光學教程第一講幾何光學

1'光的直線傳播：光在同一均勻介質中沿直線傳播。

2、光的獨立傳播：幾束光在交錯時互不妨礙，仍按原來各自的方

向傳播。

3、光的反射定律：

①反射光線在入射光線和法線所決定平面

A

內；

②反射光線和入射光線分居法線兩側;

③反射角等于入射角。

4、光的折射定律：O

①折射光線在入射光線和法線所決定平面

內；

S2“S

②折射光線和入射光線分居法線兩側；3

圖1-2-1

③入射角1與折射角滿足

nxsin^=n2sinz2?

④當光由光密介質向光疏介質中傳播?且入射角大于臨界角C時1

將發生全面反射現象（折射率為多的光密介質對折射率為的光疏

sinC=—

介質的臨界角%）。

§1.2光的反射

1.2.1、組合平面鏡成像:

1.組合平面鏡由兩個以上的平面鏡組

成的光學系統叫做組合平面鏡，射向組合平

面鏡的光線往往要在平面鏡之間發生多次

反射，因而會出現生成復像的現象。先看一

種較簡單的現象?兩面互相垂直的平面鏡

（交于。點旗間放一點光源*圖1-2-1）-

S發出的光線經過兩個平面鏡反射后形成

了S?、邑三個虛像。用幾何的方法不難

證明：這三個虛像都位于以。為圓心'OS為半徑的圓上，而且5和匹、

S和S2''和S3、S?和S3之間都以平面鏡（或它們的延長線）保持著

對稱關系。用這個方法我們可以容易地確定較復雜的情況中復像的

個數和位置。

兩面平面鏡和8。成60。角放置（圖1-2-2），用上述規律，很

容易確定像的位置：①以。為圓心'OS為半徑作圓;②過S做AO

和8。的垂線與圓交于Si和$2；③過Si和s2作8。和/。的垂線與圓交

于$3和s’；④過S3和s,作/。和8。的垂線與圓交于$5，§5便是$

在兩平面鏡中的5個像。

雙鏡面反射。如圖1-2-3，兩鏡面間夾角

線射向右后在兩鏡間反復反射-直到光線平行——

△1_2

于某一鏡面射出，則從八點開始到最后一次反"

圖1-2-3

射點，光線所走的路程是多少？

如圖1-2-4所示-光線經4第一次反射的反射線為BC'根據平面

反射的對稱性聲。'=8。，且=a。上述人民。',。均在同一直線上，

因此光線在4'%之間的反復反射就跟光線沿4比'直線傳播等效。設

V是光線第77次反射的入射點且該次反射線不再射到另一個鏡面上，

90°二

MV------=f）

則n值應滿足的關系是““＜90°（（"+1）。?a。取n=5?z

N'O4=75°，總路程AN'=。4火5。=37.3c機。

2、全反射

全反射光從密度媒質1射向光疏媒質2，

當入射角大于臨界角。=sin-沏時，光線發生

全反射。

全反射現象有重要的實用意義?如現代

通訊的重要組成部分——光導纖維，就是利

圖1-2-4

用光的全反射現象。圖1-2-5是光導纖維的

示意圖。AB為其端面，纖維內芯材料的折射率々=L3，外層材料的折

射率叼=1.2，試問入射角在什么范圍內才能

確保光在光導纖維內傳播？

圖1-2-5中的，表示光第一次折射的折

射角，口表示光第二次的入射角-只要P大

于臨界角，光在內外兩種材料的界面上發生

全反射，光即可一直保持在纖維內芯里傳圖1-2-5

播。

只要sin，＜0.50,，＜30°即可。

例1、如圖1-2-6所示，Z8表示一平直的平面鏡，片鳥是水平放置

的米尺（有刻度的一面朝著平面鏡》MN是

屏，三者相互平行，屏M/V上的么?表示一條

M~a-t>bt

圖1-2-6

豎直的縫(即ab之間是透光的)。某人眼睛緊貼米尺上的小孔5(其

位置如圖所示)?可通過平面鏡看到米尺的一部分刻度。試在本題圖上

用三角板作圖求出可看到的部位-并在片舄上把這部分涂以標志。

分析：本題考查平面鏡成像規律及成像作圖。人眼通過小孔看見

的是米尺刻度的像。由反射定律可知，米尺刻度必須經過平面鏡反射

后，反射光線進入人的眼睛，人才會看到米尺刻度的像。可以通過兩

種方法來解這個問題。

解法一：相對于平面鏡ABSpFSpF

作出人眼S的像S'。連接Sa

并延長交平面鏡于點C-連接

S'與點C并延長交米尺占外于M1\//C//DSC!!

點E，點E就是人眼看到的米/M'KTT

尺刻度的最左端；連接S%并延1

P；--------

長交米尺片舄于點F，且SZ圖L2-7

圖1-2-8

與平面鏡交于D，連接S與點

D，則點F就是人眼看到的米尺刻度的最右端E與F之間的米尺刻度

就是人眼可看到部分?如圖

1-2-7所示。產萼\:P法:

解法二：根據平面鏡成像(

的對稱性，作米尺夫也及屏

pP2

MN的像,分別是P：P；及?、「24

,,(a)(b)

MN，a、b的像分別為。力■

如圖1-2-8所示。連接Sa交

AB于點C,延長并交"舄'于p

3B

7P6P4叱

P2

(d)

(c)

圖1-2-9

點E'，過點E'作片舄（皿）的垂線，交于點E，此點就是人眼看到的米尺

刻度的最左端；連接以'交于點。，延長并交6舄于點尸，過點尸

作片乙（AB）的垂線片舄交于點尸,點尸就是人眼看到的米尺刻度的最

右端。）部分就是人眼通過平面鏡可看見的米尺部分。

點評：平面鏡成像的特點是物與像具有對稱性。在涉及到平面鏡的

問題中?利用這一特點常能使問題得以簡潔明晰的解決。

例2、兩個平面鏡之間的夾角為45。、60°'120°。而物體總是放

在平面鏡的角等分線上。試分別求出像的個數。

分析：由第一面鏡生成的像-構成第二面鏡的物?這個物由第二面

鏡所成的像-又成為第一面鏡的物?如此反復下去以至無窮。在特定

條件下經過有限次循環，兩鏡所成像重合，像的數目不再增多?就有

確定的像的個數。

解：設兩平面鏡/和8的夾角為26,物戶處在他們的角等分線上■

如圖1-2-9（a）所示。以兩鏡交線經過的。點為圓心，。「為半徑作

一輔助圓-所有像點都在此圓周上。由平

面鏡/成的像用巳舄…表示?由平面鏡B

成的像用舄，舄…表示。由圖不難得出：

片，舄…在圓弧上的角位置為

Q左+D4舄，總…在圓弧上的角位置為

其中Z的取值為k=l-2-...

若經過Z次反射乂成的像與8成的像

重合，

則（2左+1）6=2萬一（2左一1）。

C

即

jr

20=45°=-

當4時，k=4，有7個像，如圖1-2-9(a)所示；

jr

26—60"=—

當3時，k=3，有5個像，如圖1-2-9(b)所示；

28=120°=—27r

當3時，k=1.5■不是整數，從圖1-2-10(d)可直接

看出-物夕經鏡/成的像在鏡8面上，經鏡8成的像則在鏡/面上，

所以有兩個像。

例3、要在一張照片上同時拍攝物體正面

和幾個不同側面的像，可以在物體的后面放兩

個直立的大平面鏡/。和使物體和它對

兩個平面鏡所成的像都攝入照像機?如圖

1-2-11所示。圖中帶箭頭的圓圈戶代表一個

人的頭部(其尺寸遠小于OC的長度)，白色

半圓代表人的臉部，此人正面對著照相機的鏡

頭；有斜線的半圓代表腦后的頭發；箭頭表示頭頂上的帽子，圖1-2-11

為俯視圖-若兩平面鏡的夾角NAOB=72。-設人頭的中心恰好位于角

平分線。。上?且照相機到人的距離遠大于到平面鏡的距離。

1、1、試在圖1-2-11中標出P的所有像的方位示意圖。

2、在方框中畫出照片上得到的所有

的像(分別用空白和斜線表示臉和頭發?

用箭頭表示頭頂上的帽子)。

本題只要求畫出示意圖，但須力求準

圖1-2-13

確。

解：本題的答條如圖1-2-13所不。

例4、五角樓是光學儀器中常用的一種元件，如圖1-2-14所示。

棱鏡用玻璃制成，8C兩平面高度拋光，AB、兩平面高度拋光

后鍍銀。試證明：經8。面入射的光線'不

管其方向如何，只要它能經歷兩次反射(在B35

與OF面上)，與之相應的由Q7面出射

的光線?必與入射光線垂直。

解：如圖1-2-15所示，以/表示入

射角/表示反射角■，表示折射角，次序則

圖f-2-14

以下標注明。光線自透明表面的a點入射，

在棱鏡內反射兩次■由。面的e點出射。可以看得出?在0E面的b

八占\\/,

入射角為J=4+22.5"

反射角為=，2=6+22.5。

在四邊形中，

而^^360°-2x112.5°-a=135°-(67.5°-zi)

=67.5°+6

于是,i；.90。—0=22.5。一3

在Rcdb中

/cdb=180°-&+匕)-&+1)

二1800

—2億+22.5°)—2(22.5。—Q=90°

這就證明了：進入棱鏡內的第一條光線1%_

ab總是與第三條光線ce互相垂直。0D

O

-2-lk^4

圖1

由于棱鏡的。角是直角，4=360°-2700-Ndec=900-Ndec=ii。設

棱鏡的折射率為n-根據折射定律有

,??八=14，；，4=%總是成立的,而與棱鏡折射率的大小及入射角i的大

小無關。只要光路符合上面的要求?由8c面的法線與。面的法線垂

直-又有。=%，，出射光線總是與入射光線垂直,或者說?

光線經過這種棱鏡，有恒點的偏轉角——90°。

d

例6、橫截面為矩形的玻璃棒被彎成如圖1-2-16所示<->

的形狀，一束平行光垂直地射入平表面/上。試確定通AB

過表面/進入的光全部從表面8射出的矽"的最小值。

已知玻璃的折射為1.5。圖1-2-16

分析：如圖1-2-17所示，從/外側入射的光線在外側圓界面上的

入射角較從力內側入射的光線入射角要大-最內側的入射光在外側圓

界面上的入射角a最小。如果最內側光在界面上恰好發生全反射，并且

反射光線又剛好與內側圓相切，則其余的光都能保證不僅在外側圓界

面上?而且在后續過程中都能夠發生全反射-并且不與內側圓相交。

因此，抓住最內側光線進行分析，使其滿足相應條件即可。

解：當最內側光的入射角a大于或等于反射臨界角時-入射光線可

全部從8表面射出而沒有光線從其他地方透出。

sina>-

即要求n

R

sma=-------

而R+d

R1

------->—

所以R+dn

R1

——>-----

即dn—1

1-2-17

故d)mmn-11.5-1

點評對全反射問題'掌握全反射產生的條件是基礎，而具體分析

臨界條件即"邊界光線”的表現是解一『\之氣B

決此類問題的關鍵。-一——」--、＞/-------

例7?普通光纖是一種可傳輸光

的圓柱形細絲，由具有圓形截面的纖

芯/和包層8組成/的折射率小于圖1-2-18

力的折射率，光纖的端面與圓柱體的軸垂直，由一端面射入的光在很

長的光纖中傳播時，在纖芯/和包層8的分界面上發生多次全反射。

現在利用普通光纖測量流體尸的折射率。實驗方法如下：讓光纖的一

端(出射端)浸在流體F中。令與光纖軸平行的單色平行光束經凸透

鏡折射后會聚在光纖入射端面的中心。。經端面折射進入光纖，在光

纖中傳播。由于。點出發的光束為圓錐形，已知其邊緣光線和軸的夾

角為劭，如圖1-2-18所示。最后光從另一端面出射進入流體F。在距

出射端面％處放置一垂直于光纖軸的毛玻璃屏。，在。上出現一圓形

光斑-測出其直徑為4，然后移動光屏D至距光纖出射端面用處.

再測出圓形光斑的直徑”2?如圖1-2-19所示。

(1)若已知/和8的折射率分別為乙與〃B。求被測流體尸的折射

率行的表達式。

(2)若〃4'"B和4均為未知量.

如何通過進一步的實驗以測出g的

值？

分析光線在光纖中傳播時，只有

D

圖1-2-19

在纖芯/與包層8的分界面上發生全反射的光線才能射出光纖的端面，

據此我們可以作出相應的光路圖-根據光的折射定律及幾何關系?最

后可求出％。

解：(1)由于光纖內所有光線都從軸上的。點出發-在光纖中傳

播的光線都與軸相交?位于通過軸的縱剖面內?圖1-2-20為縱面內的

光路圖。設由。點發出的與軸的夾角為a的光線，射至/、8分界面的

入射角為八反射角也為i，該光線在光纖中多次反射時的入射角均為i-

射至出射端面時的入射角為a。若該光線折射后的折射角為。-則由幾

何關系和折射定可得

，+a=90。①

當/大于全反射臨界角1時將發生全反射-沒有光能損失?相應的

光線將以不變的光強射向出射端面。而,＜心的光線則因在發生反射時

有部分光線通過折射進入B-反射光強隨著反射次數的增大而越來越

弱，以致在未到達出射端面之前

就已經衰減為零了。因而能射向-。產二

出射端面的光線的/的數值一定

大于或等于的值由下式決

定：

圖1-2-20

與〃對應的a值為

22

sing＞sintzc=coszc=-^1-sinic=11-(—)

當即＞與,即，"A時,或

%sina。＞61=十時，由。發出的光束中，只有的光線才滿足

的條件下-才能射向端面-此時出射端面處a的最大值為

若a。，即以sina°＜GF*時，則由。發出的光線都能滿足，＞

的條件，因而都能射向端面，此時出射端面處a的最大值為

端面處入射角a最大時，折射角地達最大值■設為,一一由②式可

知

由⑥'⑦式可得，當劭<%時-

由③至⑦式可得，當.。之氣時，

的數值可由圖1-2-21上的幾何

笑系求得為

于是乙的表達式應為

sin4+(4_4)2/.回;4),(?<卜、，

,2o

D

(11)

n--------------------圖1-2-21

1+(…)2

----------------(怎2)

2

(12)

(2)可將輸出端介質改為空氣?光源保持不變，按同樣手續再做

一次測量，可測得％'、％、4’、心,這里打撇的量與前面未打撇的量

意義相同。已知空氣的折射率等于1-故有

當/<&C時，

4)/2『+(%一%)2

1=riAsina。

⑷—4)/2(13)

當42&C時

_d；)/21+(%-力；)2

1=^nA-nl

@—d；)/2(14)

將(11)(12)兩式分別與(13)(14)相除，均得

2

d]-d]+(人2—%)2

d'2-d[\

nF

dz-dJ[(7—J：)/2]2+(%—%)2

(15)

此結果適用于％為任何值的情況。

§1.3光的折射

13.1、多層介質折射

如圖：多層介質折射率分別為々/2，%…則由

折射定律得：

1.3.2、平面折射的視深圖1-3-1

在水中深度為力處有一發光點Q，作OQ垂直于水面，求射出水面

折射線的延長線與OQ交點。的深度“與入射角/的父系。

4

H=—

設水相對于空氣的折射率為3，由折射定律得nsinz=sinr

令OM=x，則

,,,tgidjl-5sini)2

a=a-----=-------------------

于是tgi'HCOSZ

上式表明?由Q發出的不同光線，折射

后的延長線不再交于同一點，但對于那些接

近法線方向的光線，，=。，則s/wo，cosz=l

圖1-3-2

于是

這時，與入射角/無笑,即折射線的延長線近似地交于同一點。，

^3

其深度是原光點深度的晶

如圖1-3-3所不,MN

反射率較低的一個表面?

PQ是背面鍍層反射率很

高的另一個表面?通常照

鏡子靠鍍銀層反射成像?

在一定條件下能夠看到四Q

SSi

個反射像，其中一個亮度圖1-3-3

N

很底。若人離鏡距離/，玻璃折射率n，玻璃厚度d-求兩個像間的距

離。

圖中S為物點，是經/W反射的像，若％$2,$3依次表示例。面

折射Q面反射和M/V面再折射成像，由視深公式得

OsOy+02s2d+〃/+d,2d

O1S3=----------------=-------------=1+——

nnn

故兩像間距離為°同一°$=丁。

1.33、棱鏡的折射與色散

入射光線經棱鏡折射后改變了方

向，出射光線與入射光線之間的夾角稱

為偏向角,由圖1-3-4的幾何關系知

苴中sinz；=nsinz2sin="sini[

①當i，a很小時-K力2m=i；即

d=(n-1)a

厚度不計頂角a很小的三棱鏡稱之

為光楔，對近軸光線而言，5與入射角

大小無關?各成像光線經光楔后都偏折同樣的角度5?所以作光楔

折射成像光路圖時可畫成一使光線產生偏折角的薄平板圖1-3-5。

設物點S離光楔L則像點卜在S的正上方。

h=lcr=(n-l)al(n-1)a!°

②當棱鏡中折射光線相對于頂角a對稱成等

....a

sinz,=sin，］="sin—

112

腰三角形時,"；=''，。

或者

這為棱鏡的最小偏向角5,此式可

用來測棱鏡的折射率。

由于同一種介質對不同色光有不

圖1-3-6

同的折射率，各種色光的偏折角不同?

所以白光經過棱鏡折射后產生色散現象。虹和霓是太陽被大氣中的

小水滴折射和反射形成的色散現象。陽光在水滴上經兩次折射和一

次反射如圖1-3-6。形成內紫外紅的虹;

陽光經小滴兩次折射和兩次反射如圖

1-3-7-形成內紅外紫的霓。由于霓經過

一次反射，因此光線較弱，不容易看到。

1.3.4、費馬原理

費馬原理指出洸在指定的兩點之間傳

播，實際的光程總是為最大或保持恒定，圖1-3-7

這里的光程是指光在某種均勻介質中通過的路程和該種媒質的折

射率的乘積。

費馬原理是幾何光學中的一個十分重要的基本原理，從費馬原

理可以推導出幾何光學中的很多重要規律。例如光的直線傳播'反

射定律，折射定律?都可以從光程極小推出。如果反射面是一個旋

轉橢球面?而點光源置于其一個焦點上?所有反射光線都經過另一

個焦點，所有反射光線都經過另一個焦點，便是光程恒定的一個例

子。此外，透鏡對光線的折射作用■也是很典

y

型的。

一平凸透鏡的折射率為n-放置在空氣中

F'

透鏡面孔的半徑為/?。在透鏡外主光軸上取一

點尸，0F'=f'(圖1-3-8)。當平行光沿主光

軸入射時，為使所有光線均會聚于廣點。試問:圖1-3-8

(1)透鏡凸面應取什么形狀？(2)透鏡頂點/與點。相距多少？

(3)對透鏡的孔徑/?有何限制？

解：根據費馬原理，以平行光入射并會聚于尸'的所有光線應有

相等的光程?即最邊緣的光線斯，與任一條光線的光程應相

等。由此可以確定凸面的方程。其余問題亦可迎刃而解。

(1)取。一》坐標系如圖，由光線8尸和的等光程性，得

整理后■得到任一點M(x，y)的坐標x，y應滿足的方程為

令—了三—，「一?則上式成為

這是雙曲線的方程，由旋轉對稱性，透鏡的凸面應是旋轉雙曲

面。

(2)透鏡頂點/的位置應滿足

a_^f'2+R2-f

或者…卡丁一

可見，對于一定的〃和尸，/由/?決定。

(3)因點尸在透鏡外，即，這是對R的限制條件，有

即要求RW后F

討論在極限情形，即HW正二V'時,有如下結果：

7/，2+(n2-l)/,2-Z，

即點A與點尸重合。又因

a=0

故透鏡凸面的雙曲線方程變為

即丁=±而二1-/)

雙曲線退化成過點尸的兩條直

圖1-3-9

線，即這時透鏡的凸面變成以廣為

頂點的圓錐面，如圖1-3-9所示。考慮任意一條入射光線MN，由

折射定律有〃sM8=sina，由幾何關系

sin8=cos°=1

sin0=/于==10

，

故'-w

圖1-3-10

即所有入射的平行光線折射后均沿圓錐面到達點少，此時的角e

就是全反射的臨界角。

例1、半徑為/?的半圓柱形玻璃磚，橫截面如圖1-3-10所示。

。為圓心。已知玻璃的折射率為四。當光由

玻璃射向空氣時?發生全反射的臨界角為

45°，一束與M/V平面成45°的平行光束射到

玻璃磚的半圓柱面上-經玻璃折射后-有部

分光能從MV平面上射出。求能從MV平面

射出的光束的寬度為多少？圖1-3-11

分析：如圖1-3-11所示。進入玻璃中的光線①垂直半球面，

沿半徑方向直達球心，且入射角等于臨界角，恰好在。點發生全反

射，光線①左側的光線經球面折射后，射在例/V上的入射角都大于

臨界角，在上發生全反射，不能從射出，光線①右側一

直到與球面正好相切的光線③范圍上的光線經光球面折射后?在

面上的入射角均小于臨界角■都能從/W面上射出，它們在

/W上的出射寬度即是所要求的。

解：圖1-3-11中-8。為沿半徑方向入射的光線，在。點正

好發生全反射，入射光線③在C點與球面相\\\\

切，此時入射角，=90。，折射角為r，則有

0n

即廠=45。

這表示在。點折射的光線將垂直A7/V射「rcrc

圖1312

出，與AW相交于￡點。A7/V面上。￡即是

出射光的寬度。

OE=Rsmr^—R

2

討論如果平行光束是以45。角從空氣射

到半圓柱的平面表面上■如圖1-3-12所示，

此時從半圓柱面上出射的光束范圍是多大？圖

參見圖1-3-13所示，由折身定律

1-3-13

.=1

sin450=V2sinr,得、由"萬一=30。,即所有折射光線與垂直線的夾

角均為30°。考慮在營點發生折射的折射光線EA，如果此光線剛好

在/點發生全反射，則有〃sinNEAO=sin90。，而〃=后，即有

NEAO=45°，因口與平行，所以NEAO=NAO3=45。，所以

。=180。-45。-60。=75。即射向A點左邊MA區域的折射龍。＜45。）

因在半圓柱面上的入射角均大于45。的臨界角而發生全反射不能從

半圓柱面上射出-而/點右邊的光線（。＞45。）則由小于臨界角而

能射出?隨著牛角的增大-當N/CO=45。時,將在C點再一次達到

臨界角而發生全反射'此時ZFOC=15。故知能夠從半圓柱球面上出

射的光束范圍限制在AC區域上，對應的角度為

75°＜。＜165°o

點評正確作出光路圖并抓住對邊界光線的分

析是解答問題的兩個重要方向，要予以足夠重視。圖1-3-14

例2'給定一厚度為d的平行平板，其折射率按

下式變化

一束光在0點由空氣垂直入射平板，并在A點

以角a出射（圖1-3-14）。求A點的折射率nA-并

圖

確定A點的位置及平板厚度。（設“o=L2"=13cm,a=3O。）。

解：首先考慮光的路線（圖L3-15）。對于經過一系列不同折

射率的平行平板的透射光-可以應用斯涅耳定律

更簡單的形式是

這個公式對任意薄層都是成立的。在我們的

情形里，折射率只沿X軸變化'即

在本題中-垂直光束從折射率為n°的點入

射,即"""。4=90°為常數,于是在平板內任

一占八\\有/J

圖1-3-16

〃，與X的關系已知，因此沿平板中的光束為

圖（1-3-16）表明光束的路徑是一個半徑為"的圓，從而

有

現在我們已知道光的路徑，就有可能找到問題的解答。按折射

定律?當光在/點射出時?有

因為nASinPB=%，故有

于是

在本題情形%=L3

圖1-3-17

nA=1.3=-^-

1--

根據13

得出力點的x坐標為x=lcm。

光線的軌跡方程為

代入x=lcm'得到平板厚度為y=d=5cm

例3、圖1-3-17表示一個盛有折射率為〃的液體的槽，槽的中

部扣著一個對稱屋脊形的薄壁透明罩/，。，8，頂角為2。，罩內

為空氣?整個罩子浸沒在液體中-槽底

的中點處有一個亮點C。請求出：位于液面

上方圖標平面內的眼睛從側面觀察可看到亮

點的條件。

解：本題可用圖示平面內的光線進行分

析，并只討論從右側觀察的情形。如圖

圖1-3-18

1-3-18所示，由亮點發出的任一光線O將

經過兩次折射而從液面射出。由折射定律，按圖上標記的各相關角

度有

sina=nsin)

sin/=—sinS

n(2)

其中

的〈萬/2(/7+0)(3)

如果液內光線入射到液面上時發生全反射，就沒有從液面射出

的折射光線。全反射臨界角丫。應滿足條件

可見光線O經折射后能從液面射出從而可被觀察到的條件為

r<r（4）

或sin/=l/"（5）

現在計算■利用（3）式可得

由（1）式可得

由此

又由（1）式

2

nsin/=COS^VH2-sina—nsinasin（p（6）

由圖及（1）、（2）式，或由（6）式均可看出?a越大則颼小。

因此?如果與a值最大的光線相應的用殳為乙〉九，則任何光線都不

能射出液面。反之?只要七<九，這部分光線就能射出液面?從液

面上方可以觀察到亮點。由此極端情況即可求出本題要求的條件。

自。點發出的a值最大的光線是極靠近CP的光線，它被面

折射后進入液體，由（6）式可知與之相應的九;

能觀察到亮點的條件為

即cos^n2-cos2（p-cos^sin^?<1

上式可寫成

取平方

化簡后得

圖

1-3-19

故（/—1）cos2夕<（cos。+sin夕）2

平方并化簡可得

這就是在液面上方從側面適當的方向能看到亮點時〃與（P之間

應滿足條件。

例4、如圖1-3-19所示，兩個頂角分別為%=60。和％=30。的

棱鏡膠合在一起（AC=90。）。折射率由下式給出：

其中

1、確定使得從任何方向入射的光線在經過/C面時不發生折射

的波長4。確定此情形的折射率。和%。

2、畫出入射角相同的、波長為乙、兒和冬的三種不同光線的

路徑。

3、確定組合棱鏡的最小偏向角。

4、計算平行于。。入射且在離開組合棱鏡時仍平行于的光

線的波長。

解：1、如果弭=%，則從不同方向到達

面的波長為4的光線就不折射，即

二500nm

因而

在此情形下々=%=L5。

圖

2'對波長比“。長的紅光1々和%均小于

1.5。反之，對波長比4短的藍光，兩個折射率均tth名掌大。現在

研究折射率在面上如何變化。我們已知道，對波

長為'。的光,“2/%=1。

如果考慮波長為樂而不是乙的光，則由于4>打，

所以4/"l〉1。同理，對藍光有”2/"1<1。現在我們

就能畫出光線穿過組合棱鏡的路徑了（圖1-3-20）。圖

3、對波長為友的光，組合棱鏡可看作頂角為30。、正豹免為

〃二1.5的單一棱鏡。

我們知道，最小偏向在對稱折射時發生，即在圖1-3-21中的a

角相等時發生。

根據折射定律?

sincr_

sinl5--因而。=22。50，

偏向角為

4、利用圖1-3-22中的數據，可以寫出

消去a后得

經變換后得

（3〃；—一%—I）%，+（64a-2a2b2），2+3b；—b；=0

這是力?的二次方程。求解得出

圖1-3-22

2=1.18//m

例5'玻璃圓柱形容器的壁有一定的厚度，

內裝一種在紫外線照射下會發出綠色熒光的液

體，即液體中的每一點都可以成為綠色光源。已

圖1-3-23

知玻璃對綠光的折射率為液體對綠光的折射率為％。當容器壁

的內、外半徑之比/?為多少時，在容器側面能看到容器壁厚為

零？

分析：所謂"從容器側面能看到容器壁厚為零"，是指眼在容器

截面位置看到綠光從C點處沿容器外壁的切線方向射出，即本題所

描述為折射角為90。的臨界折射。因為題中未給出多'%的大小關

系，故需要分別討論。

解：(1)當乙＜%時，因為是要求/":/?的最小值，所以當乙＜%

時，應考慮的是圖1-3-23中這樣一種臨界情況，其中BC

光線與容器內壁相切，。光線和容器外壁相切，即兩次都是臨界

折射，此時應該有

sini2_1

sin90°nx

設此時容器內壁半徑為，在直角三角形

中，sin，2=^)/R。當”-。時，「處不可能發

生臨界折射，即不可能看到壁厚為零；當廠〉廠。

時，熒光液體中很多點發出的光都能在。處發圖1-3-24

生臨界折射，所以只要滿足

即可看到壁厚為零。

(2)當%=%時

此時熒光液體發出的光線將直接穿過容器內壁-只要在。及

其延長線上有發光體，即可看到壁厚為零，因此此時應滿足條件仍

然是r/RNl/%。

（3）當〃i>%時

因為白>%，所以熒光液體發出的光在容器內壁上不可能發生折

射角為90。的臨界折射?因此當廠=廠。時-所看到的壁厚不可能為零

了。當1為時，應考慮的是圖1-3-24中這樣一種臨界情況，

其中光線的入射角為90°，8c光線的折射角為廠「此時應該有

在直角三角形OBE中有

因為圖1-3-23和圖1-3-24中的z2角是相同的，所以，

即

R

r0--

將“代入，可得當

時?可看到容器壁厚度為零。

上面的討論，圖1-3-23和圖1-3-24中8點和C點的位置都是

任意的?故所得條件對眼的所有位置均能成立（本段說明不可少）。

例6、有一放在空氣中的玻璃棒，折射率n=1.5-中心軸線長

L=45cm'一端是半徑為與二10（777的凸球面。

（1）要使玻璃棒的作用相當于一架理想的天文望遠鏡（使主光

軸上無限遠處物成像于主光軸上無限遠處的望遠系統），取中心軸

為主光軸，玻璃棒另一端應磨成什么樣的球面？

（2）對于這個玻璃棒?由無限遠物點射來的平行入射光束與玻

璃棒的主光軸成小角度/時?從棒射出的平行光束與主光軸成小角

度內,求處/必（此比值等于此玻璃棒的望遠系統的視角放大率）。

分析:首先我們知道對于一個望

圖1-3-25

遠系統來說?從主光軸上無限遠處物點發出的入射光線為平行于主

光軸的光線?它經過系統后的出射光線也應與主光軸平行?即像點

也在主光軸上無限遠處?然后我們再運用正弦定理'折射定律及的

小角度近似計算，即可得出最后結果。

解：(1)對于一個望遠系統來說?從主光軸上無限遠處的物點

發出的入射光為平行于主光軸的光線?它經過系統后的出射光線也

應與主光軸平行?即像點也在主光軸上無限遠處?如圖1-3-25所

示，圖中G為左端球面的球心。

由正弦定理'折射定律和小角度近似得

ZK_i=J_

即&②

光線PG射至另一端面時，其折射光線為平行于主光軸的光線，

由此可知該端面的球心G一定在端面頂點8的左方8等于球面

的半徑&，如圖1-3-25所示。

仿照上面對左端球面上折射的關系可得

又有BF\=L-AK④

由②③④式并代入數值可得

即右端應為半徑等于5s的向外凸面球面。

(2)設從無限遠處物點射入的平行光線用8右表示令8過G，

M

圖1-3-26

端球面折射后的相交點例，即為左端球面對此無限遠物點成的像

點。現在求例點的位置。在AAGM中

又nsin(p[=sin/⑦

已知%、9；均為小角度-則有

與②式比較可知，由7"正，即例位于過垂直于主光軸的平

面上。上面已知，玻璃棒為天文望遠系統?則凡是過例點的傍軸

光線從棒的右端面射出時都將是相互平行的光線。容易看出，從例

射向G的光線將沿原方向射出'這也就是過例點的任意光線（包

括光些a、，）從玻璃棒射出的平行光線的方向。此方向與主光軸

的夾角即為火。

由②③式可得

竺=旦=2

則54⑩

例7、在直立的平面鏡前放置一個

半徑為/?的球形玻璃魚缸，缸壁很薄，2｝、、廠二44'”

其中心離鏡面為3/?，缸中充滿水。遠處

R~T\OJB

一觀察者通過球心與鏡面垂直的方向注172y

視魚缸，一條小魚在離鏡面最近處以速「rrcr

圖1-3-27

度1/沿缸壁游動。求觀察者看到魚的兩

個像的相對速度。水的折射率77=4/3。見圖1-3-27和圖1-3-28。

解：魚在1秒鐘內游過的距離為I/。我們把這個距離當作物-

而必須求出兩個不同的像。在計算中，我們只考慮近軸光線和小角

度，并將角度的正弦角度本身去近似。

在乙點游動的魚只經過一

個折射面就形成一個像（圖

1-3-27）。從4點以角度

，=NA70發出的光線，在/點

的水中入射角為I/，在空氣中圖1-3-28

的折射角為“/，把出射光線向相反方向延長給出虛像位置K|。顯然

從三角形K/A,有

利用通常的近似

于是

所以這個虛像與球心的距離為

水的折射率〃=4/3-從而/。=2氏。若折射率大于2,則像是實

像。由像距與物距之商得到放大率為

對水來說■放大率為2。

以與速度1/相應的線段為物?它位于在￡處平面鏡前距離為2/?

處-它在鏡后2/?遠的八處形成一個與物同樣大小的虛像心離球心

的距離為5/?。在一般情形中-我們設八°=球。八的虛像是我們通

過球作為一個透鏡觀察時的（虛）物。因此，我們只要確定心的實

像而無需再去考慮平面鏡。

我們需要求出以Y角度從右發出的光線在C點的入射角￡,其中

7="心5在三角形心0。中

玻璃中的折射角為

需要算出角。因為

而且NC8與C點和。點的兩角之和相加，或與NC。尸和

之和相加，兩種情況下都等于180°,因此

2k

ZDOB=（一-左+1）

即rn

從三角形。°鳥，有

此外

因此像距為

若攵=5，/7=4/3?得

放大率為

若把％=5，/7=4/3代入，則放大率為2/3。

綜合以上結果?如魚以速度1