模塊三重難點題型專項訓練

專題34規律探究題專訓

規律探索類問題的特征是給出若干個按照一定順序排列的具有某種特定變化規律的數、式或圖形，

要求解題者通過觀察、分析、歸納和猜想等一系列活動找出蘊藏于其間的一般性規律。這類較為新穎

的探索型問題不僅可以鍛煉學生的邏輯推理能力，培養創新意識和創新能力，而且還具有較強的綜合

性和較高的區分度，因此成為近年各地中考數學中的一個考查熱點。

1317911

例1（2022·西藏·統考中考真題）按一定規律排列的一組數據：，-，，，，，…．則

252172637

按此規律排列的第10個數是（）

19211921

A．B．C．D．

1011018282

【答案】A

5

【分析】把第3個數轉化為：，不難看出分子是從1開始的奇數，分母是n21，且奇數項是正，偶數項

10

是負，據此即可求解．

1357911

【詳解】原數據可轉化為：,,,,,,，

2510172637

111211

∴1，

2121

321221

1，

5221

531231

1，

10321

..．

n12n1

∴第n個數為：1，

n21

101210119

∴第10個數為：1．

1021101

故選：A．

【點睛】本題主要考查數字的變化規律，解答的關鍵是由所給的數總結出存在的規律．

例2（2022·山東濟寧·統考中考真題）如圖，用相同的圓點按照一定的規律拼出圖形．第一幅圖4個圓點，

第二幅圖7個圓點，第三幅圖10個圓點，第四幅圖13個圓點……按照此規律，第一百幅圖中圓點的個數

是（）

第1頁共51頁.

A．297B．301C．303D．400

【答案】B

【分析】首先根據前幾個圖形圓點的個數規律即可發現規律，從而得到第100個圖擺放圓點的個數．

【詳解】解：觀察圖形可知：第1幅圖案需要4個圓點，即4＋3×0，

第2幅圖7個圓點，即4+3=4+3×1；

第3幅圖10個圓點，即4＋3＋3=4＋3×2；

第4幅圖13個圓點，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；

第n幅圖中，圓點的個數為：4+3(n-1)=3n+1，

……，

第100幅圖，圓中點的個數為：3×100+1=301．

故選：B．

【點睛】本題主要考查了圖形的變化規律，解答的關鍵是由所給的圖形總結出存在的規律．

例3（2022·新疆·統考中考真題）將全體正偶數排成一個三角形數陣：

按照以上排列的規律，第10行第5個數是（）

A．98B．100C．102D．104

【答案】B

【分析】觀察數字的變化，第n行有n個偶數，求出第n行第一個數，故可求解．

【詳解】觀察數字的變化可知：

第n行有n個偶數，

因為第1行的第1個數是：2102；

第2頁共51頁.

第2行的第1個數是：4212；

第3行的第1個數是：8322；

…

所以第n行的第1個數是：nn12，

所以第10行第1個數是：109+292，

所以第10行第5個數是：9224100．

故選：B．

【點睛】本題考查了數字的規律探究，推導出一般性規律是解題的關鍵．

例4（2022·重慶·統考中考真題）把菱形按照如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有1個菱形，第

②個圖案中有3個菱形，第③個圖案中有5個菱形，…，按此規律排列下去，則第⑥個圖案中菱形的個數

為（）

A．15B．13C．11D．9

【答案】C

【分析】根據第①個圖案中菱形的個數：1；第②個圖案中菱形的個數：123；第③個圖案中菱形的個

數：1225；…第n個圖案中菱形的個數：12n1，算出第⑥個圖案中菱形個數即可．

【詳解】解：∵第①個圖案中菱形的個數：1；

第②個圖案中菱形的個數：123；

第③個圖案中菱形的個數：1225；

…

第n個圖案中菱形的個數：12n1，

∴則第⑥個圖案中菱形的個數為：126111，故C正確．

故選：C．

【點睛】本題主要考查的是圖案的變化，解題的關鍵是根據已知圖案歸納出圖案個數的變化規律．

例5（2022·重慶·統考中考真題）用正方形按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有5個正方形，

第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖案中有17個正方形，此規律排列下

第3頁共51頁.

去，則第⑨個圖案中正方形的個數為（）

A．32B．34C．37D．41

【答案】C

【分析】第1個圖中有5個正方形，第2個圖中有9個正方形，第3個圖中有13個正方形，……，由此可

得：每增加1個圖形，就會增加4個正方形，由此找到規律，列出第n個圖形的算式，然后再解答即可．

【詳解】解：第1個圖中有5個正方形；

第2個圖中有9個正方形，可以寫成：5+4=5+4×1；

第3個圖中有13個正方形，可以寫成：5+4+4=5+4×2；

第4個圖中有17個正方形，可以寫成：5+4+4+4=5+4×3；

．．．

第n個圖中有正方形，可以寫成：5+4（n-1）=4n+1；

當n=9時，代入4n+1得：4×9+1=37．

故選：C．

【點睛】本題主要考查了圖形的變化規律以及數字規律，通過歸納與總結結合圖形得出數字之間的規律是

解決問題的關鍵．

例6（2022·內蒙古·中考真題）觀察下列等式：701，717，7249，73343，742401，7516807，…

根據其中的規律可得7071L72022的結果的個位數字是（）

A．0B．1C．7D．8

【答案】C

【分析】觀察等式，發現尾數分別為：1，7，9，3，1，7，9，3每4個數一組進行循環，所以202345053，

進而可得707172022的結果的個位數字．

【詳解】解：觀察下列等式：

701，717，7249，73343，742401，7516807，，

發現尾數分別為：

1，7，9，3，1，7，，

所以和的個位數字依次以1，8，7，0循環出現，

第4頁共51頁.

(20221)45053，

每4個數一組進行循環，

所以202345053，

而179320，

5052017910117，

所以707172022的結果的個位數字是7．

故選：C．

【點睛】本題考查了尾數特征、有理數的乘方，解題的關鍵是根據題意尋找規律．

例7（2021·云南·統考中考真題）按一定規律排列的單項式：a2,4a3,9a4,16a5,25a6，……，第n個單項式

是（）

2

A．n2an1B．n2an1C．nnan1D．n1an

【答案】A

【分析】根據題目中的單項式可以發現數字因數是從1開始的正整數的平方，字母的指數從1開始依次加1，

然后即可寫出第n個單項式，本題得以解決．

【詳解】解：∵一列單項式：a2,4a3,9a4,16a5,25a6，...，

∴第n個單項式為n2an1，

故選：A．

【點睛】本題考查數字的變化類、單項式，解答本題的關鍵是明確題意，發現單項式的變化特點，求出相

應的單項式．

14710

例8（2022·內蒙古鄂爾多斯·統考中考真題）按一定規律排列的數據依次為，，，……按此規律

251017

排列，則第30個數是_____．

88

【答案】

901

3n2

【分析】由所給的數，發現規律為第n個數是，當n＝30時即可求解．

n21

14710

【詳解】解：∵，，，…，

251017

3n2

∴第n個數是，

n21

3n2330288

當n＝30時，==，

n213021901

88

故答案為：．

901

第5頁共51頁.

【點睛】本題考查數字的變化規律，能夠通過所給的數，探索出數的一般規律是解題的關鍵．

12

例9（2022·湖北恩施·統考中考真題）觀察下列一組數：2，，，…，它們按一定規律排列，第n個數

27

112

記為an，且滿足．則a4________，a2022________．

anan2an1

11

【答案】

53032

2

【分析】由題意推導可得an=，即可求解．

3(n1)1

2122

【詳解】解：由題意可得：a1=2=，a2=，a3=，

1247

112

∵，

a2a4a3

1

∴2+=7，

a4

12

∴a4=，

510

112

∵，

a3a5a4

2

∴a5=，

13

12L

同理可求a6=，

816

2

∴an=，

3(n1)1

21

∴a2022=，

60643032

11

故答案為：，．

53032

【點睛】本題考查了數字的變化類，找出數字的變化規律是解題的關鍵．

111111111

例10（2022·浙江舟山·中考真題）觀察下面的等式：，，，……

23634124520

(1)按上面的規律歸納出一個一般的結論（用含n的等式表示，n為正整數）

(2)請運用分式的有關知識，推理說明這個結論是正確的．

111

【答案】(1)

nn1n(n1)

(2)見解析

【分析】（1）根據所給式子發現規律，第一個式子的左邊分母為2，第二個式子的左邊分母為3，第三個

式子的左邊分母為4，…；右邊第一個分數的分母為3，4，5，…，另一個分數的分母為前面兩個分母的乘

第6頁共51頁.

111

積；所有的分子均為1；所以第（n+1）個式子為．

nn1n(n1)

111

（2）由（1）的規律發現第（n+1）個式子為，用分式的加法計算式子右邊即可證明．

nn1n(n1)

11111

【詳解】（1）解：∵第一個式子，

23621221

11111

第二個式子，

341231331

11111

第三個式子，

452041441

……

111

∴第（n+1）個式子；

nn1n(n1)

11n1n11

（2）解：∵右邊==左邊，

n1n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)n

111

∴．

nn1n(n1)

【點睛】此題考查數字的變化規律，分式加法運算，解題關鍵是通過觀察，分析、歸納發現其中各分母的

變化規律．

例11（2022·安徽·統考中考真題）觀察以下等式：

222

第1個等式：21122122，

222

第2個等式：22134134，

222

第3個等式：23146146，

222

第4個等式：24158158，

……

按照以上規律．解決下列問題：

(1)寫出第5個等式：________；

(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．

222

【答案】(1)2516101610

222

(2)2n1(n1)2n1(n1)2n，證明見解析

【分析】（1）觀察第1至第4個等式中相同位置的數的變化規律即可解答；

222

（2）觀察相同位置的數變化規律可以得出第n個等式為2n1(n1)2n1(n1)2n，利用完全

第7頁共51頁.

平方公式和平方差公式對等式左右兩邊變形即可證明．

【詳解】（1）解：觀察第1至第4個等式中相同位置數的變化規律，可知第5個等式為：

222

2516101610，

222

故答案為：2516101610；

222

（2）解：第n個等式為2n1(n1)2n1(n1)2n，

證明如下：

2

等式左邊：2n14n24n1，

22

等式右邊：(n1)2n1(n1)2n

(n1)2n1(n1)2n(n1)2n1(n1)2n

(n1)4n11

4n24n1，

222

故等式2n1(n1)2n1(n1)2n成立．

【點睛】本題考查整式規律探索，發現所給數據的規律并熟練運用完全平方公式和平方差公式是解題的關

鍵．

例12（2021·山東青島·統考中考真題）問題提出：

最長邊長為128的整數邊三角形有多少個？（整數邊三角形是指三邊長度都是整數的三角形．）

問題探究：

為了探究規律，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的結論．

（1）如表①，最長邊長為1的整數邊三角形，顯然，最短邊長是1，第三邊長也是1.按照（最長邊長，最

短邊長，第三邊長）的形式記為1,1,1，有1個，所以總共有111個整數邊三角形．

表①

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式

111,1,111個111

（2）如表②，最長邊長為2的整數邊三角形，最短邊長是1或2.根據三角形任意兩邊之和大于第三邊，當

第8頁共51頁.

最短邊長為1時，第三邊長只能是2，記為2,1,2，有1個；當最短邊長為2時，顯然第三邊長也是2，記

為2,2,2，有1個，所以總共有11122個整數邊三角形．

表②

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式

12,1,21

22個112

22,2,21

（3）下面在表③中總結最長邊長為3的整數邊三角形個數情況：

表③

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式

13,1,31

個

323,2,2，3,2,322222

33,3,31

（4）下面在表④中總結最長邊長為4的整數邊三角形個數情況：

表④

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式

14,1,41

24,2,3，4,2,42

43個223

34,3,3，4,3,42

44,4,41

第9頁共51頁.

（5）請在表⑤中總結最長邊長為5的整數邊三角形個數情況并填空：

表⑤

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式

15,1,51

25,2,4，5,2,52

53__________________

45,4,4，5,4,52

55,5,51

問題解決：

（1）最長邊長為6的整數邊三角形有___________個．

（2）在整數邊三角形中，設最長邊長為n，總結上述探究過程，當n為奇數或n為偶數時，整數邊三角形

個數的規律一樣嗎？請寫出最長邊長為n的整數邊三角形的個數．

（3）最長邊長為128的整數邊三角形有__________個．

拓展延伸：

在直三棱柱中，若所有棱長均為整數，則最長棱長為9的直三棱柱有___________個．

(n1)2

【答案】問題探究：見解析；問題解決：（1）12；（2）當n為奇數時，整數邊三角形個數為；當n

4

n(n2)

為偶數時，整數邊三角形個數為；（3）4160；拓展延伸：295

4

【分析】問題探究：

根據（1）（2）（3）（4）的具體推算，總結出相同的規律，按規律填好表格即可；

問題解決：

（1）由最長邊長分別為1，2，3，4，5總結出能反應規律的算式，再根據規律直接寫出最長邊長為6時的

三角形的個數；

（2）分兩種情況討論：當n為奇數，當n為偶數，再從具體到一般進行推導即可；

第10頁共51頁.

n(n2)

（3）當最長邊長n128時，n為偶數，再代入進行計算，即可得到答案；

4

拓展延伸：

(n1)2100

分兩種情況討論：當9是底邊的棱長時，由最長邊長為9的三角形個數有：25個，當9是側

44

棱長時，底邊三角形的最長邊可以為1，2，3，4，5，6，7，8，底邊三角形共有：1246912162070

個，從而可得答案.

【詳解】解：問題探究：

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式

535,3,3，5,3,4，5,3,533個333

問題解決：

（1）最長邊長為1的三角形有：11個，

最長邊長為2的三角形有：12個，

最長邊長為3的三角形有：22個，

最長邊長為4的三角形有：23個，

最長邊長為5的三角形有：33個，

所以最長邊長為6的三角形有：3412個，

故答案為：12

（2）由（1）得：

2

211

最長邊長為1的三角形有：111個，

2

2

231

最長邊長為3的三角形有：222個，

2

2

251

最長邊長為5的三角形有：333個，

2

2

所以當n為奇數時，整數邊三角形個數為(n1)；

4

222

最長邊長為2的三角形有：12個，

22

第11頁共51頁.

442

最長邊長為4的三角形有：23個，

22

662

最長邊長為6的三角形有：34個，

22

n(n2)

所以當n為偶數時，整數邊三角形個數為.

4

（3）當最長邊長n128時，n為偶數，

n(n2)1281282

可得此時的三角形個數為：641304160.

42

故答案為：4160

拓展延伸：

當9是底邊的棱長時，

(n1)2100

最長邊長為9的三角形個數有：25個，

44

而直三棱柱的高分別為：1，2，3，4，5，6，7，8，9，

所以這樣的直三棱柱共有：259225個，

當9是側棱長時，底邊三角形的最長邊可以為1，2，3，4，5，6，7，8，

底邊三角形共有：1246912162070個，

所以這樣的直三棱柱共有：70個，

綜上，滿足條件的直三棱柱共有22570295個.

故答案為：295.

【點睛】本題考查的是學生的閱讀理解能力，探究規律的方法，并運用規律解決問題，同時考查了立體圖

形的含義，三角形的三邊關系，弄懂題意，掌握探究方法，運用規律的能力都是解題的關鍵.

一、遞進式變化規律

遞進變化類的規律題通常給出若干個按照某種特定的遞進變化規律(遞增或遞減)排列的

數、式或圖形等內容，要求從這些已知量的觀察分析中找出變化的一般規律。學生很容易看出

題目呈現的是一列遞進變化的量，但較難歸納出一個統一的表達式來表示變化的一般規律，而

變化的一般規律常常與已知量的排列序號有關聯。因此在解決此類問題時，首先要按照題目中

的排列順序給已知量編上序號；然后找出已知量中變化和不變的部分，分析序號和變化部分之

第12頁共51頁.

間的數量關系，猜想和歸納出第n個量的含有n的表達式，得出一般規律；最后將序號代回表

達式算出結果，比較所得結果與對應數值是否一致，驗證猜想的正確性，得出最終結果。

1、數與式的遞進變化規律

這類規律題通常呈現出一列按照某種特定的遞進變化規律排列的數字、等式或代數式等，

要求變化的一般規律。解決這類題目的關鍵在于根據前若干項已知量(若沒直接給出則需根據

題目的信息求出來)的變化部分找出與它們對應的排列序號之間的數量關系，從而得出變化的

一般規律。

2、圖形變化中的數量遞進變化規律

與圖形有關的遞進變化規律題歸根結底考查的也是圖形在變化過程中圖案的個數、圖形的

周長或面積、線段的長度等這些量的變化規律。解決這類問題要仔細觀察并找出圖形變化與不

變的部分，研究變化部分的圖形變化和數量變化的規律，找出不變部分的固定數量，分析變化

部分的數量與對應的圖形排列序號之間的數量關系，從而得出變化的一般規律。

3、圖表中的數字遞進變化規律

這類題目的規律蘊藏在圖表中的數字變化中，解題的關鍵在于尋找圖表中每行、每列中的

數字之間關系和排列順序，以及行與行之間、列與列之間的聯系，此外還應觀察圖表中的數與

它所處的列數和行數間的數量變化規律。

【變式1】（2022·重慶銅梁·銅梁中學校校考模擬預測）下列中國結圖形都是邊長為“1”的正方形按照一定規

律組成，第①個圖形中共有7個邊長為“1”的正方形，第②個圖形中共有12個邊長為“1”的正方形，第③個

圖形中共有17個邊長為“1”的正方形，，依此規律，第⑥個圖形中邊長為“1”的正方形的個數是（）

A．25B．27C．30D．32

【答案】D

【分析】根據圖形規律，發現后一個圖形比前一個多5個，歸納出通用公式代入求值即可．

第13頁共51頁.

【詳解】解：第①個圖形邊長為1的小正方形有7個，

第②個圖形邊長為1的小正方形有7512個，

第③個圖形邊長為1的小正方形有75217個，

第n個圖形邊長為1的小正方形有75n15n2個，

所以第⑥個圖形中邊長為1的小正方形的個數為56232個．

故選：D．

【點睛】本題考查了觀察了數字規律探索；根據相鄰數字找到規律，推出規律公式是解題的關鍵．

【變式2】（2022·重慶·重慶八中校考二模）把黑色圓點按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有4

個黑色圓點，第②個圖案中有6個黑色圓點，第③個圖案中有8個黑色圓點，…，按此規律排列下去，則

第⑦個圖案中黑色圓點的個數為（）

A．12B．14C．16D．18

【答案】C

【分析】觀察發現每一個圖形比前一個圖形多2個黑色圓點，利用此規律求解即可．

【詳解】解：第①個圖案中有4個黑色三角形，

第②個圖案中有4+2×1=6個黑色三角形，

第③個圖案中有4+2×2=8個黑色三角形，

…，

按此規律排列下去，則第n個圖案中黑色三角形的個數為4+2×(n-1)=2n+2，

∴第⑦個圖案中黑色三角形的個數為2×7+2=16，

故選：C．

【點睛】本題主要考查圖形的變化規律，解題的關鍵是根據已知圖形得出規律：第n個圖案中黑色三角形

的個數為2n+2．

【變式3】（2022·山西·山西實驗中學校考模擬預測）如圖是一組有規律的圖案，它們是由邊長相同的小正

方形組成，其中部分小正方形涂有陰影，依此規律，第_________個圖案中有2021個涂有陰影的小正方形．

第14頁共51頁.

【答案】505

【分析】根據第一個圖案有5405個小正方形有陰影，第二個圖案有5419個小正方形有陰影，第

三個圖案有54213個小正方形有陰影，則第n個圖案有54(n1)個小正方形有陰影，據此規律進行解

答即可．

【詳解】解：∵第一個圖案有5405個小正方形有陰影，

第二個圖案有5419個小正方形有陰影，

第三個圖案有54213個小正方形有陰影，

．．．

第n個圖案有54(n1)個小正方形有陰影，

根據題意得：54(n1)2021，

解得：n505，

∴第505個圖案中有2021個涂有陰影的小正方形，

故答案為：505．

【點睛】本題考查了圖形的變化規律，讀懂題意，根據圖形得出相應的規律是解本題的關鍵．

【變式4】（2022·山東泰安·模擬預測）我國古代數學的許多成就都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是

2

一例，例如，在三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應aba22abb2展開式中的系數；第四

3

行的四個數1，3，3，1，恰好對應著aba33a2b3ab3b3展開式中的系數；請根據規律直接

4

寫出a6的展開式______．

【答案】a424a3216a2864a1296

【分析】先根據圖形得出第五行的四個數是1，4，6，4，1，再求出答案即可．

【詳解】解：根據題意得:第五行的四個數是1，4，6，4，1，

第15頁共51頁.

4

即a6展開式中的系數依次為1，4，6，4，1，

4

a6

a44a366a2624a6364

a424a3216a2864a1296，

故答案為：a424a3216a2864a1296．

【點睛】本題考查了完全平方公式的應用，能根據已知圖形得出規律是解此題的關鍵．

【變式5】（2022·浙江臺州·統考二模）浙江從3月6日至3月20日新增新冠確診人數和無癥狀人數情況

如下表，根據表中數據繪制出如下的折線統計圖，請根據統計圖表分析：

日期67891011121314151617181920

確診1616182454154328383223303

無癥狀34883334311371712822242617

(1)在統計的這段時期內，新增確診和無癥狀感染者總人數在60人以上的天數有______天；

(2)3月6日至3月20日平均每天有多少個確診的新冠病人？

(3)請比較分析這段時間確診人數與無癥狀感染人數的整體水平與變化規律，并對下階段防疫工作提出一條

合理化的建議．

【答案】(1)2

(2)21

(3)見解析

【分析】（1）從表格獲取數據，將新增確診與無癥狀感染者的人數相加，進行判斷；

（2）求確診人數的平均數即可；

（3）根據表格與折線統計圖分析數據變化規律，結合實際情況提出建議即可．

第16頁共51頁.

（1）

解：分析表格數據可知，新增確診和無癥狀感染者總人數在60人以上的天數有2天，分別是：3月11日，3

月12日；

（2）

1616182454154328383223303

解：21（人）．

15

答：3月6日至3月20日平均每天有21個確診的新冠病人．

（3）

解：由折線統計圖可得，這段時間確診人數整體在1~54范圍內波動，總體變化大致是先增加，后減少；而

無癥狀感染者人數每天在3~43范圍內波動，總體呈反復增減變化情況，根據疫情實際情況，建議大家做好

防范，出門一定要戴好口罩，盡量不大量聚集．

【點睛】本題考查統計圖表，求平均數，從表格和折線統計圖中獲取信息是解題的關鍵．

例1（2022·山東煙臺·統考中考真題）如圖，正方形ABCD邊長為1，以AC為邊作第2個正方形ACEF，

再以CF為邊作第3個正方形FCGH，…，按照這樣的規律作下去，第6個正方形的邊長為（）

A．（22）5B．（22）6C．（2）5D．（2）6

【答案】C

【分析】根據勾股定理得出正方形的對角線是邊長的2，第1個正方形的邊長為1，其對角線長為2；

223

第2個正方形的邊長為2，其對角線長為2；第3個正方形的邊長為2，其對角線長為2；???；

n15

第n個正方形的邊長為2．所以，第6個正方形的邊長2．

【詳解】解：由題知，第1個正方形的邊長AB1，

根據勾股定理得，第2個正方形的邊長AC2，

2

根據勾股定理得，第3個正方形的邊長CF2，

第17頁共51頁.

3

根據勾股定理得，第4個正方形的邊長GF2，

4

根據勾股定理得，第5個正方形的邊長GN2，

5

根據勾股定理得，第6個正方形的邊長2．

故選：C．

【點睛】本題主要考查勾股定理，根據勾股定理找到正方形邊長之間的2倍關系是解題的關鍵．

△

例2（2020·山東煙臺·統考中考真題）如圖，OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，以斜邊OA2為直角邊

作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規律作下去，則OAn的

長度為（）

﹣22﹣

A．（2）nB．（2）n1C．（）nD．（）n1

22

【答案】B

【分析】利用等腰直角三角形的性質以及勾股定理分別求出各邊長，依據規律即可得出答案．

【詳解】解：∵△OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，

∴OA2＝2；

∵△OA2A3為等腰直角三角形，

2

∴OA3＝2＝(2)；

∵△OA3A4為等腰直角三角形，

3

∴OA4＝22＝(2)．

∵△OA4A5為等腰直角三角形，

4

∴OA5＝4＝(2)，

……

n﹣1

∴OAn的長度為（2），

故選：B．

第18頁共51頁.

【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質以及勾股定理，熟練應用勾股定理得出是解題關鍵．

例3（2022·黑龍江·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3，A4……在x軸上且OA11，

OA22OA1，OA32OA2，OA42OA3……按此規律，過點A1，A2，A3，A4……作x軸的垂線分別與直線

△

y3x交于點B1，B2，B3，B4……記OA1B1，OA2B2，OA3B3，OA4B4……的面積分別為S1，S2，S3，

S4……，則S2022______．

【答案】240413

3∥∥∥∥

【分析】先求出A1B13，可得S，再根據題意可得A1B1A2B2A3B3AnBn，從而得

OA1B12

△△

到OA1B1∽OA2B2∽OA3B3∽OA4B4∽……∽OAnBn，再利用相似三角形的性質，可得

222

S∶S∶S∶S∶∶S223n，即可求解．

OA1B1OA2B2OA3B3OA4B4……OAnBn=1:2:2:2::2

【詳解】解：當x=1時，y3，

∴點B11,3，

∴A1B13，

13

∴S13，

OA1B122

∵根據題意得：A1B1∥A2B2∥A3B3∥∥AnBn，

第19頁共51頁.

△△

∴OA1B1∽OA2B2∽OA3B3∽OA4B4∽……∽OAnBn，

∴S∶S∶S∶S：∶S2∶2∶2∶∶2，

OA1B1OA2B2OA3B3OA4B4……OAnBn=OA1OA2OA3……OAn

∵OA11，OA22OA1，OA32OA2，OA42OA3，……，

∴，2，3，，n1，

OA22OA342OA482……OAn2

222

∴S∶S∶S∶S∶∶S223n12462n2

OA1B1OA2B2OA3B3OA4B4……OAnBn=1:2:2:2::21:2:2:2::2

，

∴S22n2S，

OAnBnOA1B1

3

∴S2220222240413．

20222

故答案為：240413．

【點睛】本題主要考查了圖形與坐標的規律題，相似三角形的判定和性質，明確題意，準確得到規律，是

解題的關鍵．

例44．（2022·遼寧錦州·統考中考真題）如圖，A1為射線ON上一點，B1為射線OM上一點，

B1A1O60,OA13,B1A11．以B1A1為邊在其右側作菱形A1B1C1D1，且B1A1D160,C1D1與射線OM交于

V

點B2，得C1B1B2；延長B2D1交射線ON于點A2，以B2A2為邊在其右側作菱形A2B2C2D2，且

V

B2A2D260,C2D2與射線OM交于點B3，得C2B2B3；延長B3D2交射線ON于點A3，以B3A3為邊在其右側

△

作菱形A3B3C3D3，且B3A3D360,C3D3與射線OM交于點B4，得C3B3B4；…，按此規律進行下去，則

△

C2022B2022B2023的面積___________．

4042

34

【答案】

63

第20頁共51頁.

【分析】過點B1作B1DOA1于點D，連接B1D1,B2D2,B3D3，分別作B2HB1D1,B3GB2D2,B4EB3D3，

然后根據菱形的性質及題意可得B1D1//OA1,B2D2//OA1,B3D3//OA1，則有

3

tanOtanBBDtanBBDtanBBD，進而可得出規律進行求解．

2113224335

【詳解】解：過點B1作B1DOA1于點D，連接B1D1,B2D2,B3D3，分別作B2HB1D1,B3GB2D2,B4EB3D3，

如圖所示：

∴B1DOB1DA1B2HD1B3GD2B4ED390，

∵B1A1O60，

∴DB1A130，

∵B1A11，OA13，

115

∴DABA，OD，

121122

3

∴BDAB2AD2，

11112

BD3

∴tanO1，

OD5

∵菱形A1B1C1D1，且B1A1D160，

∴A1B1D1是等邊三角形，

∴A1B1D160，B1D1A1B11，

∵A1B1D1OA1B160，

∴OA1//B1D1，

∴OB2B1D1，

第21頁共51頁.

3

∴tanBBDtanO，

2115

設B2D1x，

∵B2D1H60，

13

∴HDBDcos60x,BHBDsin60x，

12122212

B2H5

∴B1Hx，

tanB2B1H2

511

∴xx1，解得：x，

223

1

∴BD，

213

4

∴AB，

223

416

同理可得：BD，BD，

3294327

1664

∴AB,AB，

3394427

n1n1

由上可得：4，14，

AnBnBn1Dn

333

20212202120