習題

8-i.沿一平面簡諧波的波線上，有相距2.0m的兩質點A與兒B點、

振動相位比A點落后衛，已知振動周期為2.0s,求波長和波速。

6

?，7T

解：按照題意，對于A、B兩點，Ax=2m

6

而相位和波長之間又滿意這樣的關系：

X,-x,Ax-

\（p=（p-（p=--^—^-271=-2/r

2xZX

代入數據，可得：波長入=24m。又已知T=2s,所以波速u=入/T=12m/s

8-2.已知一平面波沿x軸正向傳揚，距坐標原點。為七處尸點的

振動式為丁=Acos@/+0）,波速為〃，求：

（1）平面波的波動式；

（2）若波沿x軸負向傳揚，波動式又如何？

解：（1）按照題意，距坐標原點。為七處尸點是坐標原點的振動狀

態傳過來的，其0點振動狀態傳到p點需用加=土，也就是說t時刻

u

P處質點的振動狀態重復一四時刻。處質點的振動狀態。換而言之，。

U

處質點的振動狀態相當于，+土時刻P處質點的振動狀態，則0點的振

U

朽木易折，金石可鏤。

Y

動方程為：y=Acos\co(r+—)4-^7]波動方程為：

u

y=Acos[o<r+—--)+=Acos[o>(r-———)+^J

uuu

Y

(2)若波沿x軸負向傳揚，。處質點的振動狀態相當于時刻p

u

處質點的振動狀態，則。點的振動方程為：y=Acos[o(，-土)+洌

U

波動方程為

y=/lcos[6Xr=ACOS[69(^-^-^1)+^]

uuu

8-3.一平面簡諧波在空間傳揚，如圖所示,

己知A點的振動邏輯為y=Acos(2m//+e),試

寫出：

(1)該平面簡詣波的表達式；

(2)3點的振動表達式(B點位于A點右方d處)。

解：(1)模仿上題的思路，按照題意，A點的振動邏輯為

y=4cos(2m//+0),它的振動是0點傳過來的，所以0點的振動方程

為：y=Acos[2^v(.+')+夕]

u

那么該平面簡諧波的表達式為：y=Acos[2m/(r+-+-)+^]

uu

(2)B點的振動表達式可直接將坐標冗=〃-/,代入波動方程：

y=/lcos[2^v(，+—+-——?)+°]=Acos[2加(，+—)+初

uuu

也可以按照B點的振動經過《時光傳給A點的思路來做。

u

8-4.已知一沿x正方向傳揚的平面余弦波，，=-s時的波形如圖所

3

不，且周期T為2s.

(1)寫出。點的振動表達式;

(2)寫出該波的波動表達式;

(3)寫出A點的振動表達式;

(4)寫出A點離。點的距離。

解：由圖可知A=0.1m,入=0.4m,由題知T=2s,3=2n/T二叮，而u二

入/T=0.2m/so

波動方程為：y=0.Icos[n(t-x/0.2)+d\]m關鍵在于決定0點的

初始相位。

(1)由上式可知：0點的相位也可寫成：小=Jit+①。

由圖形可知：，=1s時y產-A/2,VoVO,J此時的6=2Ji/3,

3

將此條件代入，所以：菖=4!+化所以9。=?

。點的振動表達式y=0.Icos[Jit+Ji/3]m

(2)波動方程為：y=0.Icos[Ji(t-x/0.2)+Ji/31m

(3)A點的振動表達式決定主意與0點相似由上式可知:

A點的相位也可寫成：4)=J：t+0Ao

可得：3二^—T=2T./w=12/5

6

貝ijy=0.5cos(—t--)cm

63

(2)沿x軸負方向傳揚，波動表達式：

y=0.5cosf率(t+—]=0.5cosf法(t+?x)?言]acm

6〃3643

4W

(3)按照己知的T=12/5,u=0.8m/s,可知:4=—m

25

那么同一時刻相距1m的兩點之間的位相差：

△夕=271—=—7i=3.27rad

A24

8-6.一正弦形式空氣波沿直徑為14cm的圓柱形管行進，波的平均

強度為9.0乂10-3〃($-),頻率為300Hz,波速為300m/s。問波中的平

均能量密度和最大能量密度各是多少？每兩個相鄰同相面間的波段中

含有多少能量？

解：(1);I=vvu

：.w=-=9.0XIO7/300=3X10-5J?m-3

u

卬皿二2訪二0.6X105J,m3

(2)W=6JV=w-7id2Z=w-7rd2-

44v

=3X1O5X1JI/4X(0.14)2X300/300=4.62X10"J

8-7.一彈性波在媒質中傳揚的速度w=IO?m/s，振幅

朽木易折，金石可鏤。

A=l.OxlO^m,頻率i/=103Hz。若該媒質的密度為800kg/m3,求:

(1)該波的平均能流密度；

(2)1分鐘內垂直通過面積5=4.()*1(尸11?的總能量。

解：3=2兀丫=2兀xlO3

I=-upA2co2=-x[03x800x(10-4汽2萬1O3)2

(1)2-2X

=1.58xl05J/(m2e^)

(2)1分鐘內垂直通過面積5=4.0*1(尸0?的總能量

W=ISt=1.58x105x4x10-4x60=3.79x103J

8-8.S1與也為左、右兩個振幅相等相干平面簡諧波源，它們的間

距為d=5/l/4,S,質點的振動比酬超前1/2.設3的振動方程為

27r

>10=Acos干且媒質無吸收，

（1）寫出，與邑之間的合成波動方程；

（2）分離寫出酬與S2左、右側的合成波動方程。

27r2兀

解：(1)y=Acos@/+/o----/)y2=Acos@/+02o----G)

AA

由題意：。2。-6小衛設它們之間的這一點坐標為x,則

2

.2%、

y=ACOS3+9|（）----%）

4

y1—Acos\cot+(p\g+——(—A—x)]—Acos(cot+(p^H——x)

相當于兩列沿相反方向傳揚的波的疊加，合成為駐波。

0TTD7T

合成波為：)=%+%=2ACOS—xcos-t

AT

2%

(2)在Si左側的點距離Si為x：y=Acos@/+%o+x)

y2=AcosM+夕I。+-y++=ACOS(G/+91O+'工)

合成波為：y=y1+%=2ACOS2〃(—+^)

TA

、.27r

在S2右側的點距離Si為X：必=ACOS(69/+^10-—^)

/t

y9—Acos心/+夕|()---(X——A)]—Acos(cot+夕乂)—x)

兩列波正巧是徹低反相的狀態，所以合成之后為0。

8-9.設加與S2為兩個相干波源，相距;波長，SJ匕S2的位相超前

-O若兩波在在S2連線方向上的強度相同且不隨距離變化，問5、

S2連線上在加外側各點的合成波的強度如何？又在S2外側各點的強度

如何？

解：由題意：由「42二工，n

2

在Si左側的點：AS尸n,AS2=r2,/—\ASi

S2

朽木易折，金石可鏤。

在S2左側的點：AS尸n,AS2=r2,ri

A4）=°2—叼—2不氣」TC-2萬且=0

A~22

所以A=Ai+Az=2A,I=4IO；

8-10.測定氣體中聲速的孔脫（Kundt）法如下：一細棒的中部夾住,

一端有盤D伸入玻璃管，如圖所示。管中撒有軟木屑，管的另一端有活

塞P,使棒縱向振動，移動活塞位置直至軟木屑形成波節和波腹圖案。

若已知棒中縱波的頻率y,量度相鄰波節間的平均距離d,可求得管內

玻璃管

U-2vda

氣體中的聲速〃o試證：u=2vdo,D

2

證實：按照駐波的定義，相鄰兩波節（腹）間距：A=再按照

乙

已知條件：量度相鄰波節間的平均距離d,所以：d=-那么:

A=2d

所以波速〃=2v=2vt/

8-11.圖中所示為聲音干涉儀，用以演示聲波的干

涉。S為聲源，D為聲音探測器，如耳或話筒。路徑SBD

的長度可以變化，但路徑SAD是固定的。干涉儀內有

空氣，且知聲音強度在B的第一位置時為極小值1()()

單位，而漸增至B距第一位置為1.65cm的第二位置時,

有極大值900單位。求：

(1)聲源發出的聲波頻率；

(2)抵達探測器的兩波的振幅之比。

A幾

解：按照駐波的定義，相鄰兩波節(腹)間距：=-

乙

A4

相鄰波節與波腹的間距：Ar=1可得：2=4Ax=6.6cm

聲音的速度在空氣中約為34()m/s,所以：叫巴=二^^=515K〃z)。

A6.6x102

按照強度是振幅的平方的關系：聲音強度在B的第一位置時為極小值

100單位，

在第二位置有極大值900單位，所以振幅的相對大小為10與30單位。

極小值的緣故是兩個振幅相減(AI-A2=10),極大值的緣故是兩個振

幅相加(AI+A2=30)O

朽木易折，金石可鏤。

那么Ai：A?=2：1o

8-12.繩索上的波以波速u=25m/s傳拗，若繩的兩端固定，相距

2m,在繩上形成駐波,且除端點外其間有3個波節。設駐波振幅為0.1m,

，=0時繩上各點均經過平衡位置。試寫出：

（1）駐波的表示式；

（2）形成該駐波的兩列反向舉行的行波表示式。

A4

解：按照駐波的定義，相鄰兩波節（腹）間距:—=5,倘若繩的兩端

固定，那么兩個端點上都是波節，按照題意除端點外其間還有3個波節,

）%c

可見兩端點之間有四個半波長的距離，Ar=4x二=2,所以波長

A=Im,v=25m/s,所以口=24y=5（）乃（辰）。又已知駐波振幅為

A

71

0.1m,r=0時繩上各點均經過平衡位置，說明它們的初始相位為y，

JI

關于時光部分的余旋函數應為cos（50R+5）。

所以駐波方程為：y=0.1COS2^-XCOS(50^r+y)

（2）由合成波的形式為：y=y+%=2Acos竽cos2mzz

/t

可推出合成該駐波的兩列波的波動方程為:

y=0.05cos(50加一2雙)

丫2-0.05cos（50m+2TZX-%）

8-13.弦線上的駐波波動方程為：y=Acos匕x+^）cos&.設弦

42

線的質量線密度為2.

（1）分離指出振動勢能和動能總是為零的各點位置。

（2）分離計算0-2半個波段內的振動勢能、動能和總能量。

2

解：（1）振動勢能和動能總是為零的各點位置是cos（竺尢+衛）=0

42

的地方。

r?2"71z_.、,、兀

即n：——X+-=（2k±1）—

422

可得：x=—（k=0,±1,±2,±3…）

2

（2）振動勢能寫成：

II7T

2222

dWp=—k(dy)=—pdV^cocos(—x+—)coscot

()-4半個波段內的振動勢能：

2

2]A

22/2萬71x2

；pdxA^cocos\---x-l—)coscot

42

=—2pA4~2a)2~cos2cot

8

朽木易折，金石可鏤。

dW=-dmv2=-pdVA2co2cos2(—x+—)sin2a)(t--)

k22A24

()-4半個波段內的振動動能：

2

27rTVx.2

產—(Jmv2)=p—pdxA2co2sin2(——x+—)sincot

22

X422?，

=—sin-cot

8

所以動能和勢能之和為:

22

W=Wk+W/)=^pAco

8?14.試計算：一波源振動的頻率為2040Hz,以

波源

速度匕向墻壁臨近（如圖所示），看見者在A點聽得oO-

拍音的頻率為/t/uBHz,求波源移動的速度匕，設

聲速為340m/s。

解：按照