)求實數a的值；(2)已知關于x的方程在上有解，求實數k的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由f?x=fx（2）利用換元法令，從而得到方程在時有解，再分參數，求出右邊的值域即可.【解析】（1）由偶函數定義知：f?x即，.（2）由（1）知，，即，即，令，則，則方程在時有解，則，令，，則.【變式5-1】．（2024·上海徐匯·二模）已知函數，其中.(1)求證：是奇函數；(2)若關于的方程在區間上有解，求實數的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）結合奇偶性的定義以及對數函數運算法則即可得證；（2）分離參數，將原問題等價轉換為在上有解，由此轉換為求函數值域問題.【解析】（1）函數的定義域為，在中任取一個實數，都有，并且.因此，是奇函數.（2）等價于即在上有解.記，因為在上為嚴格減函數，所以，，，故的值域為，因此，實數的取值范圍為.題型06零點、實數根等問題【典例6-1】．（2023·上海·模擬預測）函數，且.(1)判斷在上的單調性，并利用單調性的定義證明；(2)，且在上有零點，求的取值范圍.【答案】(1)單調遞增，證明見解析；(2)【分析】（1）由題意解出的值，再利用單調性的定義證明即可；（2）轉化問題為在上有解，則有解，利用導函數求的單調性，進而求得取值范圍即可.【解析】（1）由題意可得，解得，所以，在上單調遞增，證明如下：任取，則，因為在上單調遞增，且，所以，，所以，即，所以在上單調遞增.（2）由（1）得，在上有零點，即在上有解，則有解，令，則，令解得，令解得，所以在單調遞減，在單調遞增，所以，沒有最大值，所以.【典例6-2】．（2021·上海閔行·二模）已知函數.（1）證明在區間上是增函數；（2）若函數在區間上存在零點，求實數m的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）任取，作差，根據單調性的定義可得證.（2）原問題轉化為只需求函數在上的值域，根據（1）中的單調性可求得答案.【解析】解：（1）任取，則：，，，，，，即函數在上單調遞增.（2）在上存在零點，所以只需求函數在上的值域，由（1）可知函數在上是減函數，所以，即，所以m的取值范圍為.【變式6-1】．（2021·上海松江·二模）已知函數(為常數，).（1）討論函數的奇偶性；（2）當為偶函數時，若方程在上有實根，求實數的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）利用函數的奇偶性的定義求解即可；（2）當函數為偶函數時，，列出方程，利用換元法，結合指數函數和對勾函數的性質，由求根公式解出方程的根，可得實數的取值范圍．【解析】（1）∵函數的定義域為，又∵∴①當時，即時，可得即當時，函數為偶函數；②當時，即時，可得即當時，函數為奇函數.（2）由（1）可得，當函數為偶函數時，，即時，由題可得，令，則有∵∴，又∵，當且僅當時，等號成立根據對勾函數的性質可知，，即①此時的取值不存在；②此時，可得的取值為綜上可得【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數的性質，考查指數函數和對勾函數的應用，解決本題的關鍵點是令，則方程化簡為，利用求根公式并討論根與區間端點的關系，得出參數的范圍，考查學生分類討論思想和計算能力，屬于中檔題．【變式6-2】．（21-22高三上·上海浦東新·階段練習）已知函數，其中.（1）判斷函數的奇偶性；（2）解關于x的不等式：；（3）若函數有三個不等實根，求實數a的取值范圍.【答案】（1）當時，函數是奇函數；當時，函數是非奇非偶函數；（2）當時，不等式得解集為；當時，不等式得解集為；（3）.【分析】（1）分類討論，根據奇偶性的概念進行判斷；（2）分類討論去絕對值的符號，從而化簡不等式進行求解；（3）化簡，從而分類討論確定函數的單調性，從而進行求解.【解析】（1）當時，，所以，所以函數是奇函數；當時，，，因此，且，所以函數是非奇非偶函數；（2）①當時，可化為，即；②當時，（i）若，則，解得或（舍）；（ii）若，則，無解；故不等式的解集為；③當時，（i）若，則，解得（舍）或；（ii）若，則，無解；故不等式的解集為；綜上所述：當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；（3），①當時，在定義域內單調遞增，故只有一個實數根，故不合題意舍去，②當時，在單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增；且，故只需滿足，解得或；故.③當時，在單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增；且，故不可能有三個實數根；綜上所述：實數a的取值范圍為.【變式6-3】．（21-22高三上·上海虹口·階段練習）已知函數，其中，且．(1)當時，若，求實數的取值范圍；(2)若存在實數使得方程有兩個實根，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）分段解不等式，再相并即可得解；（2）當和時，利用圖象列式可求出結果，當時，根據函數的單調性以及，可知不符合題意.【解析】（1）當時，，則，當時，解不等式，解得，故，當時，解不等式，解得，故，所以實數的取值范圍是；（2）①當時，由圖可知，當時，存在直線與有兩個交點，由，解得，故；②當時，由圖可知，當時，存在直線與有兩個交點，即，解得，故；當時，函數在和上都為增函數，且，所以為增函數，所以不存在實數使得方程有兩個實根，綜上所述：實數的取值范圍是為.題型07函數與數列【典例7-1】．（24-25高二上·上海·階段練習）已知函數，數列是正項等比數列，且，(1)計算的值；(2)用書本上推導等差數列前n項和的方法，求的值.【答案】(1)1；(2).【分析】（1）直接代入化簡即可；（2）由（1），結合等比數列性質，即可求解.【解析】（1）因為函數，所以（2）因數列是正項等比數列，且，則，所以，同理，令，又，則有，故，所以.【變式7-1】．（2024·上海·模擬預測）若．(1)過，求的解集；(2)存在使得成等差數列，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出底數，再根據對數函數的單調性可求不等式的解；（2）存在使得成等差數列等價于在0,+∞上有解，利用換元法結合二次函數的性質可求的取值范圍．【解析】（1）因為y=fx的圖象過，故，故即（負的舍去），而在0,+∞上為增函數，故，故即，故的解集為.（2）因為存在使得成等差數列，故有解，故，因為，故，故在0,+∞上有解，由在0,+∞上有解，令，而在0,+∞上的值域為1,+∞，故即.題型08函數的其他應用【典例8-1】．（24-25高三上·上海·開學考試）已知為常數.(1)若為偶函數，求的值；(2)設，若函數為減函數，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據函數偶函數的定義求得正確答案.（2）先求得，然后根據在區間上的單調性列不等式，由此求得的取值范圍.【解析】（1）的定義域是，若是偶函數，則f?x=fx，即，即，兩邊平方并化簡得，所以，此時是偶函數，符合題意.所以的值為.（2），由于，當時，，所以，若函數為減函數，則，解得.【變式8-1】．（20-21高三上·上海閔行·階段練習）已知函數.（1）當時，求函數的單調遞增區間；（2）對任意，當函數的圖像恒在函數圖像的下方時，求實數的取值范圍.【答案】（1）和；（2）.【解析】（1）當時，，由此可求出的單調遞增區間；（2）由題知在恒成立，即在恒成立，由此可求出的取值范圍.【解析】（1）當時，，可知函數的單調遞增區間為；（2）由題知在恒成立，即，即，即只要且在上恒成立即可，在時，只有的最大值小于且的最小值大于即可，當時，單調遞增，則，當時，單調遞增，則，.【點睛】本題考查含絕對值函數的單調性，考查不等式的恒成立問題，屬于中檔題.【變式8-2】．（21-22高三上·上海浦東新·階段練習）設常數，已知函數．(1)判斷函數在區間上的單調性，并說明理由；(2)證明：不存在負實數使得．【答案】(1)函數在區間上為增函數，證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）由單調性的定義證明即可；（2）用反證法證明即可【解析】（1）函數在區間上為增函數；任取，則，因為，，所以，，即，所以函數在區間上為增函數；（2）若存在負實數，使得，即方程有負實數根，對于，當且時，因為，所以，而，因此，不存在負實數使得，所以不存在負實數使得．題型09函數的實際應用【典例9-1】．（2021·上海嘉定·一模）提高隧道的車輛通行能力可改善附近路段高峰期間的交通狀況．一般情況下，隧道內的車流速度（單位：千米/小時）和車流密度（單位：輛/千米）滿足關系式：研究表明，當隧道內的車流密度達到120輛/千米時會造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時．(1)若車流速度不小于40千米/小時，求車流密度的取值范圍；(2)隧道內的車流量（單位時間內通過隧道的車輛數，單位：輛/小時）滿足．求隧道內車流量的最大值（精確到1輛/小時）及隧道內車流量達到最大時的車流密度（精確到1輛/千米）．（參考數據：）【答案】(1)（1）車流速度不小于40千米小時，車流密度的取值范圍為，；(2)（2）隧道內車流量的最大值為3250輛小時，車流量最大時的車流密度87輛千米．【分析】（1）由（輛千米）時，（千米小時）求得，可得關于的關系式，再由求解的范圍得結論；（2）結合（1）寫出隧道內的車流量關于的函數，再由函數的單調性及基本不等式求出分段函數的最值，則答案可求．【解析】（1）解：由題意，當（輛千米）時，（千米小時），代入，得，解得．，當時，，符合題意；當時，令，解得，．綜上，．故車流速度不小于40千米小時，車流密度的取值范圍為，；（2）由題意得，，當時，為增函數，，等號當且僅當時成立；當時，．當且僅當，即，時成立，綜上，的最大值約為3250，此時約為87．故隧道內車流量的最大值為3250輛小時，車流量最大時的車流密度87輛千米．【變式9-1】．（2022·上海金山·二模）經過市場調研發現，某公司生產的某種時令商品在未來一個月（30天）內的日銷售量（百件）與時間第天的關系如下表所示：第天131030日銷售量（百件）23未來30天內，受市場因素影響，前15天此商品每天每件的利潤（元）與時間第天的函數關系式為，且為整數，而后15天此商品每天每件的利潤元與時間第天的函數關系式為（，且為整數）.(1)現給出以下兩類函數模型：①（為常數）；②為常數，且.分析表格中的數據，請說明哪類函數模型更合適，并求出該函數解析式；(2)若這30天內該公司此商品的日銷售利潤始終不能超過4萬元，則考慮轉型.請判斷該公司是否需要轉型？并說明理由.【答案】(1)選擇函數模型①，其解析式為（且為整數）(2)這30天內日利潤均未能超過4萬元，該公司需要考慮轉型，理由見解析【分析】（1）將將以及分別代入對應的函數模型，求得對應的函數解析式，再代入計算判斷是否滿足即可；（2）記日銷售利潤為，根據一次函數與二次函數的單調性分析的最大值，判斷與4萬元的大小關系判斷即可【解析】（1）若選擇模型（1），將以及代入可得解得，即，經驗證，符合題意；若選擇模型（2），將以及代入可得，解得，即，當時，，故此函數模型不符題意，因此選擇函數模型（1），其解析式為（且為整數）（2）記日銷售利潤為，當且為整數時，，對稱軸，故當時，利潤取得最大值，且最大值為392（百元）當且為整數時，，當時，利潤單調遞減，故當時取得最大值，且最大值為（百元）所以，這30天內日利潤均未能超過4萬元，該公司需要考慮轉型.【變式9-2】．（2022·上海奉賢·一模）圖1是某會展中心航拍平面圖，由展覽場館?通道等組成，可以假設抽象成圖2，圖2中的大正方形是由四個相等的小正方形（如）和寬度相等的矩形通道組成.展覽館可以根據實際需要進行重新布局成展覽區域和休閑區域，展覽區域由四部分組成，每部分是八邊形，且它們互相全等.圖2中的八邊形EFTSHQMG是小正方形中的展覽區域，小正方形中的四個全等的直角三角形是休閑區域，四個八邊形是整個的展覽區域，16個全等的直角三角形是整個的休閑區域.設的邊長為300米，的周長為180米.(1)設，求的面積關于的函數關系式；(2)問取多少時，使得整個的休閑區域面積最大.(，長度精確到1米，利用精確后的長度計算面積，面積精確到1平方米)【答案】(1)()；(2)當取53米時，整個休閑區域面積最大為22235平方米.【分析】(1)根據給定條件結合勾股定理用x表示出AF長即可求出函數關系式.(2)利用(1)的函數關系借助換元法求出y的最大值及對應的x值即可計算作答.【解析】（1）依題意，在中，，則有，，，則的面積，所以的面積關于的函數關系式是：().（2）由(1)知，，，令，，當且僅當，即時取“=”，整個休閑區域是16個與全等的三角形組成，因此，整個休閑區域面積最大，當且僅當的面積最大，當，即米，整個休閑區域面積最大為平方米，所以當取53米時，整個休閑區域面積最大為22235平方米.一、解答題1．（2023·上海楊浦·一模）設函數，.(1)求方程的實數解；(2)若不等式對于一切都成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）轉化為關于的一元二次方程求解即可；（2）分離參數后，構造函數，利用導數求函數的最小值即可得解.【解析】（1）由知，方程為，即，解得，即.（2）不等式即，原不等式可化為對于一切都成立，令，則，當時，，當時，，所以函數在上遞減，在上遞增，故當時，，所以.2．（2021·上海浦東新·三模）已知.（1）解不等式：；